1991年数学三解析_数学三真题+解析[87-25]_数学三解析

1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】esinxy cosxy  ydxxdy  z z 【解析】方法一：先求出两个偏导数 和 ,然后再写出全微分dz, x y z esinxycosxyy  yesinxy cosxy  x  , z  esinxycosxyx xesinxy cosxy y z z 所以 dz  dx dy  yesinxy cosxydxxesinxy cosxydy x y esinxy cosxy(ydxxdy). 方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz. dz d  esinxy  esinxyd  sinxy esinxycosxydxy esinxycosxy  ydxxdy . (2)【答案】a 1,b1,c1 【解析】由于曲线 f  x 与g  x 都通过点1,0  ,则 f 1 1a 0  ,  g 1 bc 0 又曲线 f  x 与g  x 在点1,0 有公切线,则 f1  g1 ,即 f1   3x2a  3a  g1 2bx 2b , x1 x1 亦即3a 2b,解之得 a 1,b1,c1. (3)【答案】x n1 ；e n1 n 【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式 uv n Cku k v nk 可知, n k0 f (n)(x)C0x(ex)(n) C1x(ex)(n1) C2x(ex)(n2) Cnx(n)ex n n n n  xex nex 00 (xn)ex . 对函数g  x  f n x 求导,并令g x 0,得 1g x  f (n1)(x)(xn1)ex 0 , g(x)0,x(n1),函数g(x)严格单调递减； 解之得驻点x n1 ,且 g(x)0,x (n1),函数g(x)严格单调递增； 故x n1 是函数g  x  f n x 的极小值点,极小值为 g(n1) f (n)(n1)(n1n)en1en1 .  0 B1 (4)【答案】  A1 0  【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有 0 A X X  E 0   1 2     , B 0X X  0 E 3 4 AX E, 3  AX 0, 由对应元素或块相等,即 4 BX 0,  1  BX E. 2  0 B1 从A和B均为可逆矩阵知X  A1,X 0,X 0,X  B1.故应填 . 3 4 1 2 A1 0  (5)【答案】 x 1 1 3 P{X  x} 0.4 0.4 0.2 【解析】因为随机变量X 的分布函数F(x)在各区间上的解析式都与自变量x无关,所以 在F(x)的连续点,P{X  x}0,只有在F(x)的间断点处X 取值的概率才大于零,且 P{X  x}P{X  x}P{X  x}F(x)F(x0) ,则 P{X 1}F(1)F(10)0.4 , P{X 1}F(1)F(10)0.80.40.4, P{X 3}F(3)F(30)10.80.2. 因此X 的概率分布为 2x 1 1 3 P{X  x} 0.4 0.4 0.2 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A) 1 【解析】由重要极限lim(1 )x e可知, x x 1 1 极限 lim(1 )x lim[1( )]x(1)  e1, x x x x 1 1 lim(1 )x lim(1 )x(1)  e1. x x x x 1 ln(1 1 )x limln(1 1 )x lim xln(1 1 ) 而极限 lim(1 )x  lim e x  ex0 x  ex0 x , x0 x x0 1 令t  ,则 x 1 ln(1t) 1 lim xln(1 )  lim 洛lim 0 , x0 x t t t1t 1 1 lim xln(1 ) 所以 lim(1 )x ex0 x e0 1. x0 x 故选项(A)正确. (2)【答案】(D) 1  1  【解析】因为 (1)na2 a2  ,由 收敛及比较判别法可知(1)na2 绝对收敛. n n n2 n2 n n1 n1 即(D)正确. 1 另外,设a  (n1,2),则可知 n 2n   1 1  1   1 2  1 (A) a    , (C)  a    n 2n 2 n n 2n 2 1 n1 n1 n1 n1 n1 n1 n2 都不正确. 1 设a 0,a  (n1,2),则可知(B)不正确. 2n1 2n 4n (3)【答案】(B). 【解析】由为A的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X . 两端同时乘以A*,有 A*(X) A*AX ,由公式A*A A 得到A*X  A X .于是 A*X 1 A X . 按特征值定义知1 A 是伴随矩阵A*的特征值.故应选(B). 3【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维 列向量X 使得 AX X 成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量 X 是矩阵A的特征 向量. (4)【答案】(D) 【解析】A B  AB ,如果AB ,则A B  ,即A与B互不相容；如果 AB ,则A B  ,即A与B相容.由于A、B的任意性,故选项(A)(B)均不正确. 任何事件 A一定可以表示为两个互不相容事件 AB 与 AB的和. 又因 AB ,从而 AB  AB  A,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A、B互不相容 等同于A、B相互独立而错选(C). A,B不相容,P  A ,P  B 均不为零,因此 P  AB P 0,P  AB  P  A  P  B  . 即(C)不正确. 用排除法应选(D). 事实上,P  AB P  A P  AB P  A  . (5)【答案】(B) 【解析】由于E(XY)E(X)E(Y),因此有 cov(X,Y) E(XY)E(X)E(Y) 0, D(X Y)D(X)2cov(X,Y)D(Y)D(X)D(Y). 故应选(B). 【相关知识点】若两个随机变量X,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的： 1) E(XY)E(X)E(Y)； 2) D(X Y)D(X)D(Y)； 3) cov(X,Y) 0； 4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0. 三、(本题满分5分) 【解析】方法一：这是 1型未定式极限. 1 1 exe2xenxx 1exe2xenx lim   ex e2x enx   x lime ln  n   e l x i  m 0x   n   x0 n  x0 4ln(exe2xenx)lnn lim ex0 x , 0 其中指数上的极限是 型未定式,由洛必达法则,有 0 ln(ex e2x enx)lnn lim x0 x ex 2e2x nenx 12n n(n1) n1 lim    . x0 ex e2x enx n 2n 2 1 ex e2x enx x n1 所以 lim  e 2 . x0 n  1 1 ex e2x enx x  ex e2x enx x 方法二：由于   1 1 ,  n   n  ex e2x enx 记 y  1,则当x0时y0,从而 n 1 y ex e2x enx x 1  1x lim  lim(1 y)x lim (1 y) y . x0 n  x0 x0   y 1  1x y lim 而lim(1 y)y e,所以lim(1 y)y ex0x. y0 x0  y (ex 1)(e2x 1)(enx 1) 又因 lim lim x0 x x0 nx 1 ex 1 e2x 1 enx 1 1 n1  lim lim lim  洛 (12 n) . nx0 x x0 x x0 x  n 2 1 ex e2x enx x n1 所以 lim  e 2 . x0 n  四、(本题满分5分) 【解析】积分区域D如图阴影部分所示. 2 x y  x  由  1,得y b1  .   a b  a  5a b  1 xa 2 a 1  b  1 xa 2 b2 a  x  4 因此 I  ydxdy   dx ydy   dx y2   1  dx .     0 0 0 2  2 0  a  D 0 x 令t 1 ,有xa(1t)2,dx2a(1t)dt ,故 a 4 b2 a  x  b2 0 I   1  dx  t42a(t1)dt   2 0  a  2 1 1 1 t5 t6  ab2 ab2 (t4 t5)dt ab2     . 0  5 6  30 0 五、(本题满分5分) 2  y 1   dy x2  y2  x 【解析】将原方程化为   ,由此可见原方程是齐次微分方程. dx xy y x dy du dy du 1u2 令 y ux,有 ux ,将其代入上式,得 ux  , dx dx dx dx u du 1 dx 1 化简得x  ,即udu  .积分得 u2 ln x C. dx u x 2 y 将u  代入上式,得通解y2 2x2(ln x C). x 由条件 y 2e,即4e2 2e2(ln e C)求得C 1. xe 所以 y2 2x2(ln x 1)所求微分方程的特解. 六、(本题满分6分) 【解析】先求出曲线L 和L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积S 和S ,如图： 1 2 1 2  1 x ,  y 1x2 0 x1    1a 由 得   y ax2 a  0   y  a .  1a 1 1 所以 S S S   ydx  (1x2)dx 1 2 0 0 1  1  2  x x3  ,    3  3 0 61 1 S   1a  1x2  ax2dx   1a 1  1a  x2dx 1     0 0 1  1a  1a 2  x x3  .    3  3 1a 0 2 2 又因为S 2S ,所以 2 ,即 1a 2,解得a 3. 1 3 3 1a 七、(本题满分8分) 【解析】方法1：总收入函数为 R  pq  p q  24p 0.2p 210p 0.05p 2, 1 1 2 2 1 1 2 2 总利润函数为 L RC  pq  p q  35 40  q q    1 1 2 2 1 2 32p 0.2p 212p 0.05p 21395 . 1 1 2 2 由极值的必要条件,得方程组 L 320.4p 0,  p 1 1  L  120.1p 0,   p 2 2 即 p 80,p 120. 1 2 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当 p 80,p 120时,厂 1 2 家所获得的总利润最大,其最大总利润为 L （32p 0.2p 212p 0.05p 21395） 605 p 1 80,p 2 120 1 1 2 2 p 1 80,p 2 120 方法2：两个市场的价格函数分别为 p 1205q ,p 20020q , 1 1 2 2 总收入函数为 R  pq  p q  1205q  q   20020q  q , 1 1 2 2 1 1 2 2 总利润函数为 L RC  1205q  q  20020q  q  3540  q q    1 1 2 2 1 2 80q 5q2160q 20q 235 . 1 1 2 2 由极值的必要条件,得方程组 7L 8010q 0,  q 1  1 q 8,q  4. L 1 2  16040q 0,   q 2 2 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当q 8,q 4,即 p 80, 1 2 1 p 120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为L 605. 2 q8,q 4 1 2 八、(本题满分6分) 1 【解析】因为x(0,),所以 f(x)(1 )x 0 . x 1 xln(1 1 ) f(x)(1 )x e x ,两边对x求导,得 x  1   x( ) f(x)  e xln(1 1 x )   e xln(1 1 x )   ln(1 1 ) x2  (1 1 )x   ln(1 1 ) 1   .    x 1 1  x  x 1x  x  1 1 令 g(x)ln(1 ) ,为证函数 f(x) 为增函数,只需 f(x)0在(0,)上成 x 1x 立,,即g(x)0,x(0,). 方法一：利用单调性. 1   由于 g(x)  ln(1 1 ) 1   x2  1  1 ,    x 1x 1 (1x)2 x(1x)2 1 x 1 且x(0,),故g(x) 0 ,所以函数g(x)在(0,)上单调减少. x(1x)2 1 1 又limg(x) lim[ln(1 ) ]0,于是有g(x)0,x(0,).从而 x x x 1x 1 f(x)(1 )xg(x)0,x(0,), x 于是函数 f(x)在(0,)单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 1 x1 令 ln(1 )ln( )ln(1 x)ln x u(x1)u(x) , x x 所以在区间(x,x1)存在一点,使得 81 u(x1)u(x)u()(x1x)u() ,  1 1 1 1 1 即ln(1 ) .又因为0 x1x ,所以   ,所以 x  1x  x 1 1 1 1 ln(1 )  . 1x x  x 1 1 1 故对一切x(0,),有 f(x)(1 )x[ln(1 ) ]0 .函数 f(x)在(0,)单调 x x 1x 增加. 九、(本题满分7分) 【解析】设x x x ,将分量代入得到方程组 1 1 2 2 3 3  1 x x x 0, 1 2 3  x  1 x x , 1 2 3  x x  1 x 2.  1 2 3 对方程组的增广矩阵作初等行变换. 第一行分别乘以有1 、 1加到第二行和第三行上,有 1 1 1  0   1 1 1 0      1 1 1     0 ,       1 1 12    22  02  再第二行加到第三行上,所以有  1 1 1 0       0  .     2 3 0 02   若0且2 30,即0且 3,则r  A r  A  3,方程组有唯一解,即 可由, ,线性表示且表达式唯一. 1 2 3 若0,则r  A r  A  13,方程组有无穷多解,可由, ,线性表示,且表 1 2 3 达式不唯一. 若3,则r  A 2,r  A  3,方程组无解,从而不能由, ,线性表示. 1 2 3 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理： 设 A是mn矩阵,线性方程组 Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵 A Ab 的秩,即是r(A)r(A) (或者说,b可由 A的列向量,,, 线表出, 1 2 n 9亦等同于,,, 与,,,,b是等价向量组). 1 2 n 1 2 n 设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则 (1) 有唯一解  r(A)r(A)n. (2) 有无穷多解 r(A)r(A)n. (3) 无解  r(A)1r(A).  b不能由A的列向量,,, 线表出. 1 2 n 十、(本题满分6分) 【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.  1  1   二次型 f 的矩阵为A  4 2 ,其顺序主子式为     1 2 4   1   1,  42,  A 4248. 1 2  4 3 正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有 1   0,  (2)(2)0,  A4(1)(2)0 . 1 2  4 3 解出其交集为(2,1),故(2,1)时, f 为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量x ,x ,,x 的二次齐次多项式(即每项都是二 1 2 n 次的多项式) n n f  x ,x ,,x a xx , 其中a a , 1 2 n ij i j ij ji i1 j1 称为n元二次型,令x x ,x ,,x T ,A  a  ,则二次型可用矩阵乘法表示为 1 2 n ij f  x ,x ,,x xTAx, 1 2 n 其中A是对称矩阵  AT  A  ,称A为二次型 f  x ,x ,,x 的矩阵. 1 2 n 十一、(本题满分6分) 【解析】记A(,,,),则,,, 线性无关的充分必要条件是 A 0. 1 2 n 1 2 n 由于 10T T T  T  1 1 1 1 2 1 n     T T T  T ATA  2 ,,,   2 1 2 2 2 n  ,    1 2 n           T  T T  T  n n 1 n 2 n n 从而取行列式,有D  ATA  AT A  A 2 . 由此可见,,, 线性无关的充分必要条件是D 0. 1 2 n 【相关知识点】m个n维向量, ,, 线性相关的充分必要条件是齐次方程组 1 2 m x  1   x      2 0 1 2 m      x  m 有非零解.特别地,n个n维向量,,, 线性相关的充分必要条件是行列式 1 2 n ,,, 0. 1 2 n 十二、(本题满分5分) 【解析】首先确定X 的可能值是0,1,2,3,其次计算X 取各种可能值的概率. 设事件A “汽车在第i个路口首次遇到红灯”,i 1,2,3,且A相互独立. i i P  A P  A   1 . i i 2 事件A发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为i1.所以有 i P  X 0 P  A  1 , 1 2 P  X 1 P  AA  P  A  P  A  1 , 1 2 1 2 22 P  X 2 P  A A A  P  A  P  A  P  A  1 , 1 2 3 1 2 3 23 P  X 3 P  A A A  P  A  P  A  P  A   1 . 1 2 3 1 2 3 23 则X 的概率分布为 x 0 1 2 3 1 1 1 1 P  X  x  2 22 23 23 注：此题易犯的一个错误是将P  X 3 计算为 1 ,这是由于该街道仅有三个设有红绿信 24 11号灯的路口,X 3仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问 题. 十三、(本题满分6分)  1  , (x,y)D, 【解析】二维均匀分布(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)S D  0, (x,y)D, S 是区域D的面积,S r2,所以(X,Y)的联合密度 D D  1  , x2  y2 r2 f(x,y)r2 .   0, x2  y2 r2 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度 f (x)和 f (y)为 1 2  1 r2x2 2 f (x)  f(x,y)dy   dy  r2x2(x r), 1  r2  r2x2 r2  2 f (y)  f(x,y)dx  r2y2( y r) . 2  r2 由一维连续型随机变量的数学期望的定义： EX    x f (x)dx , E  g(X)    g(x) f (x)dx.   r 若 f(x)为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是 f(x)dx 0. r 2 r 2 r 故 EX   x r2x2dx, EY   y r2 y2dy , r2 r r2 r 由于被积函数为奇函数,故 EX  EY 0. xy cov(X,Y) E  XY EX EY   dxdy , r2 x2y2r2 因为此二重积分区域关于x轴对称,被积函数为 y的奇函数,所以积分式为0. cov(X,Y) cov(X,Y) 0.由相关系数计算公式 ,于是X 和Y 的相关系数0. DX  DY (2)由于 f(x,y)  f (x)f (y),可见随机变量X 和Y 不独立. 1 2 十四、(本题满分5分) 【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似 然函数. 12现题设给出概率密度函数 f(x;),则似然函数 n x n L(x ,x ,,x ;) ()ne i1 i X1, 1 2 n i i1 n n lnLnln()lnX1X. i i i1 i1 (由于lnL是单调递增函数,L取最大与lnL取最大取到的是一致的,而加对数后能把连 乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便). lnL n n 由对数似然方程  X 0,   i i1 n n 得的最大似然估计值ˆ  .所以得的最大似然估计量为 ˆ  . n n X X i i i1 i1 【相关知识点】似然函数的定义： 设x ,x ,...,x 是相应于样本X ,X ,...,X 的一组观测值,则似然函数为： 1 2 n 1 2 n n L() f(x ,x ,,x ;) f(x;) f(x ;)f(x ;)f(x ;) . 1 2 n i 1 2 n i1 13