1994年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析

更多考研资料分享+qq810958634 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】−2 sin2x+e2ax −1 【解析】 在x≠0时是初等函数,因而连续；要使 f(x)在(−∞,+∞)上连 x 续, f(x)在x=0处也连续,这样必有lim f(x)= f(0). x→0 由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,x→0时,sinx x；ex−1  x. sin2x+e2ax −1 sin2x e2ax −1 lim =lim( + ) x→0 x x→0 x x 2x 2ax =lim +lim =2+2a =a, x→0 x x→0 x 从而有a =−2. (t+1)(6t+5) (2)【答案】 t dy dy dt dy dx y′ 3t2 +2t 【解析】 = ⋅ = = t = =3t2 +5t+2, dx dt dx dt dt x′ 1 t 1− 1+t (y′)′ 6t+5 (t+1)(6t+5) y′′ = x t = = . xx x′ 1 t t 1− 1+t 【相关知识点】复合函数求导法则：如果u = g(x)在点x可导,而y = f(x)在点u = g(x)可 导,则复合函数y = f [ g(x) ]在点x可导,且其导数为 dy dy dy du = f′(u)⋅g′(x) 或 = ⋅ . dx dx du dx (3)【答案】−3sin3xf(cos3x) 【解析】原式= f(cos3x)⋅(cos3x)′= f(cos3x)⋅(−sin3x)⋅3=−3sin3xf(cos3x). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式： β(t) 若F(t)=∫ f(x)dx,α(t),β(t)均一阶可导,则 α(t) F′(t)=β′(t)⋅ f [β(t) ]−α′(t)⋅ f [α(t) ]. 1 (4)【答案】 (x2 −1)ex2 +C,其中C为任意常数 2 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是ex2先进入积分号, 1 1 原式= ∫x2d(ex2 )=  x2ex2 −∫ex2 d(x2)    2 2 1 = (x2 −1)ex2 +C 其中C为任意常数. 2 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计 算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 【相关知识点】分部积分公式：假定u =u(x)与v=v(x)均具有连续的导函数,则 ∫uv′dx=uv−∫u′vdx, 或者 ∫udv=uv−∫vdu. (5)【答案】(x−4)⋅y4 =Cx,C为任意常数 【解析】这是可分离变量的方程. dx dy 分离变量得 + =0,两项分别对x和对 y积分得到 x(x−4) y 1 x−4 ln +ln y =C , 4 x 1 x−4 化简有 ⋅y4 =C ,即 (x−4)⋅y4 =Cx,C为任意常数. x 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A) 【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得 x2 ln(1+x)−(ax+bx2)=(x− +o(x2))−(ax+bx2) 2 1 =(1−a)x−( +b)x2 +o(x2), 2 1−a=0  5 由假设,应该有 1 ,故由此a=1,b=− ,故应选(A).  −( +b)=2 2  2 ln(1+x)−(ax+bx2) 0 方法 2：用洛必达法则.lim 为“ ”型的极限未定式,又分子分母在 x→0 x2 0 点0处导数都存在,所以, 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 1 −a−2bx 1+x 原式左边=lim x→0 2x (1−a)−(a+2b)x−2bx2 =lim (若1−a≠0,则原式极限为∞,必有1−a=0) x→0 2x(1+x) 1+2b 5 =− =2, ⇒a=1,b=− . 2 2 故应选(A). (2)【答案】(B) ′ 2 2  【解析】方法1：因 f(x)= x3,(x≤1)⇒ f(x)左可导, f′(1)=  x3  =2. − 3 3  − x=1 又lim f(x)= limx2 =1≠ f(1)⇒ f(x)不右连续⇒ f(x)在x=1的右导数不存在, x→1+ x→1+ 故选(B). 2 方法2： f(1)= ,而 lim f(x)= limx2 =1≠ f(1), 3 x→1+ x→1+ 所以, f(x)在x=1点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义 进行验证. 2 x2 − f′(1)= lim f(x)− f(1) = lim 3 =+∞, + x→1+ x−1 x→1+ x−1 2 2 x3 − f′(1)= lim f(x)− f(1) = lim 3 3 =2. − x→1− x−1 x→1− x−1 故 f(x)在x=1点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B). (3)【答案】(C) 【解析】由于 f(x)满足微分方程 y′′+ y′−esinx =0,当x= x 时,有 0 f′′(x )+ f′(x )=esinx 0. 0 0 又由 f′(x )=0,有 f′′(x )=esinx 0 >0,因而点x 是 f(x)的极小值点,应选(C). 0 0 0 (4)【答案】(B) 1 【解析】用换元法求极限,令t = ,则当x→±∞时,t →0,且有 x t2 +t+1 π lim y =limet2 arctan = , limy =−∞, x→±∞ t→0 (1−t)(1+2t) 4 x→0 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 π 所以y轴和y = 是曲线的两条渐近线. 4 πe 而x=1和x=−2并非曲线的渐近线,因当x=1和x=−2时,y分别趋向于± 和 2 1 πe 4 ± .故应选(B). 2 【相关知识点】渐近线的相关知识： 水平渐近线：若有lim f(x)=a,则y =a为水平渐近线； x→∞ 铅直渐近线：若有lim f(x)=∞,则x=a为铅直渐近线； x→a f(x) 斜渐近线：若有a=lim ,b=lim[f(x)−ax]存在且不为∞,则y =ax+b为斜渐 x→∞ x x→∞ 近线. (5)【答案】(D) 【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性. 由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分 为0,故M =0,且 由定积分的性质,如果在区间[ a,b ]上,被积函数 f(x)≥0,则∫ b f(x)dx≥0 (a0, P=−2∫2cos4 xdx=−N <0. 0 0 因而 P0, limϕ(x)=−∞,ϕ(x)在x>0有 x→+∞ 唯一的零点； 2 2 2 4 当k >0时,ϕ(x) 在(0, )单调减少,在( ,+∞) 单调增加,ϕ( )=1− ,而 3k 3k 3k 27k2 2 ϕ(0)=1>0, limϕ(x)=+∞,当且仅当最小值ϕ( )=0时,ϕ(x)才在x>0有唯一零点, x→+∞ 3k 2 这时应该有k = 3. 9 2 总之,当k ≤0或k = 3时,原方程有唯一实根. 9 五、(本题满分9分) 【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域 分成不同区间,然后根据y′在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根 据y′′的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外,还要注意 有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、 拐点、极值点和零点. 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 4 8 24 y = x+ ,y′=1− ,y′′= >0. x2 x3 x4 无定义点：x=0,驻点：x=2. (−∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) y′ + 无定义 − 0 + y′′ + 无定义 + + + y 上升 无定义 下降 极小 上升 函数在(−∞,0)(2,+∞)单调增加,在(0,2)单调减少,在(−∞,0)(0,+∞)凹,在x=2取 极小值y =3； x=2 由于 limy =∞,所以x=0为垂直渐近线. x→0 y 4 由于 lim =1,lim(y−x)=lim =0,所以y = x是斜渐近线. x→∞ x x→∞ x→∞ x2 粗略草图如下： y y = x 3 x O 2 【相关知识点】渐近线的相关知识： 水平渐近线：若有lim f(x)=a,则y =a为水平渐近线； x→∞ 铅直渐近线：若有lim f(x)=∞,则x=a为铅直渐近线； x→a f(x) 斜渐近线：若有a=lim ,b=lim[f(x)−ax]存在且不为∞,则y =ax+b为斜渐 x→∞ x x→∞ 近线. 六、(本题满分9分) 【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程r2 +a2 =0 有两个根为r,r =±ai. 1 2 当a ≠1时,非齐次方程的特解应设为 Y = Asinx+Bcosx. 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 1 sinx 代入方程可以确定 A= ,B=0,Y = . a2 −1 a2 −1 当a =1时,应设 Y = xAsinx+xBcosx, 1 x 代入方程可以确定 A=0,B=− ,Y =− cosx. 2 2 由此,所求的通解为 sinx 当a≠1时,y =c cosax+c sinax+ ； 1 2 a2 −1 x 当a=1时,y =c cosx+c sinx− cosx. 1 2 2 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 y*(x)是二阶线性非齐次方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y = f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y =0的通解,则y =Y(x)+ y*(x)是非齐次方程的通解. 2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 Y(x),可用特征方程法求解：即y′′+P(x)y′+Q(x)y =0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程 变为y′′+ py′+qy =0.其特征方程写为r2 + pr+q=0,在复数域内解出两个特征根r,r ； 1 2 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根r,r ,则通解为y =Cerx 1 +C er 2 x; 1 2 1 2 (2) 两个相等的实数根r =r ,则通解为y =( C +C x ) erx 1; 1 2 1 2 (3) 一对共轭复根r =α±iβ,则通解为y =eαx( C cosβx+C sinβx ) .其中C ,C 1,2 1 2 1 2 为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y = f(x)的一个特解 y*(x),可用待定 系数法,有结论如下： 如果 f(x)= P (x)eλx,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x)= xkQ (x)eλx m m 的特解,其中Q (x)是与P (x)相同次数的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方 m m 程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2. 如果 f(x)=eλx[P(x)cosωx+P (x)sinωx],则二阶常系数非齐次线性微分方程 l n y′′+ p(x)y′+q(x)y = f(x)的特解可设为 y* = xkeλx[R(1)(x)cosωx+R(2)(x)sinωx], m m 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 其中R(1)(x)与R(2)(x)是m次多项式,m=max { l,n },而k按λ+iω(或λ−iω)不是特征 m m 方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. 七、(本题满分9分) 【解析】方法一：用积分比较定理. λ 1 首先需要统一积分区间：换元,令x=λt,则 ∫ f(x)dx=λ∫ f(λt)dt, 0 0 由此 ∫ λ f(x)dx−λ∫ 1 f(x)dx=λ∫ 1[ f(λx)− f(x) ] dx. 0 0 0 因为 f(x)递减而λx< x,所以 f(λx)≥ f(x),上式的右端大于零,问题得证. 方法二：用积分中值定理. 为分清两中值的大小,需要分别在(0,λ),(λ,1)两区间内用积分中值定理： 1 λ 1 ∫ f(x)dx=∫ f(x)dx+∫ f(x)dx, 0 0 λ 由此, λ 1 λ 1 ∫ f(x)dx−λ∫ f(x)dx=(1−λ)∫ f(x)dx−λ∫ f(x)dx 0 0 0 λ =(1−λ)⋅λf(ξ)−λ⋅(1−λ)f(ξ) 1 2 =(1−λ)⋅λ[ f(ξ)− f(ξ) ], 1 2 其中,0<ξ <λ<ξ <1；又因 f(x)递减, f(ξ)≥ f(ξ).上式的右端大于零,问题得证. 1 2 1 2 方法三：作为函数不等式来证明.令 λ 1 ϕ(λ)=∫ f(x)dx−λ∫ f(x)dx, λ∈[0,1]. 0 0 1 则 ϕ′(λ)= f(λ)−∫ f(x)dx. 0 由积分中值定理,有ϕ′(λ)= f(λ)− f(ξ),其中ξ∈(0,1)为常数. 由 f(λ)递减,λ=ξ为唯一驻点,且ϕ′(λ)在λ=ξ由正变负,λ=ξ是ϕ(λ)的极大值 点也是最大值点；由此,最小点必为端点λ=0或1.从而有 ϕ(λ)≥ϕ(0)=ϕ(1)=0,0<λ<1. 命题得证. 【相关知识点】积分上限的函数的求导公式： β(t) 若F(t)=∫ f(x)dx,α(t),β(t)均一阶可导,则 α(t) F′(t)=β′(t)⋅ f [β(t) ]−α′(t)⋅ f [α(t) ]. 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 八、(本题满分9分) 【解析】如右图所示,曲线左右对称, y 与x轴的交点是(−2,0),(2,0). y=3 只计算右半部分即可.作垂直分割, y=3− x2−1 相应于[ x,x+dx ]的小竖条的体积微元： dV =π  32 −(3− y)2  dx=  32 −(x2 −1)2  dx −2 O x x+dx 2 x =π(8+2x2 −x4)dx,0≤ x≤2, 2 448 于是 V =2π∫ (8+2x2 −x4)dx= π. 0 15 更多考研资料分享+qq810958634