文档内容
2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷D（小
学组）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）3 +5 +7 +9 ＝ ．
2．（10分）丫丫一家3口，加上丫丫的表弟，今年四人年龄之和为95岁．爸爸比妈妈大4岁，
丫丫比表弟大3岁.8年前，他们的年龄之和为65岁．则爸爸今年 岁．
3．（10分）两个非零自然数的和是210，它们的最小公倍数是1547，则它们的乘积是 ．
4．（10分）A，B 两地相距600千米，甲、乙两人同时骑自行车从A地出发去B地．甲每天骑
40千米，乙每天骑60 千米，但乙骑一天休息一天．第 天的行程结束时，乙距B地
的路程是甲距B地的路程的二倍．
5．（10分）如图所示，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角
形AEF的面积分别是22和36，则三角形BNE的面积为 ．
6．（10分）某班植树节植树，分为3个组，第一组每人植树5棵，第二组每人植树4棵，第三组
每人植树3棵．已知第二组人数是第一、三两组人数之和的三分之一，植树棵数比第一、三
两组棵数之和少72棵，则该班级至少有 人．
7．（10分）11×101×1001×10001×1000001×111的末8位数字依次是 ．
8．（10分）在银行ATM机取钱时需要输入银行卡密码后才能进行下一步操作，密码是
000000到999999中某一个6位数码．某人取钱时忘记了密码，只记得密码中有1，3，5，7，
9并且没有别的数字．如果不限制输错密码的次数，某人最多输入 次不同的密码
就能进行下一步的操作．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）在如图的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，使得算式成立．在所有满
足要求的算式中，四位数 的最大值是多少？
第1页（共11页）10．（10分）如图所示，AB∥CE，AC∥DE，且AB＝AC＝5，CE＝DE＝10．若三角形COD的面
积为10，求四边形ABDE的面积．
11．（10分）老师为自己班级的50名学生做了50张分别写着1到50的数字卡片，每张卡片
都是一面红色，另一面蓝色，两面都写着相同的数字．老师把这50张卡片都蓝色朝上地摆
在桌上，对同学们说：“请你们按顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字
是你自己序号的倍数，你就把它们都翻过来，蓝的就翻成红的，红的就翻成蓝的．”那么，
当全体学生都按老师的要求翻完以后，红色朝上的卡片有多少张？
12．（10分）设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体，则该正方体的棱长
最大等于多少？
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）2011年4月16日是星期六．求二十一世纪中二月份有五个星期日的年份．
14．（15分）两个最简分数，较大的减去较小的差是 ，两个分子的最大公约数等于两个分子
的差，两个分子的最小公倍数是1050．求这两个最简分数．
第2页（共11页）2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷 D（小学组）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）3 +5 +7 +9 ＝ 2 7 ．
【分析】3 ＝4﹣ ，5 ＝6﹣ ，7 ＝8﹣ ，9 ＝10﹣ ，由此进行变形，然后根据加
法结合律和减法的性质简算．
【解答】解：3 +5 +7 +9
＝（4﹣ ）+（6﹣ ）+（8﹣ ）+（10﹣ ）
＝（4+6+8+10）﹣（ + + + ）
＝28﹣（ + + + ）
＝28﹣
＝27 ．
故答案为：27 ．
2．（10分）丫丫一家3口，加上丫丫的表弟，今年四人年龄之和为95岁．爸爸比妈妈大4岁，
丫丫比表弟大3岁.8年前，他们的年龄之和为65岁．则爸爸今年 4 2 岁．
【分析】因为今年的年龄之和为95岁．那么8年前四人的年龄之和应该是95﹣8×4＝63岁，
而实际年龄和是65岁，多减去了65﹣63＝2岁，这说明表弟8年前还没出生，所以表弟今
年的年龄是8﹣2＝6岁，则丫丫的年龄是6+3＝9岁，那么爸爸妈妈的年龄和就是95﹣6﹣
9＝80岁，又因为爸爸比妈妈大4岁，所以他们的年龄和加上4，再除以2，即可得出爸爸
的年龄．
【解答】解：因为今年的年龄之和为95岁．那么8年前四人的年龄之和应该是95﹣8×4＝
第3页（共11页）63（岁）
而实际年龄和是65岁，多减去了65﹣63＝2（岁），这说明表弟8年前还没出生
所以表弟今年的年龄是8﹣2＝6（岁）
则丫丫的年龄是6+3＝9（岁）
则爸爸的年龄是（95﹣9﹣6+4）÷2
＝84÷2
＝42（岁）
答：爸爸今年42岁．
故答案为：42．
3．（10分）两个非零自然数的和是210，它们的最小公倍数是1547，则它们的乘积是 1082 9
．
【分析】先对1547分解质因数1547＝7×17×13，所以，两个数为7，17，13中的任意两数的
乘积．
【解答】解：1547＝7×17×13，
这两个数为7，17，13中的任意两个数的乘积，
有7，17，13，91，119，221，1547这七个数，
要使两数和为210，
所以这两个数为91，119，
所以乘积为91×119＝10829．
故答案为：10829．
4．（10分）A，B 两地相距600千米，甲、乙两人同时骑自行车从A地出发去B地．甲每天骑
40千米，乙每天骑60 千米，但乙骑一天休息一天．第 1 2 天的行程结束时，乙距B地的
路程是甲距B地的路程的二倍．
【分析】此题可设第x天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍，根据题
意，第x天甲行了40x，距B地还有（600﹣40x）千米，乙行了60÷2×x，距B地还有（600﹣
60÷2×x）千米，根据“乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍”，列出方程 600﹣
60÷2×x＝2×（600﹣40x），解答即可．
【解答】解：设第x天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍，得：
600﹣60÷2×x＝2×（600﹣40x）
600﹣30x＝1200﹣80x
50x＝600
第4页（共11页）x＝12
答：第12天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍．
故答案为：12．
5．（10分）如图所示，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角
形AEF的面积分别是22和36，则三角形BNE的面积为 1 4 ．
【分析】如下图所示，连接AM，由等底等高的三角形的面积相等，有S△DAP ＝S△DAM ，所以
S△DAP ﹣S△DAF ＝S△DAM ﹣S△DAF ，即S△PDF ＝S△MAF ＝22，同理可得，S△BNE ＝S△MAE ，
所以S△BNE ＝S△MAE ＝S△EAF ﹣S△MAF ＝36﹣22＝14，据此解决即可．
【解答】解：如上图所示：因为S△DAP ＝S△DAM ，
所以S△DAP ﹣S△DAF ＝S△DAM ﹣S△DAF ，
即S△PDF ＝S△MAF ＝22．
同理可得，S△BNE ＝S△MAE ，
所以S△BNE ＝S△MAE ＝S△EAF ﹣S△MAF ＝36﹣22＝14．
答：三角形BNE的面积为14．
故答案为：14．
6．（10分）某班植树节植树，分为3个组，第一组每人植树5棵，第二组每人植树4棵，第三组
每人植树3棵．已知第二组人数是第一、三两组人数之和的三分之一，植树棵数比第一、三
两组棵数之和少72棵，则该班级至少有 3 2 人．
【分析】第一组x人，第二组y人，第三组z人因为：第二组的人数是一、三两组总人数的 ，
所以：
第5页（共11页）y＝ （x+z），3y＝x+z，4y＝x+y+z 所以总人数是4的倍数．
因为：第二组植的树比一、三两组植树棵树总和少72，所以：
4y＝5x+3z﹣72＝2x+3y﹣72
4y＝2x+3（x+z）﹣72
4y＝2x+9y﹣72
把y＝1，2，3，4，5，6，7，8代入上面各式，只有8满足最小解．然后求出总人数即可．
【解答】解：第一组x人，第二组y人，第三组z人，得：
y＝ （x+z）
①
3y＝x+z
4y＝x+y②+z
由 可知总③人数是4的倍数．
所③以：
4y＝5x+3z﹣72＝2x+3y﹣72
4y＝2x+3（x+z）﹣72
4y＝2x+9y﹣72
把y＝1，2，3，4，5④，6，7，8代入 ，只有8满足最小解．
因此，总人数为：4y＝4×8＝32（人）④
答：该班级至少有32人．
故答案为：32．
7．（10分）11×101×1001×10001×1000001×111的末8位数字依次是 8765432 1 ．
【分析】把11×101×1001×10001×1000001×111运用乘法交换和结合律进行整合，然后整理
成11111111×111111111111，进而得出11×101×1001×10001×1000001×111的末8位数字依
次是87654321；据此解答．
【解答】解：11×101×1001×10001×1000001×111
＝（11×101）×1001×10001×1000001×111
＝（1111×10001）×1001×1000001×111
＝11111111×111111×1000001
＝11111111×111111111111；
因为1111×1111＝1234321，1111×111111＝123444321，
111111×111111＝12345654321，111111×11111111＝1234566654321，
第6页（共11页）所以：11111111×111111111111＝1234567888887654321，
所以11×101×1001×10001×1000001×111的末8位数字依次是87654321；
答：11×101×1001×10001×1000001×111的末8位数字依次是87654321．
故答案为：87654321．
8．（10分）在银行ATM机取钱时需要输入银行卡密码后才能进行下一步操作，密码是
000000到999999中某一个6位数码．某人取钱时忘记了密码，只记得密码中有1，3，5，7，
9并且没有别的数字．如果不限制输错密码的次数，某人最多输入 180 0 次不同的密码
就能进行下一步的操作．
【分析】首先考虑密码是6位数，则1，3，5，7，9中有一位数字重复，重复数字的可能性有
种，然后将6个数字进行全排列，还要考虑两个相同的数字，据此解答．
【解答】解：根据分析可得，输入次数为 ＝1800．
故答案为：1800．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）在如图的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，使得算式成立．在所有满
足要求的算式中，四位数 的最大值是多少？
【分析】根据题干，要使四位数 的值最大，则上面的两位数加数和三位数加数的
值应该最小，则两位数加数最小是10，三位数加数最小是100，则四位数 的最
大值就是2011﹣100﹣10＝1901．
【解答】解：根据题干分析可得，两位数加数最小是10，三位数加数最小是100，
则四位数 的最大值就是2011﹣100﹣10＝1901．
第7页（共11页）答：四位数 的最大值是1901．
10．（10分）如图所示，AB∥CE，AC∥DE，且AB＝AC＝5，CE＝DE＝10．若三角形COD的面
积为10，求四边形ABDE的面积．
【分析】根据“AB∥CE，AC∥DE”推出三角形面积之比与边的比之间的关系，求出各三
角形的面积，即S△ABC、S△
ACE
、S△COD 、S△DOE，进而解决问题．
【解答】解：因为AC∥DE，所以S△
AOE
＝S△COD ，
又 ＝ ， ＝ ＝ ，
所以 ＝ ．
因为三角形EAC在边AC上的高和三角形CDE在边DE上的高相等，
所以 ＝ ＝ ＝
因为 ＝ ＝ ，所以S△DOE＝2S△COD＝20．
因为 ＝ ＝ ，所以S△AOC ＝ S△AOE ＝ S△COD＝5．
所以S△ACE ＝S△AOC+S△
AOE
＝15，
因为AB∥CE，所以 ＝ ＝ ，
即S△ABC ＝ S△ACE ＝ ×15＝7.5．
所以S
ABCDE
＝S△ABC+S△
ACE
+S△COD +S△DOE＝7.5+15+10+20＝52.5．
第8页（共11页）答：四边形ABDE的面积是52.5．
11．（10分）老师为自己班级的50名学生做了50张分别写着1到50的数字卡片，每张卡片
都是一面红色，另一面蓝色，两面都写着相同的数字．老师把这50张卡片都蓝色朝上地摆
在桌上，对同学们说：“请你们按顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字
是你自己序号的倍数，你就把它们都翻过来，蓝的就翻成红的，红的就翻成蓝的．”那么，
当全体学生都按老师的要求翻完以后，红色朝上的卡片有多少张？
【分析】每张卡片，所写数字有几个约数就被翻过几次．被翻了奇数次的卡片红色面朝上，
而只有完全平方数才能有奇数个约数，所以本题也就是求写有完全平方
数的卡片有几张．
【解答】解：因为1≤12＜22＜32＜42＜52＜62＜72＜50．
所以红色朝上的卡片共有7张．
答：红色朝上的卡片有7张．
12．（10分）设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体，则该正方体的棱长
最大等于多少？
【分析】画出图形，见下图，球的内接正方形ABCD﹣A B C D 的顶点在球面上，它的（体）
1 1 1 1
对角线AC 就是球的直径，即AC ＝2×10＝20（厘米）．然后由图的对称性以及勾股定理解
1 1
决问题．
【解答】解：
球的内接正方形ABCD﹣A B C D 的顶点在球面上，它的（体）对角线AC 就是球的直径，
1 1 1 1 1
即AC ＝2×10＝20（厘米）．
1
由图的对称性，可知∠AA C ＝90°，∠A B C ＝90°．
1 1 1 1 1
设正方形的棱长为a，即AA ＝A B ＝B C ＝a，连续用勾股定理两次，得到：
1 1 1 1 1
A C 2＝2a2，AC 2＝AA 2+A1C 2+3a2，
1 1 1 1 1
则3a2＝202＝400，a2＝ ＝133 ．
显然，只要一个正方体的棱长a为整数，满足a2≤133，那么这个正方体一定可以放入球中，
第9页（共11页）因为112＝121＜133＜144＝122．故所求的棱长为整数的正方体的最大棱长等于11厘米．
答：该正方体的棱长最大等于11厘米．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）2011年4月16日是星期六．求二十一世纪中二月份有五个星期日的年份．
【分析】根据题意，符合题意的年份必定是闰年（二月有29 天），并且二月一日恰好是星期
日，所以得先找到二十一世纪第一个二月一日是星期日的年份；据此解答．
【解答】解：根据题意，2011年4月16日是星期六，可倒推得2004年2月1日是星期日．
这样可按每隔4×7（28）年为一个周期推算，二十一世纪符合题意的年份有2004，2032，
2060 和2088 年，共有4个．
14．（15分）两个最简分数，较大的减去较小的差是 ，两个分子的最大公约数等于两个分子
的差，两个分子的最小公倍数是1050．求这两个最简分数．
【分析】把1050分解质因数，1050＝2×3×5×5×7，得到两个数的最大公约数等于两个分子
的差数5，得到分子是3×5×5＝75和2×7×5＝70；然后根据较大的减去较小的差是 ，进而
求出两个分数的分母，即可得解．
【解答】解：设这两个最简分数为 和 ，
（b，d ）＝1； （1）
（a，c）＝1； （2）
（am，bk ）＝1；（cm，dk ）＝1．（3）
既然m＝am﹣cm，所以有
a﹣c＝1．（4）
又因为[am，cm]＝1050＝1×2×3×5×5×7，并结合（4），可得到：
c＝14，a＝15，m＝5，此时， ﹣ ＝ ，或 ﹣ ＝ ； （5）
①
c＝6，a＝7，m＝5×5，此时， ﹣ ＝ ； （6）
②
c＝5，a＝6，m＝5×7，此时， ﹣ ＝ ； （7）
③
c＝2，a＝3，m＝5×5×7，此时， ﹣ ＝ （8）
④
第10页（共11页）c＝1，a＝2，m＝3×5×5×7，此时， ﹣ ＝ （9）
⑤
上面第（6）式中， ﹣ ＝5×（ ）＝ ，
结合条件（1），必有5|k，即k 有约数5，和（3）矛盾．即 ﹣ ＝ 无解．
同样，（7），（8）和 （9）中，必有7|k，均和（3）矛盾，即都无解．
仅考虑（5），
﹣ ＝ ， ﹣ ＝ ＝ ＝ ，（10）
根据（1），（2）和（3），应当有
（b，15d﹣14b）＝1，（d，15d﹣14b）＝1，
此即意味着：
k＝（15d﹣14b）×n，（11）
并且（10）变形为 ＝ ，即n，b，d 只能取1，2，3，6．
由（3）和（11），可知：（n，15）＝1，（n，14）＝1，因此得n＝1．同样，（b，15）＝1，
（d，14）＝1，因此可得：b＝2，d＝3．所以
bk＝2×（15d﹣14b）＝34，dk＝3×（15d﹣14b）＝51．
这两个分数是 和 ．
答：这两个分数是 和 ．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:52:42；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第11页（共11页）
