1989年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析

更多考研资料分享+qq810958634 1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(每小题3分,满分21分.) 1 (1)【答案】 2 0 【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成 型,从而利用洛必达法则进行求解. 0 cos2x x 方法一： limxcot2x=limx =lim ⋅cos2x x→0 x→0 sin2x x→0sin2x x 1 1 =lim 洛lim = . x→0sin2x x→0 2cos2x 2 cos2x 方法二： limxcot2x=limx x→0 x→0 sin2x 1 2x 1 2x 1 = lim ⋅cos2x= lim = . 2 x→0sin2x 2 x→0sin2x 2 sinx sinx 【相关知识点】lim 是两个重要极限中的一个,lim =1. x→0 x x→0 x (2)【答案】π 【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解, ∫ π tsintdt = ∫ π td(−cost) 分部 = 法 [−tcost ]π −∫ π (−cost)dt 0 0 0 0 =π+0+[ sint ]π =π+(0−0)=π. 0 (3)【答案】y =2x 【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即 f′(x ). 0 这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即y′=(x−1)(x−2). 由y′在其定义域内的连续性,可知y′ =(0−1)(0−2)=2. x=0 所以,所求切线方程为y−0=2(x−0),即y =2x. (4)【答案】n! 【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即 f(x)− f(0) x(x+1)(x+2)⋅⋅(x+n)−0 f′(0)=lim =lim x→0 x x→0 x =lim(x+1)(x+2)⋅⋅(x+n)=1⋅2⋅⋅n=n!. x→0 方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知, f′(x)=(x+1)(x+2)⋅⋅(x+n)+x⋅1⋅(x+2)⋅⋅(x+n)++ x(x+1)(x+2)⋅⋅(x+n−1)⋅1, 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 所以 f′(0)=(0+1)(0+2)⋅⋅(0+n)+0++0 =1⋅2⋅⋅n=n!. (5)【答案】x−1 1 【解析】由定积分的性质可知,∫ f(t)dt和变量没有关系,且 f(x)是连续函数,故 0 1 ∫ f(t)dt为一常数,为简化计算和防止混淆, 0 1 令∫ f(t)dt =a,则有恒等式 f(x)= x+2a,两边0到1积分得 0 1 1 ∫ f(x)dx=∫ (x+2a)dx, 0 0 1 即 a=∫ 1 (x+2a)dx=∫ 1 xdx+2a∫ 1 dx= 1 x2  +2a [ x ]1 = 1 +2a,   0 0 0 2  0 2 0 1 解之得a =− ,因此 f(x)= x+2a= x−1. 2 (6)【答案】a=b 【解析】如果函数在x 处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等, 0 由函数连续性可知 f (0)= f(0)=a+b⋅0=a. − sinbx sinbx sinbx 而 f (0)= lim = lim ⋅b=b⋅lim =b, + x→0+ x x→0+ bx x→0+ bx 如果 f(x)在x=0处连续,必有 f (0)= f (0),即a=b. − + dx (7)【答案】 (x+ y)2 【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得sec2 y⋅dy =dx+dy, dx dx dx 所以 dy = = = ,(x+ y ≠0). sec2 y+1 tan2 y (x+ y)2 二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1)【解析】令u =e− x ,v=− x ,则 y =arcsine− x =arcsinu ,由复合函数求导法则, 1 1 1 −1 y′=(arcsinu)′= ⋅u′= ⋅ev⋅v′= ⋅ev⋅ , 1−u2 1−u2 1−u2 2 x 1 −1 即 y′= ⋅e− x ⋅ . 1−e−2 x 2 x 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 【相关知识点】复合函数求导法则：y =ϕ(f(x))的导数y′=ϕ′(f(x))f′(x). dx dlnx 1 (2)【解析】利用不定积分的换元积分法, ∫ =∫ =− +C. xln2 x ln2 x lnx (3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限, 1 1 lim(2sinx+cosx)x =lim[1+(2sinx+cosx−1)]x x→0 x→0 1 2sinx+cosx−1 ⋅ =lim[1+(2sinx+cosx−1)]2sinx+cosx−1 x , x→0 令 2sinx+cosx−1=t,则当x→0时,t →0, 1 1 则 lim[1+(2sinx+cosx−1)]2sinx+cosx−1 =lim[1+t]t, x→0 t→0 1 这是个比较熟悉的极限,即lim(1+t)t =e. t→0 1 2sinx+cosx−1 lim 所以 lim(2sinx+cosx)x =ex→0 x , x→0 2sinx+cosx−1 2cosx−sinx 而 lim 洛lim =2, x→0 x x→0 1 1 2sinx+cosx−1 lim 所以 lim(2sinx+cosx)x =ex→0 x =e2. x→0 (4)【解析】这是个函数的参数方程, dy 1 dy dt 1+t2 1 = = = , dx dx 2t 2t dt 1+t2 d2y d 1 d 1 dt d 1 1 −2 1 1+t2 = ( )= ( )⋅ = ( )⋅ = ⋅ =− . dx2 dx 2t dt 2t dx dt 2t dx (2t)2 2t 4t3 dt 1+t2 x=φ(t) dy ϕ′(t) 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ,则 = . y =ϕ(t) dx φ′(t) (5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分, 1 1 1 分部法1 1 1 1 ∫ x2f′′(2x)dx= ∫ x2df′(2x) = x2⋅ f′(2x) − ∫ f′(2x)dx2   0 2 0 2 0 2 0 = 1 [ 1⋅ f′(2)−0 ]−∫ 1 xf′(2x)dx 2 0 1 1 1 = f′(2)− ∫ xdf(2x) 2 2 0 = 1 f′(2)− 1 ( xf(2x) )1 − 1 ∫ 1 f(2x)dx    2 2 0 2 0  1 1 1 1 = f′(2)− f(2)+ ∫ f(2x)dx, 2 2 2 0 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 1 1 令t =2x,则x= t,dx= dt, 2 2 1 1 2 所以 ∫ f(2x)dx= ∫ f(t)dt. 0 2 0 1 2 把 f(2)= , f′(2)=0及∫ f(x)dx=1代入上式,得 2 0 1 1 1 1 1 ∫ x2f′′(2x)dx= f′(2)− f(2)+ ∫ f(2x)dx 0 2 2 2 0 1 1 1 1 2 = f′(2)− f(2)+ ⋅ ∫ f(t)dt 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 = ⋅0− ⋅ + ⋅ ⋅1=0. 2 2 2 2 2 三、选择题(每小题3分,满分18分.) (1)【答案】(A) 1 【解析】函数y = xsin 只有间断点x=0. x 1 1 lim y = lim xsin ,其中sin 是有界函数.当x→0+时,x为无穷小,无穷小量 x→0+ x→0+ x x 和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以 1 lim y = lim xsin =0, x→0+ x→0+ x 故函数没有铅直渐近线. 1 sin lim y = lim x t = 1 lim sint =1, x→+∞ x→+∞ 1 x x→0+ t x 所以y =1为函数的水平渐近线,所以答案为(A). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数 y = f(x)在其间断点x= x 处有 lim f(x)=∞ ,则 0 x→x 0 x= x 是函数的一条铅直渐近线； 0 水平渐近线：当lim f(x)=a,(a为常数）,则y =a为函数的水平渐近线. x→∞ (2)【答案】(B) 【解析】判定方程 f(x)=0实根的个数,其实就是判定函数 y = f(x)与x有几个交点, 即对函数图形的描绘的简单应用, 令 f(x)= x5 +2ax3+3bx+4c, 则 f′(x)=5x4 +6ax2 +3b. 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 令 t = x2,则 f′(x)=5x4 +6ax2 +3b=5t2 +6at+3b= f′(t), 其判别式∆=(6a)2 −4⋅5⋅3b=12(3a2 −5b)<0, 所以 f′(t)=5t2 +6at+3b无实根,即 f′(t)>0. 所以 f(x)= x5 +2ax3+3bx+4c在x∈(−∞,+∞)是严格的单调递增函数. 又 lim f(x)= lim(x5 +2ax3 +3bx+4c)=−∞ x→−∞ x→−∞ lim f(x)= lim(x5 +2ax3 +3bx+4c)=+∞ x→+∞ x→+∞ 所以利用连续函数的介值定理可知,在(−∞,+∞) 内至少存在一点 x ∈(−∞,+∞) 使得 0 f(x )=0,又因为y = f(x)是严格的单调函数,故x 是唯一的. 0 0 故 f(x)=0有唯一实根,应选(B). (3)【答案】(C) π π 【解析】如图y =cosx(− ≤ x≤ )的图像,则当y =cosx绕x轴旋转一周,在x处取 2 2 微增dx,则微柱体的体积dV =πcos2 xdx,所以体积V 有 π V =∫2 πcos2 xdx π − 2 π cos2x+1 π π π π =π∫2 dx= ∫2 cos2xd2x+ ∫2 dx π π π − 2 4 − 2 − 2 2 2 π π π π π π π π2 = [−sin2x ] 2 + [ x ] 2 =0+ ( + )= . π π 4 − 2 − 2 2 2 2 2 2 因此选(C). (4)【答案】(D) 【解析】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便, 可以举出反例而排除. 若取 f(x)= g(x)=−(x−a)2,两者都在x=a处取得极大值0, 而 F(x)= f(x)g(x)=(x−a)4在x=a处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确. 若取 f(x)= g(x)=1−(x−a)2,两者都在x=a处取得极大值1, 而 2 F(x)= f(x)g(x)=1−(x−a)2 在x=a处取得极大值1,所以(B)也不正确,从而选(D).   更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 (5)【答案】(B) 【解析】微分方程y′′− y =ex +1所对应的齐次微分方程的特征方程为r2 −1=0,它的两 个根是r =1,r =−1. 1 2 而形如y′′− y =ex必有特解Y = x⋅aex；y′′− y =1必有特解Y =b. 1 1 由叠加得原方程必有特解Y = x⋅aex +b,应选(B). (6)【答案】(D) 【解析】利用导数的概念判定 f(x)在x=a处可导的充分条件. f(a+t)− f(a) (A)等价于lim 存在,所以只能保证函数在x=a右导数存在； t→0+ t (B)、(C)显然是 f(x)在x=a处可导的必要条件,而非充分条件,  1 cos ,x≠0 如 y = x 在x=0处不连续,因而不可导,但是   0,x=0 1 1 1 1 cos(0+ )−cos(0− ) cos −cos f(a+h)− f(a−h) h h h h lim =lim =lim =0, h→0 2h h→0 2h h→0 2h 1 1 1 1 cos( )−cos(0− ) cos −cos f(a+2h)− f(a+h) 2h 2h 2h 2h lim =lim =lim =0均存在； h→0 h h→0 h h→0 h (D)是充分的： f(a+∆x)− f(a)∆x=−h f(a)− f(a−h) f(a)− f(a−h) lim = lim 存在⇒ f′(a)=lim 存在, ∆x→0 ∆x h→0 h h→0 h 应选(D). 四、(本题满分6分) 【解析】所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式 1 1 y′+( −1)y = e2x, x x −∫( 1 −1)dx 1 ∫( 1 −1)dx 1 1 x ex 通解为 y =e x (∫ e2xe x dx+C) = ex(∫ e2x dx+C)= (ex +C). x x x ex x ex 代入初始条件y(1)=0,得C =−e,所求解为 y = (ex −e). x 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为y′+ p(x)y =q(x),其通解公式为 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 −∫p(x)dx ∫p(x)dx y =e (∫q(x)e dx+C),其中C为常数. 五、(本题满分7分) 【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, x x x f(x)=sinx−∫ (x−t)f(t)dt =sinx−x∫ f(t)dt+∫ tf(t)dt, 0 0 0 所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得 x x f′(x)=cosx−∫ f(t)dt−xf(x)+xf(x)=cosx−∫ f(t)dt, 0 0 再求导,得 f′′(x)=−sinx− f(x),即 f′′(x)+ f(x)=−sinx, 这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为r2 +1=0, 此特征方程的根为r =±i,而右边的sinx可看作eαxsinβx,α=0,β=1,α±iβ= ±i为特 征根,因此非齐次方程有特解Y = xasinx+xbcosx. 1 x 代入方程并比较系数,得a=0,b= ,故Y = cosx,所以 2 2 x f(x)=c cosx+c sinx+ cosx. 1 2 2 1 1 x 又因为 f(0)=0, f′(0)=1,所以c =0,c = ,即 f(x)= sinx+ cosx. 1 2 2 2 2 六、(本题满分7分) 【解析】方法一：判定方程 f(x)=0等价于判定函数y = f(x)与x的交点个数. x π 令 f(x)=lnx− +∫ 1−cos2xdx, e 0 π 其中∫ 1−cos2xdx是定积分,为常数,且被积函数1−cos2x在(0,π)非负,故 0 π π x ∫ 1−cos2xdx>0,为简化计算,令∫ 1−cos2xdx=k >0,即 f(x)=lnx− +k , 0 0 e 1 1 则其导数 f′(x)= − ,令 f′(x)=0解得唯一驻点x=e, x e  f′(x)>0,0< x0. e 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634  x lim f(x)= lim(lnx− +k)=−∞   x→0+ x→0+ e 又因为  , x  lim f(x)= lim(lnx− +k)=−∞ x→+∞ x→+∞ e 由连续函数的介值定理知在(0,e)与(e,+∞)各有且仅有一个零点(不相同), x π 故方程lnx= −∫ 1−cos2xdx在(0,+∞)有且仅有两个不同实根. e 0 π π 方法二：∫ 1−cos2xdx=∫ sin2 xdx,因为当0≤ x≤π时,sinx≥0, 所以 0 0 ∫ π 2sin2 xdx= 2∫ π sinxdx= 2 [−cosx ]π =2 2 >0. 0 0 0 其它同方法一. 七、(本大题满分11分) x+1 1 1 【解析】函数y = 的定义域为(−∞,0 )( 0,+∞),将函数化简为y = + , x2 x x2 2 1 1 2 6 2 1 6 则 y′= − − = (− −1),y′′= + = ( +2). x3 x2 x2 x x4 x3 x3 x 令y′=0,得x=−2,即  1 2 y′= (− −1)>0,x∈(−2,0),   x2 x  故x=−2为极小值点. 1 2  y′= (− −1)<0,x∈(−∞,−2)(0,+∞),  x2 x 令y′′=0,得x=−3,即  1 6 y′′= ( +2)>0,x∈(−3,0)(0,+∞),为凹，   x3 x  1 6  y′′= ( +2)<0,x∈(−∞,−3)，为凸，  x3 x 2 y′′在x=−3处左右变号,所以x=−3,y(−3)=− 为函数的拐点. 9 1 1 又 limy =lim( + )=∞,故x=0是函数的铅直渐近线； x→0 x→0 x x2 1 1 lim y = lim( + ) =0,故y =0是函数的水平渐近线. x→∞ x→∞ x x2 填写表格如下： 单调减少区间 (−∞,−2)(0,+∞) 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 单调增加区间 (−2,0) 极值点 x=−2 1 极值 y =− 4 凹区间 (−3,0)(0,+∞) 凸区间 (−∞,−3) 2 拐点 (−3,− ) 9 渐近线 x=0,y =0 八、(本题满分10分) 【解析】由题知曲线过点(0,0),得c=0,即y =ax2 +bx. 如图所示,从x→ x+dx的面积dS = ydx,所以 1 1 1 1 1  S =∫ ydx=∫ (ax2 +bx)dx= ax3+ bx2   0 0 3 2  0 a b = + , 3 2 a b 1 2−2a 由题知 + = ,即b= . 3 2 3 3 当y =ax2 +bx绕x轴旋转一周,则从x→ x+dx的体积dV =πy2dx,所以 旋转体积 1 1 1 a2x5 abx4 b2x3 a2 ab b2 V =∫ πy2dx=π∫ (ax2 +bx)2dx=π  + +  =π( + + ), 0 0  5 2 3  5 2 3 0 a2 4(1−a)2 a(1−a) b用a代入消去b,得V =π  + +  ,这是个含有a的函数,两边对a求  5 27 3  导得 dV π 4 = ( a+1), da 27 5 5 dV 令其等于0得唯一驻点a =− , 在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小, 4 da 3 5 3 这时b= ,故所求函数y =ax2 +bx+c=− x2 + x. 2 4 2 更多考研资料分享+qq810958634