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主题：排列组合
日期：2022.12.12排列组合（笔记）
第七章 排列组合
【注意】排列组合难且考查多。
1.基础概念。
2.枚举法。
3.捆绑法。
4.插空法。
5.插板法。
6.环形排列。
7.错位排列。
1.基础概念
【注意】分类与分步：
1.分类：用加法（要么…要么…）（“或”的关系；多者选其一）；相加→
一步到位，拿出来哪一个都好使。出现“至少”，是分类，分类考查正面思想和
反面思想。
2.分步：用乘法（先…后…/既…又…）(“且”的关系；同时满足)；相乘
→一步不好使，必须都完成。如：先上午再下午，是分步。
【练习 1】（2019 河南司法）某市从市儿童公园到市科技馆有 6 种不同路
线，从市科技馆到市少年宫有 5种不同路线，从市儿童公园到市少年宫有 4种不
同路线，则从市儿童公园到市少年宫的路线共有：
A.24 种 B.36 种
C.34 种 D.38 种
【解析】练习 1.问从市儿童公园到市少年宫的路线共有多少种，按照“做
事”思想。第一种：转车。儿童公园→科技馆→少年宫，先到科技馆再到少年宫，
- 1 -分步用乘法，有 6*5=30 种路线；第二种：直达。儿童公园→少年宫，有 4 种路
线。第一种、第二种分类用加法，共 30+4=34 种路线，对应C项。【选 C】
【注意】排列与组合：
1.排列：与顺序有关。例：一等奖 1亿、二等奖 1万、三等奖1 毛，从300
人中选3人中奖，调换顺序，对结果有影响，A(300,3)。
2.组合：与顺序无关。例：一等奖 1毛、二等奖 1毛、三等奖1 毛，从300
人中选3人中奖，调换顺序，对结果有影响，C(300,3)。
3.计算。
（1）A(m,n)=从 n开始往下乘m个数。A（9,2）=9*8；A（9,3）=9*8*7。
（2）C(m,n)=分子 A(m,n)/分母A(m,n)=从n开始往下乘m个数/从m开始往
下乘 m 个数。C(9,2)=9*8/2*1=36；C(9,3)=9*8*7/3*2*1；C(9,7)=C(9,2)；
C(6,4)=C(6,2)。
（3）一个元素是没有顺序的。C（5,1）=5/1=5；A（5,1）=C（5,1）。
4.凑 12：122=144,123=1728。例：A（2,2）*A（3,3）*A（3,3）*A（4,4）
=2*3*2*3*2*4*3*2=12*12*12=1728；A（2,2）*A（3,3）*A（4,4）*A（5,5）
=2*3*2*4*3*2*5*4*3*2=12*12*12*20=1728*20=34560。
5.判定标准：从选出的主体当中任意的挑出两个，调换顺序。
（1）对结果有影响，与顺序有关（A）。
（2）对结果无影响，与顺序无关（C）。
例 1：从七个葫芦娃中，任选两个去救爷爷。C（7,2）=7*6/2=21。
例 2：从七个葫芦娃中，任选两个去救爷爷，第一个去探路，第二个去打架。
A（7,2）=C（7,2）*A（2,2）。
4.排列组合思维逻辑三步走：
（1）目标是什么？
（2）如何完成目标（是分类还是分步）？
（3）排列还是组合？打乱顺序：
①对结果有影响：排列。
- 2 -②对结果无影响：组合。
5.灵魂：谁？干什么？怎么办？你！问题，分类/分步。
【例 1】（2021 国考）某商场开展“助农销售”活动，凡购买某种农产品满
300元者可获得一个礼盒，其中装有 6种干货中的随机 3种各1小袋，以及 1袋
小米或红豆。问内容不完全相同的礼盒共有多少种可能？
A.50 B.45
C.40 D.30
【解析】1.不完全相同即不能一模一样。6种干货中的随机3种，即 6个选
3个，C（6,3）=6*5*4/3*2=20 种；小米或红豆，即要么小米要么红豆，有 2种。
先干货再小米或红豆，分步用乘法，所求=20*2=40 种，对应C项。【选 C】
【注意】考场上如果计算出了 C（6,3）=6*5*4/3*2=20种，想到做事分先后，
分步用乘法，所求是 20的倍数，只有C项满足。
【例 2】（2021 联考）随着人们生活水平的提高，汽车拥有量迅速增长，汽
车牌照号码需要扩容。某地级市交通管理部门出台了一种小型汽车牌照组成办法，
每个汽车牌照后五位的要求必须是：前三位为阿拉伯数字，后两位为两个不重复
的英文字母（字母 O、I 不参与组牌），那么用这种方法可以给该地区汽车上牌
照的数量为：
A.397440 辆 B.402400 辆
C.552000 辆 D.576000 辆
【解析】2.车牌组合为前三位为阿拉伯数字，后两位为两个不重复的英文字
母（字母O、I不参与组牌）。0～9的阿拉伯数字有 10个；字母有 26个，当有
明确规定I、O不可用时，有 24个。阿拉伯数字没说不可重复，即可重复，阿拉
伯数字分别有10、10、10种；字母不可重复，分别有 24、23种。数字和字母有
先后顺序用乘法，所求=10*10*10*24*23=552000，对应C项。【选 C】
- 3 -【注意】如果阿拉伯数字要求不可重复，则有 10*9*8 种；如果字母没有明
确规定I、O不可用时，有 26个。
【例 3】（2019 新疆兵团）某单位有两个对口扶贫地，每月需安排 10 人到
两地参与扶贫工作，要求每个对口扶贫地区至少要有 4人参与工作。问共有多少
种不相同的分配方案？（ ）
A.210 B.252
C.420 D.672
【解析】3.出现“至少要有 4人参与”，分类思想，分为正向和反向。问共
有多少种不相同的分配方案。
方法一：正向。甲地：4人、5人、6人；乙地：6人、5人、4人；C（10,4）
=10*9*8*7/4*3*2*1=210；C（10,5）=9*8*7*6*5/5*4*3*2*1=252；C（10,6）=C
（10,4）=210。甲地要么 4 人，要么 5 人，要么 6 人，分步用加法，所求
=210+210+252=600+，对应D项。
方法二：反向。甲地：10 人、9 人、8 人、7 人；乙地：0 人、1 人、2 人、
3人。反向情况说太多，建议用正向思维。【选 D】
【注意】甲地分 4人后，剩余6人自动归乙地，则情况数为 C（10,4）。
【例 4】（2021 联考）某高校开设A类选修课四门，B类选修课三门，小刘
从中选取四门课程，若要求两类课程各至少选一门，则选法有：
A.18 种 B.22 种
C.26 种 D.34 种
【解析】4.出现“至少”，分类思想。
方法一：正向。（1）A：1；B：3。选出的主体调换顺序后结果无影响，有 C
（4,1）*C（3,3）=4*1=4 种；（2）A：2；B：2。有 C（4,2）*C（3,2）=18种；
（3）A：3；B：1。有C（4,3）*C（3,1）=4*3=12 种。分类用加法。所求=4+18+12=34，
对应D项。
- 4 -方法二：反向。A：4；B：0。所求=总数-不满足=C（7,4）-C（4,4）=35-1=34，
对应D项。【选 D】
【注意】
1.正向与反向那种情况数少用哪种。
2.特点考法：N 人分配到n-1地方，每个地方都有人，有多少分配方法？
3.最常考，4人去 3地。例：4名同学分到 3个卫生区，有多少种分法。
答：方法一：先选 2 人成一组，有 C（4,2）=4*3/2=6 种情况；再将 3 组分
到3个地方，有 A（3,3）种。分步用乘法，6*3*2=36种情况。
方法二：4 人先选出 2 人成一组，有 C（4,2）=4*3/2=6 种情况；再从 3 个
地方选一个给这两个人，有 3 种情况；最后剩下 2 人分 2 个地方，有 A（2,2）
=2种情况。分步用乘法，所求=6*3*2=36种情况。
【例 5】（2021 广东选调）某单位新来了 4名实习生，要将其分配到 3个部
门，每个部门至少分配 1人，则不同的分配方案有（ ）种。
A.24 B.36
C.64 D.72
【解析】5.假设有 a、b、c、d 四名实习生，到甲、乙、丙三个部门，先把
4 人分成 3 组，选 2 人成一组，剩下自动一人一组，有 C（4,2）=4*3/2=6 种情
况；三组人到三个部门，有顺序，A（3,3）。分步用乘法，6*3*2=36 种情况。对
应B项。【选 B】
【例 6】（2021 上海）安排 4 名护士护理 3 个病房，每个病房至少一名护
士，每名护士固定护理一个病房，则共有（ ）种安排方法。
A.24 B.36
C.48 D.72
【解析】6.方法一：4人到3地，假设有 a、b、c、d四个护士，到甲、乙、
丙三个病房，先把 4 人分成 3 组，选出 2 人成一组，剩下自动一人一组，有 C
- 5 -（4,2）=4*3/2=6种情况；三组人到三个病房，有顺序，A（3,3）。分步用乘法，
6*3*2=36种情况，对应 B项。
方法二：选出 2 人成一组，直接去 3 个病房中的 1 个，有 C（4,2）*3 种情
况；剩下2人去2个病房有 A（2,2）种情况。分步用乘法，所求=C（4,2）*3*A
（2,2）=6*3*36种情况，对应 B项。【选B】
【注意】N人分配到 n-1地方，每个地方都有人，有多少分配方法？
1.变形考法：有两个人有矛盾，不能一起。
2.例：有a、b、c、d四人，被分派到甲、乙、丙三个地方，a、b有仇，不
能分到一个地方，有多少种分配方案？
答：总情况数，4人到 3地，有36种情况。所求=总情况-在一起情况=36-A
（3,3）=36-6=30。
【真题回顾】（2015江苏）某单位欲将甲、乙、丙、丁 4名大学生分配到 3
个不同的岗位实习，若每个岗位至少分到 1 名大学生，且甲、乙两人被分在不同
岗位，则不同的分配方法共有（ ）。
A.30 种 B.36 种
C.60 种 D.72 种
【解析】真题回顾.4 人到 3 地，有 36 种情况。所求=总情况-在一起情况
=36-A（3,3）=36-6=30。对应A项。【选A】
2.枚举法
【注意】限定条件，情况数较少。
【例 7】（2022 联考）某健身房近期推出甲、乙、丙、丁 4项课程，每项课
程的一次消费分别为 200 元、300 元、400 元、500 元，会员可根据充值卡内余
额自行进行消费。会员小李充值卡内还剩 2200 元，打算在有效期内每项课程都
至少消费1次，且将充值卡内余额恰好用完，问他消费这 4项课程的组合有多少
- 6 -种不同的可能性？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】7.问他消费这 4项课程的组合有多少种不同的可能性，选项数字较
小，枚举法。钱数有限定，金额的组合数也限定了，即每项课程先各学一次，费
用=200+300+400+500=1400元，剩下2200-1400=800 元。用500、400、300、200
凑 800，则 500、400、300、200 分别对应 1、0、1、0；0、2、0、0；0、1、0、
2；0、0、2、1；0、0、0、4。共5种情况。对应 C项。【选C】
【课堂练习】（2019联考）小明计划到商店为自己购买衣服和鞋子，预算不
超过800 元，已知衣服每套的售价是 99元，每双鞋子的售价是 67元，如果小明
至少要买4套衣服和 3双鞋。那么他有多少种不同的购买方式？
A.5 B.7
C.8 D.4
【解析】课堂练习.至少要买 4 套衣服和 3 双鞋，先买 4 套衣服和 3 双鞋，
花费4*99+3*67=597 元，剩余800-597=203 元。衣服、鞋子分别对应：0、0；1、
0；2、0；0、1；0、2；0、3；1、1。共7种方案，对应 B项。【选 B】
- 7 -【注意】例 7 是 2200 全部花掉的组合，课堂练习是该买的已经买了，剩下
的想花就花的情况。
3.捆绑法
【注意】捆绑法（相邻）：
1.题目要求一部分主体必须在一起，需要先将要求在一起的部分排列，然后
视为一个主体，和其他主体排列。
2.灵魂：先内部小元素排，再大主体排。
例 1：老大、老二、老三、老四拍照，老大家有 2口人，且必须相邻。先排
老大家2口人有A（2,2）种，再将老大家看做一个主体，与老二、老三、老四排
序，有A（4,4）种，分步用乘法，共有 A（2,2）*A（4,4）种。
例 2：老大、老二、老三、老四拍照，老大和老二家分别有 2口人，且 1家
的 2 人必须相邻。先排老大家 2 口人有 A（2,2）种，老二家 2 口人有 A（2,2）
种，再将老大家看做一个主体，老二家看做一个主体，与老三、老四排序，有 A
（4,4）种，分步用乘法，共有 A（2,2）*A（2,2）*A（4,4）种。
【例 8】（2019 四川下）某场科技论坛有 5G、人工智能、区块链、大数据和
云计算5个主题，每个主题有 2位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序
必须相邻，问共有多少种不同的发言次序？
A.120 B.240
C.1200 D.3840
【解析】8.问共有多少种不同的发言次序。出现“必须相邻”，看成 5对夫
妻，所求=A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（5,5）
=2*2*2*2*2*120=32*120=3840，对应D项。【选 D】
【注意】考场上不要写 5个A（2,2），直接写 2即可。
- 8 -【例 9】（2016 国考）为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲
比赛，3个部门分别派出 3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比
赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内？
A.小于 1000 B.1000～5000
C.5001～20000 D.大于 20000
【解析】9.要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连。捆绑法，先内部小
元素排，再大主体排，所求=A（3,3）*A（2,2）*A（4,4）*A（3,3）
=3*2*2*4*3*2*3*2=12*12*12=1728，对应B 项。【选B】
【例 10】（2020 新疆）某美术馆计划展出 12 幅不同的画，其中有 3 幅油
画、4 幅国画、5 幅水彩画，排成一行陈列，要求同一种类的画必须连在一起，
并且油画不放在两端，问有多少种不同的陈列方式？
A.不到 1万 B.1 万～2万之间
C.2 万～3万之间 D.超过 3万
【解析】10.要求同一种类的画必须连在一起，捆绑法。先内部小元素排，
油画有A（3,3）种，国画有 A（4,4）种，水彩画有 A（5,5）种，打包成 3个大
主体，油画不放在两端，则油画只有 1种放法，国画和水彩画有 A（2,2）种。分
步 用 乘 法 ， 所 求 =A （ 3,3 ） *A （ 4,4 ） *A （ 5,5 ） *A （ 2,2 ）
=3*2*4*3*2*5*4*3*2*2=12*12*12*20=1728*20=34000+，对应D项。【选 D】
4.插空法
【注意】
1.特征：要求不相邻（每一个都不在一起）。
2.思路：
（1）先排：先安排其他可以相邻的元素，形成若干个空位；
（2）再插：将不相邻的元素插入到空位中。
【示例】A、B、C、D、E五个人站成一排照相，其中 A、B不能相邻。
答：先排C、D、E，有A（3,3）种，产生 4个空，从4个空选2 个排A、B，
- 9 -有A（4,2）种排法，先排再插，用乘法，所求=A（3,3）*A（4,2）。
【例 11】（2020 联考）某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收
藏分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若
观看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有：
A.24 种 B.72 种
C.96 种 D.120 种
【解析】11.先排能相邻的 3部分，有 A（3,3）种，产生4个空，从4个空
选 2 个排不能相邻的 2 部分，有 A（4,2）种排法，先排再插，用乘法，所求=A
（3,3）*A（4,2）=3*2*4*3=6*12=72 种，对应 B项。【选B】
【例 12】（2017 江苏）两公司为召开联欢晚会，分别编排了 3 个和 2 个节
目，要求同一公司的节目不能连续出场，则安排节目出场顺序的方案共有：
A.12 种 B.18 种
C.24 种 D.30 种
【解析】12.方法一：先排 2 个节目的公司，节目有先后顺序，有 A（2,2）
种情况，产生 3 个空，将另一个公司的 3 个节目插到 3 个空，有 A（3,3）种情
况。先排再插，用乘法，所求=A（2,2）*A（3,3）=2*3*2=12种，对应 A项。
方法二：先排 3个节目的公司，节目有先后顺序，有 A（3,3）种情况，产生
4个空，因为同一公司的节目不能连续出场，所以另一个公司的 2个节目不能选
边上的2个空，有 A（2,2）种情况。先排再插，用乘法，所求=A（3,3）*A（2,2）
=3*2*2=12种，对应 A项【选A】
【课堂练习】（2018 事业单位）某地组织 9 名政协委员负责调研农民工子
弟小学教学情况。调研结束合影前有 3名委员因紧急工作已经离开，学校决定安
排3名小学生代表与委员一起坐在前排。现要求每位小学生的两边都坐着政协委
员，一共有多少种不同的方式？
A.7200 B.29600
- 10 -C.43200 D.362880
【解析】课堂练习.6 名政协委员和 3 名小学生，要求每位小学生的两边都
坐着政协委员，说明小学生不相邻，且不在开头和结尾。先排政协委员有 A（6,6）
种，产生7个空，小学生不头不尾，则可选的有 5个空，有A（5,3）种。分步用
乘法，所求=A（6,6）*A（5,3）=6*5*4*3*2*5*4*3=12*12*12*25=1728*25=43200，
对应C项。【选 C】
【注意】因为政协委员没有要求，所以先安排政协委员。
5.插板法
【注意】
1.插板法：
（1）每人至少一个；
（2）分法是因为数量的多少引起的差别。
2.例 1：7个相同的苹果分给唐僧和悟空，每人至少分一个，有多少种分法？
答：分相同的苹果，7个苹果，一刀分成 2堆，刀的情况有C（6,1）种方式。
例 2：7 个相同的苹果分给唐僧、悟空和八戒，每人至少分一个，有多少种
分法？
答：7个苹果6 个空，分给3人，需要切 2刀，置换顺序验证是用 A 还是用
C，变换顺序后，不改变结果，为C（6,2）种情况。
例 3：7 个相同的苹果分给唐僧、悟空、八戒、沙和尚，每人至少分一个，
有多少种分法？
答：7个苹果6 个空，分给4人，需要切 3刀，有C（6,3）种情况。
- 11 -【例 13】（2017 辽宁事业单位）将 7 个大小相同的桔子分给 4 个小朋友，
要求每个小朋友至少得到 1个桔子，一共有几种分配方法：
A.14 B.18
C.20 D.22
【解析】13.7 个桔子有 6 个空，分给 4 人，需要切 3 刀，有 C（6,3）
=6*5*4/3*2=20种情况，对应 C项。【选C】
【注意】插板法，归根到底是同素的分堆。
1.考查同素：7 个相同的桔子。
2.考不同素：问名额的分配方案，实际也是同素考法。
【例 14】（2020 联考）某城市一条道路上有 4 个十字路口，每个十字路口
至少有1名交通协管员，现将 8个协管员名额分配到这 4个路口，则每个路口协
管员名额的分配方案有：
A.35 种 B.70 种
C.96 种 D.114 种
【解析】14.问的是名额的分配方案，考查同素分堆。8个人有7 个空，分给
4个路口，切3刀，有 C（7,3）=7*6*5/3*2*1=35 种，对应A项。【选 A】
【注意】同素分堆——再拓展。例：20 个相同的苹果分给三个小盆友，每人
至少分4个，有多少种分法？
答：3个人，每人先分 3个，共9个苹果。剩余 20-9=11个，剩下的每人至
少1个，11个苹果 10 个空，分给3个小朋友，插 2刀，有C（10,2）=10*9/2*1=45
种分法。
【课堂练习】（2019 天津事业单位）有 25 颗苹果，打算全部分发给 A、B、
C三人，若每人至少拿到 6颗苹果，则有（ ）种分发方式。
- 12 -A.15 B.20
C.35 D.36
【解析】课堂练习.每人至少 6 个，先每人分 5 个，共 5*3=15 个，剩余 10
个。剩余苹果每人至少分 1个，10个苹果9 个空，分给 3人，插2刀，有 C（9,2）
=9*8/2=36种，对应 D项。【选D】
【例 15】（2022 广东）甲、乙、丙 3 个单位订阅同一款报刊，已知 3 个单
位共订了 12 份，其中，每个单位订阅数量不少于 3 份，但不超过 5 份，则这 3
个单位的报刊订阅数量可能有（ ）种组合。
A.2 B.6
C.7 D.9
【解析】15.3 个单位订阅同一款报刊，同素。至少 3 份，每个单位先分 2
份，3个单位分6份，剩余 12-6=6份。剩余报刊每个单位至少分一份，6份报刊
5个空，分给3个单位，插 2刀，有C（5,2）=5*4/2=10种情况。题目要求每个
单位订阅数量不超过 5份，即小于等于5份，不达到 6份，6份分给 3个人，极
限为1、1、4，则最多有人拿到 4+2=6份，有 1、1、4；1、4、1；4、1、1，3种
情况不符合题意，所求=10-7=7种，对应C 项。【选C】
【注意】改为“每个单位订阅数量不少于 3份，但不超过6份”。每个单位
先分 2 份，3 个单位分 6 份，剩余 6 份。剩余报刊每个单位至少分一份，6 份报
刊5个空，分给3个单位，插 2刀，有C（5,2）=5*4/2=10种情况。6份报刊极
限为1、1、4，满足不超过 6份，则共有10 种情况。
- 13 -6.环形排列
【注意】
1.引例：5位同学围一圆桌吃饭饭，有（ ）坐法？
答：相对位置坐法。5 个人全排列为A（5,5），以下五种排法完全相同，要
去重复，所求=A（5,5）/5=A（4,4）。
2.结论：n 个人进行环形排列，有 A（n-1,n-1）种排法。6 人环形排列有 A
（5,5）种排法；8 人环形排列有A（7,7）种排法。
【例 16】（2016 陕西）6个小朋友围成一圈做游戏，小华和小明需要挨在一
起，问有多少种安排方法？
A.720 B.180
C.560 D.480
E.360 F.240
G.120 H.48
【解析】16.小华和小明需要挨在一起，先排内部小元素，为 A（2,2）；再
将其看做一个主体，变成 5个主体环形排列，为 A（4,4）。分步用乘法，所求=A
（2,2）*A（4,4）=2*4*3*2=48，对应H项。【选 H】
【注意】先不要着急做题，先 3+2。
【答案汇总】1-5：CCDDB；6-10：BCDBD；11-15：BACAC；16：H
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