文档内容
方法精讲-数量 5
（笔记）
主讲教师：贾慕白
授课时间：2024.04.16
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 5（笔记）
数量关系 方法精讲 5
学习任务：
1.课程内容：排列组合与概率问题、容斥原理问题
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第 227～232页
4.重点内容：
（1）掌握常用的排列组合公式，理解分类讨论与分步计算的区别，正难反
易则从反面求解
（2）掌握枚举法、捆绑法、插空法和插板法的适用范围和操作步骤
（3）掌握概率问题的两种考法——给情况求概率、给概率求概率
（4）掌握两集合容斥原理公式、三集合容斥原理的标准型和非标准型公式
（5）掌握画图法在容斥原理问题中的运用
第八节 排列组合与概率问题
一、排列组合问题
（一）基础概念
◼两个原理
➢加法原理
➢乘法原理
◼两个概念
➢排列
➢组合
1【注意】排列组合与概率问题：先学习排列组合问题，将排列组合问题掌握
透彻，概率问题就不难。因为概率问题本身是排列组合问题的衍生题型。
1.两个原理：分类用加法，分步用乘法。
（1）加法原理。
（2）乘法原理。
2.两个概念：排列与组合。
（1）排列：A。
（2）组合：C。
◆两个原理：加法与乘法
问题 1：从 A 市去 B 市，有 4 班动车车次，有 5 班飞机航班，问从 A 市去 B
市有多少种选择？
问题 2：从 C 市到 E 市，无直达方案，需从 D 市中转。C 市到 D 市有 4 班车
次，D市到 E市有 5班车次，问从C市去E 市有多少种选择？
【注意】两个原理：加法与乘法。之前学习过“分类用加法，分步用乘法”，
但这个概念很宽泛，会有同学搞不清楚什么是分类，什么是分步，先通过两个小
问题，总结一般性的判定方法。
1.问题 1：从 A市去B 市，有 4班动车车次，有 5班飞机航班，问从 A市去
B市有多少种选择？
答：假如从A市到 B市的4班动车为①、②、③、④，5班飞机为 a、b、c、
d、e，可以选择 4班动车中的任意一班，也可以选择 5班飞机中的任意一班，一
共有4+5=9 种选择。
2.问题 2：从 C 市到 E 市，无直达方案，需从 D 市中转。C 市到 D 市有 4 班
车次，D 市到E市有 5班车次，问从C市去 E市有多少种选择？
答：无法直达，需要从 D市中转，先从 C市到D市，再从 D市到 E市，假设
从 C 市到 D 市是①号车，到达 D 市后，会有 5 辆车等待选择；如果从 C 市到 D
市坐②号车，同样有 5辆车等待选择，因此，从 C市到D市坐任意一辆车，都有
5辆车等待选择，则一共有 4*5=20种情况。
3.在解决上述两个问题时，是将每种方法都想明白用乘法还是用加法进行计
2算，但做题过程中一定不可能这样细致的进行分析（比较耗时）。
◆两个原理：加法与乘法
加法原理：分类用加法（要么…要么…；或）
乘法原理：分步用乘法（既…又…；且）
问题 1：从 A 市去 B 市，有 4 班动车车次，有 5 班飞机航班，问从 A 市去 B
市有多少种选择？
问题 2：从 C 市到 E 市，无直达方案，需从 D 市中转。C 市到 D 市有 4 班车
次，D市到 E市有 5班车次，问从C市去E 市有多少种选择？
【注意】两个原理：加法与乘法。
1.加法原理：分类用加法。可以通过造句进行验证，“要么……要么……”
用加法，可以将“要么……要么……”理解为“或”。
2.乘法原理：分步用乘法。造句验证，“既……又……”用乘法。“既……又……”
是两件事情都要发生，可以理解为“且”。
3.例：
（1）问题 1：从 A 市去 B 市，有 4 班动车车次，有 5 班飞机航班，问从 A
市去B市有多少种选择？
答：可以坐动车，也可以坐飞机，“要么坐动车，要么坐飞机”，即只要选择
两种情况的其中一个，就可以完成这件事情，如从杭州到宁波，要么坐飞机，要
么坐动车，没有别的到达方案，不可能既坐动车，又坐飞机，用加法，所求=4+5=9。
（2）问题2：从 C市到E市，无直达方案，需从 D市中转。C市到 D市有4
班车次，D市到E市有 5班车次，问从C市去 E市有多少种选择？
答：从 C 市到 E 市，需要从 D 市中转，C 市到D 市有 4 班车次，D 市到 E 市
有5班车次，既要从C 市到D市，又要从 D 市到E市，不可能“要么从 C市到D
市，要么从D市到 E市”，用乘法，所求=4*5。
【拓展】（2019 河南司法）某市从市儿童公园到市科技馆有 6 种不同路线，
从市科技馆到市少年宫有5种不同路线，从市儿童公园到市少年宫有 4种不同路
线，则从市儿童公园到市少年宫的路线共有：
3A.24 种 B.36 种
C.34 种 D.38 种
【解析】拓展.从儿童公园到少年宫，有两种方案可以选择。
（1）方案一：从儿童公园直达少年宫，有4种不同路线。
（2）方案二：先从儿童公园到科技馆，再从科技馆到少年宫，属于“既……
又”的关系，儿童公园到市科技馆有 6种不同路线，从市科技馆到市少年宫有5
种不同路线，用乘法，为 5*6=30种情况。
从儿童公园到少年宫，要么直达，要么中转，因此两种方案之间要用加法。
所求=30+4=34，对应 C项。【选C】
◆两个概念：排列与组合
排列（A）：与顺序有关（选完人后，需要排序）
组合（C）：与顺序无关（只需要选人）
问题 1：从8个人中选出 3个人，排成一排照相，共有多少种安排方式？
问题 2：从8个人中选出 3个人打扫卫生，共有多少种选法？
【判定标准】从主体中任意挑出两个，交换顺序
结果有影响，与顺序有关（排列）
结果没影响，与顺序无关（组合）
【注意】两个概念：排列与组合，即使有些同学对排列组合问题感到熟悉，
也需要跟上老师，巩固知识点。
1.排列（A）：与顺序有关，选完人后，需要排序（因为交换顺序后效果不一
样）。
2.组合（C）：与顺序无关，只需要选人，无需排序（交换顺序后对结果没有
影响）
3.问题 1：从 8个人中选出3个人，排成一排照相，共有多少种安排方式？
答：从8个人中选出 3个人→排列组合问题（从若干个人中选出几个，问有
多少种排列方案），任意挑出两个主体交换顺序，假设选择的三个人是甲、乙、
丙，任意交换两人的顺序，变成乙、甲、丙，两种情况拍出来的照片不同，“C
位”的人不同（中间位置的人不同），交换顺序后结果不同，用A，所求为 A（8,3）。
44.问题 2：从 8个人中选出3个人打扫卫生，共有多少种选法？
答：只需要选出 3 个人，如选出“甲、乙、丙”与“乙、甲、丙”，没有任
何区别，如从听课的 100人中，任意选出3 个人，每人送一个汽车，交换顺序对
结果没有影响，为 C（8,3）。
5.判定标准：从主体中任意挑出两个，交换顺序：
（1）结果有影响，与顺序有关（排列）。
（2）结果没影响，与顺序无关（组合）。
◆排列与组合计算
A（n,m）=从n 开始往下递减相乘，共 m个数
全排列：A（n,n）=n*（n-1）*……*1
C（n,m）=从n 开始往下递减相乘，共 m个数/从m开始往下递减乘到 1
组合小公式：C（n,m）=C（n=m,n）
【注意】排列与组合计算：
1.A（n,m）=从 n 开始往下递减相乘，共 m 个数，A（8,3）=8*7*6，从 8 个
人中选择3个，一号位有 8个人可以选，二号位有 7个人可以选择，三号位有 6
个人可以选择，因此对应 8*7*6。原理不重要，重要是记住计算，如 A（9,4）
=9*8*7*6。
2.全排列：A（n,n）=n*（n-1）*……*1。如 8 个人中选出 8 个人照相，总
人数为8人，选出来 8人，为全排列，结果为 A（8,8）=8*7*6*5*4*3*2*1。
3.C（n,m）=从 n 开始往下递减相乘，共 m 个数/从 m 开始往下递减乘到 1。
C（8,3）=8*7*9/（3*2*1）。对于上述问题 1 来说，先选人，再排序，先从 8 个
人中选出3个，然后 3个人内部交换顺序，为 A（8,3）=C（8,3）*A（3,3）→C
（8,3）=A（8,3）/A（3,3）=（8*7*6）/（3*2*1），原理不重要，重点是记住计
算。
4.组合小公式：C（n,m）=C（n,m-n）。C（8,5）=8*7*6*5*4/（5*4*3*2*1）
=8*7*6/（3*2*1）=C（8,3），当下角标相同，上角标之和等于下角标时，两个数
相等，假如一个班级中 10 个人，老师要给 8 个人发汽车，剩余 2 个人什么都没
有，正面可以从 8 个人中选择，也可以从 10 个人中选择 2 个人不发汽车，其他
58 个人发汽车，最终的结果都是选择 8 个人发汽车，因此 C（10,8）=C（10,2）。
好处在于遇到C（10,8）的数据，可以直接算 C（10,2）即可。
5.C（n,n）=1。C（n,n）是从 n 个人中选择 n 个人，要一个不留全部带走，
结果为1。
7.C（5,1）=5、A（5,1）=5，即当上标为 1时，A（n,1）=C（n,1），只需要
选择1个人，没有顺序可言。
◆两个概念：排列与组合
排列（A）：与顺序有关（选完人后，需要排序）
组合（C）：与顺序无关（只需要选人）
问题 1：从8个人中选出 3个人，排成一排照相，共有多少种安排方式？
问题 2：从8个人中选出 3个人打扫卫生，共有多少种选法？
【判定标准】从主体中任意挑出两个，交换顺序
结果有影响，与顺序有关（排列）
结果没影响，与顺序无关（组合）
【注意】常考的排列：
1.排队。排队是广义概念，最容易想到军训排队，但排队可以是人排队，也
可以是不同的物品排队，如6辆汽车排成一排，默认这 6辆汽车是不同的，因为
6辆车的车型可能完全一样，但是车牌号一定是不同的，但不能想特殊情况，如
在小米工厂中发现 6 辆一样的汽车（不属于常规情况）。题目设置的都是常规的
角度。
2.拍照。
3.题干中出现“顺序”。
排列组合思维逻辑
1.目标是什么？
2.如何完成目标？（加法原理还是乘法原理）
3.排列还是组合？
打乱顺序
6对结果有影响：排列
对结果无影响：组合
备注：有些题目两步即可完成
【注意】排列组合思维逻辑：
1.目标是什么？
2.如何完成目标？运用加法原理还是乘法原理，可以通过造句来判断。
3.排列还是组合？打乱顺序，对结果有影响：排列；对结果无影响：组合。
4.备注：有些题目两步即可完成，大部分题目都需要三步才能解决。如少年
宫问题，不需要考虑排列组合，只需要简单的分析用加法原理还是乘法原理即可，
大部分的题目都需要将每一步都搞清楚。
【例 1】（2023 广东）某公司向餐馆订购盒饭，要求每份盒饭包含 2种荤菜、
2种素菜。如果餐馆共准备了6种荤菜和4 种素菜，则最多有多少种盒饭？
A.42 B.60
C.72 A.90
【解析】1.问最终有多少种盒饭，需要筛选盒饭，为排列组合问题，目标是
6种荤菜选2种，4 种素菜选2种。分析用排列还是组合，6个荤菜中选择 2个，
如两个荤菜分别为猪肉和鸡肉，先选鸡肉、后选猪肉，与先选猪肉、后选鸡肉，
两者之间没有任何区别，即交换顺序后没有区别，为 C（6,2），同理，4 个素菜
中选择2个，为C（4,2）。要求每份盒饭包含两荤两素，既要选择2 个荤菜，又
要选择2个素菜，用乘法，为 C（6,2）*C（4,2）=（6*5）/（2*1）*[（4*3）/
（2*1）]=30*3=90，对应D项。【选D】
【例 2】（2024 山东网友回忆版）某医院积极响应国家号召，组建医疗小分
队赴西部地区开展对口支援工作。该医院现有 6名男医生和3名女医生报名，现
从9人中抽取一组男、女医生都有的 3人小分队。问有多少种不同的组队方式？
A.63 B.70
C.73 D.60
【解析】2.方法一：目标是从9人中抽取一组男、女医生都有的 3 人小分队，
7有两种情况：
（1）“男医生选 1 名，女医生选 2 名”：从 6 名男医生中选择 1 个人出来，
为 C（6,1）；再从 3 名女医生中选出 2 名，为 C（3,2），“既要选择 1 名男医生，
又要选择2名女医生”，两种情况之间用乘法，为C（6,1）*C（3,2）=6*C（3,1）
=6*3=18。
（2）“男医生选 2名，女医生选 1名”，为 C（6,2）*C（3,1）=6*5/（2*1）
*3=3*5*3=45 种情况。
两种情况之间属于“要么……要么”的关系，用加法，所求=18+45=63，对
应A项。
方法二：正面情况比较多，可以考虑反面→正难则反，要求满足条件的情况
数，可以用总情况数-不满足要求的情况数，所求=总情况数-只有男医生-只有女
医生的情况。总的情况为不管性别从9个人中选择 3个人，为C（9,3）。只有男
医生为 C（6,3），只有女医生为 C（3,3），所求=C（9,3）-C（6,3）-C（3,3）=
（9*8*7）/（3*2*1）-（6*5*4）/（3*2*1）-1=3*4*7-5*4-1=84-20-1=63，对应
A项。【选A】
【注意】
1.错误做法：从 6 个男医生中选择一个人，再从 3 个女医生中选择一个人，
就保持男、女医生都有，接下来从剩下的 7 个人中随意选择一个，就可以满足要
求，但这样列式后会发现本题没有答案，这种思维是错误的，因为会存在很多种
重复，若男医生为 A、B、C、D、E、F，女医生为 x、y、z，如果按照上述方法选
择，可以选择出“A、x、B”，也可能是“B、x、A”，两种情况是完全一样的，因
此这样会存在很多重复，绝对不可以用这样的做法。如果按照这种方法计算，可
能答案是 120，但计算出来的数据为 700、800。
2.一定要学习老师的方法，排列组合问题存在的问题是“不知道自己错在哪”，
因此做题一定要按照正常的思维，奇怪的方法一般都会存在很大的风险。
【例 3】（2021 新疆）某部门有 9 名员工，从中随机抽取 2 人参加公司代表
大会，要求女员工人数不得少于1人。已知该部门女员工比男员工多 1人，则共
8有多少种方案符合要求？
A.24 B.30
C.36 D.72
【解析】3.一共有 9个人，女员工比男员工多 1人，设男员工为 x人，女员
工为x+1，x+1+x=9→x=4，故男员工为4人，女员工为 5人，可以这样做，但比
较慢，总人数只有 9人，可以排列一下数据，能够知道有5个女员工，4个男员
工（因此小数字无需设未知数），目标是从 9 名员工中抽取 2 人参会，要求女员
工人数不得少于1 人的方案数。
方法一：正面思维，要么“女员工选 1 名，男员工选 1 名”，要么“女员工
选 2 名”，两种情况之间用加法，“女员工选 1 名，男员工选 1 名”为 C（5,1）
*C（4,1）=20（只需要选人，无需排序，因此用“C”计算）；“女员工选 2 名”
为C（5,2）=5*4/（2*1）=10，所求=20+10=30，对应B项。
方法二：出现“不少于 1”的情况下，可以优先考虑反面。女员工至少 1个
的反面情况为没有女员工，女员工人数不少于 1人情况数=总的情况数-没有女员
工（只有男员工）情况数=C（9,2）-C（4，2）=36-6=30，对应B项。【选 B】
【拓展】（2021 联考）某高校开设 A 类选修课四门，B 类选修课三门。小刘
从中共选取四门课程，若要求两类课程各至少选一门，则选法有：
A.18 种 B.22 种
C.26 种 D.34 种
【解析】拓展.方法一：出现“各至少选一门”，可以优先考虑反面，要求两
类课程各至少选 1 门，即两类课程都要有，反面情况为只有 1类课程，即要么都
选 A，要么都选 B，所求=总情况数-都选 A-都选 B，一共要选择 4 门课程，因此
不可能都选 B（B 一共只有 3 门课程），所求=总情况-都选 A=C（7,4）-C（4,4）
=C（7,3）-C（4,4）=（7*6*5）/（3*2*1）=35-1=34，对应D项。
方法二：正面思考：
（1）1门A类选修课，3门B类选修课：C（4,1）*C（3,3）=4 种情况。
（2）2门A类选修课，2门B类选修课：C（4,2）*C（3,2）=6*C（3,1）=18
种情况。
9（3）3门A类选修课，1门B类选修课：C（4,3）*C（3,1）=12 种情况。
所求=4+18+12=34，对应D项。【选D】
【注意】不能在 A类课程中选择1门，在 B类课程中选择1门，再从剩余的
7门课程中选择 2门。
（二）经典题型
◼经典方法
➢枚举法（选项数字比较小，一般小于 10）
➢捆绑法
➢插空法
➢隔板法
【注意】经典方法：
1.枚举法：挨个列举，适用于选项数字比较小，一般选项数据小于 10，且
读题后明显感觉不能用 A或C解题。
2.捆绑法。
3.插空法。
4.隔板法。
【例 4】（2022 联考）某健身房近期推出甲、乙、丙、丁 4 项课程，每项课
程的一次消费分别为 200 元、300 元、400 元、500 元，会员可根据充值卡内余
额自行进行消费。会员小李充值卡内还剩 2200 元，打算在有效期内每项课程都
10至少消费1次，且将充值卡内余额恰好用完，问他消费这 4项课程的组合有多少
种不同的可能性？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】4.观察选项，选项均小于 10，找加和为 2200的有多少种情况，显
然不好用“A”或“C”解题，考虑枚举法，要求每项课程至少消费一次，此时会
花费 200+300+400+500=1400 元，还剩下 2200-1400=800 元，剩余的钱数可以随
便组合，挨个枚举情况，注意一定要按序枚举（避免出现重复和遗漏），一般建
议从大到小，本题按照 500、400、300、200 的顺序枚举，注意不要按照自己的
想法随意枚举（容易出现遗漏）。
（1）1次500、0次400、1次300、0 次200。
（2）0次500、2次400、0次300、0 次200。
（3）0次500、1次400、0次300、2 次200。
（4）0次500、0次400、2次300、1 次200。
（5）0次500、0次400、0次300、4 次200。
综上，一共有 5种情况，对应C项。【选 C】
【注意】枚举问题比较费时间，且容易出现重复和遗漏，因此如果认为枚举
题目的性价比不高，可以直接在考场上猜题，一般猜测答案为居中的数据，如选
项为3、4、5、6，一般可以从 4、5中猜测一项。枚举法最容易错的点在于重复
或遗漏，因此一般会将选项设置为连续的四个数字，无论是出现重复还是遗漏，
都会有对应的答案在选项中，如果答案为4 或5，无论是多枚举还是少枚举，都
会存在坑选项，如果答案为 6，枚举出来 7 个，可能还是会选择 6，如果答案为
3，枚举出来2个，此时还可能选择 3。
➢捆绑法：在一起、相邻、相连
解题思路：
①先捆：把相邻的元素捆绑成一个整体，注意内部有无顺序；
②再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续安排。
11【例】A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 是一对情侣，要求
照相时必须相邻，一共有多少种排法？
【注意】捆绑法：相邻用捆绑，相邻可以表述为“在一起、相连”。
1.解题思路：先捆再排。
（1）先捆：把相邻的元素捆绑成一个整体，注意内部有无顺序。
（2）再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续安排。
2.例.A、B、C、D、E五个人站成一排照相，其中 A、B是一对情侣，要求照
相时必须相邻，一共有多少种排法？
答：要求A、B 必须相邻，相邻用捆绑，先将 A、B捆起来，注意内部有无排
序，A 在左边和 B 在左边是不同的情况（照相时变换顺序是不同的结果），为 A
（2,2）；此时将 AB 看作是一个整体，相当于是 4 个人进行排序，4 个人任意交
换顺序，为A（4,4），所求为A（2,2）*A（4,4）。若ABC三个人是好朋友，要求
必须相邻，问有多少种排法，此时将三个人捆一起，为 A（3,3），此时 ABC三个
人为一个整体，相当于三个人排序，为 A（3,3）*A（3,3），属于先捆再排。
【例 5】（2020 河北事业单位）现有七年级的学生 1名，八年级的学生 4名，
九年级的学生5名，需让他们排一排拍一张合照，要求同一年级的学生要挨在一
起站，且七年级的学生不站两边，则有多少种不同的排法？
A.3760 B.4760
C.5760 D.6760
【解析】5.“拍一张合照”→有顺序，“要挨在一起站”→相邻问题，用捆
绑法，先捆再排，要求同一年级的学生要挨在一起站，7年级只有1 人，无需捆
绑；八年级有4名学生，为A（4,4）；九年级有5名学生，为A（5,5），“既要捆
8 年级，又要捆 9 年级”，两者之间用乘法，为 A（4,4）*A（5,5）；此时再进行
排序，“先……，再……”属于典型的分步，两者之间用乘法，“且七年级的学生
不站两边”，捆绑后每个年级相当于只有 1 个人，相当于有 3 个人排列，7 年级
不站两边，则7年级要站中间，8、9年级站两边，两个年级对应两个位置，为 A
（2,2）；所求=A（4,4）*A（5,5）*A（2,2）=24*120*2=48*120，结果一定＞
48*100=4800，排除 A、B 项，C、D 项尾数相同，无法利用尾数判断，结果一定
12＜50*120=6000，排除 D项，对应C项。【选 C】
【注意】可以背下来常用的数据，A（3,3）=3*2*1=6；A（4,4）=4*A（3,3）
=24；A（5,5）=5*A（4,4）=5*24=120。
➢插空法：不在一起、不相邻、不相连
解题思路：
①先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位；
②再插：将不相邻的元素插入到空位中。
【例】A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 吵架了，要求照相
时不能相邻，一共有多少种排法？
【注意】插空法：不在一起、不相邻、不相连。
1.解题思路：不相邻会形成两种元素，分别为可以相邻的和不可以相邻的。
（1）先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位。
（2）再插：将不相邻的元素插入到空位中。
2.例.A、B、C、D、E五个人站成一排照相，其中 A、B吵架了，要求照相时
不能相邻，一共有多少种排法？
答：不相邻，此时 C、D、E 可以相邻，先排可以相邻的C、D、E，三者之间
可以任意交换顺序，为 A（3,3），此时再进行插空，C、D、E 之间可以产生 4 个
空位，四个空位之间都是不相邻的，只需要将 AB 插入 4 个空位中的任意两个，
正常情况为C（4,2）*A（2,2），前面讲过 C（4,2）*A（2,2）=A（4,2），因此可
以直接用 A（4,2）计算，所求=A（3,3）*A（4,2）。有同学会用总的情况数-两
个人相邻的情况数，得到的结果一样，如果求两人不相邻，可以用这个方法，但
13如果求三个人不相邻，这种方法就是不对的。因为ABC不相邻的情况，可能包含
AB相邻，但与C不相邻；AC相邻，与B不相邻等；此时“总数-ABC 不相邻”会
包含很多其他情况。因此只有插空法才能真正的解决所有不相邻问题。
【例 6】（2023 成都事业单位）要将不同的五种商品 A、B、C、D、E 在货柜
上排成一排，其中 A、B必须排在一起，C、D不能排在一起。则有多少种不同的
排列方式？
A.12 B.20
C.24 D.48
【解析】6.出现“不同的五种商品”，可以理解为不同的人，本质是排队，
排队是有顺序的，要求“A、B 必须排在一起”，先捆再排，将 A、B 捆在一起，
为A（2,2），此时 AB为一个整体，相当于 4个人排序，要求C、D不相邻，用插
空法，先排可以相邻的，然后对不能相邻的进行插空，将 A、B的总体看作为 M，
即M、E可以相邻，对M、E进行排序，两者之间可以交换顺序，为 A（2,2），排
完 M、E 后会产生 3 个空位，再将 C、D 放入 3 个空中的任意两个，为 A（3,2），
所求=A（2,2）*A（2,2）*A（3,2）=2*2*6=24，对应C项。【选C】
14隔板法（同素分堆）
【例】7个相同的苹果分给三个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法？
用法特征：①必须是相同的东西 ②每人至少一个
方法：
①n 个相同物品形成 n-1个空，分给m 个人，每人至少一个，需要 m-1个板
子
②共有 C（m-1,n-1）种分法。
【注意】隔板法（同素分堆）：将同种元素分成若干堆。
1.例.7个相同的苹果分给三个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法？
答：7个相同的苹果→同素，分给三个小朋友→要分成三堆，要求“每人至
少分一个”，此时如果隔入一块板，相当于有两堆，若隔入2块板，会分成 3堆，
因此若要将7个苹果分为 3个小朋友，只需要隔入2块板，注意两边不隔板，只
能对 7 个苹果中间的 6 个空内进行隔板，在 6 个空中选择 2 个空，放入板即可，
交换两块板的顺序后，对分配方案没有影响，为C（6,2）。
152.用法特征：
（1）必须是相同的东西（同种元素）。
（2）每人至少一个。
3.方法：要理解记忆。
（1）n 个相同物品形成 n-1 个空，分给 m 个人，每人至少一个，需要 m-1
个板子
（2）共有C（m-1,n-1）种分法。
【例 7】（2020 联考）某城市一条道路上有 4 个十字路口，每个十字路口至
少有1名交通协管员，现将 8个协管员名额分配到这 4个路口，则每个路口协管
员名额的分配方案有：
A.35 种 B.70 种
C.96 种 D.114 种
【解析】7.名额即数量，如第一个路口分配到 3 个名额，来的人是甲、乙、
丙还是乙、丙、丁，没有区别，因此名额意味着同种元素，即无考虑人与人之间
不同，只看数量，本题相当于将 8个元素分成 4堆，每个路口至少 1个，所求为
C（7,3）=35，对应 A项。【选A】
【拓展】（2019 江苏事业单位）某领导要把 20 项任务分配给三个下属，每
个下属至少要分得 3项任务，则共有多少种不同的分配方式？
A.28 B.36
C.54 D.78
【解析】拓展.没有特殊说明，说明 20项任务都是相同的，分配给 3个下属，
相当于分成3堆，必须保证每人至少 1个，才能使用隔板法，本题要求每个下属
至少分得3项任务，可以将3转化为1，先让每个下属分得 2个任务，此时再让
每个下属至少1个，就可以保证每人至少 3 个，让每个下属分得2个任务，此时
还剩下 20-3*2=14 项任务，转化为 14 项任务分给 3 个人，每人至少一个，为 C
（13,2）=13*12/2=78，对应D项。【选D】
16【注意】每人分 2个，一共分出去6个，只有这一种方案，因为元素是完全
相同的，每个人先分得两个任务，再要求每个人至少一个，严格来说属于第一步
有 1 种方案，第二步有 78 种方案，一共存在 78*1=78 种方案，将“*1”进行了
省略。
二、概率问题
1.给情况求概率
公式：概率=满足要求的情况数/总情况数
2.给概率求概率
（1）分类用加法：P=P+P+……+P
1 2 n
（2）分步用乘法：P=P*P*……*P
1 2 n
逆向思维：正难反易，P=1-反面情况概率
【注意】概率：
1.给情况求概率：给正常的情况数，求概率，本质是排列组合，分子、分母
均为排列组合，概率=满足要求的情况数/总情况数，在大部分情况下，总情况数
都是好求的。
2.给概率求概率：给出一些概率，求新的概率。对于何时用加法、何时用乘
法，与排列组合的判定思路一样。
（1）分类用加法：造句为“要么……要么……”，P=P+P+……+P。
1 2 n
（2）分步用乘法：造句为“既……又……”，P=P*P*……*P。
1 2 n
3.逆向思维：正难反易，P=1-反面情况概率。
【补例 1】某商场进行抽奖活动，奖项分为一、二、三等奖，抽到一等奖的
概率为 1/10，抽到二等奖的概率为 1/5，抽到三等奖的概率为 3/10，则一个人
抽一次奖，可以获奖的概率为？
【补例 2】小明上学路上要经过三个红绿灯，第一个路口绿灯的概率为 4/5，
第二个路口绿灯的概率为 3/4，第三个路口绿灯的概率为 2/3，问小明上学路上
三个路口均是绿灯的概率为？
【注意】
171.补例 1：问“可以获奖的概率”，既可以是一等奖，也可以是二等奖，也
可以是三等奖，为“或”关系，只抽一次奖，可以造句为“要么是一等奖，要么
是二等奖，要么是三等奖”，不能造句为“既要一等奖，又要二等奖，又要三等
奖”，不能抽三次奖，一定是“要么……要么……”的关系，分类用加法，所求
=1/10+1/5+3/10。
2.补例 2：问“小明上学路上三个路口均是绿灯的概率”，既要第一个路口
是绿灯，又要第二个路口是绿灯，又要第三个路口是绿灯，造句为“既……又……”，
分步用乘法，所求=（4/5）*（3/4）*（2/3）。
【例 1】（2020 联考）物业派出小王、小曾、小郭三名工作人员负责修剪小
区内的 6 棵树，每名工作人员至少修剪 1 棵（只考虑修剪的棵数），则小王至少
修剪3棵的概率为：
A.3/10 B.3/7
C.1/4 D.3/5
【解析】1.“只考虑修剪的棵数”说明是同种元素，只看数量；6个同种元
素分成3堆，每堆至少 1个元素，属于同素分堆，考虑隔板法。问“小王至少修
剪3棵的概率”，P=（小王≥3棵的情况数）/总情况数。
总情况：6 个同种元素分成 3 堆，每堆至少 1 个元素，考虑隔板法，6 个元
素中间有5个空，分成 3堆，需要插入2块板子，总情况数=C（5,2）=5*4/（2*1）
=10。分母是 10，B、C 项一定错误，10不可能约成 7，也不可能约成 4，10需要
是答案分母的倍数，排除B、C项；需要继续分析分子。
方法一：总共 6棵树，可以直接枚举，可以是小王 3棵、小曾 2棵、小郭1
棵，可以是小王3 棵、小曾1棵、小郭 2棵，也可以是小王 4棵、小曾 1棵、小
郭1棵，分子为 3，P=3/10，对应A项。
方法二：如果数字大一点，不方便枚举。如果要求每个人都至少为 3棵，需
要先给每个人发2 棵，再考虑隔板法。本题为“小王至少修剪3棵、小曾和小郭
至少修剪 1 棵”，隔板法适用于“至少有 1 个”，先给小王 2 棵，还剩 6-2=4 棵，
再给小王、小曾、小郭都至少 1 棵，转化为 4 个相同元素分成3堆，每堆至少 1
个元素，分子为C（3,2）=C（3,1）=3，P=3/10，对应A项。【选A】
18【例 2】（2024 山东网友回忆版）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮
影、风筝、麦秸画、柳编、葫芦画、锡雕、鲁班枕 8个展厅。因时间原因，一名
参观者决定从8个展厅中随机选取 3个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被
选中的概率是多少？
A.5/14 B.15/28
C.9/14 D.19/28
【解析】2.求概率，给具体的情况，没有给概率；只要没有给概率，都不算
给概率求概率，说明是给情况求概率，本质就是排列组合，P=满足要求的情况数
/总情况数。
方法一：如果从正面考虑，情况数比较多，考虑反面。“叶雕和皮影展厅至
少一个被选中”的反面是“叶雕和皮影都不选”，P =1-P ，
叶雕和皮影至少选一个 叶雕和皮影都不选
从8个展厅中随机选取 3个参观，总情况数为 C（8,3）；叶雕和皮影都不选，说
明只能从剩余的8-2=6个展厅中选取3个参观，情况数为C（6,3），所求=1-C（6,3）
/C（8,3）=1-[（6*5*4）/（3*2*1）]÷[（8*7*6）/（3*2*1）]=1-5/14=9/14，
对应C项。
方法二（正面）：学习分类思维。“叶雕和皮影展厅至少一个被选中”可以分
为两种情况，即“只选 1个”和“2个都选”。总情况数为 C（8,3），只需要算满
足要求的情况数。
（1）只选 1 个：从叶雕和皮影中选 1 个，为 C（2,1）；一共选 3 个，再从
剩余的6个展厅中选2个，为C（6,2）；分步用乘法，C（2,1）*C（6,2）=2*[6*5/
（2*1）]=30。
（2）2个都选：从叶雕和皮影中选2个，为 C（2,2）；一共选 3个，再从剩
余的6个展厅中选 1个，为C（6,1）；分步用乘法，C（2,2）*C（6,1）=1*6=6。
P=满足要求的情况数/总情况数=（30+6）/C（8,3）=36÷[（8*7*6）/
（3*2*1）]=9/14，对应 C项。【选C】
【注意】
1.观察选项，A项+C项=1，A项就是反面情况的概率。在概率问题中，如果
19能从反面考虑，出题人往往会把相加为 1的两个选项设置在一起，可能先求反面
情况的概率，但可能忘记用 1减去。
2.对于概率问题，如果可以从反面考虑，往往会有反面情况的陷阱，如果考
试没有时间，可以在 A、C项中猜。
【例 3】（2023 天津事业单位）一枚骰子共有六面，点数从 1 到 6，每次掷
骰子得到的数字概率相同。掷三次骰子得到的三个数字完全相同的概率：
A.小于 2% B.在2%～5%之间
C.在 5%～8%之间 D.大于8%
【解析】3.题干没有给出概率，求概率，P=满足要求的情况数/总情况数。
掷第一次骰子有6 种可能，掷第二次骰子有 6种可能，掷第三次骰子也有6种可
能，总情况数=6*6*6。要求是“掷三次骰子得到的三个数字完全相同”，掷第一
次骰子有 6 种可能，可以投 6 个数字中的任何一个数字；掷第二次骰子只有 1
种可能，如果第一次投的点数是“5”，那么第二次投的点数只能是“5”；同理，
掷第三次骰子也只有 1种可能，满足要求的情况数=6*1*1。P=满足要求的情况数
/总情况数=6*1*1/（6*6*6）=1/36，首位商 2，首位商不到3，结果为 2+%，对应
B项。【选B】
【例 4】（2024 上海网友回忆版）某市向广大市民随机发放消费券，规则是
先公布消费券发放额，再根据商家的参与量决定中签率。第一批消费券商家参与
度较高，中签率为 60%；第二批和第三批消费券的中签率均为 20%。三批消费券
依次发放，市民张先生连续三次申请，则他恰好成功两次的概率约为：
A.20% B.40%
C.60% D.80%
【解析】4.“中签率”就是概率，给概率求概率，需要结合分类和分步的思
维解题。
（1）第一次成功、第二次成功、第三次不成功：要求是“恰好成功两次”，
一旦前两次成功，第三次必须不成功，第一次成功的概率是 0.6，第二次成功的
概率是 0.2，第三次成功的概率是 0.2，第三次不成功的概率是 1-0.2，
20P=0.6*0.2*（1-0.2）=0.6*0.2*0.8。
1
（2）第一次成功、第二次不成功、第三次成功：第一次成功的概率是 0.6，
第二次不成功的概率是 1-0.2，第三次成功的概率是 0.2，P=0.6*（1-0.2）
2
*0.2=0.6*0.8*0.2。
（3）第一次不成功、第二次成功、第三次成功：第一次不成功的概率是 1-0.6，
第二次成功的概率是 0.2，第三次成功的概率是 0.2，P =（1-0.6）
3
*0.2*0.2=0.4*0.2*0.2。
造句为“要么……要么……”，分类用加法，P=P+P+P=0.2*（0.48+0.48+0.08）
1 2 3
=0.2*（0.96+0.08）=0.2*1.04≈0.2，对应 A项。【选A】
【注意】第一种情况和第二种情况的本质是一样的，因为第二次成功和第三
次成功的概率是一样的。
【注意】排列组合与概率问题：
1.排列组合问题：
21（1）基础概念：
①分类用加法：造句为“要么……要么……”。
②分步用乘法：造句为“既……又……”。
③有序用排列：交换顺序，结果不一样，不能互换。
④无序用组合：交换顺序，结果一样，可以互换。
（2）经典题型：
①情况数少：考虑枚举法，按照次序，可以从大到小，也可以从小到大。
②必须相邻：考虑捆绑法，先捆再排，先将需要相邻的元素捆在一起，捆完
后看作一个整体，再和剩余的元素进行排序。
③不能相邻：考虑插空法，先排再插，先排可以相邻的元素，再将要求不相
邻的元素插空。
④同素分堆：考虑插板法（也称“隔板法”），C（n-1,m-1）。
（3）正难反易：正面情况数=总情况数-反面情况数。
2.概率问题：
（1）给情况求概率：P=满足要求的情况数/总情况数，本质就是排列组合。
（2）给概率求概率：分类用加法（要么……要么……），分步用乘法（既……
又……）。
（3）正难反易：正面情况概率=1-反面情况概率。
第九节 容斥原理问题
容斥原理本质：去重补漏
◼考查类型：
➢两集合容斥原理
➢三集合容斥原理
◼解题方法：
➢公式法
➢画图法
【注意】容斥原理问题：
1.容斥原理问题类似于中学的集合，但比中学的集合简单很多，考查纯粹的
22集合，比较简单。两个圆画在一起，中间会有重复，外围也会有遗漏，就是一个
“去重补漏”的过程。
2.考查类型：
（1）两集合容斥原理。
（2）三集合容斥原理。
3.解题方法：优先考虑公式法，如果套公式可以解决，不用画图，直接套公
式快速“秒”；如果套公式不能解决，再去画图。
两集合容斥原理
➢识别：两个集合，集合间有交叉（重合）
➢公式：A+B-AB=总数-都不满足
【注意】两集合容斥原理：
1.识别：两个集合（出现两个条件），集合间有交叉（重合）。
2.公式：A+B-AB=总数-都不满足。AB指的是“A∩B”，即A和 B的交集。
3.推导：了解即可，重点记结论。左边蓝色圆代表 A集合，右边绿色圆代表
B集合，中间的部分就是 AB，对于 A+B，中间的 AB重复了1次，需要减掉 1次，
此时加上外围的紫色部分才是“总数”，紫色部分既不满足 A、又不满足 B，紫色
部分对应“都不满足”，“-AB”是“去重”的过程，“+都不”是“补漏”的过程，
A+B-AB+都不满足=总数→A+B-AB=总数-都不满足。
【例 1】（2022 广东）某单位计划从全部 80 名员工中挑选专项工作组成员，
要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有 40 人有基
层经历，有 46 人有计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书
的有10 人。那么能够进入工作组的员工有多少人？
23A.16 B.40
C.46 D.54
【解析】1.“同时有基层经历和计算机等级证书”说明“有基层经历”和“有
计算机等级证书”有交叉，大概率是容斥问题。已知“既没有基层经历又未获得
计算机等级证书的有 10人”，都不符合的有 10人。“有基层经历”是A集合，“有
计算机等级证书”是 B集合；问“能够进入工作组的员工有多少人”，求 AB，代
入两集合容斥公式“A+B-AB=总数-都不满足”，列式：40+46-AB=80-10→86-AB=70
→AB=86-70=16，对应 A项。【选A】
【注意】
1.公式：A+B-AB=总数-都不满足。
2.本题不用算也能做，有两个集合，一个是 40人，另一个是46 人，两者交
集肯定小于40人，排除 B、C、D项，A项当选。
【例 2】（2022 联考）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人
数占全班的 14%，物理及格的人数比化学及格的人数多 10 人，且化学及格的人
数占全班人数的 60%。已知全班人数不超过 70 人，问物理及格的人中化学也及
格的有多少人？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】2.这种题目是近几年考查的热点。已知“物理、化学均不及格的人
数占全班的 14%”，出现百分数，第一反应就是比例，考虑倍数关系，人数只能
是正整数，都不及格/全班人数=14%=7/50（不能继续约分，7和50 互质），说明
全班人数是 50 的倍数；已知“全班人数不超过 70 人（≤70 人）”，全班人数只
24能是 50 人，都不及格的人数为 50*（7/50）=7 人；已知“化学及格的人数占全
班人数的 60%”，化学及格的人数为 50*60%=30 人；已知“物理及格的人数比化
学及格的人数多 10 人”，物理及格的人数为 30+10=40 人。设物理及格的人中化
学也及格的有 x 人（AB=x），代入公式“A+B-AB=总数-都不满足”，列式：
30+40-x=50-7，选项尾数各不相同，考虑尾数法，尾数 0-x的尾数=尾数0-尾数
7→x的尾数=7，对应 C项。【选C】
【注意】
1.公式：A+B-AB=总数-都不满足。
2.考查热点：倍数结合范围确定人数。
3.本题为倍数特性与容斥问题的结合。
【拓展】（2023 浙江）某班级对 70多名学生进行数学和英语科目摸底测验，
有12%的学生两个科目均不及格。已知有 2/3 的学生英语及格，数学及格的学生
比英语多10人，那两科均及格的学生有多少人？
A.31 B.37
C.41 D.44
【解析】拓展.“70多名学生”说明总人数只能是 71～79人。已知“有12%
的学生两个科目均不及格”，都不及格/总人数=12%=12/100=3/25（不能继续约分），
说明总人数是 25的倍数；根据“70多名学生”，总人数一定是75人，都不及格
的人数为 75*（3/25）=9 人；已知“有 2/3 的学生英语及格”，英语及格的人数
为75*（2/3）=50人；已知“数学及格的学生比英语多 10人”，数学及格的人数
为50+10=60 人。问“两科均及格的学生有多少人”，求 AB，代入公式“A+B-AB=
总数-都不满足”，列式：50+60-AB=75-9，A、C 项的尾数都是1，B项的尾数是 7，
D 项的尾数是 4，可以尝试尾数法，尾数 0-AB 的尾数=尾数 6→AB 的尾数=4，对
应D项。【选 D】
【注意】公式：A+B-AB=总数-都不满足。
25三集合标准型公式
➢判定：分别给出或求解两两集合的交集（既 A又B、既B又C、既A又C）
➢公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不满足
【注意】三集合标准型公式：
1.判定：需要给出两两集合的交集（既 A 又 B→AB、既 B 又 C→BC、既 A 又
C→AC）。
2.公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不满足。
3.推导：了解即可，做题关键看如何应用公式。A、B、C有三个圆，AB为紫
色阴影部分（既在 A集合中、又在 B集合中），AC为蓝色阴影部分（既在 A集合
中、又在A集合中），BC为黄色阴影部分（既在 B集合中、又在 C集合中），AB、
BC、AC均包含中间的部分，即 ABC。推导公式仍需要“去重补漏”，对于 A+B+C，
AB加了 2次，多加了 1次，需要减去1次；BC加了2次，需要减去 1次；AC加
了 2 次，需要减去 1 次；ABC 加了 3 次，又减了 3 次，相当于没加，需要补上 1
次，A+B+C-AB-BC-AC+ABC+都不满足=总数→A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不满足。
【例 3】（2020 新疆）某单位共有 240名员工，其中订阅 A期刊的有 125人，
订阅B期刊的有 126 人，订阅 C期刊的有135 人，订阅 A、B期刊的有 57人，订
阅A、C 期刊的有73 人，订阅 3种期刊的有 31人，此外，还有 17人没有订阅这
三种期刊中的任何一种。问订阅 B、C期刊的有多少人？
A.57 B.64
C.69 D.78
【解析】3.根据题意，共有 A、B、C 三个集合，对于三集合非标准型公式，
26除了BC，其余量都是已知的，代入公式“A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不满足”，
列式：125+126+135-57-BC-73+31=240-17，选项的尾数均不相同，考虑尾数法，
尾数6-尾数0-BC的尾数+尾数1=尾数3→BC的尾数=尾数6+尾数1-尾数3=尾数
4，对应B项。【选 B】
【注意】
1.公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不满足。
2.本题的关键在于套公式，几乎没有思维过程，之所以会觉得难，是因为公
式不熟悉。
三集合非标准型公式
➢判定：统一给出或求解只满足两种
➢公式：A+B+C-只满足两项-2*满足三项=总数-都不满足
【注意】三集合非标准型公式：
1.判定：没有给出 AB、BC、AC，统一给出或求解“只满足两种”。
2.公式：A+B+C-只满足两项-2*满足三项=总数-都不满足。
3.推导：蓝色阴影部分是 M（只满足 A 和B、不包含ABC），紫色阴影部分是
P（只满足A和C、不包含 ABC），绿色阴影部分是 N（只满足B和C、不包含 ABC），
“只满足两种”不包含“满足三项”。对于 A+B+C，M、N、P各加了 2 次，需要各
减去 1 次；中间的部分代表“满足三项”，本质就是 ABC，加了 3 次，M、N、P
均不包含“满足三项”，-M、-N、-P均与“满足三项”无关，则“满足三项”只
需要减去 2 次，M+N+P 就是“只满足两种”，A+B+C-只满足两项-2*满足三项=总
数-都不满足。
274.注意：只满足两个条件的人数=满足两个条件的人数，为常规的语言习惯，
记住这种说法即可。比如考三门课，其中两门及格的人数为 20人，这 20人是不
包含三门都及格的。
【例 4】（2023 事业单位联考）某高新技术园区对园区内的部分企业的专利
申请情况进行了调查，在接受调查的企业中，申请了发明专利的有 46 家，申请
了实用新型专利的有 69家，申请了外观设计专利的有 25家，三类专利都申请了
的有 12 家，申请了其中两类专利的有 39 家，三类专利都没申请的有 16 家，那
么接受调查的企业有多少家？
A.89 B.93
C.106 D.111
【解析】4.“申请了其中两类专利的有 39家”即“满足两项”，与“只满足
两项”是同一个含义，代入三集合非标准型公式“A+B+C-只满足两项-满足三项
*2=总数-都不满足”，列式：46+69+25-39-12*2=总数-16，选项尾数各不相同，
考虑尾数法，尾数 0-尾数9-尾数4=总数的尾数-尾数6→尾数7=总数的尾数-尾
数6→总数的尾数=3，对应B项。【选B】
【注意】公式：A+B+C-只满足两项-2*满足三项=总数-都不满足。
三集合标准型与非标准型的区分：
标准型判定：分别给出两两集合的交集（既 A又B、既A又C、既 B又C）
【例】（2018 陕西）有关部门对 120 种抽样食品进行化验分析，结果显示，
28抗氧化剂达标的有 68 种，防腐剂达标的有 77 种，漂白剂达标的有 59 种，抗氧
化剂和防腐剂都达标的有 54种，防腐剂和漂白剂都达标的有 43种，抗氧化剂和
漂白剂都达标的有 35种，三种食品添加剂都达标的有 30种，那么三种食品添加
剂都不达标的有多少种？
非标准型判定：统一给出或求解只满足两种（满足两种）
【例】（2018人行）某单位开展有关低碳生活的调查活动，结果显示，使用
太阳能热水器的有 36人，选乘公共交通上下班的有 21人，购物自备购物袋的有
47 人。经统计发现三个问题均为肯定答案的有 4 人，仅有两个问题为肯定答案
的有46 人，三个问题均为否定答案的有 15 人。那么，参加调查的总人数为多少
人？
【注意】三集合标准型与非标准型的区分：背熟公式之后自然就会知道。
1.标准型判定：
（1）公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不满足。
（2）分别给出两两集合的交集（既 A 又B、既A又C、既B又 C）。
（3）例：（2018 陕西）有关部门对 120 种抽样食品进行化验分析，结果显
示，抗氧化剂达标的有 68 种，防腐剂达标的有 77 种，漂白剂达标的有 59 种，
抗氧化剂和防腐剂都达标的有 54种，防腐剂和漂白剂都达标的有 43 种，抗氧化
剂和漂白剂都达标的有 35种，三种食品添加剂都达标的有 30种，那么三种食品
添加剂都不达标的有多少种？
答：抗氧化剂为 A，防腐剂为 B，漂白剂为 C，“抗氧化剂和防腐剂都达标的”
为AB，“防腐剂和漂白剂都达标的”为 BC，“抗氧化剂和漂白剂都达标的”为AC，
给出AB、BC、AC，用三集合标准型公式。
3.非标准型判定：
（1）公式：A+B+C-只满足两项-2*满足三项=总数-都不满足，“满足三项”
就是ABC。
（2）统一给出或求解“只满足两种（满足两种）”。
（3）例：（2018 人行）某单位开展有关低碳生活的调查活动，结果显示，
使用太阳能热水器的有 36人，选乘公共交通上下班的有 21人，购物自备购物袋
的有 47 人。经统计发现三个问题均为肯定答案的有 4 人，仅有两个问题为肯定
29答案的有46人，三个问题均为否定答案的有 15人。那么，参加调查的总人数为
多少人？
答：已知“仅有两个问题为肯定答案的有 46人”，无法使用三集合标准型公
式，用三集合非标准型公式。
◼方法选择
1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分
2.画图法：题目中所给所求公式里没有，公式法不好用（往往出现只满足一
个条件）
◼画图法三步走：
第一步，画圈圈
第二步，标数字（从里到外，注意去重）
第三步，列算式
【注意】方法选择：能用公式解决就优先套公式，无法套公式再画图。
1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分。
2.画图法：题目中所给所求公式里没有，公式法不好用，往往出现只满足一
个条件，比如“只满足某个条件的有……人”。
3.画图法三步走：
（1）第一步，画圈圈。
（2）第二步，标数字，从里到外，注意去重，从里到外的目的也是去重。
（3）第三步，列算式。
【例 5】（2024 江苏网友回忆版）某基层工会共有 180 名会员，举行甲、乙
两项工会活动，60%的会员参加甲活动，50%的会员参加乙活动，若只参加甲活动
的会员有80人，则只参加乙活动的会员有：
A.10 人 B.36 人
C.62 人 D.78 人
【解析】5.已知“某基层工会共有 180 名会员，举行甲、乙两项工会活动，
60%的会员参加甲活动，50%的会员参加乙活动”，甲=180*60%=108 人，乙
30=180*50%=90人。出现“只参加甲活动的会员”，问“只参加乙活动的会员”，无
法代入公式，考虑画图法。画两个大圆圈，分别代表甲和乙，有大方框就代表有
“都不满足”，本题没有强调“都不满足”。已知“某基层工会共有 180 名会员，
举行甲、乙两项工会活动”，说明这 180 人都参加了活动，不用画出大方框。已
知“只参加甲活动的会员有 80 人”，左半边的“月牙”是 80 人，则中间的部分
是108-80=28人，故右半边的“月牙”是 90-28=62人，对应C项。【选 C】
【注意】虽然 80+28+62=170人，相差 10人，实际上是有方框的，但不影响
做题，按照图形所标数据计算即可。
【注意】容斥原理问题：
1.公式法：一定要把公式背熟。
（1）两集合：A+B-A∩B=总数-都不。
（2）三集合：
①标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
②非标准型：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不。
2.画图法：如果公式解决不了，再考虑画图法。
（1）画圆圈，标数据。
（2）从里到外，注意去重。
31课后测验
课后练习 1（2023 联考）如果 3个学生一起报名，且 3个学生都通过科目一
考试，那么就可以减免 1个学生的报名费。他们 3人不能通过科目一考试的概率
分别为 1/2、1/3、1/4，则减免1个学生报名费资格的概率为：
A.3/4 B.2/3
C.1/3 D.1/4
【解析】拓展 1.若想减免 1 个学生的报名费资格，需要 3 个学生都通过科
目一考试。已知“他们 3人不能通过科目一考试的概率分别为 1/2、1/3、1/4”，
他们3人通过科目一考试的概率分别为 1-1/2=1/2、1-1/3=2/3、1-1/4=3/4。若
想3个学生都通过科目一考试，既要第1个人通过、又要第 2个人通过、又要第
3个人通过，造句为“既……又……”，分步用乘法，P=P*P*P=（1/2）*（2/3）
1 2 3
*（3/4）=1/4，对应 D项。【选D】
课后练习 2（2019 联考）某班参加学科竞赛人数为 40 人，其中参加数学竞
赛的有 22 人，参加物理竞赛的有 27 人，参加化学竞赛的有 25 人，只参加两科
竞赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人？
A.2 B.3
C.5 D.7
【解析】拓展 2.根据题意，共有三个集合，为三集合容斥问题；出现“只
参加两科竞赛”，代入三集合非标准型公式“A+B+C-只满足两项-满足三项*2=总
数-都不满足”，“参加学科竞赛人数为 40 人”意味着“都不满足=0”，设参加三
科竞赛的有x人（满足三项=x），列式：22+27+25-24-2x=40，考虑尾数法，尾数
4-尾数 4-2x 的尾数=尾数 0→2x 的尾数=0，排除 A、B、D 项，只有 C 项满足，C
项当选。【选C】
◼数量关系复习策略
数字推理：①每天保持刷题，把题库中浙江所有的数推题做1～2遍
②除浙江外，江苏、广东、深圳、吉林的题目也可以做
32数学运算：1、容易且考频高（必修）
和差倍比问题、工程、经济、基础行程、概率问题
2、容易但考频不是很高（选修 1）
容斥、最值、溶液、等差数列等
3、难度高但是考频高（选修 2）
排列组合、几何问题、复杂行程等
【注意】备考策略：
1.数字推理：主要是江苏、浙江、广东会考数字推理，上海的数字推理不是
很常规。
（1）每天保持刷题（题量看个人），把题库中浙江所有的数推题做 1～2遍。
浙江数字推理考查 5道题。
（2）除浙江外，江苏、广东、深圳、吉林的题目也可以做，吉林的题目比
较少；上海的数字特征很奇怪，可以不做。
2.数学运算：
（1）容易且考频高（必修）：
①和差倍比问题：没有专门讲解这类题目，三大方法主要针对的就是和差倍
比问题，题目中涉及和、差、倍数、比例的关系。
②工程问题：总体难度一般不会太大，基本上都是中等难度或简单难度，必
须拿分。
③经济利润问题：以简单题目为主。
④基础行程；读完题目之后，运动过程很清楚。
⑤普通的概率问题。
（2）容易但考频不是很高（选修 1）：容斥、最值（问“最多/最少为多少”）、
溶液、等差数列等，不涉及很复杂的知识点。
（3）难度高但是考频高（选修 2）：排列组合、几何问题、复杂行程等，比
较难，不建议做复杂行程问题，主要做基础行程问题；如果实在学不会排列组合
问题，可以先放弃；简单的几何问题可以做，立体几何往往比较难，可以先不管。
33【答案汇总】
排列组合问题 1-5：DABCC；CA
概率问题 1-4：ACBA
容斥原理问题 1-5：ACBBC
34遇见不一样的自己
Be your better self
35
