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2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小
高组A卷）
一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正
确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）
1．（10分）现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动．规定：如果甲去，那么乙
也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去；那么丁不去．最后去参加活动的两个人是（
）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．乙、丁
2．（10分）以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（ ）个．
A．5 B．2 C．4 D．3
3．（10分）桌上有1～20的20张卡片，小明每次取出2张卡片，要求一张卡片的编号是另一
张卡片的2倍多2，则小明最多取出（ ）张卡片．
A．12 B．14 C．16 D．18
4．（10分）足球友谊比赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的
票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（ ）元．
A．10 B． C． D．25
5．（10分）一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间66分．那么，这只旧钟的
24小时比标准时间的24小时（ ）
A．快12分 B．快6分 C．慢6分 D．慢12分
6．（10分）在右图的6×6方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每
行、每列、每个标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两
个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（ ）
A．E，C，D，F B．E，D，C，F C．D，F，C，E D．D，C，F，E
第1页（共9页）二、填空题（每小题10分，共40分）
7．（10分）计算：481 +265 +904 ﹣184 ﹣160 ﹣703 ＝ ．
8．（10分）过正三角形ABC内一点P，向三边作垂线，垂足依次为D，E，F，连接AP，BP，CP．
如果正三角形ABC的面积是2028平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是192
平方厘米，则三角形PCF的面积为 平方厘米．
9．（10分）自然数2015最多可以表示成 个连续奇数的和．
10．（10分）由单位正方形拼成的15×15网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，
则边长大于5的正方形有 个．
第2页（共9页）2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试
卷（小高组 A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正
确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）
1．（10分）现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动．规定：如果甲去，那么乙
也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去；那么丁不去．最后去参加活动的两个人是（
）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．乙、丁
【分析】 根据如果甲去，那么乙也去，可得甲在，乙必然也在； 又根据如果丙不去，那
么乙也不①去，可得如果乙去了，丙也一定去了，同时满足 的②条件和“如果丙去；那么
丁不去”只能是乙、丙参加了活动，据此解答即可． ①②
【解答】解：根据如果甲去，那么乙也去，可得甲在，乙必然也在，
又根据如果丙不去，那么乙也不去，可得如果乙去了，丙也一定去了，
如果丙去；那么丁不去，可得：如果丙不去；那么丁去，同时乙也不去，则根据“甲去，那么
乙也去”可得甲也不去，这样只有丁去，这与两个人参加一项活动相矛盾．
同时满足条件只能是乙、丙参加了活动．
故选：B．
2．（10分）以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（ ）个．
A．5 B．2 C．4 D．3
【分析】根据题意，平面上任意4点中，其中3个点构成一个钝角三角形，另外1个点在三
角形的中间时，和其余的3个点依次连接，可以构成3个钝角三角形，据此求出钝角三角
形最多有多少个即可．
【解答】解：如图，平面上任意4点构成了4个钝角三角形：
△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，
所以以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有4个．
故选：C．
第3页（共9页）3．（10分）桌上有1～20的20张卡片，小明每次取出2张卡片，要求一张卡片的编号是另一
张卡片的2倍多2，则小明最多取出（ ）张卡片．
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】因为每次取出2张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的2倍多2，也就是取
出的卡号数字大的不能超过20，那么设另一张卡号是x，则2x+2≤20，且x≥1，据此解答
即可．
【解答】解：设另一张卡号是x，则：
2x+2≤20
2x+1﹣2≤20﹣2
2x≤18
2x÷2≤18÷2
x≤9
又因为x≥1
9×2＝18（张）
∵4、6、8即可以做为一倍量的数，也可以作为2倍量多2的数，
∴即总共可以取出：18﹣3×2＝12张；
答：小明最多可以取出12张卡片．
故选：A．
4．（10分）足球友谊比赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的
票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（ ）元．
A．10 B． C． D．25
【分析】设原来卖出的票数为1，由题意可知，增加的钱数是50× ＝ ，就是增加了三分
之一的票的总钱数，所以再除以 可得降价部分的票的单价，然后再用50减去它就是每
张票售价降低的钱数．
第4页（共9页）【解答】解：设原来卖出的票数为1，
50﹣50× ÷
＝50﹣
＝ （元）
答：每张票售价降了 元．
故选：B．
5．（10分）一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间66分．那么，这只旧钟的
24小时比标准时间的24小时（ ）
A．快12分 B．快6分 C．慢6分 D．慢12分
【分析】分针与时针除12时（包括24时或0时）外，每小时重合1次，因此，24小时重合22
次，旧钟每隔标准时间66分钟重合1次，因此，旧钟24小时是标准时间22×66＝1452（分
钟），而标准钟24小时是60×24＝1440（分钟），两者之差就是这只旧钟慢的时间．
【解答】解：66×（24﹣2）
＝66×22
＝1452（分钟）
60×24＝1440（分钟）
1452﹣1440＝12（分钟）
即这只旧钟的24小时比标准时间的24小时慢12分钟．
故选：D．
6．（10分）在右图的6×6方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每
行、每列、每个标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两
个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（ ）
A．E，C，D，F B．E，D，C，F C．D，F，C，E D．D，C，F，E
第5页（共9页）【分析】首先根据排除法和唯一法进行分析，首先根据幻方规律排除法确定第一行第二列
的数字是A，跟着这个思路全部填写出来即可．
【解答】解：依题意可知：
首先根据排除法看第一宫格，第一列不能有A，第二行不能有A．那么A只能在第一行第
二列．
幻方规律排除法确定第三行第四列也是A；
第四行第四列的数字是C；
接着第五行第四列就是F；
那么第二行的第四列是B；
继续推理得：
故选：C．
二、填空题（每小题10分，共40分）
7．（10分）计算：481 +265 +904 ﹣184 ﹣160 ﹣703 ＝ 60 0 ．
【分析】先把算式变形为481 +265 +904 ﹣185+ ﹣161+ ﹣704+ ，再根据加
法的交换律与结合律以及分数的拆项公式 ＝ ﹣ 简算即可．
【解答】解：481 +265 +904 ﹣184 ﹣160 ﹣703
＝481 +265 +904 ﹣185+ ﹣161+ ﹣704+
＝（481﹣161）+（265﹣185）+（904﹣704）+（ + + + + + ）
＝320+80+200+（ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
＝600+ ﹣
第6页（共9页）＝600 ．
故答案为：600 ．
8．（10分）过正三角形ABC内一点P，向三边作垂线，垂足依次为D，E，F，连接AP，BP，CP．
如果正三角形ABC的面积是2028平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是192
平方厘米，则三角形PCF的面积为 63 0 平方厘米．
【分析】
过P点分别作三条边的平行线，这样就分成了三个平行四边形， AGPH， BKPJ，
▱ ▱
CMPL，阴影部分的面积占各自的 ；同理，得到的三个三角形△HJP，△LPK，△MPG，
▱
阴影部分的面积也占各自的 ；所以S△PAD +S△PBE +S△PCF ＝ S△ABC ，据此解答即可．
【解答】解：根据分析可得，
S△PAD +S△PBE +S△PCF ＝ S△ABC ，
又因为正三角形ABC的面积是2028平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是
192平方厘米，
所以，S△PCF ＝2028× ﹣192×2
＝1014﹣384
第7页（共9页）＝630（平方厘米）
答：三角形PCF的面积为630平方厘米．
故答案为：630．
9．（10分）自然数2015最多可以表示成 3 1 个连续奇数的和．
【分析】先把2015分解质因数，2015＝5×13×31，连续多个奇数的和是正中间一个数的倍
数；如果把5、13、31作为中间一个数的话，无法满足条件；只有当把5×13＝65作为正中
间一个数的话，从35、37、39…95，正好31个数，且和是2015；因此2015最多可以表示成
31个连续奇数的和．
【解答】解：2015＝5×13×31；
连续多个奇数的和是正中间一个数的倍数；
如果把5、13、31作为中间一个数的话，无法满足条件；
只有当把5×13＝65作为正中间一个数的话，从35、37、39…95，正好31个数，且和是
2015；
因此2015最多可以表示成31个连续奇数的和．
故答案为：31．
10．（10分）由单位正方形拼成的15×15网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，
则边长大于5的正方形有 39 3 个．
【分析】分别数出边长为6的正方形个数，边长为7的正方形个数，边长为8的正方形个数，
边长为9的正方形个数，边长为10的正方形个数，边长为11的正方形个数，边长为12的
正方形个数，边长为13的正方形个数，边长为14的正方形个数，以及斜着的4×2＝8个，
再相加即可求解．
【解答】解：边长为6的正方形个数是100，
边长为7的正方形个数是64，
边长为8的正方形个数是49，
边长为9的正方形个数是36，
边长为10的正方形个数是25，
边长为11的正方形个数是16，
边长为12的正方形个数是9，
边长为13的正方形个数是4，
边长为14的正方形个数是1，
斜着的4×2＝8，
第8页（共9页）100+64+49+36+25+16+9+4+1+8＝393（个）
答：边长大于5的正方形有393个．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:59:59；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第9页（共9页）
