文档内容
强化提升-数资 4
（笔记）
主讲教师：蒋长纯
授课时间：2024.05.03
粉笔公考·官方微信强化提升-数资 4（笔记）
数学运算：
一、行程问题
二、几何问题
三、排列组合和概率
四、容斥问题
【注意】数学运算：本节课的难度比上节课高很多，因为这四类题对个人有
要求，一个学生在学数量关系的时候最次也能学会三个题型。
1.行程问题：必有一道。会涉及到画图和背公式，做题的时候通常会考查时
间段内会干点什么，在这个时间段内容易乱。
2.几何问题：必有一道。涉及到原理，高中的时候老师只教代数，几何不怎
么教，导致我们对几何的原理了解不够，但普通的几何原理还是可以学的。
3.排列组合和概率：各有一道。概率本身不难，而排列组合“致命”的问题
是分清A和C，正常是按照言语角度分析，但是用数学逻辑也能解释。
4.容斥问题：随缘，最简单。需要背公式，两者容斥、三者容斥、画图容斥、
容斥最值（在本套题中没有出现，故不进行讲解），背下来公式就比较简单。
行程问题
内容：
a、基础行程
b、相对行程
【注意】行程问题：
1.基础行程：往往是一个人跑，在考试中相对简单，实在不行还可以列方程。
2.相对行程：可能涉及到两个或两个以上的人，过程就会比较乱，把这个“乱”
捋清楚，相对行程做起来也不难。
1.基础行程
考查内容：S=V*T的三量关系、等距离平均速度、火车过桥
1（1）基本公式考查：路程=速度*时间
（2）等距离平均速度=S /T =2S÷（S/V+S/V）=2V V/（V+V）
总 总 1 2 1 2 1 2
【拓展知识点】火车过桥
火车完全通过桥走的路程：S =S +S
路程 桥 车
火车完全在桥上走的路程：S =S -S
路程 桥 车
【注意】基础行程——考查内容：S=V*T的三量关系、等距离平均速度、火
车过桥。
1.基本公式考查：路程=速度*时间→S=V*T；做行程问题可以用倍数特性，
做题的时候可以先把公式写出来，看看能不能根据问题推导出答案。
2.等距离平均速度：强调等距离。假设有一段路，去的时候速度为 V，回的
1
速度为 V，不管是去还是回，路程都是 S，路程相同，叫作等距离；要求 V 和
2 1
V 的平均速度，就可以用等距离平均速度公式：S /T =2S÷（S/V+S/V）=2V V/
2 总 总 1 2 1 2
（V+V）。
1 2
3.火车过桥（近两年出现得不多，但是偶尔也会出）：考场上记不清公式就
画图；唯一难点是判断路程。
（1）火车完全通过桥走的路程：S =S +S 。假设你就是站在车头的小人，
路程 桥 车
火车前进的过程中，人的位置是不变的，可以发现，火车完全通过桥就是桥长+
车长；从车头上桥到车尾离开桥，总路程=桥长+火车车身长度=火车速度*过桥时
间。
2（2）火车完全在桥上走的路程：S =S -S 。假设你就是车长，你只需要
路程 桥 车
观察自己的位置，火车完全在桥上，说明整个车都在桥上，总路程=桥长-火车车
身长度=火车速度*过桥时间。
（3）这种题型近几年没出过，但是公务员考试喜欢出“散题战”，即好几
年不出，突然出现一道，故大家可以练习一下。
1.（2023 广东）某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，
最后竞走到达终点。一位选手在上午 7 点出发，9 点到达了终点，全程未休息，
其蛙跳、游泳和竞走的速度分别为每小时 2千米、3千米和 6千米。如果蛙跳和
竞走的路程相同，则所有项目的总路程是：
A.无法计算 B.6千米
C.8千米 D.12千米
【解析】1.求总路程，S=V*t。先找 V 和 t，结合题目可知时间 t=2 小时，
说明结果是2 的倍数，排除 A项。按照个人的思维，就要考虑三种活动分别用了
多长时间，但是本题都没有给；关键点“蛙跳和竞走的路程相同”，满足等距离
平均速度的要求，蛙跳的速度为2千米/小时、竞走的速度为6千米/小时，则两
者的平均速度=2VV/（V+V）=2*2*6/（2+6）=24/8=3 千米/小时，而游泳的速
1 2 1 2
度正好是 3 千米/小时，可得全程的平均速度为 3 千米/小时，则 S=V*t=3*2=6，
对应B项。【选 B】
【注意】等距离平均速度推导：等距离平均速度强调的是路程相同，平均速
度=S /t ，以 V 的速度从 A 走到 B、用时为 t，以 V 的速度从 B 走到 A、用时
总 总 1 1 2
为t，该过程走了 2S，而t=S/V，t =S/V，则 ̅=S /T =2S÷（S/V+S/V）=2V V/
2 1 1 2 2 总 总 1 2 1 2
3（V+V）。例1 可以用该公式是因为题目明确说“蛙跳和竞走的路程相同”，“路
1 2
程相同”就叫等距离。
2.（2020 事业单位）甲骑车从 A地前往3千米外的 B地，出发时均匀加速，
骑行到一半路程时的速度为 30千米/小时。此后均匀减速，到达 B地时的速度为
20千米/小时。则甲全程用时为多少分钟？
A.不到9 分30秒 B.9分30秒～10 分之间
C.10分～10分30秒之间 D.超过10分30 秒
【解析】2.求甲的时间。一段路程分了两段，起始速度是 0，骑到一半的时
候速度为30千米/小时，到 B地时速度为 20千米/小时，属于匀变速运动；由于
是在中点开始变速，故 S=S=1.5；V =（0+30）/2=15，V=（30+20）/2=25，则
1 2 1 2
t=1.5/15=0.1h，t=1.5/25=0.06h，所求=0.16*60=9.6分钟，在 B项的范围内。
1 2
【选B】
4【注意】
1.例1画图：分为三段→蛙跳、游泳、竞走，其中蛙跳和竞走的平均速度是
3，游泳的速度是 3，三者是不同行程上代表的速度，只能考虑混合，不能考虑
叠加。
2.“匀变速”指单位时间内加的速度是相同的，例如你给我打工，你干了
10分钟我给你 10块钱，那你永远都是 10分钟涨 10块，这就叫作匀变速。
2.相对行程：
做题思维：判题型、甩公式、填已知、求位置
直线相遇：同时相向而行，S =（V+V）*t
和 1 2
直线追及：同时同向而行，S =（V-V）*t
差 1 2
（S ：两人同时出发时相差距离）
差
环形相遇：同时反向而行，S =（V+V）*t
和 1 2
环形追及：同时同向而行，S =（V-V）*t
差 1 2
直线两端多次往返相遇：（2n-1）S=（V+V）*t 。
1 2 遇
线形一端出发第n次相遇：（2n-1）S=V *t 。
和 遇
注：同起点环形相遇追及
相遇追及一次，S为一圈
相遇追及 n次，S为n圈
【注意】相对行程：相遇→V *t，追及→V *t。
和 差
1.做题思维（只适用于简单题，难题容易出问题）：判题型、甩公式、填已
知、求位置。
2.注：同起点环形相遇追及；相遇追及一次，S为一圈，相遇追及n次，S
为n圈。例如我和小李同时同点同向出发，我跑了一圈后追上小李，多的虚线部
5分正好是一个圆，叫作扣圈；必须要求两人的起点相同。
3.（2023 联考）为加快推进县域交通基础设施内畅外联、互联互通，A、B
两地新修建了一条高速公路。甲、乙两辆汽车在这条高速公路上同时从 A、B 两
地相向开出，甲车每小时行驶 74 千米，乙车每小时行驶 65千米，两车在距中点
18千米处相遇。这条连通 A、B两地的高速公路全长是：
A.139千米 B.256千米
C.278千米 D.556千米
【解析】3.本题在考试中出现，想不明白就跳过，在考试中属于难题。行程
问题，求高速公路的全长。根据题意画图，甲乙两人相向而行，属于相遇问题，
S=V *t=（74+65）*t=139*t，说明 S是139 的倍数，排除 B项；根据题意可得：
和
S =S/2+18，S =S/2-18，则 S -S =18*2，该过程是追及过程，可得 36=（V
甲 乙 甲 乙 甲
-V ）*t=9t→t=36/9=4，说明两人一共跑了 4 小时；所求=139*4=556，对应 D
乙
项。【选D】
6【注意】本题表面上是相遇问题，但是分析相遇过程的时候时间不知道，需
要转化成追及过程思考；属于难题，在公务员考试中遇到难题不要做，做简单的
题目。
4.（2023 事业单位）甲、乙两运动员在周长为 400 米的环形跑道上同向竞
走，已知乙的平均速度是每分钟 80 米，甲的平均速度是乙的 1.25倍。如果甲在
乙前面100米处，则经过多少分钟后，甲第一次追上乙？
A.15 B.18
C.20 D.24
【解析】4.“环形跑道”就是圆，“乙的平均速度是每分钟 80 米，甲的平
均速度是乙的 1.25倍”→V =80*1.25=100；“甲在乙前面 100米处”说明两人
甲
不是同起点出发，则甲追乙要追上 400-100=300米，t=S/V =300/（100-80）=15，
差
对应A项【选 A】
5.（2020 山东）甲、乙两人在一条 400 米的环形跑道上从相距 200 米的位
置出发，同向匀速跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了 2000 米。则甲的速
度是乙的多少倍？
A.1.2 B.1.5
C.1.6 D.2.0
【解析】5.甲乙两人同时出发，不管谁追谁，两人的时间相同；正常情况下
列式：V *t/V *t=S /S ，由于 t 相同，故 V /V =S /S 。甲和乙开始时相
甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙
距200米，甲第一次追上乙的时候跑了 200米，第一次追上之后两人同起点开始
出发，此时追上一次扣一圈，追上三次的时候多追两次，则扣了 2*400米；“甲
7第三次追上乙的时候，乙跑了 2000 米”，则 V /V =S /S =（2000+200+2*400）
甲 乙 甲 乙
/2000=3000/2000=1.5，对应B项。【选 B】
【注意】
1.环形相遇问题在第一圈是重点，如果第一圈都在起点，就属于扣圈；如果
甲和乙在跑道的两端，要想追及，两人之间的距离是半圈 200米，此时无法实现
扣圈；故一定要注意环形的第一圈两人是否在同一起点，如果不在同一起点，甲
要想追上乙，需要跑 200+一圈，当甲第一次追上乙之后，两人就是同起点出发。
故环形问题一定要关注第一圈在不在起点上，像这种不在起点的，就要先把相差
的距离追上；如果在同一个起点，就是扣圈。
2.要是觉得学数学的压力大，先学倍数和工程，先把这两个题型学会，再往
上延伸。
6.（2021 新疆）甲、乙两地分别为一条河流的上下游，两地相距 360千米，
A 船往返需要 35 小时，其中从甲地到乙地的时间比从乙地到甲地的时间短 5 小
时。B船在静水中的速度为 12千米每小时。则其从甲地开往乙地需要多少小时？
A.12 B.20
8C.24 D.40
【解析】6.“甲、乙两地分别为一条河流的上下游，从甲地到乙地的时间比
从乙地到甲地的时间短 5 小时”说明甲→乙是顺水、乙→甲是逆水，则可得 t
顺
=（35-5）/2=15，t =（35+5）/2=20；求 B 船从甲地开往乙地需要多少小时，
逆
所求 t’ =S/（V+V ）。需要求出水速，分析 A 船：顺流→（V+V ）*15=360
顺 B 水 A 水
①，逆流→（V -V ）*20=360②，①-②得：2V =24-18=6→V =3；则t’ =360/
A 水 水 水 顺
（12+3）=24，对应 C项。【选C】
流水行船问题：
顺水：（V +V ）*T=S
船 水
逆水：（V -V ）*T=S
船 水
【注意】流水行船问题：顺水→（V +V ）*T=S，逆水→（V -V ）*T=S；
船 水 船 水
重点是搞清楚顺水还是逆水，这种题要么围饶路程展开，要么围饶水速展开。
10.（2020 国考）部队前哨站的雷达监测范围为 100 千米。某日前哨站侦测
到正东偏北30°100千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通
知正南方向150 千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时
间后，正好在某点与可疑无人机相遇。则我方无人机速度是可疑无人机的多少
倍？
A.√ +1 B.3（√ -1）
C. √ D. √
9【解析】10.整个题目中没有和速度相关的信息，两者同时出发，存在 t 相
同的情况，则 V/V=S/S。根据题意可知 OA是半径，OA=100，Rt△OAC中，30°
1 2 1 2
角所对的直角边是斜边的一半，可得 OC=50；30°角的直角三角形三边之比为 1：
√ ：2，可得AC=50√ ，对应可疑无人机的距离；我方无人机在前哨站的 150 千
米处，即 OB=150，可得 S=50+150=200；则 V/V=S/S=200/50√ =4√ /3，对应
1 1 2 1 2
C项。【选C】
【注意】本题只有一个 30°，做几何题的时候只要出现 30°，往往答案与√
有关，而本题正好是“A/B”，没有其他加减关系，故可以直接蒙 C 项（C 项是
唯一一个“干干净净”只和√ 有关的选项）。
几何问题的相关蒙题技巧
30°、60°、120°→猜√ ；
45°→猜√
【注意】几何问题的相关蒙题技巧：
1.如果涉及到 30°、60°、120°→猜√ 。
2.如果涉及到 45°（等腰直角三角形，三边关系为 1：1：√ ）→猜√ 。
10【拓展 1】（2014 辽宁）一菱形土地面积为√ 平方公里，菱形的最小角为
60°。如果将这一菱形土地向外扩张变为一正方形土地，问正方形土地边长最小
为多少公里？
A. √ B. √
C. √ D.2√
【解析】拓展 1.题目出现60°，蒙带√ 的。菱形面积=四个三角形的加和，
存在60°角，算的时候一般也是往√ 走。【选B】
【注意】S =对角线乘积/2。菱形的最小角是 60°，说明∠ABC=120°，则
菱形
∠ABD=60°，菱形图题的面积为√ ，则 S =S =√ /2；而 S =1/2*底*高，则
△ABD △CBD △
会有一个边跟√ 有关，要延长肯定要围饶长边走，故往√ 的方向推。
【拓展2】（2017福建）A、B两地离小东的直线距离均为 2米，A在小东的
北偏东40°，B在小东的南偏东 20°，请问 AB两地之间的直线距离是多少米？
A.1 B.2
C. √ D.2√
【解析】拓展 2.画方位图→上北下南左西右东，连接 AB，∠AOB=120°，出
现 120°角的三角形，优先往√ 蒙，排除 A、B 项；观察图形，过 O 点作三角形
11的高，出现两个 30°角的直角三角形，而题目给出“A、B 两地离小东的直线距
离均为2米”，即 OA=OB=2，则OC=1，AC=BC=√ ，AB=2√ ，猜D项。【选D】
【注意】公式：
1.周长：正方形→4a；长方形→2（a+b）；圆形→2πR；弧→n°/360°*2
πR。
2.面积：正方形→a²；长方形→ab；三角形→ah/2；圆形→πR²；扇形→n°
/360°*πR²；梯形→1/2（a+b）h；菱形→对角线乘积/2。
3.表面积：正方体→6a²；长方体→2（ab+bc+ac）；圆柱→2πR²+2πRh；球
→4πR²。
4.体积：正方体→a³；长方体→abc；柱体→Sh；锥体→1/3Sh；球体→4/3
πR³。
12特殊三角形相关
常考点：a2+b2=c2、特殊角三角形三边关系（题目只要出现角度往往很好做）
1.常考勾股数：（3、4、5）n、（5、12、13）、（8、15、17）、（7、24、
25）
2.
【注意】特殊三角形相关——常考点：a²+b²=c²（勾股定理）、特殊角三角
形三边关系（题目只要出现角度往往很好做）。
1.常考勾股数：（3、4、5）n→（6、8、10）、（5、12、13），前三组经
常出现；（8、15、17）、（7、24、25），后两组出现过，但频率很低。
2.特殊角三角形三边关系：
（1）30°的直角三角形对应三边比例为1：√ ：2。
（2）45°的直角三角形对应三边比例为1：1：√ 。
（3）120°的等腰三角形对应三边比例为 1：1：√ 。
三角形面积比例
1.高（底）相同的三角形，面积比等于底（高）之比
132.相似三角形，对应边（高）之比等于相似比，面积比等于相似比的平方，
体积比等于相似比的立方
【注意】三角形面积比例：
1.高（底）相同的三角形，面积比等于底（高）之比。如图所示，S 和 S
1 2
共用一条高，故面积之比=底之比。
2.相似三角形：三个角都相等的三角形叫作相似三角形。相似三角形的对应
边（高）之比等于相似比，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
如图所示，相似比=AB/CD，假设△AOB 的底为 a、高为 h，△COD 的底为 a、高
1 1 2
为 h ，面积之比涉及到两边的乘积，而这两条边都涉及到相似比，故面积比=
2
（AB/CD）²，体积之比=（AB/CD）³。
7.（2024 浙江网友回忆版）一块空地如图所示，AD、BC 均与底边垂直，三
角形 ACD 为等腰直角三角形，且 AG、DE、CF 长度均相等。现在图中阴影部分种
上草皮，已知 DF长80米，BC长160 米，那么草皮面积为多少平方米？
14A.3200 B.3600
C.4000 D.4800
【解析】7.标准的套公式的问题。草皮就是阴影部分，求阴影部分的面积，
即△CGE 和△BCF。“AD、BC 均与底边垂直”说明 AD 和 BC 是高，“三角形 ACD
为等腰直角三角形”说明 AD=CD，AG、DE、CF长度均相等；已知 DF=80，BC=160，
要想求两个三角形的面积，需要知道 CF、GD。只要出现等量关系，就缺谁设谁，
设ED=AG=CF=x，则 AD=CD=80-x，GD=80-2x，则S =1/2*x*160=80x，S =1/2*80*
△BCF △CEG
（80-2x）=3200-8x，所求=S +S =80x+（3200-80x）=3200，对应 A项。【选
△BCF △CEG
A】
【注意】本题的难点在于我们遇到未知数总想把未知数求出来，实际上我们
可以先把能用公式列出来的面积写出来，在几何问题中可能存在数据相消的情况，
如果能写出来就消，如果写不出来，就说明个别条件需要进一步推导；故做数学
题不要停，觉得能写出了就写出来。
158.（2022 事业单位）某兴趣小组进行科学实验。在一个长方体的容器中注
入 5 厘米深的液体，已知这个长方体容器长 45 厘米，宽 35 厘米，高 15 厘米。
现将长方体容器内的液体全部倒入一个圆柱体容器内，已知圆柱体底圆半径为
20厘米，则圆柱体容器内的液体高度约为多少厘米？
A.5.2 B.6.3
C.7.1 D.8.0
【解析】8.求的是高，h=V/S。V=45*35*5，本题出得不严谨，正常应该给出
π是多少，没给的话按照 3.14算，S=3.14*20*20，列完式子先约分，h=45*35*5/
（3.14*20*20）=315/（3.14*16）≈25/4=6+，对应 B项。【选 B】
9.（2022 联考）某疫苗共需接种 2剂次方可达到最佳效果。A市的接种人数
占比统计如下图所示，其中，区域“0”表示尚未接种，区域“1”表示只接种 1
剂次，区域“2”表示已接种 2 剂次。假设 ABC 是四分之一圆面，D、E 是中点，
BDFE是正方形，则该市该疫苗只接种 1剂次的人数占比：
A.超过40%但不到50% B.刚好50%
C.超过50%但不到60% D.超过60%
【解析】9.几何题有一类题可以赋值→本题从头到尾没有数据，可以结合题
干赋值，方便更快地计算。问“该市该疫苗只接种 1剂次的人数占比”。“D、E
是中点”→赋值 AD=DB=BE=EC=1，则圆的半径为2。S =1/4*S =1/4*π*2²=π，
扇形 圆
S =1*1=1、S=0.5，则 S=π-1-0.5≈3.14-1.5=1.64。所求→S/S ≈1.64/3.14
0 2 1 1 扇形
＞50%（1.5没到π的一半），首位商不到 6→结果＜60%，对应C项。【选C】
11.（2021 广东选调）如图三角形中，A、B分别为两条边的中点，则图中阴
影部分面积为三角形总面积的：
16A.1/3 B.1/4
C.2/7 D.3/8
【解析】11.本题是难题。如图标点，连接AB。
方法一：△OAB∽△OCD，若 AB=1，A、B分别为两条边的中点，则 CD=2，面
积比是相似比的平方，故 S /S =4/1；△AOB和△BOD 同高，而OD=2OA，则阴
△COD △AOB
影部分均为2，梯形面积就是 9；△ABE∽△CDE，相似比是 1：2，则面积比是 1：
4，差3份对应的是梯形的 9，1份是 3，总体是12，所求=4/12=1/3，对应A项。
方法二：蝴蝶定理。连接 AB，在梯形中，A、B 分别为两条边的中点→AB：
CD=1：2，根据蝴蝶定理可知，蓝色、灰色、红色、灰色四个三角形的面积之比
为 1：2：4：2，则梯形面积对应 9，A、B 为中点，3 份对应 9，1 份对应 3（空
白三角形），故所求=4/12=1/3，对应 A项。【选 A】
17【注意】蝴蝶定理：一个梯形，连接两个对角线，将其分为四个部分，假设
上底为a、下底为 b，S：S：S：S =a²：ab：b²：ab。
1 2 3 4
【拓展】（2023 国考）一个三角形公园 ABC 内的道路如下图中实线所示。
已知AE=EF=FB，AD=DC，且黑色部分为人工湖。问公园总面积是人工湖面积的多
少倍？
A.9 B.12
C.16 D.18
【解析】拓展.问公园总面积是人工湖面积的多少倍，AE=EF、AD=DC→E、D
分别为AF和AC 的中点，则ED：FC=1：2，根据蝴蝶定理可知，S ：S ：S ：
△EOD △EOF △FOC
S =1：2：4：2，则 S =3，故 S =12；AE=EF=FB，△ECF、△BCF、△ECA 等
△DOC △AED △AEC
底等高，则S =12/2=6，所求=（12+6）/1=18，对应D 项。【选D】
△ECA
18【注意】几何想高分→收集定理。
纯言纯语：前 11道题目答案→B、B、D、A、B、C、A、B、C、C、A
a、基础概念
题型识别：有多少种情况?有多少种方式？
解题方法：
第一步：看清目标
第二步：分类 or分步
第三步；排列 or组合
19【注意】基础概念：排列组合→分析情况数。
1.题型识别：有多少种情况？有多少种方式？
2.解题方法：
（1）第一步：看清目标。数学题要先看问题。不一定用 A、C，只是数情况
数时A、C比较简单。
（2）第二步：分类（“或”关系→满足一个即可）or分步（“且”关系→
都要完成）。
（3）第三步：排列 or组合。
分类与分步
分类用加法→想要实现目标，方法之间符合“要么„„要么„„”关系，即
任选其一
分步用乘法→想要实现目标，方法之间符合“既„„又„„”关系，即缺一
不可
【课堂小例】从甲地到乙地每天有直达班车 4班，从甲地到丙地每天有直达
班车5班，从丙地到乙地每天有直达班车 3班，则从甲地到乙地共有多少种不同
的乘车法：
【注意】分类与分步：
1.分类用加法→想要实现目标，方法之间符合“要么„„要么„„”关系（“或”
关系），即任选其一。
2.分步用乘法→想要实现目标，方法之间符合“既„„又„„”关系（“且”
关系），即缺一不可。
3.课堂小例：从甲地到乙地每天有直达班车 4班，从甲地到丙地每天有直达
班车5班，从丙地到乙地每天有直达班车 3班，则从甲地到乙地共有多少种不同
的乘车法：
答：一共有 2条道，一条是甲→乙，一条是甲→丙→乙，二者属于并列关系，
每个事情都能实现目标，这就叫分类（是“或”关系），用加法。甲直接到乙有
4种方法；甲→丙共 5种，丙→乙共 3种，若无法到丙，就无法到乙，故这就是
先到丙再到乙，这就是分步（是“且”关系），用乘法。甲→丙共 5种，第一种
20坐飞机，对应丙→乙共3种；甲→丙的第二种做火车，对应丙→乙共3种，以此
类推，共加了 5个3，但若甲→丙有 100种，每种都对应 3种丙→乙，加100 个
3麻烦，故用乘法→5*3。
排列与组合
排列：与顺序有关
组合：与顺序无关
【思考】
从我们参加此次课程的同学中选两个人当正副班长，有多少种情况？
从我们参加此次课程同学中选两个人当班干部，有多少种情况？
【判定标准】从主体当中任意的挑出两个，调换顺序
对结果有影响，与顺序有关（A）
对结果无影响，与顺序无关（C）
【注意】排列与组合：题目中有顺序名词（不好找）；一件事情要想产生顺
序，元素必须有 2个，用a、b和b、a比较，如果结果一样就用C，如果不一样
就用A。
1.排列：与顺序有关，用 A表示。
2.组合：与顺序无关，用 C表示。
3.思考：
（1）从我们参加此次课程的同学中选两个人当正副班长，有多少种情况？
答：正、副班长不同，正、副存在顺序，这就是顺序名词。
（2）从我们参加此次课程同学中选两个人当班干部，有多少种情况？
答：班干部没有区别，故没有顺序名词。
（3）从班上挑出 6名同学和老师去拍照，问是否有顺序？
答：a、b 和b、a都是这 2个人，选出即可，选人阶段是没有顺序的。此时
没有拍照，只是选人。
（4）从班上挑出 6名同学和老师去拍照，老师必须站中间，问是否有顺序？
答：老师必须站中间，需要排位置，故有顺序。此时拍照了，有顺序，顺序
名词→拍照。
21（5）老师从班上选6个人参加演讲，问是否有顺序？
答：现在还没演讲，只是选人，故没有顺序。
（6）老师从班上选6个人参加演讲，少年同学第一个演讲，问是否有顺序？
答：开始演讲了，故有顺序。因此不能靠词性判断，而是要判断该事件是否
开始、进行，若实在判断不了，就用 a、b和b、a区分。
4.判定标准：从主体当中任意的挑出两个，调换顺序。
（1）对结果有影响，与顺序有关（A）。
（2）对结果无影响，与顺序无关（C）。
【注意】排列组合与概率：
1.排列组合问题：
（1）基础概念：
①分类用加法（要么„„要么„„）、分步用乘法（既„„又„„）。
②有序用排列（不可互换）、无序用组合（可以互换）。
（2）经典题型：
①情况数少：枚举法，依照次序。
②必须相邻：捆绑法，先捆再排。
③不能相邻：插空法，先排再插。
（3）正难反易：总情况数-反面情况数。
2.概率问题：
（1）给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。
22（2）给情况求概率：满足要求的情况数/总情况数。
（3）正难反易：1-反面情况概率。
12.（2023 吉林）像中国的回文联“洞帘水挂水帘洞，山果花开花果山”一
样，如果将一个数的数字倒排后所得的数仍是这个数，这样的数称为回文数，例
如11，22，343，565，1881，20102 等，在所有三位数中回文数共有：
A.81个 B.90个
C.99个 D.100个
【解析】12.看不懂题→先看问题→问三位数中回文数共有多少个；回文数
→轴对称；三位数→abc，先排 b（因为在中间）：从0～9这10个数中随便选 1
个，表示为C（10,1）；a和c都只能从 1～9这9个数字中选 1个，因为百位（a）
不能为 0（否则是两位数），且 a 和 c 相同，表示为 C（9,1）。“且”的关系，
分步相乘，所求=C（10,1）*C（9,1）=10*9=90，对应B 项。【选B】
【注意】排列组合不一定用 A 和C，例如分步→“且”关系。
13.（2023 联考）教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、
练习作业和问卷考试五部分学习内容组成。学员需先后完成这五部分学习内容，
其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习的顺序共有：
A.120种 B.72种
C.36种 D.24种
【解析】13.看不懂题→先看问题→问学员安排学习的顺序，需要学 5 次，
因为严格要求 5 个部分。“其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成”
→论坛交流与练习作业不在首尾，先安排首尾，从论坛交流与练习作业之外的 3
个选出2个放在首尾，先a再b和先b再a结果不同，存在顺序，表示为A（3,2）；
剩余 3 部分对应 3 个位置，存在顺序，表示为 A（3,3）；“且”的关系，分步
相乘，所求=A（3,2）*A（3,3）=6*6=36，对应 C项。【选 C】
23【注意】
1.本题这件事不论如何做，都有 1、2、3、4、5的排序，因此不用排（因为
自带排序），但插空法（先排再插）强调的是不相邻，而本题与相邻没关系，强
调的是位置。
2.排列组合只要解释不清就不行。
14.（2022 联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由
式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的 6 个分项，
短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的 3个分项。小林打算去现场观看
比赛，共选择 6个项目，并且每个大项不少于 1个，若所有项目比赛时间均不交
叉，则不同的观赛方式有：
A.83种 B.84种
C.92种 D.102种
【解析】14.问若所有项目比赛时间均不交叉，则不同的观赛方式→要看比
赛，共选择6 个项目，并且每个大项不少于 1个。
方法一：正面求解。分类讨论：
（1）1个滑冰、5个滑雪：滑冰从 3个中选择 1个，仅选项目，无顺序，表
示为 C（3,1）；滑雪从 6 个中选择 5 个，无顺序，表示为 C（6,5）；“且”关
系，分步相乘，情况数=C（3,1）*C（6,5）=C（3,1）*C（6,1）=3*6=18。
（2）2个滑冰、4个滑雪：滑冰从 3个中选择2个，无顺序，表示为 C（3,2）；
滑雪从 6 个中选择 4 个，无顺序，表示为 C（6,4）；“且”关系，分步相乘，
情况数=C（3,2）*C（6,4）=C（3,2）*C（6,2）=C（3,1）*6*5/（2*1）=45。
（3）3个滑冰、3个滑雪：滑冰从 3个中选择3个，无顺序，表示为 C（3,3）；
滑雪从 6 个中选择 3 个，无顺序，表示为 C（6,3）；“且”关系，分步相乘，
24情况数=C（3,3）*C（6,3）=1*（6*5*4）/（3*2*1）=20。
综上，以上三类为“或”关系，分类相加，所求=18+45+20=83。
方法二：正难则反。“选择 6个项目，并且每个大项不少于 1个”的反面是
只有1个大项（只有滑雪或只有滑冰），要选择 6个项目，不能是只选滑冰（滑
冰只有 3 个分项），因此反面是只选滑雪，6 个项目选 6 个，无顺序，表示为 C
（6,6）。总情况数是从 9 个里选 6 个，与顺序无关，表示为 C（9,6）。所求=
总的情况数-只选 1个大项（只选滑雪）=C（9,6）-C（6,6）=C（9,3）-1=9*8*7/
（3*2*1）-1=84-1=83，对应A项。【选A】
【注意】无需对项目排序→无需乘以 A（6,6），因为题目没强调已经去看
比赛。
15.（2022 广东）某街道对辖内 6个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结
果显示，有2个社区的垃圾分类考核不通过。如果从 6个社区中随机抽取 3个进
行现场检查，则抽取的社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区的概率为：
A.1/5 B.1/2
C.2/3 D.4/5
【解析】15.概率与排列组合（逻辑性最强的题目）一起考→因为概率有涉
及找情况数的问题。P=子情况数/总情况数。
方法一：正向思路。先求总的情况数：从6个社区中随机抽取 3个，表示为
C（6,3）=20 种，这是分母，涉及约分，20 的约数为 20、10、5、4、2、1，C
项的分母 3 不在其中，排除 C 项。满足的情况数：从 2 个考核不通过的选 1 个，
只是选人，无顺序，表示为 C（2,1），再从4 个考核通过的选择 2个，表示为 C
（4,2），“且”关系，分步相乘，情况数=C（2,1）*C（4,2）=12 种；从 2 个
考核不通过的选 2个，表示为 C（2,2），从4 个考核通过的选择 1个，表示为 C
（4,1），“且”关系，分步相乘，情况数=C（2,2）*C（4,1）=4种；以上2 类
情况是“或”关系，分类相加，子情况数为 12+4=16种。综上，所求=16/20=4/5，
对应D项。
25方法二：正难则反。反面→要么考核全通过，要么考核全不通过，但考核不
通过的社区只有 2 个，则反面情况仅有 1 种情况→抽取社区中只有考核通过的，
从 4 个考核通过的随机选择 3 个，表示为 C（4,3）=4；总的情况数：从 6 个社
区中随机抽取 3个，表示为C（6,3）=20种；所求=1-反面情况=1-4/20=4/5，对
应D项。【选 D】
16.（2022 事业单位）有六位高中生，身高分别为 165cm、168cm、171cm、
172cm、174cm、178cm。从这六位高中生中任意选两位，高度差为 3cm的概率为：
A.1/5 B.2/15
C.4/15 D.1/10
【解析】16.看问题→“从这六位高中生中任意选两位”→仅选人，没有顺
序，总情况数=C（6,2）=6*5/（2*1）=15，15 无法约分为 10，排除 D 项。无法
再用A、C，则数情况数，要求“高度差为 3cm”，符合要求的情况：165cm与168cm、
168cm与171cm、171cm与174cm，故 P=3/15=1/5，对应 A项。【选A】
概率问题——跟屁虫问题
题型特征：不同的主体，同一个目标（做每件事情的概率相同）
例如：两人坐上同一辆车的概率？两人分在同一组的概率？
解题套路：分步求概率
①固定其中一个
②让另一个实现相同的目标，求概率
【课堂小例】一道题目有 4个选项，问甲，乙两人蒙同一选项的概率为多少？
【注意】概率问题——跟屁虫问题：
1.题型特征：不同的主体，同一个目标（做每件事情的概率相同）。
2.例如：两人坐上同一辆车的概率？两人分在同一组的概率？两个人坐一起
的概率？
3.解题套路：分步求概率。
（1）固定其中一个。简单的题→第一个人的概率是 100%。
（2）让另一个实现相同的目标，求概率。
264.课堂小例：一道题目有 4个选项，问甲，乙两人蒙同一选项的概率为多少？
答：需要一个人先选，一个人后选，例如先安排甲再安排乙，一共 4个选项
可选，甲选一个选项的概率是1；乙在 4个选项中选一个，必须选择和甲一样的，
乙只有1种情况，概率为 1/4，“且”关系，分步用乘法，所求=1*（1/4）=1/4。
【拓展 1】某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝火四周，其
中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为：
A.2/97 B.2/98
C.2/99 D.2/100
【解析】拓展 1.课堂正确率为 66%。不同的主体，同一个目标→跟屁虫原理。
第一个人（小张）从100个位置中随便挑一个坐下，其概率为 1；第二个人（小
李）从剩下的 99个位置中选，二人相邻的位置有 2个，其概率为2/99，所求=1*
（2/99）=2/99，对应C项。【选C】
【注意】题型特征：不同的主体，同一个目标（做每件事情的概率相同）。
【拓展2】某单位工会组织桥牌比赛，共有 8 人报名，随机组成 4队，每队
2人。那么，小王和小李恰好被分在同一队的概率是：
A.1/7 B.1/14
C.1/21 D.1/28
【解析】拓展 2.课堂正确率为 71%。小王和小李→两个主体，在同一队→共
同目标，求概率，为跟屁虫问题。一共 4个队，每队 2人，共 8个位置，先让小
王随便选1个位置，概率为1；小李再选时一共剩余 7个位置，只有 1个满足与
小王在同一队，概率为1/7，所求=1*（1/7）=1/7，对应 A项。【选A】
【拓展3】两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆形旋转木马，那么两
个大人不相邻的概率为：
A.2/5 B.3/5
C.1/3 D.2/3
27【解析】拓展 3.课堂正确率为 51%。看问题→问“两个大人不相邻的概率”，
P =1-P 。不同的主体，同一个目标→跟屁虫问题。环形木马总共 6个位置，
不相邻 相邻
让第一个大人随便选 1 个位置，概率为 1；第二个人在剩余的 5 个位置中选择，
相邻的座位有 2 个（第一个大人的左、右），概率为 2/5，P =1-2/5=3/5，对
不相邻
应B项。【选B】
17.（2023 联考）某电子元件制造厂有甲、乙、丙三个车间，甲、乙、丙三
个车间的产量分别占总产量的 5%、70%、25%，且甲、乙、丙三个车间的次品率
依次为4%、3%、2%。任取一件产品，取到次品为乙车间制造的概率是：
A.15% B.45%
C.75% D.85%
【解析】17.数学题看不懂→先读问题→任取一件产品，取到次品为乙车间
制造的概率→总情必须是次品，子情况恰好是乙车间的。给比例求比例→赋值法。
“甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产量的 5%、70%、25%”→赋值甲车间产
量为 5，乙车间产量为 70，丙车间产量为 25；“甲、乙、丙三个车间的次品率
依次为4%、3%、2%”→甲、乙、丙三个车间的次品数依次为 5*4%=0.2、70*3%=2.1、
25*2%=0.5，次品共 0.2+2.1+0.5=2.8，P=2.1/2.8=3/4=75%，对应C项。【选 C】
跟屁虫问题：题型特征：不同的主体，同一个目标（做每件事情的概率相同）
①固定其中一个；②让另一个实现相同的目标，求概率
【注意】
281.排列组合：数学题中思维最严谨的题型，只要思维中发现有一个地方解决
不了，基本就错了。
2.跟屁虫问题：
（1）题型特征：不同的主体，同一个目标（做每件事情的概率相同）。
（2）方法：
①固定其中一个。
②让另一个实现相同的目标，求概率。
容斥问题
特征：多个条件（一般 2条件或者 3条件）+集合
方法：
1.套公式：
两集合容斥原理公式：A+B-A∩B=全集-都不
三集合容斥原理公式：
标准型：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=全集-都不
非标准型：A+B+C-满足两项-满足三项*2=全集-都不
常识型：满足一项+满足两项+满足三项=全集-都不
2.画图法（标数字）：由内至外，注意去重
【注意】容斥问题：重点在于“容”和“斥”。
1.特征：多个条件（一般 2条件或者 3条件）+集合。
2.方法：
（1）套公式：
①两集合容斥原理公式：A+B-A∩B=全集-都不。
②三集合容斥原理公式：
a.标准型：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=全集-都不。
b.非标准型：A+B+C-满足两项-满足三项*2=全集-都不。
c.常识型：满足一项+满足两项+满足三项=全集-都不。针对容斥的难题，遇
到分析人数和人次能用到。
d.如果给 A∩B、B∩C、C∩A，用标准型；如果给满足两项，用非标准型。
29（2）画图法（标数字）：由内至外，注意去重。
18.（2023 浙江）某班级对 70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有
12%的学生两个科目均不及格。已知有 2/3 的学生英语及格，数学及格的学生比
英语多10人，那两科均及格的学生有多少人？
A.31 B.37
C.41 D.44
【解析】18.“有 12%的学生两个科目均不及格”→都不及格人数/总人数
=12%=3/25，总人数为 25 的倍数；“某班级对 70 多名学生进行数学和英语科目
摸底测验”→总人数为 75，则都不=75*12%=9，英语及格人数=75*（2/3）=50，
数学及格人数=50+10=60，两集合公式：A+B-A∩B=全集-都不，代入数据：50+60-A
∩B=75-9→110-A∩B=66→A∩B=44，对应D项。【选 D】
19.（2023 事业单位）某机关部门有 65 人，为加强文化建设，组织员工到
电影院观看A、B、C三部电影，由于三部电影放映时间错开，要求每个员工至少
观看一部电影，有 40%员工选择看电影 A，有 27 人选择观看电影 B，有 48 人选
择观看电影C。则选择观看三部电影的员工至多可以有多少人？
A.16 B.17
C.18 D.19
【解析】19.“有40%员工选择看电影 A”→看电影A 的人数=65*40%=26。“选
择观看三部电影”→三集合容斥问题，没有给出 A∩B、A∩C、B∩C 考虑，三集
合非标准型公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=全集-都不。“要求每个员工至
少观看一部电影”→都不=0；有等式关系的题目，缺谁设谁，设满足两项的为 x，
满足三项的为 y，代入数据，26+27+48-x-2*y=65-0→x+2y=36，为不定方程，不
要着急使用尾数、奇偶、倍数特性求解，这类题会在问题中出现“至多”、“至
少”，围绕此分析，问“选择观看三部电影的员工至多可以有多少人”，要 y
尽可能大，则 x尽可能小，x最小取 0，则y最大为36/2=18，对应C项。【选 C】
【注意】若想出难题→例如要求观看 2部的人数不得少于„„。
3020.（2023 广东）某单位共有员工 200人，其中订阅杂志的人数比只订阅报
纸的人数多88%。则报纸和杂志均未订阅的员工有多少人？
A.36 B.56
C.76 D.96
【解析】20.本题属于次难题（难在分析）。“订阅杂志的人数比只订阅报
纸的人数多88%”→88%=88/100=22/25，数据不够，考虑画图法。左边圈为订阅
杂志人数，右边圈为订阅报纸人数，右边的月牙为只订报纸。订阅杂志的人数比
只订阅报纸的人数多 88%→订阅杂志的人数/只订阅报纸的人数=1+22/25=47/25，
订阅杂志的人数是47的倍数，只订阅报纸的人数是25的倍数，列式：都不=200-47
的倍数-25的倍数，当倍数=1，都不=200-47-25=100+，没有对应的选项；当倍数
=2，都不=200-94-50=56，对应B项。【选 B】
容斥问题
特征：多个条件（一般 2条件或者 3条件）+集合
方法：
1.套公式：
两集合容斥原理公式：A+B-A∩B=全集-都不
三集合容斥原理公式：
标准型：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=全集-都不
非标准型：A+B+C-满足两项-满足三项*2=全集-都不
常识型：满足一项+满足两项+满足三项=全集-都不
2.画图法（标数字）：由内至外，注意去重
31纯言纯语：后 9道题目答案：BCADACDCB
【注意】
1.后台没有 2022、2024 年数量关系的题目，观察近 5 年的数据发现，山东
数量爱选B、C 项。
2.要想蒙题→练习倍数和工程问题（若拿来题就会，就继续研究利润和套公
式的题目）。
3.有问题，微博@粉笔老纯。
【答案汇总】
1-5：BBDAB；6-10：CABCC；11-15：ABCAD；16-20：ACDCB
32遇见不一样的自己
Be your better self
33
