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C H A O G E J I A O Y U
2026数量拿分稳稳班
第15节课（ ）
第十五章 植树和方阵问题
主讲老师： 高 照第十一章 植树和方阵问题
1.平方数
（1）两端、单端（环形）、楼间植树
2.植树问题 （2）不移动植树
（3）容斥原理植树问题
3.方阵问题平方数
表达方式：
（1）总数正巧满足每个村民采摘的个数都等于该村村民数
（2）订购的每种医疗器械台数恰巧等于他所订医疗器械的种类数
技巧：平方数【例1】（2023联考）10名志愿者准备将村民们刚采摘的一堆西瓜平均装上甲、乙两辆运输车，西瓜总
数正巧满足每个村民采摘的西瓜个数都等于该村村民数。志愿者们先每人抱一个西瓜放到甲车上，然后
每人抱一个西瓜放到乙车上，依次轮流进行，直到所剩西瓜少到容易清点时再平分。当最后1次把10个
西瓜放到甲车后，发现所剩西瓜不足10个，于是，不得不从甲车抱出几个与所剩西瓜一起放到乙车上，
此时刚好两车所装西瓜一样多。问最后从甲车拿出几个西瓜？
A.1
B.2
C.3
D.4【例2】（2022联考）甲、乙两家大型医疗公司的负责人各带一名助手参加展会订购医疗器械。最终订
单显示：每人各自订购了不同种类医疗器械，且其订购的每种医疗器械台数恰巧等于他所订医疗器械的
种类数。每人订购的医疗器械种类数都未超过15类，并且两位负责人所订购的医疗器械台数不同，但都
比自己的助手多购45台。问甲、乙两公司一共订购了多少台医疗器械？
A.150
B.170
C.210
D.240（1）两端、单端（环形）、楼间植树
植树问题
（2）不移动植树
（3）容斥原理植树问题路长
两端植树：棵数 = + 1
间隔长度
路长
单端（环形）植树：棵数 =
间隔长度
路长
楼间植树：棵数 = − 1
间隔长度
注意：
1.分清是两端、单端（环形）、楼间
2.注意两侧种树要×2【例3】（2025广东）某单位计划在一块直角三角形的绿地周边栽种树木，先在3个顶点各栽种1棵，再
从顶点开始每隔4米栽种1棵，如果两条直角边（包含顶点）分别栽种4棵和5棵，则该绿地周边一共栽种
了（ ）棵树。
A.12
B.13
C.14
D.15【例4】（2022广东）有一个长方形花坛，长为10米，宽为8米。现要在花坛四周安装栅栏，要求4个顶
点处各插一根木桩，除顶点处的木桩外，每边还要插若干木桩，且每两根木桩间的距离至少为3米，则最
多可以插（ ）根木桩。
A.10
B.12
C.14
D.16
注：例3和例4的区别【例5】（2020广东）为加强治安防控，现计划在一段L形的围墙（如下图）上安装治安摄像头，其中A
点到B点长度为750米，B点到C点长度为1350米。按要求ABC三个位置必须安装一个摄像头，且相邻两
个摄像头之间的距离要保持一致，则整段围墙至少需要安装（ ）个摄像头。
A.14
B.15
C.16
D.17【例6】（2020深圳）某市计划在一条笔直公路的两侧每隔8米种一棵木棉树，并把植树任务交由甲、乙
两组工人完成，若甲组先做3天，余下的任务由两组合作，则再做4天恰好完成。若乙组先做10天，余下
的任务交由甲组，则再做2天恰好完成。已知甲组比乙组每天多种5棵树，则这条公路长（ ）米。
A.1224
B.1232
C.1240
D.1248不移动植树
方法：（最小公倍数不移动）
1、明确总长度
2、求间隔长度的最小公倍数
3、求不移动棵数（反向问法：再挖几个坑？）
例子：长144米公路的一侧从一端到另一端每隔3米植一棵树，现在要改成每隔4米植一棵树，有多少不
需要移动？【例7】（2018广州）某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔35米的路灯一共有21盏，现要将路灯的
间隔缩短为25米，那么有（ ）盏路灯无需移动。
A.2
B.3
方法：（最小公倍数不移动）
C.4
1、明确总长度
D.5
2、求间隔长度的最小公倍数
3、求不移动棵树【例8引例】（由2020深圳改）某公园举办春节花展，在周长400米的中心区布置了环形花槽，并在花槽上每隔16米
挂一只灯笼，不久后元宵灯会临近，公园决定现要将灯笼的间隔缩短为10米。那么有（ ）盏路灯无需移动。
A.12
B.10
C.8
D.5
【例8】（2020深圳）某公园举办春节花展，在周长400米的中心区布置了环形花槽，并在花槽上每隔16米挂一只灯
笼，不久后元宵灯会临近，公园决定增加并挪动一些灯笼，但仍保持灯笼间距相等。已知加入新灯笼后，共有5只旧
灯笼没有移动，则调整后的灯笼间距最大为（ ）米。
A.12
B.10
C.8
D.5容斥原理植树问题
容斥原理和植树问题结合，
方法：求棵数+容斥原理公式运用【例9】（2024广东）某个障碍跑项目需要在100米长的跑道上布置障碍（起点和终点均不布置）。
如果从起点开始，每隔4米布置一个甲障碍，每隔6米布置一个乙障碍，甲、乙障碍的重合点则不布置
甲障碍。则跑道上总共布置（ ）个甲障碍。
A.16
B.17
C.24
D.25【例10引例】（2023联考）某地计划在连接甲镇和乙镇的长度为60公里的公路上安装限速标志和测速仪
器。具体方案是：从距离甲镇3公里处开始安装限速标志，然后每隔4公里再设置一个限速标志；从8公里
处开始安装测速仪器，然后每隔9公里再设置一个测速仪器。请分析各种考法。
注意：退一步海阔天空。【例10】（2023联考）某地计划在连接甲镇和乙镇的长度为60公里的公路上安装限速标志和测速仪器。
具体方案是：从距离甲镇3公里处开始安装限速标志，然后每隔4公里再设置一个限速标志；从8公里处开
始安装测速仪器，然后每隔9公里再设置一个测速仪器。假设单独安装一个限速标志费用为500元，单独
安装一个测速仪器费用为800元，如果限速标志和测速仪刚好在同一个地点安装，则可以节约安装费用，
此时安装两种设备总共只需要1000元。问最终安装总费用是多少元？
A.10600
B.11200
C.12000
D.12300N阶实心方阵：总人数=
最外圈：4N-4人
相邻两圈相差：8人
N
2
方阵问题
注：
1、方阵求整体，巧用平方数
2、去掉一行一列，去掉了2N-1
3、（1）猜：平方数（2）两个实心方阵组成新的实心方阵，a2+b2=c2 （常考6、8、10）【例11】（2020浙江）某学校要将全体运动员排成方阵，老师按人数粗略估计进行第一次排列，发
现多出99人，于是又将每行和每列多加了4人进行排列，发现缺少37人。问学校共有运动员多少人？
A.256
B.289
C.324
D.361【例12】（2024深圳）某灯光秀表演中，无人机群先排列成红、绿两个正方形实心方阵，然后融合
并变换灯光，形成一个黄色的正方框形空心方阵。原红方阵最外侧每边有8架无人机，且原红方阵恰
好可填满黄方阵的空心，原绿方阵最外侧每边的无人机数量比黄方阵少4架。则参加灯光秀表演的无
人机共有（ ）架。
A.260
B.233
C.196
D.185【例13】（2022福建事业单位）用原味和海鲜味两种口味的罐装薯片组成一个实心方阵（所有罐装薯片
大小完全相同），最外层都是原味罐装薯片，从外往内每层按原味罐装薯片、海鲜味罐装薯片相间摆放。
如果最外一圈的正方形有原味罐装薯片44罐，那么摆成这个实心方阵共需海鲜味罐装薯片（ ）罐。
A.60
B.62
C.64
D.70【例14】（2023联考）某学院有新生两百多人，将学生从1开始依次编号，选取编号为3的倍数的学
生，正好构成新生运动会开幕式方队，选取编号为m（3＜m＜10，且m为整数）的倍数的学生，恰
好构成闭幕式方队，问该学院新生人数有多少人？
A.242
B.243
C.245
D.246梳理：专项拔高练习十五
我们一起来闯关
小天才
你准备好了吗？【练习1】（2019广东）某机构计划在一块边长为18米的正方形空地开展活动，需要在空地四边每隔2米
插上一面彩旗，若该空地的四个角都需要插上彩旗，那么一共需要（ ）面彩旗。
A.32
B.36
C.44
D.48【练习2】（2019新疆）某文艺汇演的舞台为一个边长为10m的正六边形，节目“千手观音”中，演员
需排成一列正对观众，为保证演出效果，两个演员之间要保持50cm的距离，问该舞台最多能站多少名
“千手观音”的演员？
A. 31
B. 35
C. 39
D. 41【练习3】（2023福建事业单位）在一片长20米宽10米的长方形的地上植树，每两棵树之间的行距
和列距均为2米，则在这片长方形的地上最多可以植（ ）棵树。
A.50
B.55
C.60
D.66【练习4】（2023湖北事业单位）育才中学有一条150米长的小道，学校准备在小道的两边分别按照
一棵梧桐树、一棵桦树、一棵梧桐树······的顺序依次种树，已知同一边两棵树的间隔为3米，小道的
起点、终点均要求种树，且起点均为梧桐树，那么总共需要种（ ）棵梧桐树。
A.26
B.50
C.52
D.54【练习5】（2023湖北事业单位）某圆形建筑的外围计划摆放绿萝、蝴蝶兰和帝王花，已知圆形建筑
的外围周长为200米，每隔5米放一盆绿萝，相邻的绿萝中间摆放两盆蝴蝶兰和一盆帝王花，且帝王
花必须摆在两盆蝴蝶兰中间，则分别需要绿萝、蝴蝶兰和帝王花各（ ）盆。
A.41、82、41
B.40、78、39
C.39、78、39
D.40、80、40【练习6】（2017广东）施工队给一个周长为40米的圆形花坛安装护栏，刚开始，每隔1米挖一个洞
用于建栏杆。后来发现间隔太远，决定改为每0.8米挖一个洞。那么至少需要再挖（ ）个洞。
A. 39
B. 40 方法：（最小公倍数不移动）
C. 41
1、明确总长度
D. 42
2、求间隔长度的最小公倍数
3、求不移动棵树【练习7】（2018重庆选调）某公路的一侧从一端到另一端每隔3米植一棵树，一共挖了49个坑。现
在要改成每隔4米植一棵树，那么可以不重新挖的坑共有（ ）个。
A.8
B.9 方法：（最小公倍数不移动）
C.11
1、明确总长度
D.13
2、求间隔长度的最小公倍数
3、求不移动棵树【练习8】（2023广东事业单位）某公司计划在年终庆典上用若干无人机进行方阵表演。活动当天突
然有41台无人机发生故障无法使用，剩下的无人机恰好仍能组成方阵，但比原计划少了一行和一列。
则原计划方阵表演使用的无人机数量可能是（ ）台。
A.400
B.441
C.484
D.529
注：
1、方阵求整体，巧用平方数
2、去掉一行一列，去掉了2N-1【练习9】（2018新疆）某部队的全体官兵刚好排成一个方阵，最外层人数是128人，则该部队共有
多少名官兵？
A.529
最外圈：4N-4人
B.783
C.1089
D.1122【练习10】（2019下半年事业单位）学校校庆计划进行方阵表演，男女同学按照最外层是男生，从
外往内每层按男生、女生相间排列，已知最外层有60位男生。问整个方阵男生比女生多多少人？
A.16
相邻两圈相差：8人
B.24
C.32
D.40【练习11】（2021安徽事业单位）将某年级若干名学生排成一个方阵学习太极拳，已知方阵由外到
内第三层有76人，则该方阵共有学生（ ）人。
A.484
相邻两圈相差：8人
B.529
C.576
D.625【练习12】（2018黑龙江）一条笔直的林荫道两旁种植着梧桐树，同侧道路每两棵梧桐树间距50米。
林某每天早上七点半穿过林荫道步行去上班，工作地点恰好在林荫道尽头。经测试，他每分钟步行70
步，每步大约50厘米，每天早上八点准时到达工作地点。那么，这条林荫道两旁栽种的梧桐树共有：
A.44棵
B.42棵
C.22棵
D.21棵作业：今天所讲的题进行“3+2作业”（数量要精做、精刷）
3：三遍（先问题、再题干）（问题圈谁?）平方数、植树问题和方阵问题非常好判定，要记住题型特征，
实现考场快速识别题型， 题干的表述，两端植树？环形植树？楼间植树？方阵。
2：计算2遍：做猜结合。
预习：第十六章 数量易拿分小题型（送分题）照亮自己的世界
把自己先藏起来
把不可能变成可能，把可能变成无限可能。
学别人不敢学，敢于咬硬骨头，这就是自我管理、意识的进步和提升
千里始于足下，高山起于微尘。
学习从来无捷径，循序渐进登高峰。
牢记老师嘱托，不负美好年华。
不要小看自己，人有无限可能。
学习不怕起点低，就怕坚持不到底。
没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。
贵在坚持，难在坚持，成在坚持。
理由少一点，行动快一点，效率高一点。
