1988年数学一解析_数学一真题+解析[87-25]_数学一解析

1988 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷一）
一．(本题满分15分，每小题5分)
 (x3)n
(1) 求幂级数 的收敛域.
n3n
n1
(x3)n1
(n1)3n1 n 1 1
解：因lim lim x3  x3,故 x3 1即0 x6时，
n (x3)n n3(n1) 3 3
n3n
幂级数收敛. „„3分
 1
当x0时，原级数成为交错级数 (1)n ，是收敛的. „„4分
n
n1
 1
当x6时，原级数成为调和级数 ，是发散的. „„5分
n
n1
所以，所求的收敛域为
0,6

.
(2) 已知f(x)= e x2 ,f (x)  =1-x,且 (x)0.求 (x)并写出它的定义域.
解：由e[(x)]2 1x，得 (x) ln(1x) . „„3分
由ln(1x)0，得1x1即x0. „„5分
所以(x) ln(1x) ，其定义域为(,0).
(3)设S为曲面x2y2z2 1的外侧，计算曲面积分I x3dydzy3dxdxz3dxdy.
s
解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有
I 3(x2 y2 z2)dv（其中是由S 所围成的区域） „„2分

2  1
3 d d r2r2sindr „„4分
0 0 0
12
 . „„5分
5二、填空题：(本题满分12分，每小题3分)
1
(1) 若f(t)=lim t(1 )2tx，则 f(t) (2t1)e2t
x x

2,1x0
 
(2) 设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间 1,1 上的定f(x)=
x3,0x1
,则f(x)的付立叶级
2
数在x=1处收敛于 .
3
x31 1
(3) 设f(x)是连续函数，且 f(t)dt  x,则f(7)= .
0 12
(4) 设4*4矩阵A=(, )，B=(, )，其中，,, , 均为4维列向量，
2, 3, 4 2, 3, 4 2 3, 4
且已知行列式 A 4, B 1,则行列式 AB =. 40 .
三、选择题 ( 本题满分15分，每小题3分)
1
(1) 若函数y=f(x)有 f(x ) ，则当x0时，该函x=x 处的微分dy是 (B)
0 2 0
(A) 与x等价的无穷小 (B) 与x同阶的无穷小
(C) 比x低阶的无穷小 (D) 比x高阶的无穷小
(2) 设y  f(x)是方程y2y4y 0的一个解，若 f(x)0，且 f(x )0，则函数
0
f(x)在点x (A)
0
(A) 取得极大值 (B) 取得极小值
(C) 某个邻域内单调增加 (D) 某个邻域内单调减少
(3) 设有空间区域  :x2y2z2 R2,z 0;及 :x2y2z2R2,x0,y0,z0,则 (C)
1 2
(A)  xdv4xdv (B)  ydv4 ydv
   
1 2 1 2
(C)  zdv4zdv (D)  xyzdv4 xyzdv
   
1 2 1 2

(4) 若 a (x1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处 (B)
n
n1
(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛
(C) 发散 (D) 收敛性不能确定
(5)n维向量组 ,,,(3sn) 线性无关的充分必要条件是 (D)
1 2 s
(A) 有一组不全为0的数k ,k ,,k ,使k k k 0.
1 2 s 1 1 2 2 s s
(B) ,,,中任意两个向量都线性无关.
1 2 s
(C) ,,,中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.
1 2 s
(D) 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.
,,,
1 2 s
四．(本题满分6分)x y 2u 2u
设u  yf( )xg( )，其中f,g具有二阶连续导数，求x  y .
y x x2 xy
u  x  y y  y
解：  f   g    g  . „„2分
x  y  x x  x
2u 1  x y2  y
 f    g  . „„3分
x2 y  y x3  x
2u x  x y  y
 f    g  . „„5分
xy y2  y x2  x
2u 2u
所以x  y 0. „„6分
x2 xy
五、(本题满分8分)
设函数y=y(x)满足微分方程y3y2y2ex,且图形在点(0，1)处的切线与曲线
yx2x1在该点的切线重合，求函数y  y(x).
解：对应齐次方程的通解为Y Cex C e2x . „„2分
1 2
设原方程的特解为y*  Axex, „„3分
得A2. „„4分
故原方程通解为y(x)Cex C e2x 2xe2x . „„5分
1 2
又已知有公共切线得y| 1,y| 1， „„7分
x0 x0
c c 1,
即 1 2 解得c 1,c 0. „„8分

c 2c 1 1 2
1 2
所以y(12x)e2x.
六、(本题满分9分)
k
设位于点(0，1)的质点A对质点M的引力大小为 (k>0为常数，r为质点A与M之
r2
间的距离—)，质点M沿曲线y 2xx2 自B(2,0)运动到O(0，0).求在此运动过程中质点A
对质M点的引力所做的功.

解：MA{0x,1y} „„2分
r  x2 (1y)2.
 
因引力 f 的方向与MA一致，
 k
故 f  {x,1y}. „„4分
r3k
从而W  [xdx(1y)dy] „„6分
BOr3
1
k(1 ). „„9分
5
七、(本题满分6分)
1 0 0  1 0 0
   
已知APPB,其中B0 0 0 ,P2 1 0求A及A5.
   
0 0 1 2 1 1
 1 0 0
 
解：先求出P1  2 1 0 . „„2分
 
 
 4 1 1
1 0 01 0 0  1 0 0
   
因APPB，故A PBP1  2 1 0 0 0 0 2 1 0
   
   
2 1 10 0 1 4 1 1
1 0 0  1 0 0 1 0 0 
    
 2 0 0 2 1 0  2 0 0 . „„4分
    
    
2 0 1 4 1 1 6 1 1
5个 5个
从而A5  AAAAA（PBP1）(PBP1)(PBP1) PB5P1=PBP1=A. „„6分
八、(本题满分8分)
2 0 0 2 0 0 
   
已知矩阵A0 0 1与B0 y 0 相似，
   
0 1 x  0 0 1
(1) 求x与y； (2) 求一个满足P1AP B的可逆矩阵P.
解：(1) 因A与B相似，故|EA||EB|，即 „„1分
2 0 0 2 0 0
0  1  0  y 0 ，
0 1 x 0 0 1
亦即(2)(2x1)(2)(2(1y)y).2 0 0 2 0 0 
   
比较两边的系数得x 0,y 1.此时A 0 0 1 ，B 0 1 0 . „„3分
   
   
0 1 0 0 0 1
(2) 从B可以看出A的特征值2,1,1. „„4分
1
 
对2，可求得A的特征向量为 p  0 .
1  
 
0
0
 
对1，可求得A的特征向量为 p  1 .
2  
 
1
0 
 
对1，可求得A的特征向量为 p  1 . „„7分
3  
 

1
因上述 p , p , p 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关.
1 2 3
1 0 0 
 
令P(p ,p ,p ) 0 1 1 ，则P可逆，且有P1AP B. „„8分
1 2 3  
 
0 1 1
九、(本题满分9分)
设函数 f(x)在区间  a,b  上连续，且在(a,b)内有 f(x)0.证明：在(a,b)内存在唯一
的，使曲线y  f(x)与两直线y (),xa所围平面图形面积s 是曲线y  f(x)与两直
1
线 y (),xa所围平面图形面积s 的3倍.
2
证：存在性 在[a,b]上任取一点t，令
t b
F(t)   [f(t) f(x)]dx3 [f(x) f(t)]dx
a t
 t   b 
 f(t)(ta) f(t)dx 3  f(x)dx f(t)(bt) „3分

a
 
t

则F(t)在[a,b]上连续.
又因 f (x) 0,故 f(x)在[a,b]上是单调增加的.
于是在(a,b)内取定点c，有
b c b
F(a)3 [f(x) f(a)]dx3 [f(x) f(a)]dx3 [f(x) f(a)]dx
a a c
3 b [f(x) f(a)]dx3 f() f(a)  (bc)0, c b..
c 1 1b c b
F(b) [f(b) f(x)]dx [f(b) f(x)]dx [f(b) f(x)]dx
a a c
 c [f(b) f(x)]dx f(b) f()  (ca)0, a c. „„5分
a 2 2
所以由介值定理知，在(a,b)内存在ξ ,使F()  0，即S 3S . „„6分
1 2
唯一性 因F(t) f(t)[(ta)3(bt)]0， „„8分
故F(t)在(a,b)内是单调增加的.因此，在(a,b)内只有一个ξ , 使S 3S . „„9分
1 2
十、填空题(共6分，每个2分)
19
(1) 设三次独立实验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于 ，则
27
1
事件A在一次试验中出现的概率为 .
3
6 17
(2) 在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 ”的概率为 .
5 25
u2
x 1 
(3) 设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知(x)= e 2 du，
 2
(2.5)0.9938 ，则X 落在区间(9.95，10.05)内的概率为 0.9876 .
十一、(本题满分6分)
1
设随机变量X 的概率密度函数为 f (x) ，求随机变量Y 13 X 的概率密
x (1x2)
度函数 f (y).
Y
解：因Y 的分布函数
F (y) P(Y  y) „„1分
Y
P{13 X  y}P{3 X 1y}P{X (1y)3} „„2分
  dx 1  1  
  arctanx   arctan(1 y)3 . „„4分
 (1x2)  2 
(1y)3 (1y)3
d 3 (1 y)3
故Y 的概率密度函数为 f (y)  F (y) . „„6分
Y dy Y 1(1y)6