文档内容
方法精讲-数量 4
（笔记）
主讲教师：焦点
授课时间：2024.04.15
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 4（笔记）
学习任务：
1.课程内容：行程问题、几何问题
2.授课时长：3 小时
3.对应讲义：第 234～239页
4.重点内容：
（1）掌握行程问题的基础公式与匀变速运动平均速度公式
（2）掌握直线和环形上的相遇、追及问题计算公式，用图示来理解复杂
的运动过程
（3）掌握几何问题基本公式及其运用
（4）掌握勾股定理、特殊三角形及面积相关的知识
今日内容（P234～239）
第六节 行程问题
第七节 几何问题
【注意】今日内容（P234～239）：今晚讲解的行程问题、几何问题属于高频
题型，在江苏、国考、联考中考查较多，尤其是几何问题。
1.第六节：行程问题。
2.第七节：几何问题；非常重要，课后要花一些功夫将中学时代学习的结论
和公式记住。
第六节 行程问题
三量关系：路程=速度*时间
考查题型：
1.普通行程
2.相对行程
【注意】行程问题：
1.三量关系：路程=速度*时间（S=V*t）；三量关系中，如果命题人数据给
1的好，有可能可以直接利用倍数特性秒杀，S 既是V的倍数，又是t的倍数，
S 是 V 和 t 的公倍数；能“秒杀”的题目只是少数。S=V*t：路程一定，速度
和时间成反比；速度一定，路程和时间成正比；时间一定，路程和速度成正比。
2.考查题型：
（1）普通行程（根据“S=V*t”列方程或利用固定公式解题）：一个人来
来回回跑，一会快、一会慢；一会上坡、一会下坡；少数题目会出现两个人各
自走的情况。
（2）相对行程：两个人之间存在相对的运动。
【例 1】（2024 国考网友回忆版）甲和乙两辆车同时从 A 地出发匀速开往 B
地，甲车出发时的速度比乙车快 20%，但乙车行驶 1个小时后速度加快 30千米/
小时继续匀速行驶，又用了 3小时与甲车同时抵达，则 A、B两地相距多少千米？
A.540 B.510
C.600 D.570
【解析】1.虽然有两个人（甲和乙），但不存在相对的运动（不涉及追及），
甲和乙同时出发、同时抵达，走的是同一段路，S=V*t，总时间相同，总路程相
同，但速度不同，利用“S=V*t”列方程求解。“甲车出发时的速度比乙车快 20%”，
20%=1/5，V ：V =6/5，按照比例份数设未知数，设甲的速度为 6V，乙的速度
甲 乙
为 5V，甲和乙走的时间均为 3+1=4 小时，6V*4=5V*1+（5V+30）*3，4V=90，问
“A、B两地相距多少千米”，所求=6V*4=24V=6*4V=6*90=540，对应 A项。【选A】
【注意】
1.题型识别：甲乙总时间相同，总路程相同，只有速度不同——列方程。
2.本题属于简单送分题。
3.“甲车出发时的速度比乙车快 20%”，若设乙车的速度为 x，甲车的速度
为1.2x，出现小数不好计算。
【例 2】（2023 山东）一辆车从甲地行驶到乙地共 20 千米，用时 20 分钟，
已知该车在匀加速到最大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为 0，问该车行
2驶的最大速度是多少千米/小时？
A.100 B.108
C.116 D.120
【解析】2.“一辆车从甲地行驶到乙地共 20千米，用时 20分钟”，统一单
位，可以求出平均速度=20km÷（1/3）h=60km/h；“该车在匀加速到最大速度后
开始匀减速，到乙地时速度恰好为 0”，车刚开始启动时速度为 0，速度匀加速
到最大，最后到乙地时速度恰好为 0，说明是对称的（视频存在倒放的功能：车
从速度0匀加速到100，将这个过程倒放，即从100退回到0），数学运算问题是
理想状况，匀变速直线运动：匀加（减）速的平均速度V=（V +V ）/2=（0+V ）
初 末 大
/2=60，解得V =120，对应D项。【选D】
大
【注意】
1.题型识别：匀加速、匀减速——匀变速直线运动：匀加（减）速的平均速
度=（V +V ）/2。
初 末
2.本题属于简单题。
3.猜题：大多数的高速最大速度为 120（平坦大道），但山区的最大速度为
100。
2.相对行程
（1）相遇追及
（2）多次运动
【注意】相对行程：至少有 2 个人，复杂的情境可能有 3个人（两两分析）。
31.相遇追及（较难的题目是既有相遇、又有追及，单纯的相遇或单纯的追及
属于简单题）。
2.多次运动。
直线相遇：两人同时相向而行
公式：S =（V+V ）*t
和 1 2
【注意】
1.直线相遇：两人同时相向而行。
2.公式：S =（V+V）*t。
和 1 2
3.推导：猫和老鼠分别从 A、B 两地相向出发，猫的速度为 V，老鼠的速度
1
为V，二者同时出发，假设在 C点相遇，猫和老鼠所走的时间均为 t，猫走的路
2
程为AC段，老鼠走的路程为 BC段，S =AB=V t+Vt=（V+V）*t=V *t。
和 1 2 1 2 和
【例 3】（2020 新疆）A、B 两地相距 600 千米，甲车上午 9 时从 A 地开往 B
地，乙车上午 10 时从 B 地开往 A 地，到中午 13 时，两辆车恰好在 A、B 两地的
中点相遇。如果甲、乙两辆车都从上午 9时由两地相向开出，速度不变，到上午
11时，两车还相距多少千米？
A.100 B.150
C.200 D.250
【解析】3.依题意，甲和乙相向而行，在 A、B两地的中点相遇，相遇问题，
S =V *t。已知 AB 两地相距 600 千米，从问题出发，“甲、乙两辆车都从上午
和 和
9时由两地相向开出，速度不变，到上午 11 时”，总共行驶了 2小时；“甲车上
午9时从A地开往B 地，乙车上午10时从B地开往 A地，到中午 13时”，甲车：
上午9时出发，13时到达中点（走的路程=600/2），V =600/2÷4=75km/h，乙车：
甲
4上午10时出发，13时到达中点（走的路程=600/2），V =600/2÷3=100km/h；则
乙
S =（100+75）*2=350，问“相距的距离”，所求=600-350=250，对应 D项。【选
和
D】
【注意】
1.题型识别：中点相遇，两车同时相向出发——直线相遇问题：S =（V+V）
和 1 2
*t。
2.本题属于简单题，用不到 2分钟即可做出来。
直线追及：两人同时同向而行
公式：S =（V-V）*t
差 1 2
S ：追及开始时两人相差的距离
差
【注意】直线追及（较难；往往都比相遇难；公式与模型要结合理解）：两
人同时同向而行。
1.公式：S =（V-V）*t。
差 1 2
2.S （不变）：追及开始时两人相差的距离。
差
3.推导：猫和老鼠分别从 A、B 两地同时（上午 9 点）出发向右走，假设在
C点猫捉到了老鼠，捉到的瞬间停止，时间相同，猫的速度为V，老鼠的速度为
1
V，猫的路程=AC，老鼠的路程=BC，S 即猫走的路程-老鼠走的路程，也可以理
2 差
解为追及开始时两人相差的距离，S =AC-BC=AB=Vt-Vt=（V-V）*t，S =V *t。
差 1 2 1 2 差 差
5【例4】（2020深圳）小王和小李从甲地去往相距 15km的乙地调研。两人同
时出发且速度相同。15分钟后，小王发现遗漏了重要文件遂立即原路原速返回，
小李则继续前行；小王取到文件后提速 20%追赶小李，在小李到达乙地时刚好追
上，假设小王取文件的时间忽略不计，则小李的速度为多少 km/h？
A.4 B.4.5
C.5 D.6
【解析】4.方法一：“两人同时出发且速度相同”，小王和小李手拉手、肩
并肩一起往前走，这类表述后往往会有“突发事件”。小王和小李先向前走了
15 分钟，“15 分钟后，小王发现遗漏了重要文件遂立即原路原速返回”，小王
返回甲地又走了15分钟，即小王走了 30分钟=0.5h后回到甲地，而小李一直在
往前走，S 即小李 0.5 小时走的距离，“假设小王取文件的时间忽略不计”，
差
取文件即开门→进门→拿东西→锁门的时间不计，相当于理想状态；“小王取到
文件后提速20%追赶小李”，追及过程中，V /V =1.2=6/5，假设 V =6V，V =5V，
王 李 王 李
S =0.5*5V=（6V-5V）*t，解得 t=2.5h，小王追小李的用时为 2.5h，小李：从
差
甲地→乙地，总路程=15km，共走了2.5+0.5=3h，V =15/3=5km/h，对应 C项。
李
方法二：比例思维，S=V*t，路程相同，速度和时间成反比。小王和小李在
整个追及过程中，时间相同；如果看甲→乙，路程相同，速度之比为 6：5，则
时间之比为 5：6，小王走全程用的时间为 5 份，小李走全程用的时间为 6 份，
6相差的 1 份时间对应 0.5h，研究小李：6 份的时间对应 6*0.5=3 小时，V
李
=15/3=5km/h，对应 C项。
方法三：猜题。出现比例、分数、百分数、倍数时，问的是具体的数据，考
虑倍数特性。“小王取到文件后提速 20%追赶小李”，V /V =6/5=6 份/5 份，
王 李
则V 为6的倍数，V 为5的倍数，结合选项，只有 C项满足。注意：如果每份
王 李
时间不是整数，答案可能不是 C项，但风险很小。【选C】
【注意】
1.题型识别：刚好追上——直线追及问题：S =（V-V）*t。
差 1 2
2.考场中90%以上的题目都是整数环境，如果不存在 B项，基本就可以确定
答案是C项。
环形相遇（同点相向出发）
公式：S =（V+V ）*t
和 1 2
相遇1次，S =1 圈
和
相遇2次，S =2 圈
和
相遇N次，S =N 圈
和
本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。
环形追及（同点同向出发）
公式：S =（V-V）*t
差 1 2
追上1次，S =1 圈
差
追上2次，S =2 圈
差
追上N次，S =N 圈
差
本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差是一圈。
（速度快的人比速度慢的人多走了 1圈）
【注意】
1.环形相遇（同点相向出发）：相遇是指狭义的相遇（迎面相遇、面对面相
遇）。
（1）公式：S =（V+V）*t。
和 1 2
7（2）结论：相遇 1次，S =1圈；相遇 2 次，S =2圈；……；相遇 N次，S
和 和
=N圈。
和
（3）本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。
（4）推导：小橘和小蓝在同一点反向跑步，在某一点会相遇，小橘走的路
程为 Vt，小蓝走的路程为 Vt，S =Vt+Vt=（V+V）*t；第一次迎面相遇，路
1 2 和 1 2 1 2
程和为1圈；相遇后继续跑，在某一点会产生第二次相遇，路程和为 2圈；……，
第100次相遇，路程和=100圈。
2.环形追及（同点同向出发）：
（1）公式：S =（V-V）*t。
差 1 2
（2）结论：追上 1次，S =1圈；追上 2 次，S =2圈；……；追上 N次，S
差 差
=N圈。
差
（3）本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差是一圈（速度
快的人比速度慢的人多走了 1圈）。
（4）万米长跑比赛中，从同一起点同向跑步，小蓝是飞毛腿，小蓝从背后
追上小橘，小蓝比小橘多走了一个周长，小蓝的路程为 Vt，小橘的路程为 Vt，
1 2
追上1次，S =1圈，追上 100次，S =100圈。
差 差
8（5）注意：江苏出题人可能会将背后的追及也理解相遇（属于广义相遇），
环形跑道中识别相遇还是追及，看是同向还是反向。
【例 5】（2023 事业单位）老张和小张在周长为 400 米的运动场上跑步，小
张的跑步速度快于老张，当两人在同一起点同时同向出发，则每隔 8分钟相遇一
次；当两人在同一起点同时反向出发，则每隔 2分钟相遇一次。老张在该运动场
跑一圈需要约多少分钟？
A.5.33 B.5.36
C.5.42 D.5.45
【解析】5.“两人在同一起点同时同向出发，则每隔 8分钟相遇一次”，属
于广义相遇，本质是环形追及过程：S =V *t，400=（V-V）*8→V-V=400/8=50①。
差 差 1 2 1 2
“当两人在同一起点同时反向出发，则每隔 2 分钟相遇一次”，属于环形相遇过
程：S =V *t，400=（V+V）*2→V +V=400/2=200②。问“老张在该运动场跑一
和 和 1 2 1 2
圈需要约多少分钟”，已知“小张的跑步速度快于老张”，老张的速度慢，对应
V，②-①：2V=150，解得 V=75，所求=400/75=16/3≈5.33，对应A项。【选A】
2 2 2
【注意】
1.周长，同点同时同向，同时反向，相遇——环形追及和相遇问题。
2.同向相遇→追及：慢的人走了 10 圈，快的人走了 11 圈，此时 S =1 圈；
差
无需关注快的人走几圈，慢的人走几圈，追上 1次，S =1圈。
差
3.江苏考查过类似的题目（只是数据不同）。
9【例 6】（2023 事业单位）师范大学体育场的环形跑道长 400 米，王鹏、李
华、周可从同一地点同时同向出发，围绕跑道分别慢跑、快跑和轮滑。已知三人
的速度分别是 2 米/秒、6 米/秒和 8 米/秒，问李华第 4 次超越王鹏时，周可已
经超越了王鹏多少次？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】6.方法一：出现“三人”，表面看较难，但不要被吓住；无论是相
遇还是追及，都是两两分析（问谁找谁）。李华第 4 次超越王鹏：追上的一瞬间
就是超越，环形追及过程，n圈=S =V *t，4*400=（6-2）*t，解得t=400s；周
差 差
可追王鹏：已知t=400s，S =（8-2）*400=n*400，解得n=6，对应A 项。
差
方法二：李华追王鹏与周可追王鹏的时间相同，V 之比为 4：6，则路程差
差
之比为4：6，已知“李华第 4次超越王鹏”，则周可已经超越了王鹏6 次，对应
A项。【选A】
【注意】
1.题型识别：环形跑道，同点同时同向，超越——环形追及问题。
2.当我……时，你在……，时间是相同的。
3.江苏近五年也考查过类似的思维类型题目，只是表述不同。
【注意】行程问题：难题；数学运算最难的两种题型：行程问题和排列组合
问题，考频也相对较高。学习的是运动模型（模型+公式），而不是“死背公式”。
普通行程：不涉及相遇、追及，大概率就是普通行程。
10第七节 几何问题
一、公式运用
二、三角形相关
几何公式运用
1、规则图形→套公式
2、不规则图形→先转化（辅助线、割补平移），再套公式
【注意】
1.几何问题：比行程问题简单，需要一定的空间形象能力，在简单题目中，
可以慢慢培养空间想象能力（要有意识的进行培养）。
（1）公式运用。简单粗暴的题目，必得分，不需要空间想象能力，且无需
理解，行程问题需要理解运动模型，但几何问题就是背公式即可，如正方形的面
积=边长的平方（无需理解，死记硬背）。公式很多，思维导图中有常用公式，考
试直接套公式即可。
（2）三角形相关（结论相关，需要理解）。
2.几何公式运用：考试中有规则图形和不规则图形。
（1）规则图形→套公式。
（2）不规则图形→先转化（辅助线、割补平移），再套公式。如图为一个“小
房子”的图形，是五边形，没有学过五边形公式，要将其进行转化，一般来说，
需要做辅助线，进行割补平移，将不规则图形分成三角形和矩形，再套公式。
长度相关公式
正方形周长=C =4a
正方形
圆形周长：C =2πr
圆
长方形周长：C =2*（a+b）
长方形
11【注意】长度相关公式：无需理解，直接背诵。
1.正方形周长：C =4a。
正方形
2.圆形周长：C =2πr=πd。
圆
3.长方形周长：C =2*（a+b）。长方形的长和宽相同。
长方形
面积相关公式
S正方形=a²
S菱形=对角线乘积/2
S长方形=ab
S平行四边形=ah
S三角形=1/2ah
S梯形=1/2*（a+b）*h
S圆=πr²
S扇=n°/360°πr
【注意】面积相关公式：无需理解，直接背诵。
1.S =a²。
正方形
2.S =对角线乘积/2。菱形的四个边都相等，对角线垂直。
菱形
3.S =ab。长和宽相乘。
长方形
4.S =ah。
平行四边形
5.S =1/2ah。同一个三角形中，不同的底对应的高不同。
三角形
6.S =1/2*（a+b）*h。
梯形
7.S =πr²。
圆
8.S =n°/360°πr。理解记忆，本质是扇形占圆面积的比重，圆的圆心角
扇
为 360°，若扇形的圆心角为 120°，扇形圆心角占圆的 1/3，则扇形面积的占
比也是圆的 1/3。可以将扇形近似的理解为三角形，若弧长为 l，则扇形面积为
121/2lr。
【例 1】（2020 事业单位）街心公园里有一个正方形的花坛（如下图所示）。
花坛四周有 1 米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是 16 平方米，那么中间花坛
的面积是多少平方米？
A.16 B.9
C.4 D.1
【解析】1.已知水泥的面积为 16，且花坛为正方形，给出图形，可以套公
式。
方法一：设小正方形的边长为 x，S =S +16=x²+16，大正方形的边
大正方形 小正方形
长为x+2，即（x+2）²=x²+16→x²+4x+4=x²+16→4x=12→x=3，所求=3²=9，对应
B项。
13方法二：考场思维（灵活），有图的几何问题可以“量长度”，有些考场不让
带尺子，且用尺子也会浪费时间，此时“眼睛就是尺”，选项均为平方数，如果
水泥的宽为1，大概能看出花坛的长度为 3，对应 B项。【选 B】
【注意】
1.连续两个平方数相差为 16，即 25 与 9 之间相差为 16（背下来），考试中
经常考到“9、16、25”三个连续的平方数。
2.考试中的图都是标准图形。
表面积相关公式
S =6*a²
正方体
S =2a*b+2b*c+2a*c
长方体
S =4π*r²
球
S =2π*r²+2π*r*h
圆柱
【注意】表面积相关公式：
1.S =6*a²。正方体有 6个面。
正方体
2.S =2a*b+2b*c+2a*c。长方体对面相等，如快递盒的上下面相等，左右
长方体
面相等，前后面相等。
3.S =4π*r²。严格来说是用微积分计算的。
球
4.S =2π*r²+2π*r*h。上底的圆和下底的圆为底面积，两个圆为 2*πr²，
圆柱
展开侧面积的长为圆的周长，宽为圆柱体的高。
14体积相关公式
V =a³
正方体
V =a*b*c
长方体
V =S*h
柱形
V =1/3*S*h
锥形
V =4/3*π*r³
球
【注意】体积相关公式：体积公式都是立方，表面积公式为平方，周长公式
为一次方。
1.V =a³。
正方体
2.V =a*b*c。
长方体
3.V =S*h。V =圆的面积*h、S =三角形的面积*h。
柱形 圆柱体 三棱柱
4.V =1/3S*h。V =1/3*圆的面积*h、V =1/3*三棱柱的面积*h。
锥形 圆锥 三棱锥
5.V =4/3π*r³。
球
【例 2】（2023 国考）一个圆柱体零件 A 和一个圆锥体零件 B 分别用甲、乙
两种合金铸造而成。A 的底面半径和高相同，B 的底面半径是高的 2 倍，两个零
件的高相同，质量也相同。问甲合金的密度是乙合金的多少倍？
A.4/3 B.3/4
C.2/3 D.3/2
【解析】2.立体图形无需画立体图，只需要简单画截面图（画图比较浪费时
间，且容易画错）。A 的底面半径和高相同，画图只需要画半径和高，问倍数，
15题目中给比例求比例，没有具体数据，考虑赋值法，且给出“相同”，此时赋值
任意一个数字即可，本题赋值 A 圆柱的底面半径为 1，故高为 1；B 的底面半径
是高的2倍，“两个零件的高相同”，故B的高为 1，“B的底面半径是高的 2倍”。
故B的半径为2；已知质量相同，问密度，用初中物理常识公式，m=ρV，m→质
量、ρ→密度、V→体积，问密度的关系，且质量不变，类似于 S=V*t，S 不变，
V、t 成反比；三量关系中，质量不变（乘积不变），体积和密度成反比，给出了
高和半径，可以找体积关系，V =πr²*h=π，V =1/3*πr²*h=4/3π，V ：
圆柱 圆锥 圆柱
V =1：4/3，则ρ之比为 4/3：1=4/3，对应 A项。【选 A】
圆锥
三角形相关之勾股定理
常考点：a²+b²=c²，特殊三角形三边关系
1.常考勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）
2.特殊三角形三边关系（题目只要出现角度往往很好做）
【注意】三角形相关之勾股定理：几何结论比较杂，方法精讲中学习必考的
结论，主要学习三角形相关的结论，直角三角形中使用最高频的就是勾股定理。
不考查反三角函数。
1.常考点：a²+b²=c²，特殊三角形三边关系。直角边的平方之和=斜边的平
方，若已知一个三角形存在 a²+b²=c²关系，则这个三角形一定是直角三角形（RT
△），在公考中只需要记住，直角三角形和“a²+b²=c²”之间是等价关系。大多
数情况不需要用 a²+b²=c²解方程，理论上可以已知两个量，求另一个量，但考
试过程中80%的直角三角形，三边都是特殊勾股数，大概率不需要解方程，只需
16要用特殊数据凑数（找数），就可以快速解题。
2.常考勾股数：（3、4、5）→同时乘2→（6、8、10）、（5、12、13）。
3.特殊三角形三边关系（题目只要出现角度往往很好做）。
（1）一个30°角的直角三角形：三边比例关系为“1：2：√3”。
（2）等腰直角三角形：三边比例关系为“1：1：√2”。
4.几何学习不好的同学，至少要记住这 5 组勾股数，可以秒杀掉80%的勾股
定理题目，若有余力可以记住拓展的几组数据，（7、24、25）、（8、15、17）、（11、
60、61）、（13、84、85）。
【引例】（2020江苏）某训练基地的一块三角形场地的面积是 1920 平方米。
已知该三角形场地的三边长度之比是5：12：13，则其周长是：
A.218米 B.240 米
C.306米 D.360 米
【解析】拓展.出现三角形的面积，表面上需要套公式，给出三角形的长度，
看到“5、12、13”，要立刻想到直角三角形，已知面积，可以求出周长，
1/2*12x*5x=1920→30x²=1920→x²=64→x=8，问周长，所求=12x+5x+13x=30x=240，
对应B项。【选B】
17【注意】
1.与国考相比，江苏的数学运算题不难，每一年江苏的数学运算都比国考的
简单。
2.考场上的目标是将中等题和简答题拿下，在江苏省考中，拿下中等题和简
单题，至少能保证60%的正确率。
3.三角函数会涉及到函数，比较复杂，江苏考查过 sin、cos 的概念，在如
图的三角形中，三边分别为 a、b、c，b、c 边的夹角为∠α，sinα=a/c、cos
α=b/c、tanα=a/b（江苏考查）、cotα=b/a，了解这个概念即可。
几何方位题：
题型特征：题干出现方位（东南西北，偏向+度数）
画图方法：第一步：画出坐标轴（上北下南左西右东）
第二步：根据题意确认位置
注：偏向：A偏 B30度：与A的夹角是30 度
【注意】几何方位题：题目想要考查勾股定理，但没有直接表述，会表述一
些“废话”，呈现出直角三角形，这些“废话”会与实际生活相关，出现东南西
北等，如我在你的西边多少米，你在我的北边多少米等，连接各个点后会出现一
个直角三角形，因此几何方位问题要学会识别，需要自己将图画出来，发现是直
角三角形。
1.题型特征：题干出现方位（东南西北，AB连线等，偏向+度数）。
2.画图方法：
（1）第一步：画出坐标轴（上北、下南、左西、右东），边读方位，边确认
18位置。
（2）第二步：根据题意确认位置。
3.注：偏向，如 A 偏 B30 度，表示与 A 的夹角是 30 度。如图北偏东 30°，
表示如图所示的夹角为 30°；画“×”的位置是 60°。
【例3】（2024山东网友回忆版）某巡逻艇在海域 A点发现正南方 30千米处
的B点有一艘可疑船只正匀速向正西方行驶，巡逻艇以比该可疑船只快 1/3的速
度沿某一方向直线追击，两船恰好在 C 点相遇。问 B、C 两点之间的距离约多少
千米？
A.26 B.28
C.30 D.34
【解析】3.出现“正南方”，可以确定题型，有些题型特征比较明显的题目，
无需将题目从头读到尾，可能读第一句话就分析出题目，题干没有图，需要自己
画图，且基本上考查的都是直角三角形。边读题边找位置，“A 点发现正南方 30
千米处的 B 点”，可以将第一个出现的点当作原点，即 A 点的正下方 30 米为 B
点，在图像中，西在左边，如走到 C点，此时可以呈现出三角形（如图为绿色部
分），画图后可以发现，这个绿色的三角形为直角三角形，已知 AB的边长为 30，
但不知道AC和BC的长度。
已知“巡逻艇以比该可疑船只快 1/3 的速度沿某一方向直线追击”，巡逻舰
走 AC 边，可疑船走 BC 边，两条边的速度有差别，比字后面为分母，则 V /V
快 慢
=4/3，所求的距离为路程，在时间相同的情况下，速度之比为 4/3，则路程之比
为 4/3，相当于 AC 为 4x，BC=3x，理论上会呈现勾股定理“30²+（3x）²=（4x）
²”，为一元二次方程，求解比较麻烦，有两种方式。可以进行代入，但代入比较
19慢，可以根据选项秒杀，根据勾股定理，（4x）²=（3x）²+30²→30²=7x²，另一
个直角边的平方为 9x²，结合选项，9x²的直角边更长，7x 平方是短边，短边为
30，则长边的长度一定是 D项，对应D项。【选 D】
【注意】有同学考虑用 3 的倍数解题，如果所求为斜边，斜边为 3 的倍数，
但所求为BC（直角边），不一定是 3的倍数，有同学认为是 3x，所以为3 的倍数，
长度在理论上可以是小数，与倍数特性中的人不同，人一定是整数；若未知数是
车，则未知数一定是整数，若未知数是长度或速度，就不能确定未知数一定是整
数。
【例 4】（2022 北京）一个圆形水库的半径为 1 千米。一艘船从水库边的 A
点出发，直线行驶1 千米后到达水库边的 B点，又从 B点出发直线行驶 2千米后
到达水库边的C点。则 C点与A点的直线距离最短可能为多少千米？
A.不到1千米 B.1～1.3千米之间
C.1.3～1.6千米之间 D.超过 1.6千米
【解析】4.自己画图分析，如图为 AB两点，AB的长度为1，找 C点，“又从
B 点出发直线行驶 2 千米后到达水库边的 C 点”，圆中最长的线是直径，为 2km，
BC=直径，直径所对的圆周角为直角（记住结论），已知∠A为直角，观察三角形，
AB=1、BC=2，根据特殊勾股数，AC=√3≈1.732，对应 D项。【选D】
20【注意】√3≈1.732、√2≈1.414，属于常考数据，需要积累下来，江苏题
目一般都会给出具体数据。
套路题：最短路径
考察方式：求AB两点到直线距离之和最短
解题原理：两点之间，直线最短
解题技巧：镜面对称后连线
【注意】套路题：最短路径，一般情况下会给出两个点，为 A、B 两点，A、
B两点一定要过这条直线，且距离最短。
1.考察方式：求 AB两点到直线距离之和最短。
2.解题原理：两点之间，直线最短。
3.解题技巧：镜面对称后连线。
4.如A点是孙悟空，B点是二郎神，孙悟空和二郎神在空中打架，孙悟空要
用替身打二郎神，且孙悟空一定要与地面弹一下才能使用替身，问孙悟空在地面
弹到那一个点，能够令替身击打到二郎神的距离最短。孙悟空的替身可能走红色、
绿色、紫色的线，理论上可以走无数条线，要找最短的线，底层的逻辑是两点之
间直线最短，若直接连接 AB 不符合条件，此时需要找镜面对称点，通过直线作
孙悟空的镜面对称点，最短距离为 A’B，因为找到镜面对称后，直线相当于是
AA’的中垂线，中垂线上的任意一点，到线段的距离都是相等的。即 AO=A’O，
因为A’B最短，故OA+OB 是最短的。最短路径中的直角三角形是“藏起来”的，
需要自己找。
21【例5】（2019浙江）A、B点和墙的位置如下图所示。现从 A点出发以 5米
/秒的速度跑向墙，接触到墙后再跑到B点。问最少要多少秒到达 B点？
A.30 B.34
C.38 D.42
【解析】5.给图的题目优先做，问最少多少秒，表面上问最短时间，速度不
变，t=s/v，v不变，若s最小，则时间最小；找 A的镜面对称点为A’，此时 A’B
为最短距离，A’B不在直角三角形中，需要构造直角三角形A’BD，已知A’D=90，
A’A=45+45=90、BD=30+90=120，理论上可今年，快慢 3 以用勾股定理，列方程
求出AB的长度，但无需列方程，90：120=3：4，相当于AD为3份、BD 为4份，
则斜边为 5 份，90 对应 3 份，1 份对应 30，则 S=5*30=150，t=150/5=30，对应
A项。【选A】
22【例6】（2024国考）甲、乙两个联络站相距 10千米。一条道路与甲、乙联
络站连线相平行，且与两联络站连线的垂直距离为 12 千米。现需紧邻该道路建
一个工作站，问工作站距离甲、乙联络站距离之和最小为多少千米？
A.20 B.22
C.24 D.26
【解析】6.画图分析，要求距离之和最小，为最短路径问题，与例 5相比的
难点在于本题没有图（几何问题若没有图，难度就会上升一个档次），因此若想
在考场上做的顺利一点，要学会自己画图，如图，找 A的镜面对称点为 A’，所
求为 A’B，画辅助线，将其放到直角三角形 AA’B 中，AA’=12+12=24，10km
对应5份，24km对应 12份，考查勾股数“5、12、13”，所求为13份，对应26，
对应D项。【选D】
23【注意】本题只要能画出图就能秒杀，因为所求为斜边，斜边一定＞直角边，
则斜边＞24，观察选项，对应 D项。因此要形成习惯，计算之前要观察选项。
三角形相关之基础性质
1.两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
2.关于面积：
①两三角形底相同，面积之比等于高之比
②两三角形高相同，面积之比等于底之比
【注意】三角形相关之基础性质：
1.两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。代入排除法会用到，了解即
可。
2.关于面积：S =1/2*底*高，江苏考查过，且不止考查 1次。
△
（1）两三角形底相同，面积之比等于高之比。若高之比为2：3，则面积之
比为2：3；若高之比为 1：1，则面积之比为 1：1。
（2）两三角形高相同，面积之比等于底之比。若底之比为7：8，则面积之
比为7：8；若底之比为 1：1，则面积之比为 1：1。
【例 7】（2023 联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三
角形ABC区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形 DEF是中央工厂区，
已知 BD：DE：EC=1：2：3，F 为 AE 的中点，则新能源产业园区总面积是中央工
厂区面积的：
A.7倍 B.6倍
C.5倍 D.4倍
【解析】7.给比例求比例，没有具体数据，可以赋值，观察图形，所求为面
积，大概率用面积相关的结论，图形中不存在相似，一定要用高和底之间的关系
找面积，建议问面积，可以直接赋值面积为 1 份，赋值最小的为1份，则阴影部
分三角形和红色部分三角形的底相同，高之比为 2：1（无需证明，“眼睛就是尺”），
则△ADE 是 2 份，已知 BD：DE：EC=1：2：3，紫色部分三角形（△ABD）与红色
部分三角形（△ADE）之间，高相同，面积之比为底之比，则紫色三角形（△ABD）
24的面积为1份，△ACE 为3份，△ABC=1+2+3=6 份，对应 B项。【选B】
【拓展】（2019 江苏）某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整个
厂区分为四个功能区，如图所示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分别
为26亩、18亩和13 亩，若保留休闲区的12 亩天然小湖泊，则休闲区可利用的
陆地面积是：
A.36亩 B.26 亩
C.24亩 D.23 亩
【解析】拓展.如图，红色的大三角形是倒着的，如图将其转正，两个三角
形之间的高相同，面积之比为 13：26=1：2，则底之比为 1：2，则紫色的三角形
中，两个三角形之间的比例关系为 1：2，则休闲区的面积为 36，此时会有同学
错选A项，所求为陆地面积，36亩包含12亩天然小湖泊的面积，则剩余的陆地
面积为36-12=24，对应 C项。【选C】
25相似三角形相关
对应边（高）之比等于相似比
【注意】
1.相似三角形相关：对应边（高）之比等于相似比（对应边之比）。
（1）漏斗模型：两条线平行，内错角和对顶角相等，考场上无需证明。
（2）假山模型：两条线平行，同旁内角相同。
2.全等问题：如漏斗模型中，两个三角形一定是相似的，若相似比为 1：1，
则两个三角形一定是全等的。考场上发现全等三角形无需证明（眼睛就是尺）。
相似图形
若A与B是相似图形，且 A的对应边长是 B的k倍。则A和B：
①周长比=k：1
②面积比=k的平方：1
③体积比=k的立方：1
【注意】相似图形：若 A与B是相似图形，且 A的对应边长是B的 k倍，则
相似比为k：1。
1.周长比=k：1。
2.面积比=k的平方：1。周长比为1：2，则面积比为 1：4。
263.体积比=k的立方：1。小正方体与大正方体的相似比为1：3，则面积比为
1：9，体积比为1：27。立体图形更喜欢考体积。
4.所以的圆之间都是相似的，如大圆的半径为 2，小圆的半径为 1，半径之
比为1：2，则周长之比为 1：2，面积之比为 1：4。无需证明，圆是完全等比例
放缩的。
【例 8】（2023 联考）边长为 10 厘米的正方形 ABCD 如下图所示，E 为正方
形中的某一点，已知 AE长8厘米，BE长6厘米，问三角形 ADE的面积为多少平
方厘米？
A.24 B.32
C.44 D.48
【解析】8.题目出现图，几何问题，问三角形面积，缺谁找谁。
方法一：已知正方形边长为 10，即 AD=10，做辅助线 EF 为△AED 的高，相
当于以AD为底，需要找 EF，在题目中有直角三角形，已知边长为 6、8、10，故
△AEB 为直角三角形，∠1+∠2=90°、∠1+∠3=90°，故∠2=∠3，三角形内角
和为180°，则绿色的直角三角形（△ABE）与紫色三角形（△AEF）的三个角都
相等，为相似三角形；对应边成比例，AE 为公共边，AE/AB=EF/AE→8/10=EF/8
→EF=64/10=6.4，S =1/2*AD*EF=1/2*10*6.4=32，对应B项。
△
27方法二：令 AE为底，高为 DF，观察△ADF 和△ABE，是完全相等，考场上无
需证明（“你的眼睛就是尺”），AD=AB，∠1+∠2=90°、∠1+∠3=90°，故∠2=
∠3，∠2+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∠1=∠4，角边角，则△ADF和△ABE 全等，
考场上千万不要证明。AE=8，DE=8，S=1/2*8*8=32，对应B项。
方法三：考场思维，没有想到将 AE 作为底，在△ADE 中，过 E 点做高，垂
直与 AD，交 AD 于点 F，AE=8，△AEF 中，直角边一定小于斜边，则 EF=8-，S
△
=1/2*10*8-=40-，排除 C、D 项；观察△AED与△ABE，△AED的面积一定＞24，对
应B项。【选B】
【注意】
1.考场上推荐用方法二和方法三。
2.卡范围是常用的思维方式。
28【课后练习1】（2022江苏）某人以每小时 10公里的速度从甲地骑车前往乙
地，中午 12：30 到达。若以每小时 15 公里的速度行驶，上午 11：00 到达，则
他出发的时间是：
A.上午7：15 B.上午 7：30
C.上午7：45 D.上午 8：00
【解析】拓展1.基础行程问题，S=v*t。
方法一：方程法，所求为出发时间，但设出发时间不好列式，设上午十一点
到达时，用的时间为 t，则中午十二点到达时用的时间为t+1.5，根据题意列式：
15t=10*（t+1.5）→5t=15→t=3h，出发时间为 11 点往回推 3 个小时，为 8 点，
对应D项。
方法二：S不变，因此第一次跑跟第二次跑之间的速度成反比关系，速度之
比为 10：15=2：3，因此时间之比为 3：2，跑的慢用 3 份的时间，跑的快用 2
份的时间，两者之间相差 1 份的时间，1 份的时间为 1.5h，2 份时间为 3 小时，
出发时间为11点往回推 3个小时，为8点，对应 D项。
29方法三：代入，如果按照 A、B、C、D 项的顺序代入，比较麻烦，但运用好
算的思维，从D项开始代入，对应 D项。【选 D】
【课后练习 2】（2022 江苏）如图所示，某主题公园将一块正方形的地面按
七巧板图案设计，其中平行四边形1个、正方形 1个、等腰直角三角形 5个，并
用油漆将七块区域刷成不同的颜色。若每种颜色的油漆单价相同，平行四边形区
域的油漆费用为200 元，则整块地面的油漆费用为：
A.1200元 B.1600 元
C.2000元 D.2400 元
【解析】拓展 2.表面上是经济利润问题，总钱数之比就是面积比，实际上
是求面积，设平行四边形的面积为 2 份，则如图所示为各个小部分面积的份数，
一半的面积有8份，则总面积为 16 份，200元对应 2份，则16份对应 1600元，
对应B项。【选B】
【注意】
1.行程问题比较难，课后一定要对例 4进行复习。
2.几何问题的例 8也要进行复习。
3.明天的内容也比较难，不要求快，要学会。
30【答案汇总】
行程问题1-5：ADDCA；6：A
几何问题1-5：BADDA；6-8：DBB
31遇见不一样的自己
Be your better self
32
