文档内容
方法精讲-数量 3
（笔记）
主讲教师：刘凯
授课时间：2024.04.05
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 3（笔记）
第六节 行程问题
1.三量关系：路程=速度*时间。
2.考查题型：
（1）普通行程。
（2）相对行程。
【注意】行程问题：山东省考行程问题考频为 1～2 题，与工程问题地位差
不多。
1.三量关系：路程=速度*时间，S=V*t。
2.考查题型：两类都考查较多，相对行程考查更多一些。
（1）普通行程。
（2）相对行程。
普通行程：
1.基本公式考查：路程=速度*时间（S=V*t）。
2.匀变速运动。
【注意】普通行程：
1.基本公式考查：路程=速度*时间（S=V*t）。往往列方程、解方程，关键是
找等量关系，通常通过路程或者时间找等量关系，速度要么已知要么是所求，很
1少根据速度找等量关系。
2.匀变速运动（匀加速、匀减速）。
【例 1】（2024 国考网友回忆版）甲和乙两辆车同时从 A 地出发匀速开往 B
地，甲车出发时的速度比乙车快20%，但乙车行驶1个小时后速度加快30 千米/
小时继续匀速行驶，又用了3小时与甲车同时抵达，则A、B两地相距多少千米？
A.540 B.510
C.600 D.570
【解析】1.同时出发同时到达，时间相同，时间为1+3=4 小时。无论是甲车
还是乙车都是从A 到B，路程相等。设乙车的速度为V、甲车速度为1.2V，根据
路程相等列式：1.2V*4=V*1+（V+30）*3，4.8V=4V+90，0.8V=90，不需要求出 V。
总路程=4.8V=6*0.8V=6*90=540，对应A项。【选A】
普通行程：
1.基本公式考查：路程=速度*时间（S=V*t）。
2.匀变速（匀加速/匀减速）运动：匀变速运动的平均速度=（初速度+末速
度）/2。
【注意】普通行程：
1.基本公式考查：路程=速度*时间（S=V*t）。
2.匀变速（匀加速/匀减速）运动：匀变速运动的平均速度=（初速度+末速
度）/2。匀变速运动，V=V +at（V 是末速度，V 是初速度，a 是加速），与等差
t 0 t 0
数列类似，a =a+（n-1）d，平均数=（a+a）/2。a 相当于V 、a 相当于V 、n-1
n 1 1 n n t 1 0
相当于a，d相当于t。
【例 2】（2023 山东）一辆车从甲地行驶到乙地共20千米，用时 20分钟，
已知该车在匀加速到最大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为0，问该车行
驶的最大速度是多少千米/小时？
A.100 B.108
C.116 D.120
2【解析】2.“已知该车在匀加速到最大速度后开始匀减速”为匀变速运动。
方法一：匀变速运动的平均速度=（初速度+末速度）/2。前一段：速度从0
到最大速度V（假设的），平均速度=（0+V）/2。后一段：速度从最大速度V 到0，
平均速度=（0+V）/2，总平均速度=（0+V）/2=V/2。20 分钟=1/3 小时，V/2*（1/3）
=20，解得 V=120，对应D项。
方法二：画图分析，设最大速度为V，S=V*t，三角形面积=S=（1/2）*（1/3）
*V=20，解得 V=120，对应D 项。【选D】
【拓展】（2020 天津事业单位）甲骑车从A地前往 3千米外的B地，出发时
均匀加速，骑行到一半路程时的速度为 30 千米/小时。此后均匀减速，到达 B
地时的速度为20千米/小时。问甲全程用时为多少分钟？
A.不到 9 分 30 秒 B.9 分 30秒～10 分之间
C.10 分～10分 30 秒之间 D.超过10分 30 秒
【解析】拓展.“出发时均匀加速”、“此后均匀减速”为匀变速运动，匀变
速运动的平均速度=（初速度+末速度）/2。一半路程=3/2=1.5 千米，列式：1.5
÷（0+30）/2+1.5/（30+20）/2=1.5/15+1.5/25，0.1+0.06=0.16 小时=9.6 分钟
＞9.5 分钟=9 分 30 秒，对应B项。【选 B】
相对行程：
1.直线相遇。
2.直线追及。
3.环形相遇。
4.环形追及。
【注意】相对行程：比普通行程考查多一点。
3直线相遇：两人同时相向而行。
公式：S =（V+V ）*t。
和 1 2
【注意】直线相遇：两人同时相向（方向相反）而行。环形相向为背靠背，
也是方向相反。
1.公式：S =（V+V ）*t。
和 1 2
2.推导：两人分别从A、B出发相向而行，在C 相遇，S =S+S =V*t+V *t（两
和 1 2 1 2
人同时出发同时相遇，时间相同）=（V+V ）*t。
1 2
【例 3】（2020 新疆）A、B 两地相距600 千米，甲车上午9 时从 A地开往 B
地，乙车上午10时从 B地开往 A地，到中午13 时，两辆车恰好在A、B两地的
中点相遇。如果甲、乙两辆车都从上午9 时由两地相向开出，速度不变，到上午
11时，两车还相距多少千米？
A.100 B.150
C.200 D.250
【解析】3.看到“相向”，考查相遇。直线相遇公式：S =（V+V ）*t。A、
和 1 2
B中点=600/2=300 千米，V *（13-9）=300，V *4=300，解得 V =75；V *（13-10）
甲 甲 甲 乙
=300，V *3=300，解得 V =100。所求=600-S =600-（V +V ）*（13-9）=600-
乙 乙 和 甲 乙
（75+100）*2=600-（150+200）=600-350=250，对应D 项。【选 D】
【拓展】（2020 联考）甲乙两人在相距 1200 米的直线道路上相向而行，一
条狗与甲同时出发跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此
反复，已知甲的速度为40 米/分钟，乙为 60米/分钟，狗为 80 米/分钟。不考虑
狗调头所耗时间，当甲、乙相距100 米时狗跑了多少米？
A.1100 B.1000
4C.960 D.880
【解析】拓展.出现“相向”，考查相遇。甲和乙没有相遇，S =V *t =80*t
狗 狗 狗
狗，狗跑的时间等于甲乙出发至两人相距 100 米所用的时间。1200-100=S =
和
（40+60）*t，1100=100t，解得t=11 分钟。80*11=880，对应D 项。【选 D】
直线追及：两人同时同向而行。
公式：S =（V+V ）*t。S ：追及开始时两人相差的距离。
差 1 2 差
【注意】直线追及（比较难）：两人同时同向（方向相同）而行。若题目将
追及也表述成相遇，可以看方向，只要方向相遇就是考查追及，只要方向相反就
是考查相遇。
1.公式：S =（V+V ）*t。S ：追及开始时两人相差的距离。
差 1 2 差
2.推导：跑的快的人在 C 追上跑的慢的人，S =S -S=V t-V t=（V-V ）*t。
差 1 2 1 2 1 2
路程差是定值，无在哪点追上无关，考虑的是追上的一瞬间，追上的一瞬间两人
终点相同，差距在于起点的差距。
【例 4】（2020 深圳）小王和小李从甲地去往相距15km 的乙地调研。两人同
时出发且速度相同。15 分钟后，小王发现遗漏了重要文件遂立即原路原速返回，
小李则继续前行；小王取到文件后提速20%追赶小李，在小李到达乙地时刚好追
上，假设小王取文件的时间忽略不计，则小李的速度为多少km/h？
A.4 B.4.5
C.5 D.6
【解析】4.方法一：“追赶”考查追及，小王取到文件时开始追，假设此时
小李走到丙，路程差为小李 15+15=30 分钟所走的路程，设小王和小李一开始的
速度均为 V 千米/小时，30 分钟=0.5 小时，S =0.5V=[V*（1+20%）-V]*t，
差
0.5V=0.2V*t，解得 t=2.5 小时。求的是小李速度，总路程/总时间=15/（0.5+2.5）
5=15/3=5，对应C项。
方法二：小王从甲地到乙地用时=小李从甲地到乙地用时，15 分钟+15 分钟
+15/1.2V=15/V，0.5+1.5/1.2V=15/V，等式两边同乘以1.2V，0.6V+15=18，0.6V=3，
解得V=5，对应C 项。【选 C】
环形相遇：同点相向出发。
1.公式：S =（V+V ）*t。
和 1 2
2.结论：相遇 1 次，S =1 圈；相遇 2 次，S =2 圈；……；相遇n 次，S
和 和 和
=n圈。
3.本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。
【注意】环形相遇：同点（大多数考查同点）相向出发。不同点出发和直线
相同，无特殊的地方。如图所示，S =（V +V ）*t。
和 甲 乙
1.公式：S =（V+V ）*t。
和 1 2
2.结论：相遇 1 次，S =1 圈；相遇 2 次，S =2 圈；……；相遇n 次，S
和 和 和
=n 圈。两人同时出发相向而行，在某点第一次相遇，如图所示，两人路程差正
好一圈；从第一次相遇点出发，到第二次相遇路程和又走了一圈。相遇是从最开
始出发算起。
63.本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。
环形追及：同点同向出发。
1.公式：S =（V-V）*t。
差 1 2
2.结论：追上 1 次，S =1 圈；追上 2 次，S =2 圈；……；追上n 次，S
差 差 差
=n圈。
3.本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差是一圈（速度快的
人比速度慢的人多走了1圈）。
【注意】环形追及：同点同向出发。不同点出发和直线相同，无特殊地方，
重点考查同点同向出发。如图所示，甲乙不在同一点出发，S =（V -V ）*t。
差 乙 甲
1.公式：S =（V-V）*t。
差 1 2
2.结论：追上 1 次，S =1 圈；追上 2 次，S =2 圈；……；追上n 次，S
差 差 差
=n 圈。两人同时同点出发，出发一瞬间，跑得快的人将跑得慢的人落在后面，
追上一次，跑得快的人比跑得慢的人多跑了1 圈，两人起点和终点相同，但是路
程不同；继续出发，第二次追上跑得快的人比跑得慢的人多跑了2圈。
73.本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差是一圈（速度快的
人比速度慢的人多走了1圈）。
【注意】环形相遇，相遇n 次，路程和是n圈；环形追及，追上n次，路程
差为n圈。
【例 5】（2023 内蒙古事业单位）老张和小张在周长为 400 米的运动场上跑
步，小张的跑步速度快于老张，当两人在同一起点同时同向出发，则每隔8分钟
相遇一次；当两人在同一起点同时反向出发，则每隔2分钟相遇一次，老张在该
运动场跑一圈需要多少分钟？
A.5.33 B.5.36
C.5.42 D.5.45
【解析】5.出现“周长”一定是环（只要首尾相连即可，不一定非得是圆），
8“同时同向出发”说明方向相同，考查环形追及；“同时反向出发”说明方向相
反，考查环形相遇。S =400=（V -V ）*8①，S =400=（V +V ）*2②，t
差 小张 老张 和 小张 老张
老张=400/V 老张，只要求出老张的速度即可。根据①式可得：V -V =50③，
小张 老张
根据②式子可得：V +V =200④，④-③得：2V =150，解得 V =75。所求
小张 老张 老张 老张
1
=400/75=16/3=5 ≈5.33，对应 A项。【选 A】
3
【例 6】（2023 天津事业单位）师范大学体育场的环形跑道长400 米，王鹏、
李华、周可从同一地点同时同向出发，围绕跑道分别慢跑、快跑和轮滑。已知三
人的速度分别是 2 米/秒、6 米/秒和 8 米/秒，问李华第 4 次超越王鹏时，周可
已经超越了王鹏多少次？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】6.“环形”、“同时同向出发”考查环形追及，追上n次，路程差为
n 圈。已知“李华第 4 次超越王鹏”，4*400=（6-2）*t，解得 t=400。假设周可
已经超越了王鹏n 次，n*400=（8-2）*t，将 t=400 代入，解得n=6，对应A项。
【选A】
【注意】行程问题：平均每年考查1～2题。
1.普通行程：考查 S=V*t，往往通过路程和时间找等量关系。匀变速速度2023
年山东、2022 年国考考查过。
2.相对行程：方向相反为相遇，方向相同为追及。
第七节 几何问题
9考查类型
一、公式运用
1.规则图形
2.不规则图形
二、三角形相关
【注意】考查类型：山东省考平均每年考查 1～2 题，国考地市级一般考查
1题、副省级 2～3 题。
1.公式运用（考查次多）：
（1）规则图形：直接套公式。
（2）不规则图形：通过割、补、平、移转化为规则图形，再套公式。
2.三角形相关（考查最多）。
【注意】公式运用：
1.周长：
（1）正方形：4a。
（2）长方形：2*（a+b）。
（3）圆形：2πR。
（4）弧长：
①2πR*（n°/360°）。
10②推导：圆的周长为2πR，一个圆对应360°，1°对应的弧长为2πR/360°，
则n°对应2πR*（n°/360°）。
2.面积：
（1）正方形：a²。
（2）长方形：ab。
（3）三角形：1/2*ah。
（4）圆形：πR²。
（5）扇形：
①πR²*（n°/360°）。
②推导：圆的面积为πR²，1°对应的扇形面积πR²/360°，则 n°对应的
扇形面积为πR²*（n°/360°）。
（6）梯形：1/2*（a+b）*h。
（7）菱形：对角线乘积/2。
3.表面积：
（1）正方体：6a²。
（2）长方体：2*（ab+bc+ac）。
（3）圆柱体：上下两个底面+侧面。
①2πR²+2πRh。
②推导：上、下底面分别是半径为 R 的圆，2*S =2πR²；侧面展开为长方
底
形，长为底面圆的周长2πR、宽为圆柱的高（h），S =2πRh。
侧
（4）球体：4πR²。
4.体积：
11（1）正方体：a³。
（2）长方体：abc。
（3）柱体：Sh。
（4）锥体（三棱锥、四棱锥、五棱锥、圆锥）：1/3*S h。
底
（5）球体：4/3*πR³。
【例 1】（2020 河北事业单位）街心公园里有一个正方形的花坛（如下图所
示）。花坛四周有 1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是16 平方米，那么中间
花坛的面积是（ ）平方米。
A.16 B.9
C.4 D.1
【解析】1.方法一：应试思维（考试时推荐使用）。水泥路→红色阴影，选
项差距很大（9和 4、16 差距很大），C、D项太小了，4/16=1/4，所求明显比4
大，水泥路的总面积是16平方米，所求也没有16 那么大（图三阴影部分所在的
水泥路和花坛是相等的，但中间长条明显小于侧面水泥路长条），排除 A项，对
应B 项。
12方法二：老老实实计算。设花坛的边长为x，水泥路的总面积是16 平方米，
S -S =S →（x+2）²-x²=16→4x=12→解得 x=3，故 S =3²=9，对应 B
大正方形 花坛 水泥 花坛
项。【选 B】
【注意】可以分别计算四个角（均为 1），设花坛的边长为 x，则除去四个
角后剩余的每条水泥路面积=x*1=x，故4+4x=16→解得 x=3。所求=3²=9，对应 B
项。
【例 2】（2023 国考）一个圆柱体零件A和一个圆锥体零件 B分别用甲、乙
两种合金铸造而成。A 的底面半径和高相同，B 的底面半径是高的 2 倍，两个零
件的高相同，质量也相同。问甲合金的密度是乙合金的多少倍？
A.4/3 B.3/4
C.2/3 D.3/2
【解析】2.质量（m）=密度（ρ）*体积（V）；“两个零件的高相同”→设
13高为h；“A的底面半径和高相同”→A的底面半径为h；“B的底面半径是高的
2倍”→B 的底面半径为2h；根据“质量也相同”列式：ρ *π*h²*h=ρ *（1/3）
甲 乙
*π*（2h）²*h→ρ /ρ =4/3，对应A项。【选A】
甲 乙
【注意】知识点链接：质量=密度*体积（m=ρ*V）；圆柱体体积=Sh；圆锥体
体积=1/3*Sh。
二、三角形相关
1.基础知识
2.勾股定理
3.面积相关
【注意】三角形相关：
1.基础知识（考查较少）。
2.勾股定理（考查最多）。
3.面积相关（考查次多）。
1.三角形基础知识
两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
只需验证：两短边之和大于最长边即可。
设三条边长度A＞B＞C，看能否构成三角形，只需验证B+C＞A即可
【注意】三角形基础知识：
1.两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
2.只需验证：两短边之和大于最长边即可。只要“两边之和大于第三边”成
立→“两边之差小于第三边”也成立。
3.设三条边长度 A＞B＞C，看能否构成三角形，只需验证 B+C＞A 即可，没
必要再验证 A+B＞C、A+C＞B。B+C＞A→A 是最大的→A+C＞B 一定成立。B+C＞A
→C＞A-B、B＞A-C，故无需再验证“两边之差小于第三边”。
14【拓展】（2021 联考）饲养兔子需要场地，小林准备用一段长为28米的篱
笆围成一个三角形形状的场地，已知第一条边长为m米，由于条件限制第二条边
长只能是第一条边长度的1/2多 4米，若第一条边是唯一最短边，则m的取值可
以为：
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】拓展.本题可以列不等式求解，但比较麻烦，不推荐；可以代入排
除，A项：第一条边→m=6，第二条边→（m/2）+4=（6/2）+4=7，第三条边→28-6-7=15，
6+7=13＜15，构不成三角形，排除；B 项：第一条边→m=7，第二条边→（m/2）
+4=（7/2）+4=7.5，第三条边→28-7-7.5=13.5，7+7.5=14.5＞13.5，可以构成
三角形，满足所有条件，对应B 项，无需再验证C、D项。【选 B】
【注意】
1.三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2.列不等式。第一条边为m，第二条边为m/2+4，28-（m+m/2+4）=24-3m/2，
m为最短边，则m＜m/2+4、m＜24-3m/2，还需验证“两边之和大于第三边”。
3.代入 C 项：第一条边→m=8，第二条边→8/2+4=8，不符合“m为唯一最短
边”，排除。
勾股定理相关
常考点：a²+b²=c²、特殊角三角形三边关系
1.常考勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）
2.特殊角三角形三边关系
【注意】勾股定理相关：考查相对较多。
1.常考点：a²+b²=c²（a、b为直角边，c为斜边），特殊角三角形三边关系。
2.常考勾股数：（3、4、5））→（3n、4n、5n）、（6、8、10）→（3*2、
4*2、5*2）、（5、12、13）；（7、24、25）→2021 年山东考过。例如2019 年
浙江省考曾考过：已知两条直角边分别为 90、120，问斜边，用勾股定理计算
（√902 +120²）比较慢，发现90=30*3、120=30*4，则斜边为30*5=150。
153.特殊角三角形三边关系：
（1）含 30°直角三角形三边关系为 1：√3：2；30°所对直角边是斜边的
一半，例如如图，短直角边为5，则斜边为10，长直角边为5√3。
（2）含 45°的等腰直角三角形三边关系为 1：1：√2。例如如图，直角边
为5，则斜边为5√2。
【例 3】（2024 山东网友回忆版）某巡逻艇在海域A 点发现正南方30千米处
的B 点有一艘可疑船只正匀速向正西方行驶，巡逻艇以比该可疑船只快1/3的速
度沿某一方向直线追击，两船恰好在 C 点相遇。问 B、C 两点之间的距离约多少
千米？
A.26 B.28
C.30 D.34
【解析】3.出现“正南方”、“正西方”，根据“上北、下南、左西、右东”
的方位画图分析。已知 AB=30，∠ABC=90°，△ABC 为直角三角形；“巡逻艇以
比该可疑船只快1/3的速度沿某一方向直线追击”→假设可疑船只的速度为3V，
巡逻艇的速度为 3V*（1+1/3）=4V，假设时间为 t，BC=3Vt，AC=4Vt，带着 2 个
未知数计算不方便，设 Vt=S，则 BC=3S，AC=4S，根据勾股定理列式：（4S）²=
（3S ） ² +30 ²→ 16S ²=9S ²+30² →7S ²=30 ²→ S² =30 ²/7 →S=30/ √7，
163S=30*3/√7=90/√7，如果要老老实实计算，大致估算，已知√7＜√9=3，所求
=90/3-=30+，仅 D项满足。【选 D】
【注意】
1.26²=676→√7=2.6+。
2.不用计算→AB²=（4x）²-（3x）²=7x²，BC²=9x²，9x²＞7x²，所以 BC＞
AB=30，仅 D项符合。
【例 4】（2022 北京）一个圆形水库的半径为1千米。一艘船从水库边的A
点出发，直线行驶 1千米后到达水库边的B点，又从 B点出发直线行驶2千米后
到达水库边的C点。则C点与A 点的直线距离最短可能为多少千米？
A.不到 1 千米 B.1～1.3 千米之间
C.1.3～1.6 千米之间 D.超过1.6 千米
【解析】4.如图，AB=1，半径为 1，则直径（BC）为 2，直径所对的圆周角
是直角，故∠BAC 是直角。短边为 1，长边为 2，则△ABC 是 30°直角三角形，
对应边比例是 1：2：√3（或者√22 −1²=√3），所求=AC=√3≈1.732（16²=256
→1.6²=2.56＜3→√3＞1.6），对应 D项。【选D】
【注意】知识点链接：直径所对的圆周角是直角。如图，连接 OA，OA=OB=OC，
∠OAB=∠OBA=∠1，∠OAC=∠OCA=∠2，则2*（∠1+∠2）=180°→∠1+∠2=90°。
17平面最短路径
解题原理：两点之间，直线最短
解题技巧：
两点异侧，直接连线
两点同侧，镜面对称后连线
【注意】平面最短路径：
1.解题原理：两点之间，直线最短。
2.解题技巧：
（1）两点异侧，直接连线（考查较少）。如图所示，A、B直接连线，AO+BO
一定最短，假设再找一点S，则AS+BS＞AO+BO=AB（两边之和＞第三边）。
（2）两点同侧，镜面对称后连线（考查较多）。如图所示，要求在直线上
找一点，使得 OA+OB 最短，作 A 点的对称点 A’，连接 A’B 交直线于 O 点，A’
B即最短路径，A’B=OA’+OB=OA+OB（有公共边，由于对称，另一条直角边相等，
且均有直角→SAS→上下两个三角形全等→OA’=OA）；假设再找一点S，则 AS+BS
＞A’B。
18【例 5】（2019 浙江）A、B 点和墙的位置如下图所示。现从 A 点出发以 5
米/秒的速度跑向墙，接触到墙后再跑到B点。问最少要多少秒到达B 点？
【解析】5.问“最少要多少秒到达 B 点”，已知速度，相当于求最短距离，
在墙上找一点，到A点和 B 点的和最短，为最短路径问题；作A点关于墙的对称
点A’，连接A’B 交于 O点，最短路径为A’B，要求一条线段的长度，若不好
求，往往是构造直角三角形，延长A’A至C点，连接BC，BC=90，A’C=45+45+30=120，
发现 90=30*3、120=30*4，则斜边为 30*5=150（没必要用勾股定理计算→
√902 +120²），所求=150/5=30 秒，对应A项。【选 A】
【注意】本题可以用相似做，但比较麻烦，不推荐。
【拓展】（2017 联考）悟空与二郎神在离地面1 米的空中决斗，两人相距 2
米，悟空想用分身直接偷袭二郎神，为了不引起对方的警觉，分身必须在地面反
弹一次再进行攻击，则分身到达二郎神的位置所走的最短距离为：
A.2√2米 B.√3米
C.√2米 D.2√3米
19【解析】拓展.课堂正确率为 79%；若看得出来本题与例 6 本质一样→入门
了。画图进行分析，悟空与二郎神均距离地面1米，两人相距2米，平面最短路
径问题，悟空与二郎神同侧，作悟空关于地面的镜面对称点，连接悟空’和二郎
神（最短路径），悟空和悟空’的距离=1+1=2，悟空与二郎神距离=2，则三角形
为等腰直角三角形，对应三边比例为 1：1：√2，所求=2√2米，对应 A项。【选 A】
【例 6】（2024 国考网友回忆版）甲、乙两个联络站相距 10 千米。一条道
路与甲、乙联络站连线相平行，且与两联络站连线的垂直距离为 12 千米。现需
紧邻该道路建一个工作站，问工作站距离甲、乙联络站距离之和最小为多少千
米？
A.20 B.22
C.24 D.26
【解析】6.画图分析，甲、乙两个联络站相距 10 千米，一条道路与甲、乙
联络站的垂直距离为 12 千米，问工作站距离甲、乙联络站距离之和最小为多少
千米，为最短路径问题。作甲关于道路的对称点甲’，连接甲’乙，此时最短路
径为甲’乙，∠乙甲甲’=90°，已知甲乙=10，甲甲’=12+12=24，要求斜边，
根据勾股定理√102 +24²求解比较麻烦，斜边＞直角边（24），排除 A、B、C
项；或者联想到常见勾股数（5、12、13），发现5*2=10、12*2=24，则斜边=13*2=26，
对应D项。【选 D】
203.面积相关：底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比。
△ABC 面积/△ABD 面积=（1/2*AB*h ）/（1/2*AB*h ）=h /h
1 2 1 2
【注意】面积相关：
1.底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比。
2.推导：如图所示，△ABC和△ABD 的底边均为 AB，△ABC 的高为h，△ABD
1
的高为h ，S /S =（1/2*AB*h）/（1/2*AB*h）=h /h。
2 △ABC △ABD 1 2 1 2
【例 7】（2023 联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三
角形ABC 区域内建设新能源产业园区（如下图所示）。三角形DEF是中央工厂区，
已知 BD：DE：EC=1：2：3，F 为 AE 的中点。则新能源产业园区总面积是中央工
厂区面积的：
21A.7 倍 B.6 倍
C.5 倍 D.4 倍
【解析】7.“F为 AE的中点”→AF=EF。过A 点作BC 的垂线AG，则△ABD、
△ADE、△AEC 均以AG为高，而高相同，面积之比=底之比→S ：S ：S =BD：
△ABD △ADE △AEC
DE：EC=1：2：3，故 S =1+2+3=6 份；过 D 点作 AE 的垂线 DH，△DEF 与△AFD
△ABC
的高相同（DH），面积之比=底之比，则S ：S =1：1，而 S =2 份，则 S =1
△DFA △DEF △ADE △FDE
份。综上，所求=S /S =6 份/1份=6，对应B项。【选B】
△ABC △FDE
【注意】高相同的三角形，面积之比等于底之比。
3.面积相关：相似三角形
判定：两个三角形的三个角分别对应相等，则三角形相似
结论：对应边长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【注意】面积相关：相似三角形。
1.判定：两个三角形的三个角分别对应相等，则三角形相似。例如若∠1=
∠1’、∠2=∠2’、∠3=∠3’，则这两个三角形相似。三角形内角和为180°，
如果其中两个角对应相等，则第三个角肯定相等。
222.结论：对应边长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方（S=1/2*底*
高，底为相似比的比值，高为相似比的比值）。若边长之比（相似比）为1：2，
则高之比也是 1：2。
【例 8】（2023 联考）边长为10 厘米的正方形ABCD 如下图所示，E为正方
形中的某一点，已知AE 长 8厘米，BE 长 6厘米，问三角形 ADE的面积为多少平
方厘米？
A.24 B.32
C.44 D.48
【解析】8.本题讲解3 种方法，推荐掌握前两种应试方法。ABCD 为正方形，
边长为10 厘米，AE 长 8厘米，BE长 6厘米，则△AEB 是直角三角形。问三角形
ADE 的面积，由E 点分别向AB、AD作垂线相交于F、G 点。
方法一：S =1/2*AD*GE=1/2*10*GE=5*GE，选项差距大，无需老老实实计
△ADE
算，GE 明显比 AB（10）的一半长，但是比斜边 AE（8）短，故 5*5＜5*GE＜5*8
→25＜5*GE＜40，对应 B项。
23方法二：直接“瞪”，连接对角线，将图形四等分，总面积为 10*10=100，
△OAD=100*（1/4）=25，所求比 25 多一点，排除 A 项；不会多到 44 那么大
（44/50=88%，实际占不到 50 的 88%；或者 44-25=19，19/25＞3/4），排除 C、
D项，对应 B 项。
方法三：老老实实算（不推荐）。AF=GE，∠EAF=∠BAE，∠AFE=∠AEB=90°，
∠EBA+∠BAE=∠AEF+∠BAE=90°→∠AEF=∠EBA，则△AEF∽△ABE，故
AE/AB=AF/AE→8/10=AF/8→AF=6.4=GE，S =1/2*10*6.4=32，对应 B项。【选 B】
△ADE
【注意】
1.本题可以用射影定理，但没必要。
2.本题还可以→AB 为 10 厘米，AE 长 8（0.8*10）厘米，BE 长 6 厘米，EF
为4.8（0.8*6）厘米，则AF=0.8*8=6.4 厘米。
24【注意】几何问题：山东省考每年平均1～2题。
1.公式运用：考查次多。规则图形→直接套公式；不规则图形→通过割、补、
平、移转化为规则图形，再套公式。
（1）周长：
①正方形：4a。
②长方形：2*（a+b）。
③圆形：2πR。
④弧长：2πR*（n°/360°）。
25（2）面积：
①正方形：a²。
②长方形：ab。
③三角形：1/2*ah。
④圆形：πR²。
⑤扇形：πR²*（n°/360°）。
⑥梯形：1/2*（a+b）*h。
⑦菱形：对角线乘积/2。
（3）表面积：
①正方体：6a²。
②长方体：2*（ab+bc+ac）。
③圆柱体：2πR²+2πRh。
④球体：4πR²。
（4）体积：
①正方体：a³。
②长方体：abc。
③柱体：Sh。
④锥体：1/3*Sh。
⑤球体：4/3*πR³。
2.三角形相关：考查最多。
（1）勾股定理：
①a²+b²=c²。
②特殊勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）。
③特殊三角形：
a.30°、60°、90°对应三边比例=1：√3：2。
b.45°、45°、90°对应三边比例=1：1：√2。
（2）底（高）相等的三角形，面积比等于高（底）之比。
（3）相似三角形：对应边之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
26课后练习 1.（2023 广东）小明骑车从甲镇前往乙镇。如果骑车的速度为每
小时20 千米，那么将准时到达。如果骑车的速度为每小时24 千米，那么将提早
5分钟到达。则甲镇到乙镇的距离为（ ）千米。
A.8 B.10
C.12 D.16
【解析】课后练习 1.课堂正确率为67%。路程 S相同，注意换算单位，5分
钟=5/60 小时，列式：S/20=S/24+5/60。
方法一：老老实实计算。S/20=S/24+5/60→S/20=S/24+1/12→6S=5S+10→
S=10，对应 B 项。
方法二：代入排除。代入 A 项：8/20=0.4h=24min，8/24=1/3h=20min，
24-20=4min≠5min，排除；代入 B项：10/20=0.5h=30min，10/24=5/12h=25min，
30-25=5min，满足题干所有要求，当选。【选B】
【注意】本题也可以设时间为未知数。
课后练习 2.（2022 联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正
北方500 米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的
5倍。兔子先向正东方跑了一会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不
变，结果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A.600 B.1200
C.2400 D.3000
【解析】课后练习2.课堂正确率为65%；出现“正北方”，按照“上北、下
南、左西、右东”的方位画图分析。乌龟和兔子同时从起点出发，且两者同时到
达，说明时间相同，路程和速度成正比，乌龟跑了 500m，且兔子的速度是乌龟
的 5 倍，则 S =V *t*5=500*5=2500m。没必要“设兔子朝正东跑了 x 米，可列
兔 龟
式：500²+x²=（2500-x）²”如此求解。
方法一：联想常见勾股数（5、12、13），三边分别对应 500、1200、1300，
1200+1300=2500，满足题干所有条件，对应B 项。
27方法二：代入排除。A项：三边分别为 500、600、（2500-600）=1900，500+600
＜1900，不满足“三角形两边之和大于第三边”，排除；C 项：x=2400，斜边
=2500-2400=100，斜边比直角边还短，不可能，排除，D 项更不可能，对应 B项。
【选B】
预习范围
第八节：排列组合与概率问题 第九节：容斥原理问题
排列组合比较难，除了预习之外，不要迟到，前二十分钟讲基础。
下节课18：30 开始答疑
【注意】
1.预习范围：
（1）第八节：排列组合与概率问题。排列组合比较难，除了预习之外，不
要迟到，前二十分钟讲基础。
（2）第九节：容斥原理问题。
2.下节课 18：30开始答疑。
【答案汇总】
行程问题1-5：ADDCA；6：A
几何问题1-5：BADDA；6-8：DBB
28遇见不一样的自己
Be your better self
29
