1989年数学三解析_数学三真题+解析[87-25]_数学三解析

1989 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷四） 一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)   (1) 曲线yxsin2 x在点 ( ,1 ) 处的切线方程是 yx1 . 2 2  xn (2) 幂级数 的收敛域是 [1,1) . n1 n1 x x x 0 1 2 3  (3) 齐次线性方程组 x x x 0 只有零解，则应满足的条件是 1 . 1 2 3   x x x 0 1 2 3  0 若x0 (4) 设随机变量X 的分布函数为F(x)  Asinx 若0x/2 ,则A = 1 ；   1 若x/2  P{|x|< }= 1/2 . 6 (5) 设随机变量 X 的数学期望 EX=μ ,方差 DX=2，则由切比雪夫(chebyshev)不等式， 有P{ X  3} 1/9 . 二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1) 设 f(x)2x 3x 2, 则当x→0时， (B) (A) f(x)与x是等价无穷小量 (B) f(x)与x是同阶但非等价无穷小量 (C) f(x)是比x较高阶的无穷小量 (D) f(x)是比x较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中，正确的结果是 (C) (A)  f(x)dx f(x) (B) df(x) f(x) d (C)  f(x)dx f(x) (D) d f(x)dx f(x) dx (3)设.A 是(cid:1)4 阶矩阵，且(cid:1)A 的行列式 A (C) (A) 必有一列元素全为(cid:1)0； (B) 必有两列元素对应成比例；(cid:1) (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合. (4)设.A 和(cid:1)B 均为(cid:1)n n 矩阵 , 则必有 (C) (A) AB  A  B ( B) ABBA (C) AB  BA (D) (AB)1  A1 B1(5) 以A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”， 则其对立事件A为 (D) (A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B)“甲，乙产品均畅销” (C)“甲种产品滞销” (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 三、计算题 (本题满分15分，每小题5分) 1 1 (1) 求极限lim(sin cos )x x x x 1 解：设u  ，则当x时，u 0. x 1 ln(sinucosu) lim 原式lim(sinucosu)u ｅｕ0 u . „„ 1分 ｕ0 ln(sinucosu) cosusinu 而lim lim 1 „„ 4分 ｕ0 u ｕ0sinucosu 于是原式＝e. „„ 5分 2z (2) 已知z  f(u,v)u  x y,v xy，且 f(u,v)的二阶偏导数都连续, 求 . xy z f u f v f f 解：       y „„ 2分 x u x v x u v 2z 2f u 2f v  2f u 2f v f      y     „„ 4分 xy u2 y uv y vu y v2 y v 2f 2f 2f 2f f  x  y xy  u2 uv vu v2 v 2f 2f 2f f  (x y) xy  . „„ 5分 u2 uv v2 v (3) 求微分方程 y5y6y 2ex 的通解. 解：由特征方程为r25r6(r2)(r3)0，知特征根为2,3. „„ 1分 于是对应齐次微分方程的通解为y(x)Ce2x C e3x . „„ 2分 1 2 其中C ,C 为任意常数.设所给非齐次方程的特解为y*(x) Aex . „„ 3分 1 2 将 y*(x)代入原方程，可得A1，故所给非齐次微分方程的特解为y*(x)ex . „„ 4分 从而，所给微分方程的通解为y(x)Ce2x C e3x ex . „„ 5分 1 2 四、（本题满分9分） 设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为 x  p p(x)10e 2 且最大需求量为6，其中x表示需求量，p表示价格. （1）求该商品的边际收益函数；（2分） （2）求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格. （4分） （3）画出收益函数的图形.（3分）x  解：(1) 收益函数为R(x) px10xe 2, 0 x6; „„ 1分 dR  x 边际收益函数为MR 5(2x)e 2. „„ 2分 dx x  (2) 由R5(2x)e 2 0，得驻点x  2. 0 5 x 由于R|  (x4)e 2 5e1 0. „„ 4分 x0 2 x0 x  可见R(x)在点x2处达到极大值，亦即最大值R(2)10xe 2 20e1. x2 于是当产量为２时，收益取最大值20e1，而相应的价格为10e1. „„ 6分 (3) 由上面的计算结果，易得下表 x [0,2] 2 [2,4] 4 [4,6] R  0   R    0  20 40 R 单增，凸 极大值 单减，凸 (4, ) 单减，凹 e e2 „„ 9分 收益函数的图形为 五、（本题满分9分）  x 若0 x 1 已知函数 f(x)   ，试计算下列各题： 2x 若1 x  2 2 4 (1) S  f(x)exdx ，（4分）； (2) S  f(x2)exdx，（2分）； 0 1 0 2 (3) S  2n2 f(x2n)exdx （n=2,3,„）（1分）； (4) S   S .（2分） n n 2n n0 1 2 解：(1) S  xexdx (2x)exdx. „„ 1分 0 0 1其中 1 xexdx xex1  1 exdx12e1， „„ 2分 0 0 0  2 (2x)exdx(2x)ex 2  2 exdxe2. „„ 3分 1 1 1 从而S 12e1e2 (1e1)2. „„ 4分 0 4 2 (2) 令t  x2，则S  f(x2)exdx f(t)et2dt S e2. „„ 6分 1 0 2 0 2 (3) 令t  x2n，则S  f(t)et2ndt S e2n . „„ 7分 n 0 0    (4) S S S e2n S  (e2)n „„ 8分 n 0 0 n0 n0 n0 S e1  0  . „„ 9分 1e2 e1 六、（本题满分6分） 假设函数 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 f (x)0，记 x 1 F(x)   f(t)dt，证明在(a,b)内F(x)0. xa a 证： 由于 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，因此 1 1 x 1  1 x  F(x) f(x)  f(t)dt   f(x)  f(t)dt . „„ 2分 xa (xa)2 a xa xa a  1 x 由积分中值定理知，存在, a x，使 f()  f(t)dt. xa a 1 因此F(x) f(x) f() . „„ 4分 xa 又由于 f(x)0，知 f(x)在(a,b)上非增函数，所以当x时， f(x) f  . 1 因 0，故由此可知F(x)0. „„ 6分 xa 七、（本题满分5分）  0 1 0  1 1     已知X=AX+B,其中A 1 1 1 ,B  2 0 ,求矩阵X..          1 0 1 5 3 解： 以E表示3阶单位矩阵，由X=AX+B，有(E-A)XB. „„ 1分 1 1 0    其中EA 1 0 1 . „„ 2分     1 0 2  0 2/3 1/3   其逆矩阵为(EA)1  1 2/3 1/3 ； „„ 4分      0 1/3 1/3  0 2/3 1/31 1 3 1      于是X(EA)1B 1 2/3 1/3 2 0  2 0 . „„ 5分            0 1/3 1/35 3 1 1 八、（本题满分6分） 设   1,1,1  ，   1, 2,3  ，   1, 3, t  ， 1 2 3 (1) 问当t为何值时，向量组,,线性无关？（3分） 1 2 3 (2) 问当t为何值时，向量组,,线性相关？（1分） 1 2 3 (3) 当向量组 ,, 线性相关时，将表示为和 的线性组合.（2分） 1 2 3 3 1 2 解：设有实数k ,k ,k ，使ka k a k a 0，则得方程组： 1 2 3 1 1 2 2 3 3 k k k 0 1 1 1 1 2 3  k 2k 3k 0 （*）， 其系数行列式为 D 1 2 3 t5. „„ 2分 1 2 3   k 3k tk 0 1 3 t 1 2 3 (1) 当t 5时，D 0，方程组（*）只有零解：k k k 0.这时，向量组a ,a a 1 2 3 1 2, 3 线性无关. „„ 3分 (2) 当t 5时，D 0，方程组（*）有非零解，即不存在不全为0的常数k ,k ,k ， 1 2 3 使ka k a k a 0，这时，向量a ,a a 线性相关. „„ 4分 1 1 2 2 3 3 1 2, 3 1 1 1 1 1 1     k k 0 (3) 设t 5.由 1 2 3  0 1 2 知方程组（*）可化为 1 3 .      1 3 5    0 0 0    k 2 2k 3 0 令k 1，得k 1,k 2.因此，有a 2a a 0.从而a 可以通过a 和a 表示为 3 1 2 1 2 3 3 1 2, a a 2a . „„ 6分 3 1 2 九、（本题满分5分） 1 2 2    设A 2 1 2 ，      2 2 1 (1) 试求A矩阵的特征值.（2分） (2) 利用(1)小题的结果，求矩阵E A1的特征值.其中E是三阶单位矩阵（3分）1 2 2 解：（1）矩阵A的特征方程为|EA| 2 1 2 (1)2(5)0， 2 2 1 由此得矩阵A的特征值1,1,5. „„ 2分 1 （2）由于矩阵A的特征值1,1,5，可知A1的特征值为1,1, . „„ 3分 5 1 因此，有|EA1|0， ( )EA1 0.由此可见|(11)E(EA1)|0， 5 1 4 |( 1)E(EA1)|0，即|2E(EA1)|0，| E(EA1)|0. 5 5 4 于是，矩阵EA1的特征值2,2, . „„ 5分 5 十、(本题满分7分) e(xy) 若0 x ,0 y   已知随机变量X和Y的联合密度为 f(x,y)   ，  0 其他 试求：(1) P{X Y} (5 分) ； （2）E(XY) (2分) 解：(1) P{X Y}  f(x,y)dxdy „„ 2分 XY  y  y  1   e(xy)dxdy eydy exdy ey(1ey)dy . „„ 5分 0 0 0 0 0 2     (2) E(XY)  xye(xy)dxdy  xexdx yeydy 1. „„ 7分 0 0 0 0 十一、(本题满分8分) 设随机变量在 [2,5]上服从均匀分布.现在对X进行三次独立观 测.试求至少有两次观测值大于3的概率. 解：以A表示事件“对X 的观测值大于3”，即A{X 3}，由条件知，X 的密度函 1 数为 f(x)  3 若2 x5 ，P(A)P{X 3} 51 dx 2 . „„ 4分 3 3 3  0 其他 以u 表示三次观测值大于3的次数（即在三次独立观测中事件A出现的次数）. 3 2 显然，u 服从参数为n3， p  的二项分布， 3 3 2 1 2 20 因此，所求概率为P{u 2}C2( )2 C3( )3  . „„ 8分 3 3 3 3 3 3 27