1992年数学三解析_数学三真题+解析[87-25]_数学三解析

1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设商品的需求函数为Q 1005P,其中Q,P分别表示为需求量和价格,如果商品需 求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________. (1)【答案】(10,20] 【解析】根据Q(P)1005P 0,得价格P20,又由Q 1005P得Q(P)5, 按照经济学需求弹性的定义,有 Q(P) 5P  P  , Q(P) 1005P 5P 5P 令   1,解得P 10. 1005P 1005P 所以商品价格的取值范围是(10,20].  (x2)2n (2) 级数 的收敛域为_________. n4n n1 (2)【答案】(0,4) 【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性. 首先当x20即x2时级数收敛. 当x 2时,后项比前项取绝对值求极限有 (x2)2(n1) n4n (x2)2 n (x2)2 lim   lim  , n (n1)4n1 (x2)2n 4 nn1 4 (x2)2 当 1,即当0 x2 20 x2 或2 x4时级数绝对收敛. 4  1  1 又当x0和x4时得正项级数 ,由 p级数： 当 p 1时收敛；当 p1时发散. n np n1 n1  1 所以正项级数 是发散的. n n1 综合可得级数的收敛域是(0,4).  tn 注：本题也可作换元(x2)2 t 后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数 的收 n4n n1 1敛性. a  【相关知识点】收敛半径的求法：如果lim n1 ,其中a ,a 是幂级数a xn 的相邻 n a n n1 n n n0 两项的系数,则这幂级数的收敛半径 1 , 0,     R , 0,  0, .   1 2y2 (3) 交换积分次序 dy f (x,y)dx _________. 0 y 1 x2 2 2x2 (3)【答案】 dx f (x,y)dy dx f (x,y)dy 0 0 1 0 【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成：原式  f(x,y)dxdy. D 由累次积分的内外层积分限确定积分区域D：D {(x,y) 0 y 1, y  x 2 y2}, 即D中最低点的纵坐标 y 0,最高点的纵坐标 y y 1,D的左边界的方程是x y ,即 D y  x2的右支,D的右边界的方程是 x x 2 y2 即x2  y2  2的右半圆, O 1 2 从而画出D的图形如图中的阴影部分,从图形可见D  D D ,且 1 2 D {(x,y) 0 x1,0 y  x2}, 1 D {(x,y)1 x 2,0 y  2x2}. 2 1 2y2 1 x2 2 2x2 所以 dy f (x,y)dx  dx f (x,y)dy  dx f (x,y)dy. 0 y 0 0 1 0 0 A (4) 设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且 A a, B b,C   ,则 C ________. B 0 (4)【答案】(1)mnab 0 A 【解析】由拉普拉斯展开式, C   (1)mn A B  (1)mnab . B 0 【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则 2A O A * O A * A   A B ,  1 mn A B . * B O B B * B O (5) 将C,C,E,E,I,N,S 等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的 概率为__________. 1 (5)【答案】 1260 【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可. 设所求概率为P(A),易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排 成一行,其全部的等可能排法为7!种,即基本事件总数为n7!,而有利于事件 A的样本点 2!2! 1 数为2!2!,即有利事件的基本事件数为4,根据古典概型公式P(A)  . 7! 1260 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) x2 x (1) 设F(x)  f(t)dt ,其中 f(x)为连续函数,则limF(x)等于 ( ) xa a xa (A) a2 (B) a2f (a) (C) 0 (D) 不存在 (1)【答案】(B) 0 【解析】方法1:limF(x)为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在, xa 0 所以可应用洛必达法则. x x2 x  f(t)dt limF(x) lim  f(t)dt a2lim a xa xa xa a xa xa a2f(x) lim  a2f(a). xa 1 故应选(B). 方法2: 特殊值法. x2 x 取 f(x)2,则limF(x) lim  2dt 2a2. xa xa xa a 显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式： (t) 若F(t)  f(x)dx,(t),(t)均一阶可导,则 (t) F(t)(t) f (t) (t) f (t) . 3(2) 当x0时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( ) (A) x2 (B) 1cosx (C) 1x2 1 (D) xtanx (2)【答案】(D) 1 1 【解析】由于x0时,1cosx~ x2, 1x2 1~  x2 ,故x2,1cosx, 1x2 1 2 2 是同阶无穷小,可见应选(D). (3) 设A为mn矩阵,齐次线性方程组Ax0仅有零解的充分条件是 ( ) (A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关 (3)【答案】(A) 【解析】齐次方程组Ax0只有零解 r(A)n. 由于r(A) A的行秩 A的列秩,现A是mn矩阵,r(A)n,即 A的列向量线性无 关.故应选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组Ax0,有定理如下: 对矩阵A按列分块,有A,,, ,则Ax0的向量形式为 1 2 n x x x  0. 1 1 2 2 n n 那么, Ax0有非零解, ,, 线性相关 1 2 n  r ,,, n  r  A n. 1 2 n (4) 设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则 ( ) (A) P(C)P(A)P(B)1 (B) P(C)P(A)P(B)1 (C) P(C)P(AB) (D) P(C)P(AB) (4)【答案】(B) 【解析】依题意：由“当事件A与B同时发生时,事件C必发生”得出ABC,故 P(AB)P(C)；由概率的广义加法公式P(AB) P(A)P(B)P(AB) 推出 P(AB)P(A)P(B)P(AB) ；又由概率的性质P(AB)1,我们得出 P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)1, 因此应选(B). 41 n (5) 设n个随机变量X ,X ,,X 独立同分布,D(X )2,X  X , 1 2 n 1 n i i1 1 n S2  (X X)2 ,则 ( ) n1 i i1 (A) S 是的无偏估计量 (B) S 是的最大似然估计量 (C) S 是的相合估计量(即一致估计量) (D) S 与X 相互独立 (5)【答案】(C) 【解析】根据简单随机样本的性质,可以将X ,X ,,X 视为取自方差为2的某总体 1 2 n X 的简单随机样本,X 与S2是样本均值与样本方差. 由于样本方差S2是总体方差的无偏估计量,因此ES2 2,ES ,否则若ES , 则(ES)2 2,DS  ES2(ES)2 0.故不能选(A). 对于正态总体, S 与X 相互独立,由于总体 X 的分布未知,不能选(D).同样因总体分 布未知,也不能选(B).综上分析,应选(C).进一步分析,由于样本方差S2是2的一致估计量, 其连续函数S  S2 一定也是的一致估计量. 三、(本题满分5分) lncos(x1) , x1,    设函数 f(x) 1sin x 问函数 f(x)在x1处是否连续?若不连续,修 2   1, x1. 改函数在x1处的定义使之连续. 【解析】函数 f(x)在x x 处连续,则要求lim f(x)  f(x ). 0 0 xx 0 0 方法1:利用洛必达法则求极限lim f(x),因为lim f(x)为“ ”型的极限未定式,又分子分 x1 x1 0 母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有 sin(x1)  lncos(x1) cos(x1) 2 tan(x1) lim f(x) lim lim  lim x1 x1 x x1  x x1 x 1sin  cos cos 2 2 2 2 51 2 cos2(x1) 4  lim  .  x1 x  2 (sin ) 2 2 而 f(1)1,故lim f(x) 1,所以 f(x)在x1处不连续. x1 4 若令 f(1) ,则函数 f(x)在x1处连续. 2 1 方法2:利用变量代换与等价无穷小代换,x0时,cosx1  x2；ln(1x) x. 2 求极限lim f(x),令x1t,则有 x1 lncos(x1) lncost ln[1(cost1)] lim f(x) lim lim lim x1 x1 x t0 t t0 t 1sin 1cos 1cos 2 2 2 1  t2 cost1 4 2 lim lim  . t0 1 2 t0 2 2  t2 t2 2 4 8 以下同方法1. 四、(本题满分5分) arccotex 计算I   dx. ex 【解析】用分部积分法: ex I arccotexdex exarccotexex dx 1e2x e2x exarccotex (1 )dx 1e2x 1 exarccotex x ln(1e2x)C , 其中C为任意常数. 2 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计 算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 【相关知识点】分部积分公式：假定u u(x)与vv(x)均具有连续的导函数,则 uvdx uvuvdx, 或者 udv uvvdu. 五、(本题满分5分) x 2z 设z sin(xy)(x, ),求 ,其中(u,v)有二阶偏导数. y xy 6【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复 合的. z  z 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求 ,再求 ( ). x y x 1 由复合函数求导法,首先求z,由题设 z  ycos(xy)  , x x 1 y 2 再对 y求偏导数,即得 1 1 z cos(xy)xysin(xy)()  ()   xy 1 y y 2 y y2 2    x 1  x 1 cos(xy)xysin(xy)         12  y y 22  y y2 2 y y x x 1 cos(xy)xysin(xy)     . y2 12 y3 22 y2 2 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u (x,y),v(x,y)都在点(x,y)具 有对x及对 y的偏导数,函数z  f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数 z  f ((x,y),(x,y))在点(x,y)的两个偏导数存在,且有 z z u z v u v    f  f ； x u x v x 1x 2x z z u z v u v    f  f . y u y v y 1y 2y 六、(本题满分5分) x 求连续函数 f(x),使它满足 f(x)2 f(t)dt  x2 . 0 【解析】两端对x求导,得 f(x)2f(x)2x .记P(x)2,Q(x)2x,有通解 f(x)e P(x)dx (Q(x)e P(x)dx dxC)e2x(2xe2xdxC)Ce2xx 1 , 2 其中C为任意常数. 1 1 1 由原方程易见 f(0)0,代入求得参数C  .从而所求函数 f(x) e2x x . 2 2 2 【相关知识点】一阶线性非齐次方程 yP(x)y Q(x)的通解为 7P(x)dx P(x)dx  y e Q(x)e dxC, 其中C为任意常数.   七、(本题满分6分) 1 2x  求证:当x1时,arctanx arccos  . 2 1x2 4 1 2x  【解析】方法1：令 f(x)arctanx arccos  ,则 2 1x2 4 1 2 (1x2)(1x2) f(x)   0(x 1) . 1x2 2 (x2 1)(1x2)2 因为 f(x)在[1,)连续,所以 f(x)在[1,)上为常数,因为常数的导数恒为0. 1 2x  故 f(x) f(1)0,即arctanx arccos  . 2 1x2 4 1 2x  方法2：令 f(x)arctanx arccos  ,则 f(x)在[1,x]上连续,在(1,x)内可导, 2 1x2 4 由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(1,x),使得 f(x) f(1) f ()(x1). 1 2 (1x2)(1x2) 由复合函数求导法则,得 f(x)   0(x 1) , 1x2 2 (x2 1)(1x2)2 1 2x  所以 f(x) f(1).由 f(1)0可得,当x1时,arctanx arccos  . 2 1x2 4 【相关知识点】复合函数求导法则: 如果u  g(x)在点x可导,而 y  f (x)在点u  g(x)可导,则复合函数 y  f  g(x)  在点x可导,且其导数为 dy dy dy du  f(u)g(x) 或   . dx dx du dx 八、(本题满分9分) 设曲线方程 y ex(x0). (1) 把曲线 y ex,x轴, y 轴和直线x(0)所围成平面图形绕x轴旋转一周, 1 得一旋转体,求此旋转体体积V();求满足V(a) limV()的a. 2 (2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求 出该面积. 【解析】对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求V(),并求出极限 lim V().问题  8(2)是导数在求最值中的应用,首先建立目标函数,即面积函数,然后求最大值. (1)将曲线表成 y是x的函数,套用旋转体体积公式     V() y2dx  e2xdx  (1e2),V(a) (1e2a), 0 0 2 2   lim V()  lim (1e2)  .   2 2   1 由题设知 (1e2a) ,得a  ln2. 2 4 2 (2) 过曲线上已知点(x ,y )的切线方程为 y y k(xx ),其中当 y(x )存在时, 0 0 0 0 0 k  y(x ). 0 设切点为(a,ea),则切线方程为 yea ea(xa). 令x0,得y ea(1a),令 y 0,得x1a. 1 由三角形面积计算公式,有切线与两个坐标轴夹的面积为S  (1a)2ea. 2 1 1 因S(1a)ea  (1a)2ea  (1a2)ea,令S0,得a 1,a 1(舍去). 2 2 1 2 由于当a1时,S0；当a 1时,S0.故当a 1时,面积S 有极大值,此问题中即为最 大值. 1 故所求切点是(1,e1),最大面积为 S  22e1 2e1. 2 【相关知识点】由连续曲线 y  f (x)、直线xa,xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋 b 转一周所得的旋转体体积为：V  f 2(x)dx. a 九、(本题满分7分) 设矩阵A与B相似,其中 2 0 0 1 0 0     A 2 x 2 ,B  0 2 0 .       3 1 1    0 0 y  (1) 求x和y的值. (2) 求可逆矩阵P,使得P1AP B. 【解析】因为A B,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数x和 y的值.若 P1AP ,则是A的特征向量.求可逆矩阵P就是求A的特征向量. (1) 因为A B,故其特征多项式相同,即EA  EB ,即 9(2)[2(x1)(x2)](1)(2)( y) . 由于是的多项式,由的任意性, 令0,得2(x2)2y. 令1,得3(2)2(1 y). 由上两式解出 y 2与x0. 2 0 0 1 0 0      (2) 由(1)知 2 0 2 0 2 0 .       3 1 1    0 0 2  因为B恰好是对角阵,所以马上可得出矩阵A的特征值,矩阵A的特征值是  1, 2, 2. 1 2 3  1 0 0  1 0 0     当 1时,由(E A)x0, 2 1 2  0 1 2 , 1       3 1 2   0 0 0  得到属于特征值1的特征向量 (0,2,1)T . 1  4 0 0  1 0 0      当 2时,由(2EA)x0, 2 2 2  0 1 1 , 2       3 1 1    0 0 0   得到属于特征值2的特征向量 (0,1,1)T . 2  0 0 0  1 1 1     当 2时,由(2E A)x0, 2 2 2  0 1 0 . 3       3 1 3   0 0 0  得到属于特征值2的特征向量 (1,0,1)T. 3  0 0 1    那么令P (,,) 2 1 0 ,有P1AP B. 1 2 3     1 1 1  十、(本题满分6分) 已知三阶矩阵B 0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解: x 2x 2x 0, 1 2 3  2x x x 0, 1 2 3   3x x x 0. 1 2 3 (1) 求的值; (2) 证明 B 0. 10【解析】对于条件AB 0应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组Ax0的解；另 一个是秩的信息即r(A)r(B)n.要有这两种思考问题的意识. 1 2 2   (1) 方法1：令A 2 1  ,对3阶矩阵A,由AB 0,B 0知必有 A 0,否则A     3 1 1 可逆,从而B  A1(AB) A100,这与B 0矛盾. 故 1 2 2 A  2 1  0, 3 1 1 用行列式的等价变换,将第三列加到第二列上,再按第二列展开,有 1 0 2 A  2 1  5(1)0. 3 0 1 解出1. 方法2：因为B 0,故B中至少有一个非零列向量.依题意,所给齐次方程组Ax0有非零 解,得系数矩阵的列向量组线性相关,于是 1 2 2 A  2 1  0, 3 1 1 以下同方法一. (2) 反证法：对于AB 0,若 B 0,则B可逆,那么A AB  B1  0B1  0.与已知条 件A0矛盾.故假设不成立, B 0. 【相关知识点】对齐次线性方程组Ax0,有定理如下: 对矩阵A按列分块,有A,,, ,则Ax0的向量形式为 1 2 n x x x  0. 1 1 2 2 n n 那么, Ax0有非零解 , ,, 线性相关 1 2 n  r ,,, n  r  A n. 1 2 n 对矩阵B按列分块,记B (,,),那么 1 2 3 AB  A(,,)(A,A,A)(0,0,0) . 1 2 3 1 2 3 因而A 0 i (1,2,3),即是Ax0的解. i i 11十一、(本题满分6分) A 0 设A、B分别为m、n阶正定矩阵,试判定分块矩阵C   是否是正定矩阵. 0 B 【解析】在证明一个矩阵是正定矩阵时,不要忘记验证该矩阵是对称的. 方法1：定义法. 因为A、B均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故AT  A,BT  B,那么 A 0 T AT 0  A 0 CT        C ,即C是对称矩阵. 0 B  0 BT  0 B 设mn维列向量ZT (XT,YT),其中XT (x ,x ,,x ),YT (y ,y ,,y ) , 1 2 m 1 2 n 若Z 0,则X,Y 不同时为0,不妨设X 0,因为A是正定矩阵,所以XTAX 0. 又因为B是正定矩阵,故对任意的n维向量Y ,恒有YTAY 0.于是 A 0X  ZTCZ (XT,YT)    XTAX YTAY 0 , 0 BY  即ZTCZ 是正定二次型,因此C是正定矩阵. 方法2：用正定的充分必要条件是特征值大于0,这是证明正定时很常用的一种方法. 因为A、B均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故AT  A,BT  B, A 0 T AT 0  A 0 那么CT        C ,即C是对称矩阵. 0 B  0 BT  0 B 设A的特征值是,,, , B的特征值是,,,.由A,B均正定,知 1 2 m 1 2 n 0, 0 (i 1,2,,m, j 1,2,,n).因为 i j E A 0 EC  m  E A E B 0 E B m n n    , 1 m 1 m 于是,矩阵C的特征值为,,, , ,,,. 1 2 m 1 2 n 因为C的特征值全大于0,所以矩阵C正定. 十二、(本题满分7分) 假设测量的随机误差X N(0,102),试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差 12的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数 字). [附表]  1 2 3 4 5 6 7 … e 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 … 【解析】设事件 A“每次测量中测量误差的绝对值大于19.6”,因为 X N(0,102),即 EX 0,DX 2 102.根据正态分布的性质则有：  X  19.6   p  P(A) P X 19.6  P       | X 0| 19.60 | X |   P   P 1.96  10 10   10   X  1P1.96 1.961(1.96)(1.96)   10  1[(1.96)(1(1.96))]22(1.96) 2[(1(1.96)]0.05. 设Y 为100次独立重复测量中事件 A出现的次数,则Y 服从参数为n100,p 0.05 的二项分布.根据二项分布的定义,P  Y k Ckpk(1 p)nk(k  0,1,2) ,则至少有三 n 次测量误差的绝对值大于19.6的概率为：  P{Y 3}1P{Y 3}1P{Y 0}P{Y 1}P{Y 2} 1C0 0.050(10.05)100C1 0.051(10.05)1001C2 0.052(10.05)1002 100 100 100 10099 10.951001000.95990.05 0.95980.052 . 2 根据泊松定理,对于成功率为 p的n重伯努利试验,只要独立重复试验的次数n充分大, 而 p相当小(一般要求n100,p0.1),则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分 布,具体应用模式为若Y B(n,p),则当n充分大, p相当小时当Y 近似服从参数为np (np)k 的泊松分布,即 P  Y k Ckpk(1 p)nk  enp(k  0,1,2) . n k! 设Y 为100次独立重复测量中事件A出现的次数,则Y 服从参数为n100,p 0.05的 13二项分布.故  P{Y 3}1P{Y 3}1P{Y 0}P{Y 1}P{Y 2} ()0 ()1 ()2 2 1 e e e1ee e 0! 1! 2! 2 52 1e5(15 )0.87 . 2 十三、(本题满分5分) 一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20 和 0.30.假设各部件的状态相互独立,以 X 表示同时需要调整的部件数,试求 X 的数学期望 EX 和方差DX . 【解析】令随机变量 1, 第i个部件需调整， X  i 1,2,3. i 0, 第i个部件不需调整， 依题意X ,X ,X 相互独立,且X ,X ,X 分别服从参数为0.1,0.2,0.3的01分布,即 1 2 3 1 2 3 X 0 1 1 p 0.9 0.1 X 0 1 2 p 0.8 0.2 X 0 1 3 p 0.7 0.3 由题意知 X  X  X  X ,显然 X 的所有可能取值为0,1,2,3,又X ,X ,X 相互独立, 1 2 3 1 2 3 所以 (1) P{X 0}P{X X X 0}P{X 0,X 0,X 0} 1 2 3 1 2 3  P{X 0}P{X 0}P{X 0}0.90.80.70.504 , 1 2 3 P{X 1}P{X X X 1} 1 2 3  P{X 1,X 0,X 0} 1 2 3 P{X 0,X 1,X 0}P{X 0,X 0,X 1} 1 2 3 1 2 3  P{X 1}P{X 0}P{X 0} 1 2 3 P{X 0}P{X 1}P{X 0}P{X 0}P{X 0}P{X 1} 1 2 3 1 2 3 0.10.80.70.90.20.70.90.80.3 0.398, P{X 3}P{X X X 3}P{X 1,X 1,X 1} 1 2 3 1 2 3 14 P{X 1}P{X 1}P{X 1}0.10.20.30.006 . 1 2 3 由P{X 0}P{X 1}P{X 2}P{X 3}1得出 P{X 2}1P{X 0}P{X 1}P{X 3} 10.5040.3980.0060.092. 因此X 的概率分布为 X 0 1 2 3 p 0.504 0.398 0.092 0.006 (2)令 p  P{X 1}0.1,p  P{X 1}0.2, p  P{X 1}0.3,因X 均服从01 1 1 2 2 3 3 i 分布,故EX  p ,DX  p (1 p )所以E(X )0.1E(X )0.2E(X )0.3, i i i i i 1 2 3 D(X )0.10.90.09,D(X )0.20.80.16,D(X )0.30.70.21 1 2 3 X  X  X  X .因X 服从01分布, 且X ,X ,X 相互独立,故由数学期望与方差的 1 2 3 i 1 2 3 性质 EX E(X X X )EX EX EX 0.6 . 1 2 3 1 2 3 DX D(X X X )DX DX DX 0.46 . 1 2 3 1 2 3 注：X 的期望与方差也可以直接用期望与方差的公式来计算： E(X)0P{X 0}1P{X 1}2P{X 2}3P{X 3} 00.50410.39820.09230.0060.6, D(X)02P{X 0}12P{X 1}22P{X 2}32P{X 3} 020.504120.398220.092320.0060.46. 十四、(本题满分4分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ey, 0 x  y, f(x,y)  0, 其他, (1) 求随机变量X 的密度 f (x); (2) 求概率P{X Y 1}. X  【解析】(1)已知联合概率密度可以直接利用求边缘密度的公式 f (x)  f(x,y)dy 求出 X  边缘概率密度.  当x0时, f (x)  0dy 0; X  15 x   当x0时, f (x)  f(x,y)dy   0dy eydy ey ex. X   x x 因此X 的密度为 ex, x 0, f (x) X  0, x0. (2) 概率P{X Y 1}实际上是计算一个二重积分,根据概率的计算公式： P{X Y 1}  f(x,y)dxdy , y yx xy1 再由二重积分的计算,化为累计积分求得概率 1 P{X Y 1}. xy1 x 1 O 1 1 2 1x P{X Y 1}  f(x,y)dxdy  2dx eydy 0 x xy1 1 1 1 1  2[e(1x)ex]dx2ex1dx2exdx12e 2e1. 0 0 0 16