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方法精讲-数量 2
（笔记）
主讲教师：邓健
授课时间：2024.03.14
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 2（笔记）
课后作业
1.代入排除法适用范围中的典型题型：________、________、________、
________。
2.当选项为________时，可优先考虑用代入排除法。
3.如果选项被排除之后只剩下____项时，代入____项即可得到答案。
4.使用代入排除法时，优先考虑排除，常见的排除方法：________、________、
________；若需直接代入时，需注意问法：________
5.在判定整除时，3和9是看________________，4是看_________，5是看
________。
如果使用因数分解进行整除判定，分解后的数之间必须________。
进行整除判定时，还可以使用________法。
6.已知 a、x 均为整数，若 y=ax+b，则________能被 a 整除；若 y=ax–b，
则________能被a 整除。
7.比例型倍数特性的结论：
若 A/B=m/n，则 A是____的倍数，B是____的倍数，A±B是________的倍数。
该结论的使用前提：A、B均为整数，且 m/n是_______整数比。
8.在设方程的未知数时，一般设______不设______；若出现比例，可以设
_________；为了方便列式，也可以设________；为了避免陷阱，可____________。
9.不定方程在求解时，先排除，再代入。排除时，如果系数一奇一偶，可用
________特性；如果系数与常数有公因子，可用________特性；系数尾数为____
或____时，可用________特性；如果都没有，还可以_______。
【注意】
1.代入排除法适用范围中的典型题型：年龄、余数、多位数、不定方程。适
用范围很广，觉得不好做、不好算、不好解的都可以代入。
2.当选项为一组数时，可优先考虑用代入排除法。
3.如果选项被排除之后只剩下两项时，代入一项即可得到答案。
4.使用代入排除法时，优先考虑排除，常见的排除方法：尾数、奇偶、倍数；
1若需直接代入时，需注意问法：问最少，从最小的开始代入，问最多，从最大的
开始代入。
5.在判定整除时，3和9是各位数字之和，4是看末两位，5是看个位。
（1）如果使用因数分解进行整除判定，分解后的数之间必须互质，如 18=2*9，
不能拆分为6*3。3 和6可以继续约分，6包含 3，则相当于找的是 6的倍数，不
是18的倍数，
（2）进行整除判定时，还可以使用拆分法。如找 7 的倍数，选项有 245、
255、265，拆分为 210+35、210+45、210+55，其中只有 35 能被 7 整除，则 245
是7的倍数。
6.已知 a、x均为整数，若 y=ax+b，则 y-b能被a整除；若 y=ax-b，则y+b
能被a整除。平均分组有余数，则多退少补。
7.比例型倍数特性的结论：一个比例，有 4组倍数关系。
（1）若 A/B=m/n，则 A 是 m 的倍数，B 是 n 的倍数，A±B 是 m±n 的倍数。
（2）该结论的使用前提：A、B均为整数，且 m/n是最简整数比。
8.在设方程的未知数时，一般设小不设大；若出现比例，可以设份数（例如
5：3，设 5x 和 3x）；为了方便列式，也可以设中间量（根本原则是怎么方便列
式怎么来，从信息量最多的中间量入手）；为了避免陷阱，可求谁设谁。
9.不定方程在求解时，先排除，再代入。排除时，如果系数一奇一偶，可用
奇偶特性；如果系数与常数有公因子，可用倍数特性；系数尾数为 5或0时，可
用尾数特性；如果都没有，还可以直接代入选项。
第四节 工程问题
三量关系：总量=效率*时间
考查题型
1.给完工时间型（重点）
2.给效率比例型（重点）
3.给具体单位型（送分）
【注意】
1.三量关系：总量=效率*时间，时间如 5 小时、2 天、3 天。总量即干多少
2活，比如去考试，试卷共120题（工作总量），时间为 2小时，则工作效率=120/2=60
道题/小时，工作效率是单位时间完成的工作量。
2.考查题型：
（1）给完工时间型（重点）。
（2）给效率比例型（重点）。
（3）给具体单位型（送分）。
给完工时间型
【例】搬完一车砖，小帅需要 2小时，小美需要 3小时，现俩人合作，需要
多久？
①赋总量（完工时间的公倍数）
②算效率：效率=总量/时间
③根据工作过程列式计算
【注意】给完工时间型：
1.例：搬完一车砖，小帅需要 2小时，小美需要 3小时，现俩人合作，需要
多久？
答：合作是效率加和，时间一定比最短的 2小时还短。小学数学老师讲解工
程问题，是把工作总量当作单位 1，可以计算效率，效率=工作总量/时间，则小
帅效率=1/2、小美效率=1/3，合作效率加和，总效率=1/2+1/3=5/6，总时间=1
÷（5/6）=1*（6/5）=1.2。这种方法没有问题，但如果时间改为 30 小时、50
小时、12 小时，则计算效率，最后通分会很麻烦。
2.可以赋值总量为公倍数，保证可以整除，这样所有的计算都是整数的形式。
赋值工作总量为2和3的公倍数——6，则小帅的效率=6/2=3、小美的效率=6/3=2。
根据工作过程列式：6/（3+2）=1.2。
3.如果题目给出多个完成工作的时间：
（1）赋总量（完工时间的公倍数）。
（2）算效率：效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式计算。
3最小公倍数：短除法
例：15和35
例：9和11
例：10和25和 40
不用太纠结，实际做题中给的数字都一眼看出来；即使看不出来也可以直接
用乘积
【注意】最小公倍数：短除法。
1.例：15 和 35。15 和 35 约掉 5，还剩 3、7，无法继续约分，则外侧数字
相乘，最小公倍数=5*3*7=105。
2.例：9和11。两数无法约分，直接相乘，最小公倍数=9*11=99。
3.例：10和25 和40。三个数同时约掉 5，还剩 2、5、8，三个数无法约分，
两两约，2和8约2，还剩1、5、4，此时两两无法约分，最小公倍数=5*2*1*5*4=200。
4.做题中找公倍数，不用太纠结，实际做题中给的数字都一眼看出来；即使
看不出来也可以直接用乘积。如果最小公倍数找得比较准，可以利用短除法。
【例 1】（2021 广东）为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工
程人员出国参与一个高铁建设项目。如果由甲队单独施工，200天可完成该项目；
如果由乙队单独施工，则需要 300 天。甲、乙两队共同施工 60 天后，甲队被临
时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完成该项目共需多少天？
A.120 B.150
C.180 D.210
【解析】1.第一句背景介绍，无信息。“如果由甲队单独施工，200 天可完
4成该项目；如果由乙队单独施工，则需要 300 天”，给出多个完工时间，为给完
工时间型，赋值总量为完工时间的公倍数，赋值总量为 200和300的公倍数——
600。有总量和时间，甲的效率=600/200=3；乙的效率=600/300=2。用做工作的
人的效率*时间，一步一步对应列式。设甲离开后，乙单独做的时间为 t，列式：
（3+2）*60+2t=600→2t=300→t=150，但不能着急选 B 项。问的是共需多少天，
求的是总时间，为 60+150=210。【选D】
【注意】工程常考陷阱：分几步工作时，问总时间，需要加上前面已经做的。
【例 2】（2023 北京）甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先
施工，用了15天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了 9天。
则乙工程队独立完成整个工程需要多少天？
A.10 B.15
C.16 D.20
【解析】2.“甲工程队先施工，用了 15 天完成了一半”，说明甲 30天完工。
“剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了 9天”，说明甲乙合作用了 15-9=6
天作了后面的一半，则甲乙合作完工需要 12 天，有两个完工时间，赋值总量为
30和12 的公倍数，找的总量越小，对应效率越小；总量越大，对应的效率越大，
通常用最小的，这样数字最整、最好算。短除法 30 和 12 约掉 6，还剩 5 和 2，
无法约分，则最小公倍数=6*5*2=60。赋值工作总量为 60，则甲的效率=60/30=2、
甲+乙的效率=60/12=5，则乙的效率=5-2=3。乙工程队独立完成整个工程需要的
天数=60/3=20。【选 D】
【例 3】（2023 联考）轨道交通公司定期进行轨道检修工作，甲、乙两个工
程队合作进行需 4 小时完成，甲队单独完成比乙队单独完成快 15 小时，则甲队
5单独完成需要的时间是：
A.5 小时 B.6 小时
C.7 小时 D.8 小时
【解析】3.“甲队单独完成比乙队单独完成快 15 小时”，时间快即用时短，
如跑得快、做题快，是很短的时间完成，故时间快意味着用时短，甲比乙快 15
小时就是甲比乙短 15小时。
方法一：设甲的时间为 x、乙的时间为 x+15。无多个完工时间，不能赋值公
倍数，把总量当作单位 1，效率=工作总量/工作时间，则甲的效率=1/x，乙的效
率=1/（x+15），还知道甲乙合作 4 小时完成，可列方程：1/x+1/（x+15）=1/4，
分式方程，如果要解，需要通分，左右两边同时乘以 4x*（x+15），得到一元二
次方程，利用因式分解求 x的两个根，能做但很浪费时间，做的是选择题，可以
代入选项。求的是甲的时间，代入选项，从好算的原则出发，如果答案是 A 项，
5+15比较整，1/5+1/20=（4+1）/20=5/20=1/4，等式成立，选择A 项。
方法二：直接代入。题目告诉了甲、乙完工时间之差，甲比乙少 15 小时，
乙的时间比甲多 15 小时，选项是甲的完工时间，可以利用选项得到乙的完工时
间，故直接代入验证。代入 A 项：甲=5 小时，乙=5+15=20 小时，赋值工作总量
为 5 和 20 的公倍数，赋值为 20，则甲的效率=20/5=4，乙的效率=20/20=1。通
过合作4小时验证，列式：20/（4+1）=4小时，可以契合题干，当选。【选 A】
【注意】代入最倒霉的情况是要代入 3 次，出题人出题的时候，设置的数据
往往是特别整、特别好算的数据，一定先挑选选项中比较整、好算的数字，计算
量小，是正确答案的概率也会更高。
【拓展 1】（2022 福建）一批试卷分配给甲乙两人评阅。如果甲单独评阅，
需30小时才能完成任务。乙单独评阅，需 40小时才能完成任务。现在他们两人
一起同时开始评阅，经过 25 小时评卷结束。评卷期间甲休息了 7 小时，问乙在
评卷期间休息了多少小时？
A.6 B.7
C.8 D.9
6【解析】拓展.“如果甲单独评阅，需 30 小时才能完成任务。乙单独评阅，
需 40 小时才能完成任务”，给出甲、乙的完工时间，给多个完工时间，三步走。
赋值总量为30和40的公倍数——120。甲的效率=120/30=4、乙的效率=120/40=3。
设乙的工作时间为 t，列式：4*（25-7）+3*t=120→4*18+3t=120→4*6+t=40→
t=16小时。则乙休息的时间=25-16=9小时。【选 D】
给效率比例型
①赋效率（满足比例即可）
②算总量：效率*时间=总量
③根据题意完成工作
【例】搬一堆砖，甲和乙的效率比为 2：1，合作 3 小时完成。现在，甲先
做2小时，然后再交给乙做，问乙需要做多少小时？
【注意】给效率比例型：
1.例：搬一堆砖，甲和乙的效率比为 2：1，合作 3 小时完成。现在，甲先
做2小时，然后再交给乙做，问乙需要做多少小时？
答：效率之比为 2：1，不知道效率是多少，满足比例即可，这类问题最简
单的方法是直接赋值甲效率为 2、乙效率为 1，工程问题算总量，合作 3 小时，
则工作总量=（2+1）*3=9。设乙工作的时间为 t，列式：2*2+1*t=9→t=5h。
2.方法：
（1）赋效率（满足比例即可）。
（2）算总量：效率*时间=总量。
（3）根据题意完成工作。
效率比例的三种形式
直接给：甲：乙=3：4；甲的效率是乙的 3/4
间接给：工作量相等，效率与时间成反比
时间相同，效率与工作量成正比：甲完成 50%的时间与乙完成 25%的时间相
同。
工作量相同，效率与时间成反比：甲 4 天的工作量等于乙3天的工作量。
7给具体人数或机器数：
50 个人修路、30台机器收割麦子等
赋值每个人/每台机器效率为 1
【注意】效率比例的三种形式
1.直接给：甲：乙=3：4；甲的效率是乙的 3/4，直接赋值甲效率为 3、乙效
率为4。
2.间接给：工作量相等，效率与时间成反比。
（1）时间相同，效率与工作量成正比：甲完成 50%的时间与乙完成 25%的时
间相同。时间相同，甲做 50%的量、乙做 25%的量，做得多的效率高，甲/乙
=50%/25%=2/1。
（2）工作量相同，效率与时间成反比：甲 4 天的工作量等于乙 3 天的工作
量。甲/乙=3/4。如果觉得正比、反比不好理解，可以列式：甲*4=乙*3→甲/乙
=3/4。
3.给具体人数或机器数：50个人修路、30台机器收割麦子等。50 个人工作，
实际生活中每个人效率不同，出题是理想化模型，可以理解为机器人，如果 50
个人效率不同，无法处理，给出几十个人、几十台机器的题目，默认每个人、每
台机器效率相同，效率之比为 1：1：1……。赋值每个人/每台机器效率为 1。
【例 4】（2022 联考）甲、乙二人合作计划 30天完成一项工程，甲的工作效
率是乙的2倍。两人合作 10天后，甲的效率提升 25%，乙的效率提升 50%。又合
作10天后，乙因其他任务撤出，甲单独完成剩余任务。则最终工作比预计时间：
A.早 2天 B.晚2天
C.早 4天 D.晚4天
【解析】4.“甲的工作效率是乙的 2倍”出现效率的比例，赋值甲的效率为
2、乙的效率为1。总量=（2+1）*30=90。前面 10天工作量=（2+1）*10。“甲的
效率提升 25%，乙的效率提升 50%”，则甲’=2*1.25=2.5，乙’=1*1.5=1.5，设
甲单独工作的时间为 t，则（2+1）*10+（2.5+1.5）*10+2.5t=90→30+40+2.5t=90
→2.5t=20→t=20/2.5=8。实际用时间=10+10+8=28 天，所求=30-28=2 天，即早
2天。【选A】
8【注意】如果看到后面有 25%、50%，能看出来赋值 4和2更简单，也可以，
但是本题用2和1 也能算。
【例 5】（2023 成都事业单位）某市需要修一座桥梁，现有甲、乙两个施工
单位，已知甲、乙合作 12 天可完成桥梁的 7/8；如果甲、乙单独做，那么甲完
成 1/2 与乙完成 2/3 所需要的时间相等。则甲单独做比乙单独做需要多用多少
天？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】5.“如果甲、乙单独做，那么甲完成 1/2与乙完成2/3 所需要的时
间相等”，时间相同，工作效率和工作总量成正比，故甲效率/乙效率=（1/2）÷
（3/2）=（1/2）*（3/2）=3/4，赋值甲效率为 3、乙效率为 4。算总量：（3+4）
*12=总量*（7/8）→12=总量/8→总量=12*8=96。再做题：t =96/3=32，t =96/4=24，
甲 乙
所求=32-24=8天。【选 C】
【例 6】（2021 广东）某茶园需要在一定时间内完成采摘。前 4 天安排了20
名采茶工，完成了五分之一的工作量。如果再用 10 天完成全部采摘，至少还需
要增加多少名采茶工？
A.12 B.11
C.10 D.9
【解析】6.出现 20 名采茶工，默认每个人效率相同，赋值 1 个人的效率为
1，20 人的效率为 20。求总量：4*20=总量*（1/5）→总量=80*5=400。再做题，
假设剩下的 10 天需要的人数用“人”表示，则 4*20+10*人=400→10*人=320→
人=32，至少还需要增加 32-20=12人。【选 A】
【拓展 2】（2022 辽宁）有 25 人铺设某足球场草坪，计划 20 天完成。动工
6天后抽出5人负责围栏围网的施工，留下的人继续铺设草坪。如果每人的工作
效率不变，那么铺设完该足球场的草坪实际要用多少天？
9A.23.5 B.24.5
C.25.5 D.26.5
【解析】拓展.看到25人，说明是给效率比例型，默认每人效率相同，赋值
每个人的效率为 1，25 人的效率赋值为 25。工作总量=25*20=500。抽掉 5 人之
后剩下 20 人，假设工作时间为 t，根据题意列式：25*6+20*t=500→20t=350→
t=17.5，17.5 是后面的时间，要加上前面的时间，所求=6+17.5=23.5，选择 A
项。【选A】
【注意】如果需要取整，则不会给小数点，会加上一句“不足一天按照一天
计算”，计算23.5，23天不够，取24天。
给具体单位型（条件给出具体效率、具体工程量）
很简单，直接根据问题设未知数列方程求解
例：老邓有 120 栋楼要收租，11 月他想休息 10 天，那么 11 月剩下的时间
平均每天需要收多少栋楼的房租？
【注意】给具体单位型（条件给出具体效率、具体工程量）：
1.前面的题目都没有具体单位，只有时间，如果给具体单位或者工作量，不
用赋值，直接根据问题设未知数，列方程求解。
2.例：老邓有 120 栋楼要收租，11 月他想休息 10 天，那么 11 月剩下的时
间平均每天需要收多少栋楼的房租？
答：11月有30 天，休息 10天，工作30-10=20天，平均每天需要收 120/20=6
栋楼。
【例 7】（2023 浙江）收割一片稻田，可选择甲、乙、丙 3 台农机。用丙收
割的用时比用甲短 4 小时，比用乙长 2 小时。已知甲、乙的收割速度分别为 5
亩/小时和 9亩/小时，那么丙的收割速度在以下哪个范围内？
A.小于 6亩/小时 B.6～7亩/小时
C.7～8亩/小时 D.大于8亩/小时
【解析】7.方法一：“用丙收割的用时比用甲短 4 小时，比用乙长 2 小时”，
10时间关系：丙=甲-4=乙+2。求最后丙的速度，可能要设丙的时间，直接设丙的时
间为x，则甲的时间=x+4，乙的时间=x-2，列式：（x+4）*5=（x-2）*9→5x+20=9x-18
→4x=38→x=9.5。则总量=（x+4）*5=（9.5+4）*5，丙的效率=[（9.5+4）*5]/9.5=
（13.5*5）/9.5。估算首位即可，出现多个“5”，分子、分母同时*2，（13.5*5*2）
/（9.5*2）=135/19，首位商7，选择C项。
方法二：“用丙收割的用时比用甲短 4小时，比用乙长 2小时”，甲的效率是
5、乙的效率是9，中间的平均数是 7，不知道时间是多少，不能用反比做题。时
间和丙更近，则效率更接近 9；如果非常接近 9，8.x 不太可能，猜 C 项（选项
是范围可以这样猜，如果要算具体的结果，无法用这个方法）。
方法三：对于甲、乙来说，总量相同，效率与时间成反比，效率之比：甲/
乙=5/9，所以 t /t =9/5，根据“用丙收割的用时比用甲短 4小时，比用乙长 2
甲 乙
小时”，丙=甲-4=乙+2→甲=乙+6，甲和乙的时间之差为 6小时，4份对应 6小时，
则 1 份对应 1.5 个小时，得到甲的时间和乙的时间，t =1.5*5=7.5 小时。工作
乙
总量=7.5*9，所求=7.5*9/（7.5+2）=7.5*9/9.5=（分子、分母同时*2）
15*9/19=135/19=7+，选择C项。【选C】
第五节 经济利润问题
一、基础经济
二、分段计费
三、函数最值
【注意】经济利润问题：
1.基础经济，不是最简单的问题，而是用一些基础公式进行解决的问题。
2.分段计费。
113.函数最值。
基础经济公式
①利润=售价-进价
②利润率=利润/进价
③售价=进价*（1+利润率）
折扣：打 N折就用原价乘以 0.N
【注意】基础经济公式：生活中常见的计算方式。
1.利润=售价-进价，如老师卖鸭脖，进价为 20元/斤，老师卖 60元/斤，每
斤的利润为60-20=40 元。
2.利润率=利润/进价，利润率在统计学中分为收入利润率和成本利润率，在
资料分析中利润率=利润/收入；数量关系（理想化模型）中利润率=利润/成本。
3.售价=进价*（1+利润率），给进价和利润率，已知进价为 20、利润率为 200%，
则售价=20*（1+200%）=20*3=60。题目较难的时候会涉及到这个公式，如果资料
分析学的好可以类比为现期=基期/（1+r），现期为售价，基期为进价，r为利润
率。
4.折扣：打 N 折就用原价乘以 0.N，原来售卖 60 元，打 8 折出售，售价为
60*0.8=48。
【例 1】（2023 联考）某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售
可获得利润 70 元，如果按定价打九五折出售可获得利润 100 元，这款小家电进
货价格所在区间是：
A.400～450元 B.450～500元
C.500～550元 D.550～600元
【解析】1.方法一：大部分同学设两个未知数，设定价为 x，进价为 y，打
9折：0.9x-y=70①，打95折：0.95x-y=100②，②-①：0.05x=30→x=30/0.05=600，
代入①求y，540-y=70→y=470，对应B项。
方法二：对于同样的物品来说，卖的越贵，赚得越多，卖的越便宜，赚的越
少（如 980 系统班，卖 98000 会赚很多，若卖 980 赚的会很微薄）。进价不变，
12售价的变化=利润的变化，如一斤产品进价为 100，如果售价为 200，则利润为
100，若售价为 150，则利润为 50，售价之间的差值与进价之间的差值相同，售
价降低 50，则利润降低 50，若按照售价为 300 元销售，利润为 200，售价比原
来多150 元，则利润也比原来多 150元，即售价的变化=利润的变化。回归本题，
利润变了 100-70=30 元，原来是 0.9*定价，后来是 0.95*定价，两者之间相差
0.05*定价，故 0.05*定价=30→定价=30/0.05=600，所求=0.9*600-70=470，对
应B项。【选 B】
【注意】折扣越低越便宜，打 1 折→原价*0.1，打 9 折→原价*0.9、打 95
折→原价*0.95。
思维点拨：同一件物品（进价不变时），售价的变化=利润的变化
简单来说：一个东西卖的贵利润高，卖的便宜利润就低
【例 2】（2024 浙江网友回忆版）甲、乙两店同时开展促销活动，甲店单件
商品的标价超过 50 元可以立减 20 元后再打 9 折，乙店单件商品的标价超过 50
元可以打 8 折后再立减 10 元。现两家店都在销售的 3 种商品，相同商品在两店
价格相同，分别为 45 元、75 元和 85 元，某人准备购买其中两种商品各一件，
最少的花费在以下哪个范围之内？
A.90 元以下 B.90～93元
C.93～96元 D.96 元以上
【解析】2.买两种商品，问最少的花费在哪个范围，分别将三个价格的产品
在甲乙两店的销售价格计算出来，45 元的产品甲乙两店都不打折，则在甲乙两
店的价格都是 45 元，“甲店单件商品的标价超过 50 元可以立减 20 元后再打 9
折”→55*0.9=55-5.5=49.5，故 75 元的产品在甲店的价格为 49.5 元；“乙店单
件商品的标价超过 50 元可以打 8 折后再立减 10 元”→75*0.8-10=50，故 75 元
的产品在乙店的价格为 50 元；很多同学将每个价格都计算出来，无论是怎样的
折扣，85 元＞75 元，因此 85 元的折后价一定比 75 元的折后价贵，要想买最便
宜的两个，一定会现在甲乙当中任意购买一个 45元的商品，再购买 49.5元的商
13品，一共花费45+49.5=94.5 元，对应C项。【选 C】
【注意】
1.“超过 50 元可以立减 20 元后再打 9 折”会认为买 51 元的东西是最合适
的，但定价一定不会卡在 51元，如满200-50，但店铺会将价格都设为 199。
2.要买两种商品，因此不能买两个 45 元的产品。
基础经济方法
一、方程法：题干给出价格、数量等具体值
设未知数，套公式列方程求解
二、赋值法：题干未给出价格、数量等具体值
往往赋进价（100），利用公式直接计算
补充：当条件太多、关系太乱时，可列表格梳理
【注意】基础经济方法：
1.方程法：题干给出价格、数量等具体值，设未知数，套公式列方程求解。
2.赋值法：题干未给出价格、数量等具体值，考虑赋值，往往赋值进价为
100，给出的都是百分比的变化，因此赋值 100 最好算，所有价格的起源都是进
价，在进价的基础上进行售卖，计算利润，因此对最开始的进价进行赋值。利用
公式直接计算。
3.补充：当条件太多、关系太乱时，可列表格梳理。
【例 3】（2023 河北）某商品的利润率是 20%。如果进货价降低 20%，售价保
持不变，此时利润率是多少？
14A.40% B.30%
C.60% D.50%
【解析】3.没有出现具体价格，只有利润率，赋值原进价为 100，将每个量
都表示出来，有原来、有现在，列表分析，知道进价和利润率，可以得到原售价
=100*（1+20%）=120 元；看条件，“进货价降低 20%”→现进价为 80，售价不变，
现售价=120，所求=（120-80）/80=50%，对应 D项。【选D】
【注意】可以设未知数解方程，但未知数多，会导致解题比较乱，因此不建
议设未知数列方程。
【例 4】（2023 浙江）某商品上月售价为进价的 1.4 倍，销售 m 件。本月该
商品进价下降20%，售价不变，销售利润为上月的 1.8倍。那么本月的销量为多
少件？
A.1.3m B.1.25m
C.1.2m D.1.15m
【解析】4.没有给出具体价格，赋值上个月的进价为 100，列表梳理，“上
月售价为进价的1.4倍”→上月售价为140，“销售m件”→上月总利润=（140-100）
*m=40m，“本月该商品进价下降 20%，售价不变，销售利润为上月的 1.8 倍”→
本月进价=100*（1-20%）=80、售价=140、总利润=1.8*40m=72m，所求=72m/（140-80）
=72m/60=1.2m，对应 C项。【选C】
15分段计费
出题背景：在生活中，税费、水电费、停车费等，有多段计费标准。
计算方法：按标准分开计算（代入也不错）
【引例】某地出租车收费标准为：3公里内起步价 8元；超出 3公里的部分，
每公里 2元。小明打车坐了 12公里，共花费多少钱？
【注意】分段计费：
1.出题背景：在生活中，税费、水电费、停车费等，有多段计费标准。如个
人所得税5000以内不交税、阶梯用水、电费等。
2.计算方法：按标准分开计算，有些题目求总量，可以直接代入。
3.例：某地出租车收费标准为：3 公里内起步价 8 元；超出 3 公里的部分，
每公里 2元。小明打车坐了 12公里，共花费多少钱？
答：3公里之内收 8元，12公里比 3公里多出 9公里，所求=8+2*9=8+18=26
元。
【例 1】（2020 广西事业单位）某商店实行打折销售，顾客消费在 100 元以
内的部分，按8折收费，超过 100 元的部分按 6折收费。某顾客在商场实际消费
155元，如果没有实行打折销售，这位顾客需要支付多少元？
A.225 B.255
C.275 D.295
【解析】1.“顾客消费在 100元以内的部分，按 8折收费，超过 100元的部
分按 6 折收费”，假设一件商品的售价是 200 元，前 100 元按照 8 折收费，花费
16100*0.8=80 元，剩余的 100 元 6 折收费，花费 100*0.6=60 元，一共需要支付
80+60=140 元；已知实际消费 155 元，因此需要将 155 元进行拆分，155 元其中
有 80 元是 100 元的折后价，原来这个部分的价格是 100 元，剩余 75 元是打 6
折后的折后价，75*0.6=125 元，则没有打折原价为 100+125=225元，对应 A项。
【选A】
【注意】若分析不出来，可以直接代入选项，若一共消费 225 元，前 100
元只需要支付 100*0.8=80 元，超过 100 元的部分为 125 元，按照 6 折收费，需
要支付126*0.6=75 元，一共需要支付80+75=155 元，符合题意，A 项当选。
【例 2】（2023 联考）某智慧公共停车场的收费标准如下：停车不超过 15
分钟，不收费；
超过 15分钟但不超过 60分钟，按1小时计，收费 5元；
超过 1 小时后，超过的部分按每 30 分钟 4 元收费（不足 30 分钟，按 30 分
钟计）。若李先生支付停车费 17元，则他停车的时长可能为：
A.2 小时 B.2 小时15分钟
C.2 小时45分钟 D.3 小时
【解析】2.停车收费问题，不足半小时按照半小时计算，即使 1分钟，也要
支付4元。
方法一：已知一共支付 17 元，第一个小时收费 5 元，若再过 1 个小时，需
要再收费4*2=8元，一共 17元，两个小时后还剩 17-5-8=4元，最多用半个小时，
因此时间范围是2h～2.5h，对应B项。
方法二：代入 A 项，一共需要 5+4*2=5*8=13 元，代入 B 项，B 项比 A 项多
出 15 分钟，不足 30 分钟，按照 30 分钟收费，则按照半个小时收费 4 元，比 A
项多收费4元，一共收费 13+4=17元，对应 B项。【选B】
【注意】只要超过 15 分钟，不超过 1 个小时，就按照 1 小时计费，不会再
减去15 分钟的时间。
17函数最值
出题背景：在生活中，贵就卖的少，便宜就卖的多
题型特征：价格和销量此消彼长，问如何定价总收入/总利润最高？
【引例】售价为 3000元时，可卖出16 万件。若售价每提升300 元，销量会
降低1万件。请问当售价定为多少元时，总收入最高？
总收入=价格*数量=（3000+300X）*（16-x）
计算方法（两点式）：
设提价次数为 x
①令结果为 0，解得 x、x；
1 2
②当 x=（x+x ）/2时，取得最值。
1 2
【注意】函数最值：
1.出题背景：在生活中，贵就卖的少，便宜就卖的多。
2.题型特征：价格和销量此消彼长，问如何定价总收入/总利润最高？收入
→卖出去多少钱、利润→赚了多少钱，收入≠利润，还需要考虑成本，如售价为
100，销量为 100，则收入为 10000；若成本有 5000 元，则利润只有
10000-5000=5000 元。
3.引例：售价为 3000元时，可卖出16 万件。若售价每提升300 元，销量会
降低1万件。请问当售价定为多少元时，总收入最高？
答：求总收入，总收入=售价*销量，原来的售价为 3000，已知每提升 300
元，会降低 1 万件，设提升了 x 次价格，此时售价为 3000+300x，销量为 16-x，
列式：总收入=（3000+300x）*（16-x），属于 y关于x的一元二次函数，有很多
求解方法，如求跟公式、韦达定理、化成一般表达式，找对称轴，对称轴的位置
就是极值的位置；或求导，当倒数为 0 时，原函数有极值，这些方法都是对的，
但考试过程中直接考虑两点式秒杀，一元二次函数的图像为抛物线，有对称性，
在对称轴上能取到这个函数的最值，需要找抛物线关于 x 轴的两个交点，此时
y=0，对应到式子中，当一个乘法为 0 时，对应两个括号的结果分别为 0，可以
得到x=-10、x=16，中点为（-10+16）/2=3，当x=3时，总收入最大。
1 2
4.计算方法（两点式）：设提价次数为 x。
（1）令结果为 0，解得x、x。
1 2
18（2）当x=（x +x）/2时，取得最值。
1 2
【拓展 3】（2018 联考）某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以 4 元出
售，可卖出 20 万株，若苗木单价每提高 0.4 元，就会少卖 10000 株。问在最佳
定价的情况下，该公司最大收入是多少万元？
A.60 B.80
C.90 D.100
【解析】拓展.“若苗木单价每提高0.4 元，就会少卖10000株”,价格和销
量此消彼长，问最大收入，根据题意列式，收入=单价*销量，设上涨 x 次价格，
收入=（4+0.4x）*（20-x），无脑两步走，令 4+0.4x=0，解得 x=-10，令 20-x=0，
1
解得x=20，当x=（-10+20）/2=5 时，有最大值，此时最大收入为（4+0.4*5）*
2
（20-5）=6*15=90，对应C项。【选C】
【例 1】（2022 联考）北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十
分畅销。销售期间某商家发现，进价为每个 40元的“冰墩墩”，当售价定为 44
元时，每天可售出 300 个，售价每上涨 1 元，每天销量减少 10 个。现商家决定
提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为：
A.51 元 B.52 元
C.54 元 D.57 元
【解析】1.求利润最大，总利润=单利*销量，设涨价 x 次，单利=44-40+x，
销量=300-10x，列式为总利润=（4+x）*（300-10x），解得 x=-4、x=30，当 x=
1 2
（-4+30）/2=13 元时，利润最大，有同学会计算为 40+13=53，发现没有这个选
项，注意，所求为售价，售价是在 44元的基础上上涨的，44+13=57，对应D项。
【选D】
19【注意】
1.错误做法：列式为（44+x）*（300-10x），令两个括号分别为 0，解得 x=-44、
1
x=30，x=（-44+30）/2=-7，为降价 7元，结果为 44-7=37元。注意售价*销量=
2
总收入，但题目所求为利润最大，因此列式错误，无法得到正确答案，且成本为
40元，售价为 37元，属于亏本。
2.不要盲目的用售价*数量，要看问题；若问总收入，总收入=售价*数量；
若问总利润，总利润=单件利润*数量。
【例 2】（2024 山东网友回忆版）某线上店铺将进货单价为 8 元的商品按每
件 10 元出售，每天可销售 100 件。店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售
价提高 1 元，每天销售量就要减少 10 件，为保证每天至少获利 350 元，问该商
品售价应为多少？
A.不到 13元 B.13～15元之间
C.15～17元之间 D.17 元以上
【解析】2.方法一：出现“至少获利 350 元”，计算出最大利润，一定满足
获利350 元，因此直接找利润最大的，利润=单利*销量，设上涨 x次，利润=（2+x）
*（100-10x），要结合销量考虑，此消彼长是动态变化的过程，不能只考虑价格，
令两个括号分别为 0，解得 x=-2、x=10，当 x=（-2+10）/2=4 时，有最大值，
1 2
此时售价为10+4=14 元，对应B项。
方法二：获利为 350元，总利=单利*销量，销量为几十件，数字特殊，因式
分解，5*7=35，可以是 5 元的利润、70 的销量，也可以是 7 元的利润、50 的销
量，成本为 8 元，若利润为 5 元，此时售价为 8+5=13，若利润为 7 元，此时售
价为 8+7=15 元，对应抛物线的两点，因此范围在 13～15 之间，对应 B 项。【选
B】
20【注意】计算的已经是最大利润的情况，因此获利一定超过 350 元。如果感
兴趣可以x=4代入计算，利润=（2+4）*（100-40）=6*60=360元，满足获利 350
元以上。
【拓展 4】（2020 江苏）某商品的进货单价为 80元，销售单价为 100元，每
天可售出 120 件。已知销售单价每降低 1 元，每天可多售出 20 件。若要实现该
商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：
A.5 元 B.6 元
C.7 元 D.8 元
【解析】拓展.“某商品的进货单价为 80元，销售单价为100元”→每件单
利润赚 20 元，要让销售利润最大，销售利润=单件利润*销量，设降低 x 次，利
润=（20-x）*（120+20x），令两个括号分别为 0，解得 x=20、x=-6，因此当降
1 2
价为（20-6）/2=7 元时，利润最大，对应 C项。【选C】
【注意】收入最大≠利润最大，如果一个东西售卖的很贵，如售卖 10万元，
只卖出 1 件，赚 8 万，若降价卖 1 万元，售卖 1 万件，收入为 1 亿，赚 5 千万，
若售价为 5000 元，售卖 5 万件，收入为 2.5 亿元，此时的利润可能是负数，收
入-成本=利润，因此收入高不代表利润大。
21道阻且长，行则将至
预习：（讲义 203～208页）
第六节 行程问题
第七节 几何问题
尽量自己认真思考做一遍，听课效果更佳
实在不会做，起码熟悉题目
22下节课 6：55 开始，回顾本节课的知识点
【答案汇总】
工程问题 1-5：DDAA；6-7：AC
基础经济 1-4：BCDC
分段计费 1-2：AB
函数最值 1-2：DB
23遇见不一样的自己
Be your better self
24
