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2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷
（小学组第2试）
一、填空题（共3题，每题10分）
1．（10分）某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3
支．如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支铅笔的人数是 ．
2．（10分）如图中，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E为BC的中点，三角形ABO
的面积为45，三角形ADO的面积为18，三角形CDO的面积为69．则三角形AED的面积
等于 ．
3．（10分）一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以4所得
的余数，则这列数中的前2011个数的和是 ．
二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4．有57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角都不大于180的六边形，小等边三角形
之间既无缝隙，也没有重叠部分．则这个六边形的周长至少是多少？
5．（10分）黑板上写有1，2，3，…，2011一串数．如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串
数的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则：
（1）最后剩下的这个数是多少？
（2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少？
6．（10分）试确定积（21+1）（22+1）（23+1）…（22011+1）的末两位的数字．
第1页（共6页）2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛
试卷（小学组第 2 试）
参考答案与试题解析
一、填空题（共3题，每题10分）
1．（10分）某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3
支．如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支铅笔的人数是 1 0 ．
【分析】买1支的人数是其余人数的2倍，也就是说全班人数相当于其余人数的1+2＝3倍，
先根据除法意义，求出买2支和3支铅笔的人数，再设买2支铅笔的有x人，进而用x表示
出买3支铅笔的人数，最后依据买笔总数＝人数×买笔支数，用x表示出买笔总人数，根据
铅笔总数是50支列方程，依据等式的性质即可求解．
【解答】解：36÷（1+2）
＝36÷3
＝12（人）；
设买2支铅笔的人数是x人
12×2×1+2x+（12﹣x）×3＝50
24+2x+36﹣3x＝50
60﹣x+x＝50+x
60﹣50＝50+x﹣50
x＝10；
答：买2支铅笔的人数是10．
故答案为：10．
2．（10分）如图中，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E为BC的中点，三角形ABO
的面积为45，三角形ADO的面积为18，三角形CDO的面积为69．则三角形AED的面积
等于 7 5 ．
第2页（共6页）【分析】若将AD作为底边，因为点E为BC的中点，那么△ADB，△ADE，△ADC的高为等
差数列（可以认为中间三角形的高是两边三角形的高的平均数），所以面积也呈等差数列
（可以认为中间三角形的面积是两边三角形的面积的平均数）．据此可解．
【解答】解：若将AD作为底边，因为点E为BC的中点，
所以△ADE的高为△ADB和△ADC的高的平均数，
因此△ADE的面积就等于△ADB和△ADC的面积的平均数．
所以，S△ADE＝（S△ADB +S△ADC ）÷2
＝（45+18+18+69）÷2
＝75；
答：三角形AED的面积等于75．
3．（10分）一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以4所得
的余数，则这列数中的前2011个数的和是 302 8 ．
【分析】根据题意，列出这个数列是：1、7、8、0、3、3、2、0、1、3、0、0、3、3、2、0、1、3、0、0…
易见，从第4个数开始每8个数一个循环．由于前面还有3个数，所以需用2011减去3的
得数除以8，求出有多少组，再相加即可解答．
【解答】解：这个数列：1、7、8、0、3、3、2、0、1、3、0、0、3、3、2、0、1、3、0、0…
（2011﹣3）÷8＝251
（0+3+3+2+0+1+3+0）×251+1+7+8
＝12×251+16
＝3028
故答案为：3028．
二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4．有57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角都不大于180的六边形，小等边三角形
之间既无缝隙，也没有重叠部分．则这个六边形的周长至少是多少？
第3页（共6页）【分析】
在面积不变的情况下，要使得这些等边三角形堆成的边长最短，则使它们堆城一个六边形，
且六边形的每个内角都是120度．然后构建一个大三角形：把大三角形每条边n等分，连
结各边n等分点一共构成n×n个小等边三角形解答即可．
【解答】解：我们把一个等边三角形每条边2等分，可以连结各边中点一共构成2×2＝4个
小等边三角形；
如果把每条边3等分，连结各边三等分点一共构成3×3＝9个小等边三角形；
以此类推，把每条边n等分，连结各边n等分点一共构成n×n个小等边三角形．
7×7＜57＜8×8＜9×9，8×8＝64，
64﹣57＝7，7不能分解成为3个完全平方数之和的形式，
9×9＝81，81＝4+4+16，
所以我们就可以把这57个小三角形放在如图所示的等边三角形中，每条边被 9等分，
△ABC的边长为9，三个角各被切除一部分，
此时DE＝5，EF＝2，FG＝3，GH＝4，HI＝3，DI＝2，
则DE+EF+FG+GH+HI+DI＝19，
即这个六边形的周长至少是19．
答：这个六边形的周长至少是19．
故答案为：19．
5．（10分）黑板上写有1，2，3，…，2011一串数．如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串
数的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则：
（1）最后剩下的这个数是多少？
（2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少？
【分析】（1）每操作一次，不影响黑板上所有数的总和，因此最后剩下的和＝1+2+3+…
+2011，根据高斯求和公式完成即可．
第4页（共6页）（2）由于倒数第2次操作，黑板上就16个数，总和是2023066，这16个数来源于16×16＝
256个数，这256个数的和也同上．2011﹣（16﹣1）x＝256，x＝117次显然，从开始，只要
117次操作，黑板上就剩256个数．据此依据规则分析即可． 原有2011个数，和2023066
操作117次，黑板剩余256个数：1873到2011，新出现11①7个和．这117个和＝2023066
②﹣（1873+2011）*139/2＝1753128
操作16次，黑板剩余16个数都是新出现，和＝2023066
③操作1次，黑板剩余1个数＝2023066；
④综上，所有出现过的数＝2023066+1753128+2023066+2023066＝7822326
【解答】解：（1）1+2+3+…+2011
＝（1+2011）×2011÷2
＝2012×2011÷2
＝2023066
答：最后剩下的这个数是2023066．
（2）由于倒数第2次操作，黑板上就16个数，总和是2023066，这16个数来源于16×16＝
256个数，这256个数的和也同上．
2011﹣（16﹣1）x＝256，x＝117次，
显然，从开始，只要117次操作，黑板上就剩256个数．
原有2011个数，和2023066
①操作117次，黑板剩余256个数：1873到2011，新出现117个和．
②这117个和＝2023066﹣（1873+2011）×139÷2＝1753128
操作16次，黑板剩余16个数都是新出现，和＝2023066
③操作1次，黑板剩余1个数＝2023066
④综上，所有出现过的数＝2023066+1753128+2023066+2023066＝7822326．
6．（10分）试确定积（21+1）（22+1）（23+1）…（22011+1）的末两位的数字．
【分析】首先判断出积能被25整除，由于各因数均为奇数，则判断积的末两位数字为25或
75，结合各因数被4整除的余数特点判断积的余数，进而判断出末两位数字为75．
【解答】解：设n＝（21+1）×（22+1）×（23+1）×…×（22011+1），
由于各因数2k+1均为奇数，其中22+1＝5，26+1＝65＝5×13，所以n≡0（mod25），此时知n
的末两位数字要么为25，要么为75．
又21+1≡3（mod4），对k≥2，都有2k+1≡1（mod4），所以n≡3（mod4），即n的末两位数字
第5页（共6页）被4除余3，而25≡1（mod4），75≡3（mod4），所以n的末两位数字为75．
答：（21+1）（22+1）（23+1）…（22011+1）的末两位的数字75．
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日期：2019/5/7 10:51:42；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
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