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2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷
（小学组第1试）
一、填空题（共3题，每题10分）
1．（10分）计算： + + + + + + ＝ ．
2．（10分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，AE＝ED，且EF＝2FC，那么△ABF的面积
是 ．
3．（10分）某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共1天；白天雨夜间晴或白天晴
夜间雨共9天；6个夜间和7个白天晴朗．则这段时间有 天，其中全天晴有
天．
二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4．（10分）已知a是各位数字相同的两位数，b是各位数字相同的两位数，c是各位数字相同
的四位数，且a2+b＝c．求所有满足条件的（a，b，c）．
5．（10分）纸板上写着100、200、400三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选
出若干个（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能
出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k个不同的非零自然数．那么k最大是多少？
6．（10分）将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入如图的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：
（1）正三角形各边上的数之和相等；
（2）正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等．
问：有多少种不同的填入方法？
（注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法）
第1页（共6页）第2页（共6页）2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛
试卷（小学组第 1 试）
参考答案与试题解析
一、填空题（共3题，每题10分）
1．（10分）计算： + + + + + + ＝ ．
【分析】通过观察，可把每个分数拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相互抵消，求得
结果．
【解答】解： + + + + + +
＝1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣
＝1﹣
＝ ．
故答案为： ．
2．（10分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，AE＝ED，且EF＝2FC，那么△ABF的面积
是 5 ．
【分析】连接DF，易得S△ABF +S△DCF ＝ S
ABCD
，根据AE＝ED可得S△ECD ＝ S
ABCD
，根据
EF＝2FC可得S△DFC ＝ S△ECD ，进而求解．
第3页（共6页）【解答】解：连接DF，易得S△ABF +S△DCF ＝ S
ABCD
＝6，根据AE＝ED可得S△ECD ＝ S
ABCD
＝3，根据EF＝2FC可得S△DFC ＝ S△ECD ＝1，则S△ABF ＝6﹣1＝5；
答：△ABF的面积是5．
故答案为：5．
3．（10分）某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共1天；白天雨夜间晴或白天晴
夜间雨共9天；6个夜间和7个白天晴朗．则这段时间有 1 2 天，其中全天晴有 2 天．
【分析】一天有白天和夜间两部分，下雨的有9部分，不下雨的有（6+7）即13部分，那么不
是全天下雨的天数共有：（9+13）÷2＝11（天）；总天数为：11+1＝12（天）
而11天中，有一部分下雨的为9天，则全不下雨的天数为：11﹣9＝2（天）．
【解答】解：白天或夜间晴朗：6+7＝13（个）；
不是全天下雨的天数共有：（9+13）÷2＝11（天）；
总天数为：11+1＝12（天）；
全晴天有：12﹣9＝2（天）．
答：这段时间有12天，其中全天晴有2天．
故答案为：12，2．
二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4．（10分）已知a是各位数字相同的两位数，b是各位数字相同的两位数，c是各位数字相同
的四位数，且a2+b＝c．求所有满足条件的（a，b，c）．
【分析】由题意可知，c最小是1111，b最大是99，由a2+b＝c可知，1111﹣99＝1012，a最小
是33，即a是33、44、55、66、77、88、99之中的数，c就是比a的平方大不超过100的各位
数字相同的四位数，依次试算即可解答．
【解答】解：由分析可知：
a＝33，a2＝1089，c＝1111，b＝22，符合题意；
a＝44，a2＝1936，c＝2222，b＝296，不符合题意；
第4页（共6页）a＝55，a2＝3025，c＝3333，b＝308，不符合题意；
a＝66，a2＝4356，c＝4444，b＝88，符合题意；
a＝77，a2＝5929，c＝6666，b＝737，不符合题意；
a＝88，a2＝7744，c＝7777，b＝33，符合题意；
a＝99，a2＝9801，c＝9999，b＝198，不符合题意；
满足要求的解有三组：
（a，b，c）＝（33，22，1111），（66，88，4444）），（88，33，7777）．
5．（10分）纸板上写着100、200、400三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选
出若干个（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能
出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k个不同的非零自然数．那么k最大是多少？
【分析】此题属于天平两端放砝码的称重问题的变形． 原来三个数最多称出6种重量；
再加一个砝码A，最多6×3＝18种另外，与400组合和①与差有2种，共20种； 再加第
②二被砝码B，解法同 ．据此解答． ③
【解答】解： 100②、200、400最多称出6种重量：100、200、300、500、600、700；
再加一个砝①码A，有不放、放左边、放右边三种情况，最多：6×3＝18种；另外，与400组
②合和与差有2种，共20种；
再加第二被砝码B，同上最多有：20×3＝60种；与400、A分别组合和与差有4种，共64
③种．
答：k最大是64．
6．（10分）将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入如图的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：
（1）正三角形各边上的数之和相等；
（2）正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等．
问：有多少种不同的填入方法？
（注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法）
【分析】首先根据表示出各个位置的数字，列出数字和的关系，表示出平方的关系，最后按
照除以3的余数分类进行枚举讨论即可．
第5页（共6页）【解答】解：依题意可知设字母如图所示：
a+b+c+d＝d+e+f+g＝g+h+i+a＝P．
a2+b2+c2+d2＝d2+e2+f2+g2＝g2+h2+i2+a2＝Q（mod3）
由3P＝a+b+c+d+d+e+f+g+g+h+i+a＝45+a+d+g
得a+d+g＝0（mod3）
3Q＝a2+b2+c2+d2+d2e2+③f2+g2+g2+h2+i2+a2＝285+a2+d2+g2．
得：a2+d2+g2＝0（mod3）
由（3）和（4）得到a＝d＝④g＝0（mod3）．
按照余数分类3，6，9余数是0，1，4，7余数是1，2，5，8余数是2．
首先设a＝1，d＝4，g＝7．
则b+c+e+f+h+i＝45﹣12＝33．
那么b+c+e+f+h+i＝3（b+c）﹣6﹣3，b+c＝14．
（1）、b+c＝9+5，e+f＝2+6，h+i＝8+3由于两边中间数都可以互换，所以共有23＝8种情况．
（2）、b+c＝8+6，e+f＝3+5，h+i＝9+2，又是8种．
对于a＝2，d＝5，g＝8和a＝3，d＝6，g＝9也各有16种．因此一共有48种．
综上所述共48种．
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日期：2019/5/7 10:52:29；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
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