文档内容
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
高组C卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算： + ＝ ．
2．（10分）将自然数1至8分为两组，使两组的自然数各自之和的差等于16，共有 种
不同的分法．
3．（10分）将2015的十位、百位和千位的数字相加，得到的和写在2015个位数字之后，得到
一个自然数20153；将新数的十位、百位和千位数字相加，得到的和写在20153个位数字
之后，得到201536；再次操作2次，得到201536914，如此继续下去，共操作了2015次，得
到一个很大的自然数，这个自然数所有数字的和等于 ．
4．（10分）如图，四边形ABCD是边长为11厘米的正方形，G在CD上，四边形CEFG是边长
为 9 厘米的正方形，H在AB上，∠EDH是直角，三角形EDH的面积是 平方厘米．
5．（10分）如图是网格为3×4的长方形纸片，长方形纸片正面是灰色，反面是红色，网格是相
同的小正方形．沿网格线将长方形裁剪为两个形状相同的卡片，如果形状和正反面颜色相
同，则视为相同
类型的卡片，则能裁剪出 种不同类型的卡片．
6．（10分）一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是 88 厘米，问这个长方体总的侧
面积最大是 平方厘米．
第1页（共11页）7．（10分）
[x﹣ ]＝3x﹣5，这里[x]表示不超过x的最大整数，则x＝ ．
8．（10分）右边是一个算式，9个汉字代表数字1至9，不同的汉字代表不同的数字，则该算式
可能的最大值是 ．
二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）已知C地为A，B两地的中点．上午7点整，甲车从A出发向B行进，乙车和丙车分
别从B和C出发向A行进．甲车和丙车相遇时，乙车恰好走完全程的 ，上午10点丙车到
达A地，10点30分当乙车走到A地时，甲车距离B地还有84千米，那么A和B两地距离
是多少千米？
10．（10分）将2015个分数 ， ， … ， ， 化成小数，共有多少个有限小数？
11．（10分）a，b 为正整数，小数点后第3位经四舍五入后，式子 + ＝1.51，求a+b＝？
12．（10分）已知算式abcd＝aad×e，式中不同字母代表不同的数码，问四位数abcd最大值是
多少？
三、解答下列各题（每题15分,共30分,要求写出详细过程）
13．（15分）在图中，ABCD是平行四边形，F在AD上，△AEF的面积＝8cm2，△DEF的面积
＝12cm2，四边形BCDF的面积＝72cm2，求出△CDE的面积？
14．（15分）将530本书分给48名学生，至少有几名学生分到的数量相同？
第2页（共11页）2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷（小高组 C 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算： + ＝ 1 ．
【分析】把繁分数的分子分母中的算式分别化简，然后根据分数的基本性质解答即可．
【解答】解： +
＝ +
＝ +
＝1；
故答案为：1．
2．（10分）将自然数1至8分为两组，使两组的自然数各自之和的差等于16，共有 8 种不
同的分法．
【分析】根据题意，分成的两组之和为（1+8）×8÷2＝36，因为两组的自然数各自之和的差等
于16，因此和较大的一组等于（36+16）÷2＝26，较小的一组是36﹣26＝10，由此即可解答．
【解答】解：分成的两组之和为：
（1+8）×8÷2
＝9×8÷2
＝36
和较大的一组等于：
（36+16）÷2
＝52÷2
＝26
较小的一组是：
第3页（共11页）36﹣26＝10
因为10＝2+8＝3+7＝4+6＝1+2+7＝1+3+6＝1+4+5＝2+3+5＝1+2+3+4
相应地26＝1+3+4+5+6+7＝1+2+4+5+6+8＝1+2+3+5+7+8＝3+4+5+6+8＝2+4+5+7+8＝
2+3+6+7+8＝1+4+6+7+8＝5+6+7+8
所以共有8种不同的分法
故答案为：8．
3．（10分）将2015的十位、百位和千位的数字相加，得到的和写在2015个位数字之后，得到
一个自然数20153；将新数的十位、百位和千位数字相加，得到的和写在20153个位数字
之后，得到201536；再次操作2次，得到201536914，如此继续下去，共操作了2015次，得
到一个很大的自然数，这个自然数所有数字的和等于 847 9 ．
【分析】按题设条件，操作16次后，如上图，发现数字的规律为：从7次开始数字为11、3、
3、5、7，从第12次开始为11、3、3、5、7，这5个数字重复出现．
根据整个规律，推出操作了2015次，得到的数，再求和即可．
【解答】解：按题设条件，操作16次后，如下：
数字的规律为：从7次开始数字为11、3、3、5、7，从第12次开始为11、3、3、5、7，这5个数
字重复出现，
则操作2015次：（2015﹣6）÷5＝401…4，则2015次操作的对应的数字是5；
则所有自然数和为：
前4位：2+0+1+5＝8，
后6为：3+6+9+1+4+1+6+6＝36，
重复的数字和为：1+1+1+3+3+5+7＝21，重复401次后，和为401×21＝8421，
余数4，对应数字的和为：1+1+1+3+3+5＝14，
以上数字相加即为所有自然数和＝8+36+8421+14＝8479．
故：应该填：8479．
4．（10分）如图，四边形ABCD是边长为11厘米的正方形，G在CD上，四边形CEFG是边长
为 9 厘米的正方形，H在AB上，∠EDH是直角，三角形EDH的面积是 10 1 平方厘米．
第4页（共11页）【分析】1、延长EF、AD交于点K；2、将△DEK和△ADH面积相等，所以，HB＝2；3、S阴影
＝S ﹣S ﹣S ﹣S
ABEK DEK ADH BHE
【解答】
根据上述分析
故答案是：S阴影 ＝S
ABEK
﹣S
DEK
﹣S
ADH
﹣S BHE＝11×（11+9）﹣0.5×9×11﹣0.5×9×11﹣0.5×2×
（11+9）＝101
5．（10分）如图是网格为3×4的长方形纸片，长方形纸片正面是灰色，反面是红色，网格是相
同的小正方形．沿网格线将长方形裁剪为两个形状相同的卡片，如果形状和正反面颜色相
同，则视为相同
类型的卡片，则能裁剪出 8 种不同类型的卡片．
【分析】可首先分析向左的减法，然后根据左右对称情况得出向右的剪法，减去重合的剪
法，从而得出总的不同剪法．
【解答】解：先考虑从正面剪，中间那条粗线是一定要剪开的，剪开后，从点1有三种选择，
向上向左向右；
1、向上：
第5页（共11页），属于第1种类型；
2、向左：
剪至点3，又有3种选择，向上向左向下，
（1）向上（黑线）：
，红线是和黑线对称的情况，但按红线剪出的图形旋转后和
黑线相同，属于第2种类型；
（2）向左：
，按红线剪出的图形旋转后和黑线不同，是两种不同的类
型，属于第3、4种类型；
（3）向下：
第6页（共11页）向下剪至点6，有两种选择，向左，向下，
向左：
①
，按红线剪出的图形旋转后和黑线不同，是两种不同的类型，
属于第5、6种类型；
向下：
②
，按红线剪出的图形旋转后和黑线不同，是两种不同的类型，
属于第7、8种类型；
综上可得，总共有8种类型．
故答案是：8．
6．（10分）一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是 88 厘米，问这个长方体总的侧
面积最大是 22 4 平方厘米．
【分析】长宽高的和是：88÷4＝22厘米，长方体的总侧面积最大，长宽高的长度必须最接近，
即22＝8+7+7，然后再利用长方体的侧面积公式，也就是用底面周长乘高，据此解答即可．
【解答】解：长宽高的和是：88÷4＝22（厘米），
长方体的总侧面积最大，长宽高的长度必须最接近，即22＝8+7+7，
（7+7）×2×8
＝28×8
＝224（平方厘米）；
答：这个长方体的总侧面积最大是224平方厘米．
故答案为：224．
7．（10分） [x﹣ ]＝3x﹣5，这里[x]表示不超过x的最大整数，则x＝ 2 ．
【分析】按题意，要使原式成立，则[x﹣ ]≤x﹣ ， 3x﹣5≤x﹣ ，而3x﹣5为整数，不难
⇒
求得x＝2．
第7页（共11页）【解答】解：根据分析，要使原式成立，则[x﹣ ]≤x﹣ ， 3x﹣5≤x﹣ ， x≤ ，
⇒ ⇒
∵3x﹣5≥0∴x＝2
而3x﹣5为整数，不难求得x＝2．
故答案是：2
8．（10分）右边是一个算式，9个汉字代表数字1至9，不同的汉字代表不同的数字，则该算式
可能的最大值是 856 9 ．
【分析】观察这个算式，要使这个算式的值最大，那么两位数与两位数的乘积就要尽可能
的大，所以天空＝96，则湛蓝＝87；同理，两位数与一位数的乘积也要尽可能的大，所以
翠绿＝43，则树＝5；那么盼＝1，望＝2；据此解答即可．
【解答】解：根据分析可得，
1×2+43×5+96×87
＝2+215+8352
＝8569；
故答案为：8569．
二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）已知C地为A，B两地的中点．上午7点整，甲车从A出发向B行进，乙车和丙车分
别从B和C出发向A行进．甲车和丙车相遇时，乙车恰好走完全程的 ，上午10点丙车到
达A地，10点30分当乙车走到A地时，甲车距离B地还有84千米，那么A和B两地距离
是多少千米？
【分析】首先根据甲丙相遇走完全程的一半，乙走完全程的 即可列出一组甲乙丙速度的
关系式，再根据丙3小时走一半路程，乙3.5小时走完全程可以列出乙丙的速度关系式．
重点求出甲乙的速度比，根据甲车距离B地84千米，求得对应的份数，即可求出所求．
【解答】解：根据题意可知，当甲丙相遇时走完全程的一半，乙走完全程的 ，即 （V甲+V
丙
）＝V乙 ．
再根据丙3小①时走了全程的一半，乙3.5小时走完全程，即6V丙 ＝3.5V乙 ．
根据 得：V甲 ：V乙 ＝3：4．所以甲乙路程之比就是3：4． ②
①② 第8页（共11页）一份量是：84÷（4﹣3）＝84千米．
全程是：84×4＝336千米．
故答案为：336千米．
10．（10分）将2015个分数 ， ， … ， ， 化成小数，共有多少个有限小数？
【分析】先找出分母中只有因数2，5，同时有2和5的数的个数，即可得出结论．
【解答】解：在2015个分数 ， ， … ， ， 的分母中，
只有因数2的数有2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024共10个数，
只有因数5的数有5，25，125，625共4个数，
既有因数2，也有因数5的数有10，20，40，50，80，100，160，200，250，320，400，500，640，
800，1000，1250，1280，1600，2000共19个数，
所以总有10+4+19＝33个有限小数，
答：共有33个有限小数．
11．（10分）a，b 为正整数，小数点后第3位经四舍五入后，式子 + ＝1.51，求a+b＝？
【分析】根据条件，代入验证，求出a，b，即可得出结论．
【解答】解：由题意，a＝7，则取b＝1， + ＝1.4+0.143≈1.54，不符合题意；
a＝6，则取b＝3， + ＝1.2+0.429≈1.63，不符合题意；
a＝5，则取b＝4， + ＝1+0.571≈1.57，不符合题意；
a＝4，则取b＝5， + ＝0.8+0.714≈1.51，符合题意；
∴a+b＝9．
12．（10分）已知算式abcd＝aad×e，式中不同字母代表不同的数码，问四位数abcd最大值是
多少？
【分析】aad×e＝abcd中，d×e的个位数仍为d
（1～9）×1＝（1～9）
（2、4、6、8）×6＝（12、24、36、48）
5×（3、5、7、9）＝（15、25、35、45）
【解答】解：从上面的分析可以看出e可能为1、6、（3、5、7、9）
第9页（共11页）设：e为9，希望得最大值，则d为5
从a＝（1～9）检测，得
115×9＝1035
225×9＝2025
335×9＝3015
…
通过检测，
∴abcd的最大值为3015
答：这个四位数最大是3015．
三、解答下列各题（每题15分,共30分,要求写出详细过程）
13．（15分）在图中，ABCD是平行四边形，F在AD上，△AEF的面积＝8cm2，△DEF的面积
＝12cm2，四边形BCDF的面积＝72cm2，求出△CDE的面积？
【分析】连接BD（如下图），若△AEF以AF为底、△EFD以FD为底，他们的高相等，则底
边比等于面积比，可以求出AF：DF＝2：3；
若△ABF、△BFD分别以AF、FD为底，他们高相同，则S△ABF ＝0.2×S
ABCD
、而S△BDF ＝
0.6×S△ABD ＝0.3×S
ABCD
； ▱
S△BCDF ＝S△BFD +S△ ▱
BCD
，求出S
ABCD
；
由S△ABF ＝0.2×S
ABCD
，求出S▱△ABF ；，根据S△AEB ＝S△ABF ﹣S△AEF ，可以S△AEB ；
S△AEB 与S△ECD 之▱和为平行四边形面积的一半，可以求出S△ECD ．
【解答】
解：连接BD（如上图），根据△AEF的面积＝8cm2，△DEF的面积＝12cm2，求出AF：DF＝
8：12＝2：3；
S△BCDF ＝S△BFD +S△BCD ＝0.5S
ABCD
+0.3S ABCD＝0.8S
ABCD
＝72，所以：S
ABCD
＝90；
S△ABF＝0.2S
ABCD
＝18，S▱△ABE ＝S△ABF ▱﹣S△AEF ＝1▱0； ▱
S△ABE +S△ECD ＝▱0.5×S ABCD＝45；
▱ 第10页（共11页）故S△ECD ＝45．
答：S△ECD 的面积为45cm2．
14．（15分）将530本书分给48名学生，至少有几名学生分到的数量相同？
【分析】 若48名学生分到的数量互不相同，则至少要：0+1+2+3+…+47＝1128＞530，不
满足条件①；
若只有2名学生分到的书数量相同，则至少要：（0+1+2+3+…+23）×2＝552＞530，不满
②足条件；
若只有3名学生分到的书数量相同，则至少要：（0+1+2+3+…+15）×3＝360＜530，满足
③条件；
所以至少3名学生分到的书数量相同，据此解答即可．
【解答】解： 若48名学生分到的数量互不相同，则至少要：
0+1+2+3+…+4①7＝1128＞530，不满足条件；
若只有2名学生分到的书数量相同，则至少要：
②（0+1+2+3+…+23）×2＝552＞530，不满足条件；
若只有3名学生分到的书数量相同，则至少要：
③（0+1+2+3+…+15）×3＝360＜530，满足条件；
所以至少3名学生分到的书数量相同．
答：至少3名学生分到的书数量相同．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:59:44；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第11页（共11页）
