文档内容
强化提升-数资 2
（笔记）
主讲教师：杨亚辉
授课时间：2024.06.04
粉笔公考·官方微信强化提升-数资 2（笔记）
课程设置
1.授课内容：
2.授课目的：回顾理论课知识点，加强练习，查漏补缺（回头补理论课）
3.授课时间：每次 2.5～3小时（不一定），中间休息一次（8～10 分钟）
【注意】课程设置：
1.授课内容：主要讲解行程问题、几何问题、排列组合与概率、容斥原理问
题。题目看上去可能难，可以尝试做一下。
2.授课目的：回顾理论课知识点，加强练习，查漏补缺（回头补理论课）。
3.授课时间：每次 2.5～3小时（不一定），中间休息一次（8～10 分钟）。
【注意】普通行程：行程问题包含普通行程、相对行程。
1.核心公式：路程=速度*时间（S=V*t）。
2.匀变速运动的平均速度=（初速度+末速度）/2；匀变速是均匀加速或者均
匀减速，假设一开始速度为 10，均匀加速，最后速度变为 30；则匀变速运动的
平均速度=（10+30）/2=20。
1.（2023广东）某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，
1最后竞走到达终点。一位选手在上午 7 点出发，9 点到达了终点，全程未休息，
其蛙跳、游泳和竞走的速度分别为每小时 2千米、3千米和6千米。如果蛙跳和
竞走的路程相同，则所有项目的总路程是：
A.无法计算 B.6千米
C.8 千米 D.12 千米
【解析】1.已知“上午7点出发，9点到达了终点，全程未休息”，则总时
间为2小时；“蛙跳、游泳和竞走的速度分别为每小时 2千米、3千米和 6千米”，
即已知三个运动的各自速度，本题属于行程问题，S=V*t，设蛙跳时间为 x小时，
游泳时间为 y 小时，则竞走时间为（2-x-y）小时。已知速度和时间，可以求路
程，则 S =2x+3y+6*（2-x-y）=2x+3y+12-6x-6y=12-4x-3y；已知“蛙跳和竞走
总
的路程相同”，则2x=12-6x-6y，整理式子，8x+6y=12→4x+3y=6，则S =12-6=6，
总
对应B项。【选B】
【注意】
1.本题也可以考虑比例，已知“蛙跳和竞走的路程相同”，路程一定，速度
和时间成反比，蛙跳和竞走速度之比为 2：6=1：3，则时间之比为3：1，假设蛙
跳速度为x，则竞走速度为 3x，然后列式求解。
2.本题也可以用等距离平均速度求解。
3.本题重点是考查基本公式。
2.（2020事业单位）甲骑车从 A地前往3 千米外的B地，出发时均匀加速，
骑行到一半路程时的速度为 30千米/小时。此后均匀减速，到达 B地时的速度为
20千米/小时。则甲全程用时为多少分钟？
A.不到 9分30秒 B.9分 30秒～10分之间
C.10 分～10分 30秒之间 D.超过 10分30秒
【解析】2.近几年考试中会经常考查均匀加速或均匀减速问题，画图分析，
假设C点为中点，一开始是静止开始，即速度为 0；到达全程一半时，速度变为
30km/h，从C点到B 点开始均匀减速，到达 B 点速度变为20km/h。平均速度=（初
速度+末速度）/2，分析 AC段：V̅ =（0+30）/2=15km/h；分析BC段：V̅ =（30+20）
AC BC
2/2=25km/h。总时间为 t +t ，C 点是中点，全程是 3km，则 AC=BC=1.5km，
AC BC
t =1.5/15=0.1h=6 分钟、t =1.5/25=0.06h=3.6 分钟，所求=6+3.6=9.6 分钟，
AC BC
9.5分钟是 9分30秒，则9分30秒＜9.6分钟＜10分钟，对应B项。【选B】
【注意】
1.切入点：均匀加速/均匀减速→平均速度。
2.总结——行程问题中的均匀加速/减速：平均速度=（初速度+末速度）/2。
【注意】相对行程：比普通行程难一些。
1.直线运动：
（1）相遇（反向）：S =V *t ；两个人面对面走会直线相遇。
和 和 遇
（2）追及（同向）：S =V *t ；两个人同方向走，一人在前，一人在后，
差 差 追
后面的人速度比前面的人速度快，则后面的人追上前面的人。
2.环形运动：直线的两个端点放在一起就是环形。
（1）环形第 n 次相遇：S =n 圈=V *t 。同点反向出发，比如 A 点出发，
和 和 遇
甲乙反向出发，最后在 B点相遇，结论：第1 次相遇，路程和为1圈；第 2次相
遇，路程和为2圈；第 n次相遇，路程和为n 圈。
3（2）环形第 n 次追及：S =n 圈=V *t 。同点同向出发，甲乙都从 A 点出
差 差 追
发，两人都是顺时针走，最后甲套圈追上乙，结论：第 1 次追上，路程差为 1
圈；第2次追上，路程差为 2圈；第n次追上，路程差为 n圈。
3.（2023 联考）为加快推进县域交通基础设施内畅外联、互联互通，A、B
两地新修建了一条高速公路。甲、乙两辆汽车在这条高速公路上同时从 A、B 两
地相向开出，甲车每小时行驶 74千米，乙车每小时行驶 65千米，两车在距中点
18千米处相遇。这条连通 A、B两地的高速公路全长是：
A.139 千米 B.256 千米
C.278 千米 D.556 千米
【解析】3.画图分析，甲从 A点出发，乙从 B点出发，假设C点为中点，相
遇点是 D 点，甲乙相遇时间一样，速度越快，路程越长，“甲车每小时行驶 74
千米，乙车每小时行驶 65千米”，甲的速度快，则 D点在BC段，已知“两车在
距中点18千米处相遇”，则CD=18；直线相遇问题，S =V *t ，S =S =（74+65）
和 和 遇 和 AB
*t ，S =S =74*t ，S =S =65*t ，S =一半的路程+18、S =一半的路程-18，
遇 AD 甲 遇 BD 乙 遇 甲 乙
甲乙路程差=（一半的路程+18）-（一半的路程-18）=36；则74*t -65*t =36，
遇 遇
则9*t =36，t =4，所求=（74+65）*t =139*4=556，对应D项。【选 D】
遇 遇 遇
4.（2023 事业单位）甲、乙两运动员在周长为 400 米的环形跑道上同向竞
走，已知乙的平均速度是每分钟 80米，甲的平均速度是乙的 1.25倍。如果甲在
4乙前面100米处，则经过多少分钟后，甲第一次追上乙？
A.15 B.18
C.20 D.24
【解析】4.已知“乙的平均速度是每分钟 80米，甲的平均速度是乙的 1.25
倍”，V =80米/分钟，则 V =80*1.25=100米/分钟。画图分析，“甲、乙两运
乙 甲
动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走”、“甲在乙前面 100米处”，甲大
概在圆形的 1/4 处，问甲第一次追上乙，属于追及问题，甲乙不在同一点出发，
不属于环形追及问题，可以当做直线追及问题。甲乙距离为 100，两人路程差为
400-100=300，300=V *t =（100-80）*t ，解得 t =300/20=15 分钟，对应 A
差 追 追 追
项。【选 A】
【注意】如果是第二次追及属于环形追及，因为从第一次追上到第二次，属
于同点出发。
比例行程思维
基本公式：路程=速度*时间
路程一定（相同），速度与时间成反比
速度一定（相同），路程与时间成正比
时间一定（相同），路程与速度成正比
【注意】比例行程思维：基本公式→路程=速度*时间。
1.路程一定（相同），速度与时间成反比。
2.速度一定（相同），路程与时间成正比。
3.时间一定（相同），路程与速度成正比。
5.（2020 山东）甲、乙两人在一条 400 米的环形跑道上从相距 200 米的位
5置出发，同向匀速跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了 2000 米。则甲的速
度是乙的多少倍？
A.1.2 B.1.5
C.1.6 D.2.0
【解析】5.整个跑道周长为 400米，“从相距 200米的位置出发”，画图分
析，行程问题从基本公式无法入手，考虑比例行程思维，对于甲和乙而言，两人
时间一样，路程和速度成正比，V /V =S /S =S /2000，甲第三次追上乙，第
甲 乙 甲 乙 甲
一次甲比乙多跑200 米，第二次甲追上乙（相当于同点同向出发），甲比乙多跑
400米，第三次甲追上乙，甲比乙多跑 400米，则甲比乙多跑 200+400+400=1000
米，S =2000+1000=3000 米。所求=3000/2000=3/2=1.5，对应B项。【选 B】
甲
流水行船相关公式：
V =V +V
顺 船 水
V =V -V
逆 船 水
V =（V +V ）/2
船 顺 逆
V =（V -V ）/2
水 顺 逆
流水行船相关概念：
静水速度=V
船
漂流速度=V
水
【注意】
1.流水行船相关公式：和生活实际息息相关，比如顺流而下，逆流而上。顺
流是船的方向和水流方向一样，逆流是船的方向和水流方向不一样。
（1）V =V +V 。
顺 船 水
（2）V =V -V 。
逆 船 水
（3）V =（V +V ）/2。
船 顺 逆
6（4）V =（V -V ）/2。
水 顺 逆
2.流水行船相关概念：
（1）静水速度=V 。静水速度表示水面静止，速度全靠船自己的速度。
船
（2）漂流速度=V 。比如漂流瓶内在没有速度，全靠水速行驶。
水
6.（2021新疆）甲、乙两地分别为一条河流的上下游，两地相距 360 千米，
A 船往返需要 35 小时，其中从甲地到乙地的时间比从乙地到甲地的时间短 5 小
时。B船在静水中的速度为 12千米每小时。则其从甲地开往乙地需要多少小时？
A.12 B.20
C.24 D.40
【解析】6.已知“A 船往返需要 35 小时，其中从甲地到乙地的时间比从乙
地到甲地的时间短5 小时”，甲到乙是顺流而下，乙到甲是逆流而上，则 t =15h、
顺
t =20h。已知“两地相距 360 千米”，分析 A 船：V =360/15=24km/h、V
逆 A 顺 A逆
=360/20=18km/h，则 V =（24-18）/2=3km/h，分析 B 船：已知“B 船在静水中
水
的速度为 12 千米每小时”，则 V =V +V =12+3=15km/h。所求=360/15=24h，
B顺 船 水
对应C项。【选C】
【注意】切入点——流水行船：V =V +V 、V =V -V ，V =（V +V ）
顺 船 水 逆 船 水 船 顺 逆
/2、V =（V -V ）/2。
水 顺 逆
【注意】几何问题——公式运用：落脚点→公式。
1.规则图形直接用公式。
2.不规则图形先通过割、补、平移等方式转化为规则图形，再用公式。
7【注意】几何公式：
1.周长：
（1）正方形：4a。
（2）长方形：2*（a+b）。
（3）圆形：2πR，R为半径。
（4）弧长：2πR*（n°/360°）。2πR 为圆的周长，假设O点为圆心，求
AB的弧长；弧长AB在圆周长中占一定的比例，假设弧长AB对应的圆心角为n°，
弧长对应的占比为n°/360°，弧长=2πR*（n°/360°）。
2.面积：
（1）正方形：a²。
（2）长方形：a*b。
（3）三角形：ah/2。
（4）圆形：πR²。
（5）梯形：1/2*（a+b）*h。
8（6）扇形（与弧长公式很像）：πR²*（n°/360°）。圆的面积为πR²，要
求扇形OAB的面积，扇形OAB在圆中占一定的比例，扇形OAB对应的圆心角为n°，
扇形所占比例=n°/360°，则扇形面积=πR²*（n°/360°）。
（7）菱形：对角线乘积/2。如果一道题说明是“菱形”，但没有给图，考虑
最特殊的菱形→正方形。
3.表面积：
（1）正方体（6 个面均为正方形）：6a²。
（2）长方体（6个面分为3组，上下一组、左右一组、前后一组）：2*（ab+bc+ac）。
（3）圆柱体：2πR²+2πRh。圆柱体的上下底面是相同的圆，为2πR²；侧
面展开为长方形，宽为圆柱体的高→h，长为底面圆的周长→2πR，则侧面积为
2πR*h。
（4）球体（考查较少）：4πR²。
4.体积：
（1）正方体：a³。
（2）长方体：a*b*c。
（3）球体（与球体的表面积一起记忆）：4/3*πR³。
（4）柱体（棱柱、圆柱）：S*h=底面积*高。
（5）锥体（圆锥、棱锥）：1/3*S*h=1/3*底面积*高。圆柱和圆锥若底面圆
半径、高都相同，则体积之间存在 3倍关系。
7.（2024 浙江网友回忆版）一块空地如图所示，AD、BC 均与底边垂直，三
角形 ACD 为等腰直角三角形，且 AG、DE、CF 长度均相等。现在图中阴影部分种
上草皮，已知DF长 80米，BC长160米，那么草皮面积为多少平方米？
9A.3200 B.3600
C.4000 D.4800
【解析】7.“三角形 ACD为等腰直角三角形”，∠ADC为直角，等腰即 AD=CD，
“且AG、DE、CF长度均相等”，假设 AG=DE=CF=a，问“草皮面积为多少平方米”，
S =S +S 。S 为直角三角形，已知“BC长160米”，则S =1/2*a*160=80a；
草皮 △ECG △BCF △BCF △BCF
已 知 “ DF 长 80 米 ” ， DC=80-a ， CE=a+80-a=80 ， AD=CD=80-a →
GD=AD-AG=80-a-a=80-2a ， S =1/2*80* （ 80-2a ） =3200-80a ； 所 求
△ ECG
=80a+3200-80a=3200，对应A项。【选A】
【注意】
1.切入点：面积→基本公式→三角形。
2.题目给出图，除非特殊说明是“示意图”，否则都是标准图，可以拿尺子
测量。
3.如果最后留出 10 分钟做数量关系，10 道题只会做这 1 道题，即使花费 5
分钟，也是存在性价比的。
104.出题人会赌大家认为工程、经济利润、容斥原理是简单题，考场中可能会
出较难的工程题，反而可能会将几何、行程、排列组合与概率设置的简单。
5.“AG、DE、CF 长度均相等”，将长度全部看作 0，则右侧阴影就不存在，
只剩一条直线，最终相当于算△ADC的面积，已知三角形ACD为等腰直角三角形，
△ADC面积=1/2*80*80=3200。
6.所求=80a+3200-80a，结果为定值，无论 a是多少都不影响答案。
8.（2022 事业单位）某兴趣小组进行科学实验。在一个长方体的容器中注
入 5 厘米深的液体，已知这个长方体容器长 45 厘米，宽 35 厘米，高 15 厘米。
现将长方体容器内的液体全部倒入一个圆柱体容器内，已知圆柱体底圆半径为
20厘米，则圆柱体容器内的液体高度约为多少厘米？
A.5.2 B.6.3
C.7.1 D.8.0
【解析】8.本题主要是基本公式的考查。无论在长方体还是圆柱体中，体积
都是不变的；根据体积不变建立等量关系列式。已知“在一个长方体的容器中注
入5厘米深的液体”，“这个长方体容器长45厘米，宽 35厘米”，V =45*35*5，
长方体
先不用算出来（难算，数字较大，后续大概率可以约分）；V =S*h=πr²
圆柱
*h=π*400*h，列式：45*35*5=π*400*h，π≈3.14，则315=3.14*16*h，h=315/
（3.14*16）≈6.3，或 315/3.14≈100，则h≈100/16=6+，对应B项。【选 B】
【注意】切入点：体积→基本公式→长方体、圆柱。
9.（2022联考）某疫苗共需接种 2剂次方可达到最佳效果。A市的接种人数
占比统计如下图所示，其中，区域“0”表示尚未接种，区域“1”表示只接种 1
剂次，区域“2”表示已接种 2 剂次。假设 ABC 是四分之一圆面，D、E 是中点，
BDFE是正方形，则该市该疫苗只接种 1剂次的人数占比：
11A.超过 40%但不到 50% B.刚好 50%
C.超过 50%但不到 60% D.超过 60%
【解析】9.问“该市该疫苗只接种 1剂次的人数占比”，面积代表各自的人
数，所求=S/S 。S 是不规则图形，通过割、补、平移的方式转化为规则图形，
1 总 1
S=S -S-S。给比例、求比例，使用赋值法，已知“D、E 是中点”，假设圆的
1 总 0 2
半径为2，S =S =1/4*π*2²=π≈3.14，S 为正方形，已知半径为2，且D、E
总 1/4圆 0
是中点，DB=BE=1，S=1*1=1，S 为三角形，面积为正方形的一半，S=0.5；
0 2 2
S=3.14-1-0.5=1.64。所求=1.64/3.14＞50%，排除 A、B 项；且结果＜60%，对
1
应C项。【选 C】
【注意】切入点：面积→基本公式→圆形、正方形、三角形。
【注意】几何问题：
121.公式运用：
（1）规则图形直接用公式。
（2）不规则图形先转化为规则图形，再用公式。
2.三角形相关：
（1）基础知识：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
（2）勾股定理：在直角三角形中。
①a²+b²=c²→两条直角边的平方和等于斜边的平方。
②特殊勾股数：勾三股四弦五→（3、4、5）*n、（6、8、10）、（9、12、
15），（5、12、13）→前几年考查较多；（7、24、25）、（8、15、17）→这
2组勾股数近几年考查的概率较大。
③特殊的直角三角形：30°、60°、90°的三边比例=1：√3：2；45°、45°、
90°的三边比例=1：1：√2。
（3）面积相关：
①底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比。S =1/2*a*h，如果底
△
边相等，面积比等于高之比；如果高相等，面积比等于底边之比。
②相似三角形：对应边长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。例如
两个三角形的相似比为 1：2，则面积比为1：4。
10.（2020国考）部队前哨站的雷达监测范围为 100千米。某日前哨站侦测
到正东偏北30°100 千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通
知正南方向150千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时
间后，正好在某点与可疑无人机相遇。则我方无人机速度是可疑无人机的多少
倍？
A.√3+1 B.3（√3-1）
4 2
C. √3 D. √5
3 3
【解析】10.“雷达监测范围为 100 千米”→雷达的监测范围是一个圆，圆
的半径为100千米。按照“上北、下南、左西、右东”画图分析，假设 O点为前
哨站雷达，A 点是可疑无人机，B 点是我方无人机，在 C 点（往西走与往北走的
13相遇点）相遇，OA=100，OB=150。所求=V /V ，问“我方无人机速度是可疑
我方 可疑
无人机的多少倍”，S/t=V，虽然没有给出时间，但时间相同（A→C 与 B→C 的
时间相等），速度和路程成正比，V /V =S /S =BC/AC。利用特殊三角形
我方 敌方 我方 敌方
三边关系，∠ACO为直角，两直线平行，内错角相等，则∠OAC=30°，∠AOC=60°，
已知 OA=100，30°直角三角形的三边关系为 1：√3：2，则 OC=50，AC=50√3，
4
BC=200，所求=200/50√3=4/√3= √3，对应C 项。【选C】
3
【注意】
1.一个在 A出发，一个在 B出发，二者同时出发、同时到达 C点，说明二者
的时间相同。
2.本题难点在于图，如果图画不出来，可能无法求解。
11.（2021 四川）一块长方形土地 ABCD 中绘有 3 条会侧线，如图所示。已
知AE和 CF垂直于对角线 BD，AE、EF分别长 8米和12米。问整块土地的面积为
多少平方米？
A.96 B.156
C.160 D.240
14【解析】11.“已知 AE和CF垂直于对角线 BD”，∠BEA=∠CFD=90°，问“整
块土地的面积为多少平方米”。△AEB与△CFD 全等（可以观察图，或进行证明：
∠BEA=∠CFD=90°，连接 BD对角线，内错角相等，∠EBA=∠CDF，三角形中两个
角相等，说明第三个角相等，说明二者相似，且对应边相等→AB=CD）。AE=CF=8，
EF=12，假设 BE=FD=x，长方形面积=长*宽，但长和宽未知，本题可以拿尺子进
行测量，或只看△BAD，在长方形中，对角线平分整个长方形的面积，所求=2*
△BAD。
方法一：△AEB∽△DEA（∠BEA=∠AED，∠EBA+∠EAB=∠EAB+∠EAD→∠EBA=
∠EAD，两个角相等，则第三个角肯定也相等），BE/AE=AE/DE，x/8=8/（12+x），
方程不好直接求解，可以进行尝试，当x=4，4/8=8/（12+4），满足。BD=4+12+4=20，
S =1/2*20*8=80，S =80*2=160，对应C 项。
△BAD 长方形
方法二：连接AC，长方形 ABCD中，对角线相等，BD=AC，由于AE 垂直于对
角线，∠AED=90°，AE=8，对角线交于O点，且互相平分，已知EF=12，则 EO=6，
在直角三角形中，两直角边为 6、8，说明斜边为 10=AO=OC，则AC=10+10=20=BD。
【选C】
【注意】切入点：相似三角形→对应边、高成比例。
15【注意】排列组合：排列组合题目会更难，概率问题难是由于涉及排列组合
的那部分较难。
1.概念：
（1）分类用加法（造句→要么……要么……）。
（2）分步用乘法（造句→既……又……；先……后……）。
（3）有序用排列（A：不可互换）。无论要求选出几个主体，先选出 2个主
体，调换顺序，如果对结果有影响，说明存在顺序，不可互换→排列（A）；若
调换顺序对结果无影响，说明与顺序无关，可以互换→组合（C）。假设选 1 名
男生和1名女生回答问题，只需将学生选出来，不存在顺序；若先选的同学回答
16例 1（数量），后选的同学回答例 2（资料），先选女生→女生为例 1，男生为
例2，先选男生→男生为例 1，女生为例2；结果不同，与顺序有关。
（4）无序用组合（C：可以互换）。
2.题型：
（1）情况数少：枚举法（凑数字），依照次序（列表：不重不漏）。如用
1斤、2 斤、5斤如何凑出 9斤，此时可以考虑枚举法。
（2）必须相邻（必须连续）：捆绑法，先捆再排（先捆要相邻的元素成一
个“大胖子”，注意内部有无顺序，再将“大胖子”与剩余的元素排列）。例如
A、B、C、D四个人站成一排要照相，其中A、B要相邻，使用捆绑法。A、B捆在
一起变为“大胖子”，内部存在顺序，AB形成一个“大胖子”，再与 C、D进行
排列。
（3）不能相邻（不能连续）：插空法，先排再插（先安排可以相邻的元素，
注意内部顺序，形成若干个空位，将不相邻的元素插入空中）。例如 A、B、C、
D 排成一排照相，A、B 不能相邻，使用插空法，先安排可以相邻的 C、D，C、D
首尾形成3个空位，再选 2个空将A、B插入空位中。
3.正难反易（正面麻烦，从反面切入）：总情况数-反面情况数。
4.插板法（同素分堆）考查不多，n个相同元素分给 m个人，要求每人至少
1个，情况数=C（n-1,m-1）。
A（n,m）=n*（n-1）*（n-2）*……*（n-m+1），从下角标 n 开始往下乘，
一共乘上角标m个数
C（n,m）=[n*（n-1）*（n-2）*……*（n-m+1）]/[m*（m-1）*（m-2）*……
*1]，从上角标 m开始往下乘，一直乘到底
特殊：C（n,m）=C（n,n-m）；A（n,1）=C（n,1）；A（n,n）；C（n,n）
【注意】排列组合计算：
1.A（n,m）=n*（n-1）*（n-2）*……*（n-m+1），从下角标n开始往下乘，
一共乘上角标m个数。例如 A（5,2）=5*4=20；A（6,3）=6*5*4。
172.C（n,m）=[n*（n-1）*（n-2）*……*（n-m+1）]/[m*（m-1）*（m-2）*……
*1]，相当于分数，分子→A（n,m），分母→从上角标 m 开始往下乘，一直乘到
底（乘到1）。例如C（5,2）=（5*4）/（2*1）；C（6,3）=（6*5*4）/（3*2*1）。
3.特殊：
（1）C（n,m）=C（n,n-m）。例如C（10,9）=C（10,1）=10，从 10个同学
中选出9个同学打扫卫生，相当于从 10个同学中选出 1个同学不打扫卫生。
（2）A（n,1）=C（n,1）=n。n个元素中选1 个，不涉及排序，一般不写为
A（n,1），往往写为 C（n,1）=n。
（3）A（n,n）：n 的阶乘，全排列。记忆→A（2,2）=2*1=2、A（3,3）=3*2*1=6、
A（4,4）=4*3*2*1=24、A（5,5）=5*4*3*2*1=120、A（6,6）=120*6=720。
（4）C（n,n）=1。如C（5,5）=C（10,10）=C（8,8）=C（7,7）=1。
12.（2023吉林）像中国的回文联“洞帘水挂水帘洞，山果花开花果山”一
样，如果将一个数的数字倒排后所得的数仍是这个数，这样的数称为回文数，例
如11，22，343，565，1881，20102等，在所有三位数中回文数共有：
A.81 个 B.90 个
C.99 个 D.100 个
【解析】12.“回文数”即正反读（从左往右、从右往走）都一样；问“三
位数中回文数共有多少个”，排列组合问题。三位数涉及百位、十位、个位，取
值范围是在0～9中选择；百位只能从1～9这 9个数字中选1个，因为百位不能
为0（否则不满足三位数），情况数为C（9,1），“回文数”中百位和个位相同
（当百位确定，个位也确定）；十位：从0～9这10个数中随便选1个，情况数
为C（10,1）；分步相乘，所求=C（9,1）*C（10,1）=10*9=90，对应 B 项。【选
B】
【注意】
1.切入点：排列组合问题→分类相加、分步相乘。
2.如果是“四位数的回文数”，千位和个位相同，百位和十位相同，只需将
千位和百位搞定即可。
1813.（2023 联考）教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、
练习作业和问卷考试五部分学习内容组成。学员需先后完成这五部分学习内容，
其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习的顺序共有：
A.120 种 B.72 种
C.36 种 D.24 种
【解析】13.问“学员安排学习的顺序共有多少种”，排列组合问题；“其
中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成”，五个内容对应5个方框，论
坛交流与练习作业不在首尾，从中间3个位置中选出2个，完成不同的任务，存
在顺序，为A（3,2），或写为“C（3,2）*A（2,2）→先选2个位置，再将 2个
主体安插进去时存在顺序”；剩余3个主体对应 3个位置，存在顺序，为 A（3,3）；
分步相乘，所求=A（3,2）*A（3,3）=6*6=36，对应C项。【选C】
【注意】
1.切入点：排列组合问题→优先特殊需求。
2.本题也可以先安排首尾，从阅读资料、观看视频、问卷考试三个主体中选
出 2 个安排在首尾中，存在顺序，为 A（3,2），剩余 3 个主体对应 3 个空，存
在顺序，为A（3,3）；分步相乘，所求=A（3,2）*A（3,3）=6*6=36。
3.出现“不相邻（不挨着）”时才考虑插空，而本题“论坛交流与练习作业
均不能在最先和最后完成”，但这二者可以挨着。
4.本题从反面求解并不简单。
14.（2022联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由
式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的 6 个分项，
短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的 3个分项。小林打算去现场观看
19比赛，共选择6个项目，并且每个大项不少于 1个，若所有项目比赛时间均不交
叉，则不同的观赛方式有：
A.83 种 B.84 种
C.92 种 D.102 种
【解析】14.“每个大项不少于 1 个”，说明每个大项都≥1 个；问“不同
的观赛方式有多少种”，为排列组合问题。要求选择6个项目，且每个大项都≥
1个。分类讨论：滑冰总共 3个，则滑雪最少选 3个。要么滑雪3个、滑冰 3个；
要么滑雪4个，滑冰 2个；要么滑雪5个，滑冰 1个。
方法一：正面求解。
（1）3 个滑冰、3 个滑雪：既要滑冰从 3 个中选择 3 个，为 C（3,3）；又
要滑雪从 6个中选择 3个，为C（6,3）；分步相乘，情况数=C（3,3）*C（6,3）
=1*（6*5*4）/（3*2*1）=20。
（2）2个滑冰、4个滑雪：滑冰从 3个中选择 2个，为 C（3,2）；滑雪从 6
个中选择 4 个，为 C（6,4）；分步相乘，情况数=C（3,2）*C（6,4）=C（3,2）
*C（6,2）=45。
（3）1个滑冰、5个滑雪：滑冰从 3个中选择 1个，为 C（3,1）；滑雪从 6
个中选择 5 个，为 C（6,5）；分步相乘，情况数=C（3,1）*C（6,5）=C（3,1）
*C（6,1）=3*6=18。
综上，分类相加，所求=18+45+20=83，对应 A项。
方法二：正难则反（从反面求解）。“每个大项不少于 1 个”的反面是 0
个，要选择6个项目，不能是只选滑冰（滑冰只有 3个分项），因此反面是只选
滑雪，总情况数是从 6+3=9 个里选 6 个，为 C（9,6）。反面情况数为 6 个滑雪
选 6 个，为 C（6,6）。所求=C（9,6）-C（6,6）=C（9,3）-1=9*8*7/（3*2*1）
-1=84-1=83，对应A 项。【选A】
【注意】每个大项都≥1个，有同学先从 6个滑雪中选1个，再从滑冰中选
1个，由于要选择6 个项目，再从剩余7个中选 4个，错误列式为“C（6,1）*C
（3,1）*C（7,4）”，这么做是存在重复的。假设滑雪→A、B、C、D、E、F，滑
冰→x、y、z，C（6,1）选A，C（3,1）选x，C（7,4）选B、C、D、E；与 C（6,1）
20选B，C（3,1）选x，C（7,4）选A、C、D、E；这种情况算了2次，而实际这是
同一种情况。
【注意】概率问题：分为两大类。
1.给情况求概率（题目当中给了一些情况，求概率）：P=满足要求的情况数
/所有的情况数。
2.给概率求概率（题目中给了一些概率，求概率）：分类用加法，分步用乘
法。
3.正难反易：P =1-反面情况概率（P ）。
正 反
15.（2022广东）某街道对辖内 6个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结
果显示，有2个社区的垃圾分类考核不通过。如果从 6个社区中随机抽取 3个进
行现场检查，则抽取的社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区的概率为：
A.1/5 B.1/2
C.2/3 D.4/5
【解析】15.“有 2 个社区的垃圾分类考核不通过”，说明有 4 个社区考核
通过，给情况求概率，P=满足条件的情况数/总的情况数。总的情况数：从 6 个
社区中随机抽取3个，为C（6,3）=6*5*4/（3*2*1）=20种；满足条件的情况数：
分类讨论，可以是 1 个不通过、2 个通过；也可以是 2 个不通过、1 个通过。正
面情况比较麻烦，正难则反，反面→要么考核全通过，要么考核全不通过，但不
通过的社区只有2个，则反面情况为抽查的3 个社区全通过，从4个考核通过的
21社区中选择 3 个，为 C（4,3）=C（4,1）=4，反面概率=4/20=1/5，所求=1-P
反
=1-1/5=4/5，对应D 项。【选D】
【注意】切入点：概率问题→给情况求概率。
16.（2022 事业单位）有六位高中生，身高分别为 165cm、168cm、171cm、
172cm、174cm、178cm。从这六位高中生中任意选两位，高度差为 3cm的概率为：
A.1/5 B.2/15
C.4/15 D.1/10
【解析】16.给情况求概率，P=满足条件的情况数/总的情况数。“从这六位
高中生中任意选两位”，总情况数=C（6,2）=6*5/（2*1）=15；满足条件的情况
数：要求“高度差为3cm”，进行枚举，满足的有 165cm与168cm、168cm与 171cm、
171cm与 174cm，满足条件的情况数=3种，P=3/15=1/5，对应A项。【选 A】
【注意】切入点：概率问题→给情况求概率。
17.（2023联考）某电子元件制造厂有甲、乙、丙三个车间，甲、乙、丙三
个车间的产量分别占总产量的 5%、70%、25%，且甲、乙、丙三个车间的次品率
依次为4%、3%、2%。任取一件产品，取到次品为乙车间制造的概率是：
A.15% B.45%
C.75% D.85%
【解析】17.在资料分析、数量关系中，遇到“率”，只要不认识，都当作
比重，次品率=次品数量/总量。给情况求概率，P=满足条件的情况数/总的情况
数，任取一件产品，取到次品为乙车间制造的概率，总的情况数是次品总数（从
次品总数中选1个），满足条件的情况数是乙车间的次品数（从乙车间的次品数
中选 1 个）。“甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产量的 5%、70%、25%”，
给比例、求比例，考虑赋值，赋值总量为 1000，则甲车间总量为 1000*5%=50，
乙车间总量为 1000*70%=700，丙车间总量为 1000*25%=250；“甲、乙、丙三个
车间的次品率依次为 4%、3%、2%”，甲、乙、丙三个车间的次品数依次为 50*4%=2、
22700*3%=21、250*2%=5，次品总数=2+21+5=28 件。P=21/28=3/4=75%，对应 C项。
【选C】
【注意】切入点：概率问题→给情况求概率。
【注意】容斥原理：
1.公式：
（1）两集合：A+B-A∩B=总数-都不。
（2）三集合：
①标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
②非标准型：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不。满足两项即只满足
两项，满足三项即只满足三项。
③识别：
a.题目中出现“既……又……”，出现 A∩B、B∩C、A∩C，用标准型公式。
b.题目中没有“既……又……”，出现满足两项或满足三项，用非标准型公
式。
2.画图法：
（1）画圈圈（两集合画两个圆圈，三集合画三个圆圈），标数据。存在都
不（圆圈以外、方框以内）时，先画圆圈，再画方框。
（2）从里到外，注意去重。
23（3）数据在公式中无法体现时只能使用画图法，题干中出现只满足某个条
件，例如只 A、只 B、只 C，这些数据在公式中无法体现，需要画图分析，如下
图所示，只A→左月牙（左边蓝色部分），只 B→右月牙（右边蓝色部分）。
18.（2023 浙江）某班级对 70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有
12%的学生两个科目均不及格。已知有 2/3 的学生英语及格，数学及格的学生比
英语多10人，那两科均及格的学生有多少人？
A.31 B.37
C.41 D.44
【解析】18.“有 12%的学生两个科目均不及格”，出现分数、百分数、倍
数、比例，优先考虑比例型倍数特性，都不及格人数/总人数=12%=3/25，总人数
为25的倍数；“某班级对 70多名学生进行数学和英语科目摸底测验”，总人数
为 75，则都不=75*（3/25）=9，英语及格人数=75*（2/3）=50，数学及格人数
=50+10=60；问“两科均及格的学生有多少人”，存在交叉重叠，两集合容斥原
理问题，公式：A+B-A∩B=总数-都不，设 A∩B 为 x，代入数据：50+60-x=75-9
→x=110-66=44（或使用尾数法，结果尾数为 4），对应D项。【选D】
【注意】切入点：有两种情况并且有交叉重叠→两集合容斥原理问题。
19.（2023 事业单位）某机关部门有 65 人，为加强文化建设，组织员工到
电影院观看A、B、C 三部电影，由于三部电影放映时间错开，要求每个员工至少
观看一部电影，有 40%员工选择看电影 A，有 27 人选择观看电影 B，有 48 人选
择观看电影C。则选择观看三部电影的员工至多可以有多少人？
24A.16 B.17
C.18 D.19
【解析】19.“要求每个员工至少观看一部电影”，说明“都不”=0；“有
40%员工选择看电影 A”，看电影 A 的人数=65*40%=26。问“选择观看三部电影
的员工至多可以有多少人”，三部电影都看→三集合容斥原理问题。没有涉及A
∩B、A∩C、B∩C，考虑三集合非标准型公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总
数-都不。假设满足两项的为 x，满足三项的为 y，代入数据，26+27+48-x-2y=65-0
→x+2y=36，问“选择观看三部电影的员工至多可以有多少人”，和为定值，x
和y是此消彼长的关系，要y尽可能大，则x 要尽可能小，x最小取0，则2y=36
→y=18，对应 C项。【选 C】
【注意】
1.切入点：有三种情况并且有交叉重叠→三集合容斥原理问题。
2.满足两项的为 0，如下图所示。
3.若满足三项的为 0，如下图所示。
20.（2023广东）某单位共有员工 200人，其中订阅杂志的人数比只订阅报
纸的人数多88%。则报纸和杂志均未订阅的员工有多少人？
A.36 B.56
C.76 D.96
【解析】20.涉及报纸和杂志，为两集合容斥原理问题，出现“只”，考虑
画图法。两集合画两个圆圈，左边圈为订阅杂志人数，右边圈为订阅报纸人数，
25问“报纸和杂志均未订阅的员工有多少人”，存在都不，方框是总数，“都不”
→圆圈以外、方框以内；都不=总数-两个圆覆盖的部分，“订阅杂志的人数比只
订 阅 报 纸 的 人 数 多 88%” ， 订 阅 杂 志 的 人 数 / 只 订 阅 报 纸 的 人 数
=1+88%=1.88=47/25，则订阅杂志的人数是 47 的倍数，只订阅报纸的人数是 25
的倍数。都不=200-47 的倍数-25 的倍数=200-72 的倍数，当倍数=1，都不
=200-72=128，没有对应的选项；当倍数=2，都不=200-144=56（当倍数=3 时，
72*3＞200，不满足），对应B项。【选B】
【注意】切入点：两集合容斥原理——只满足某个条件—画图法。
数量关系猜题技巧（猜题有风险，下手需谨慎）
三、几何问题猜题（列式形式与图形特点）
26【注意】数量关系猜题技巧（猜题有风险，下手需谨慎）→几何问题猜题：
列式形式与图形特点。
【例 1】（2018 北京）本题图中，左边的图形每个小圆的面积为π，那么右
边图形中阴影部分面积为：
A.8π B.64-16π
C.4π+8 D.20
【解析】1.问的是阴影部分的面积，阴影部分面积=正方形（横竖都是 4 个
圆）面积（不带π）-圆面积（带π），根据列式形式，仅B项满足。【选 B】
【例 2】（2019 广东）某小区规划建设一块边长为 10 米的正方形绿地。如
图所示，以绿地的2 个顶点为圆心，边长为半径分别作扇形，把绿地划分为不同
的区域。小区现准备在图中阴影部分种植杜鹃，则杜鹃种植面积为多少平方米？
A.100-25π B.200-35π
C.200-50π D.100π-100
【解析】2.求阴影部分（不规则图形）的面积，考虑平移，把左下角阴影部
分移到上边的红色部分，则阴影部分面积=正方形面积-扇形面积=正方形面积
-1/4圆面积=不带π-带π，排除D项；原式=100-带π，仅A项满足。【选 A】
27【例 3】（2018江苏）如图，在长方形 ABCD 中，已知三角形 ABE、三角形 ADF
与四边形AECF的面积相等，则三角形 AEF与三角形 CEF的面积之比是：
A.5：1 B.5：2
C.5：3 D.2：1
【解析】3.问三角形 AEF 与三角形 CEF 的面积之比，正常求解非常难，“如
图”说明是标准图（没有特殊说明是示意图），观察图形，比2倍大，排除 C、D
项；随便画都有3～4倍，对应A项。【选A】
【例 4】（2023 联考）下图所示是一种帐篷屋顶的示意图，底面是一个长 4
米宽3米的长方形，屋顶高 1米，上棱长2米且平行于底面，那么该帐篷屋顶的
体积是：
A.5 立方米 B.11 立方米
28C.12 立方米 D.24 立方米
【解析】4.问“帐篷屋顶的体积”，长方体体积=长*宽*高=4*3*1=12，如果
是满满当当的长方体，体积才 12，而帐篷的体积要＜12，排除C、D项；前、后、
左、右都被压缩，体积不可能为11，应该连一半都不到，体积＜6，猜A 项。【选
A】
数量关系猜题技巧（猜题有风险，下手需谨慎）
三、几何问题猜题（列式形式与图形特点）
四、概率为 1猜题（正面概率+反面概率=1）
【注意】概率为 1 猜题：正面概率+反面概率=1，若发现某 2 个选项加和为
1，则一个是反面概率、一个是正面概率，一个是大概率，一个是小概率，看题
目是大概率还是小概率即可。
【例 1】（2016 江苏）一辆公交车从甲地开往乙地需经过三个红绿灯路口，
在这三个路口遇到红灯的概率分别是 0.4，0.5，0.6，则该车从甲地开往乙地遇
到红灯的概率是：
A.0.12 B.0.50
C.0.88 D.0.89
【解析】1.概率问题。发现 A 项+C 项=1，问“遇到红灯的概率”，分类讨
论：遇到1个红灯、遇到 2个红灯、遇到3个红灯都属于遇到红灯，遇到红灯是
大概率，猜C项。【选 C】
【注意】遇到红灯的反面为全部都是绿灯，反面属于小概率。
【例 2】（2021 联考）某公司职员小王要乘坐公司班车上班，班车到站点的
时间为上午7点到8 点之间，班车接人后立刻开走；小王到站点的时间为上午 6
点半至7点半之间。假设班车和小王到站的概率是相等（均匀分布）的，那么小
王能够坐上班车的概率为：
A.1/8 B.3/4
29C.1/2 D.7/8
【解析】2.概率问题。发现 A项+D项=1，从 A、D项中猜答案；问的是能够
坐上班车的概率，如果概率为1/8，说明这个班不上也罢，可以从常识考虑，肯
定要选择 7/8，或已知“班车到站点的时间为上午 7点到8点之间”，而小王到
站点的时间为上午6 点半至7点半之间，猜D 项。【选D】
数量关系备考建议
1.巩固提高、重点突破
工程、经济利润、容斥原理、排列组合与概率、几何、行程
2.考场策略，有舍才有得！（10-15分钟，一半以上）
目标明确，专项突破。考场上抓易杀熟，有舍有得
【注意】数量关系备考建议：不要全部放弃；代入排除法、方程法是兜底的
方法（将倍数特性、尾数特性、奇偶特性全部用上会更快）。
1.巩固提高、重点突破：工程、经济利润、容斥原理、排列组合与概率、几
何、行程。其中工程、经济利润、容斥原理问题相对简单些，但考查频率不高；
再将排列组合与概率、几何、行程问题中的简单题拿下。
2.考场策略，有舍才有得（10～15分钟，一半以上）！无论考查什么考试，
做题时间都是不够的，一定要将相关的时间分配好。
3.目标明确，专项突破（三大方法和简单题先拿下；有额外时间再突破难题）。
考场上抓易杀熟，有舍有得！
【答案汇总】
1-5：BBDAB；6-10：CABCC；11-15：CBCAD；16-20：ACDCB
30遇见不一样的自己
Be your better self
31
