文档内容
方法精讲-数量 4
（笔记）
主讲教师：邓健
授课时间：2024.03.16
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 4（笔记）
数量关系 方法精讲 4
学习任务：
1.课程内容：排列组合与概率问题、容斥原理问题
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：209页～213页
4.重点内容：
（1）掌握常用的排列组合公式，理解分类讨论与分步计算的区别，正难
反易则从反面求解
（2）掌握两种经典方法（捆绑法、插空法、插板法）的适用范围和操作步
骤
（3）掌握常考的概率问题的两种题型——给情况求概率、给概率求概率
（4）掌握两集合容斥原理公式、三集合容斥原理的标准型和非标准型公
式
（5）掌握画图法在容斥原理问题中的运用
1【注意】行程问题、几何问题：
1.行程问题的基本公式：S=V*T（路程=速度*时间）。非常有效、快、爽的
猜题办法：如果存在 A=B*C，求解 A，可以用倍数关系秒杀。多省联考某个省份
的卷子前两道数量题都是倍数特性，倍数特性是行测数量最好的一种技巧，希望
大家记忆、掌握。
2.匀变速过程，平均速度=（V +V ）/2。
初 末
3.相遇问题的方向表述“相向而行”，基本公式：S =V *T；追及问题的方
和 和
向表述“同向而行”，基本公式：S =V *T。
差 差
4.环形相遇和环形追及使用结论的前提：同点出发。
（1）环形相遇的结论：每相遇一次合走一圈。
（2）环形追及的结论：每追上一次多走一圈。
（3）例：若甲乙同时同点出发，甲第一次追上乙所用的时间是甲乙第一次
迎面相遇所用时间的 3倍，甲的速度是乙的速度多少倍？
答：相当于一道数学题，根据结论、公式得到甲、乙速度的关系。第一次追
上，路程差为 1 圈（S），速度差为 V -V ，时间为 S/（V -V ）；合走一圈，
甲 乙 甲 乙
路程和为1圈（S），时间为 S/（V +V ），故 S/（V -V ）=S/（V +V ）*3，
甲 乙 甲 乙 甲 乙
交叉相乘、约分化简，3V -3V =V +V →3V -V =V +3V ，故 2V =4V →V
甲 乙 甲 乙 甲 甲 乙 乙 甲 乙 甲
=2V 。
乙
25.几何公式比较多，但不是每一个都有必要记忆，如大家都知道正方形、长
方形面积公式。几个常考但不熟悉的公式：梯形面积公式：[（上底+下底）*h]/2；
圆柱体积公式：底面积*高=πr²h；圆锥体积公式：1/3*底面积*高=1/3*πr²h，
r是底面半径，h为整个柱体或锥体的高。
6.勾股定理：a²+b²=c²。
（1）常见的三组特殊勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13，很多题目可
以直接套用勾股数的固定比例，不需要硬算。
（2）特殊三角形的比例关系：
①30°、60°、90°三边比例=1：√3：2。
②45°、45°、90°三边比例=1：1：√2。
7.已知两个村庄都在公路上方，求两个村庄到公路同一点的距离之和最短，
如何处理：选择任意一个点进行镜面对称，再连线，两点连起来就是最短路径。
8.底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比；相似三角形，对应边
之比等于相似比（如果边长为 2倍关系，则高、底、直角边、斜边等都为 2倍关
系），面积之比等于相似比的平方。
第八节 排列组合与概率问题
一、排列组合
（1）基础概念及易错点
（2）经典题型及方法
二、概率问题
【注意】排列组合与概率：文科生可能没有学过，但公考不会像高考一样考
查很深、很难，考查比较常规、基础的概念、题型。这里会把大家当成完全没有
基础的状态进行讲解。
1.排列组合：
（1）基础概念及易错点。
（2）经典题型及方法。
2.概率问题。
3【拓展 1】（2019 河南司法）某市从市儿童公园到市科技馆有 6 种不同路
线，从市科技馆到市少年宫有 5种不同路线，从市儿童公园到市少年宫有 4种不
同路线，则从市儿童公园到市少年宫的路线共有：
A.24 种 B.36 种
C.34 种 D.38 种
【解析】拓展 1.读题，从儿童公园到科技馆有 6 种不同路线，从科技馆到
少年宫有5种不同路线，从儿童公园直接到少年宫有4种不同路线，问从儿童公
园到少年宫有多少种路线，不需要考虑排列数、组合数，是基本的分类、分步辨
析。不要考虑数学，假设自己是儿童公园的一个儿童想去少年宫应该怎么走。
两种路线：可以直达少年宫（4种），可以到科技馆中转。中转为先到科技
馆（6种），再到少年宫（5种），注意不是 6+5，而是6*5，到科技馆的每一条
路都可以搭配5种选择，相当于 6个5，6*5=30。要么直达、要么中转，分类加
和，所求=30+4=34，对应 C项。【选C】
【注意】课堂正确率：1200+人交卷，1031 位同学正确，时间为 1+分钟。
（1）基础概念：分类与分步
分类相加，要么……要么……（多者选其一）
分步相乘，既……又……（都要满足）
【拓展 1】（2019 河南司法）某市从市儿童公园到市科技馆有 6 种不同路
线，从市科技馆到市少年宫有 5种不同路线，从市儿童公园到市少年宫有 4种不
4同路线，则从市儿童公园到市少年宫的路线共有：
A.24 种 B.36 种
C.34 种 D.38 种
【注意】基础概念：分类与分步，进行造句。
1.分类相加：“要么……要么……”（要么 A、要么B），多者选其一。
2.分步相乘：“既……又……”（既要 A，又要B），都要满足。
3.如三个数字 6、5、4，数字之间填加号还是乘号，可以从数学排列组合的
角度、判断逻辑的角度、言语造句的角度出发。
（1）言语造句角度判断“+”或“*”：问从儿童公园到少年宫有几种路线，
如果到科技馆，为“既（先）要到科技馆，又要到少年宫”，“既……又……”
分步相乘，6*5=30。不是“既要中转，又要直达”，而是“要么中转、要么直达”，
“要么……要么……”分类相加，为 6*5+4。
（2）逻辑角度：“且”关系还是“或”关系。“既要到科技馆，又要到少年
宫”是“且”关系，都要满足，为分步相乘，“要么中转、要么直达”是“或”
关系，“要么A、要么 B”，分类相加。
（3）选择一个角度理解，最容易理解的是造句。
（1）基础概念：排列与组合
排列（A）：与顺序有关（选完人后需要排序）
组合（C）：与顺序无关（只需要选人，不需要排序）
补例 1：从8个人中选出 3个人排成一队照相，共有（ ）种站队方式？
补例 2：从8个人中选出 3个人打扫卫生，共有（ ）种选取方式？
补例 3：从8个人中选出 3个人，分别打扫教室、走廊、卫生间，共有（ ）
种安排方式？
【判定标准】从已选主体当中任意的挑出两个，尝试调换顺序
结果不同，与顺序有关（排列 A）
结果一样，与顺序无关（组合 C）
计算
A（n,m）=n*（n-1）*（n-2）*……*（n-m+1）
5A（n,n）=n*（n-1）*（n-2）*……*1
例如：A（7,3）=7*6*5，A（3,3）=3*2*1
C（n,m）=A（n,m）/A（m,m）
例如：C（8,2）=A（8,2）/A（2,2）=8*7/（2*1）
A（n,1）=C（n,1）=n（从n个随便选一个就是 n种情况）
C（n,m）=C（n,n-m）（例如：10个挑 8个等价于10个挑2个）
【注意】排列（A）与组合（C）：考虑和顺序是否有关。排列、组合是从总
量中选择一部分。
1.排列（A）：与顺序有关（选完人后需要排序）。
2.组合（C）：与顺序无关（只需要选人，不需要排序）。
3.从 8个人选出 3个人，前面可以写 A 或C，看做这件事情是否需要考虑顺
序，如果需要考虑顺序，说明和顺序有关，用 A，如果不需要考虑顺序，就用组
合数C。
4.补例：
（1）补例1：从 8个人中选出3个人排成一队照相，共有（ ）种站队方
式？
答：8 人选 3 人排成一队照相，代入生活场景，3 个人照相，站队需要考虑
站位、顺序。如合照想站 C位，因为 C位比较特殊；电影海报主演要站中间，而
不是放在边角，站在中间显得更重要。不同的位置呈现的效果、给人的感受不同，
需要考虑顺序。人站队一定有顺序，因为人不同，站的位置不同，结果不同，即
A（8,3）。
（2）补例2：从 8个人中选出3个人打扫卫生，共有（ ）种选取方式？
答：选择 3 个人打扫卫生，选择 A、B、C 或 B、A、C 或 C、B、A，都是 A、
B、C三个人打扫卫生，结果不变，只选人不需要排序，为 C（8,3）。
（3）补例3：从 8个人中选出 3个人，分别打扫教室、走廊、卫生间，共有
（ ）种安排方式？
答：如果打扫卫生进行不同的工作分配，需要考虑顺序。选出 3 个人打扫教
室、走廊、卫生间，可能大家都不愿意打扫卫生间，都想扫走廊（比较宽敞、没
有障碍物，打扫很快），这几个地方的难度不同，需要考虑顺序，即 A（8,3）。
6可以先从8个人中选出 3个，为C（8,3），再进行排序，即 C（8,3）*A（3,3）。
C（8,3）=A（8,3）/A（3,3），C（8,3）*A（3,3）化简约分后为 A（8,3），但
这样没有必要，可以直接一步到位写出 A（8,3）。
（4）从正面角度考虑什么时候用 A，什么时候用 C，只需要把人选出来，不
需要考虑顺序（C），如果选完人后要分配位置、分配工作要考虑顺序（A）。
5.判定标准：从已选主体当中任意挑出两个，尝试调换顺序，看结果是否发
生改变。
（1）结果不同，与顺序有关，用排列 A。以补例3为例，A打扫教室、B打
扫走廊，交换位置变为 A打扫走廊，B打扫教室，结果发生改变，每人干的活不
同，调换后结果不同，说明和顺序有关。不能随意调换，不同的位置对应不同的
工作，用排列数A。
（2）结果一样，与顺序无关，用组合 C。
6.计算：如 8 个人选 3 个人站队，结果为 A（8,3）=8*7*6，从 8 开始 3 个
数递减相乘。选3个人站队，相当于有 3个位置，从 8个人中选择，第 1个位置
有 8 种选择，第 2 个位置有 7 种选择，第 3 个位置有 6 种选择，每个位置都要
选，同时发生，分步相乘为 8*7*6。数学家把排列组合问题整理成数学语言，8个
人有顺序地选出3个人，用 A（8,3）表示。
（1）A（n,m）=n*（n-1）*（n-2）*……*（n-m+1），从 n开始 m个数递减
相乘，不需要背诵公式，记忆计算形式。A（8,3）=8*7*6，从 8开始 3个数递减
相乘，A（10,4）=10*9*8*7，从 10 开始 4 个数递减相乘。总量是几，就从几开
始，挑几个（上标），就几个数递减相乘，A（3,2）=3*2。
（2）A（n,n）=n*（n-1）*（n-2）*……*1，如A（5,5）=5！，是 5个人的
全排列，把所有人选出来有顺序地排列，公式相同，但比较特殊，A（5,5）
=5*4*3*2*1，从5开始一直乘到 1，A（6,6）=6*5*4*3*2*1，从6开始一直乘到
1，A（3,3）=3*2*1，从3开始一直乘到1。
（3）例如：A（7,3）=7*6*5，A（3,3）=3*2*1。
（4）C（n,m）=A（n,m）/A（m,m），C（n,m）是一个除法，没有顺序，所以
需要去掉排序。排序的时候是分步相乘，去掉顺序要反过来做除法。从 n个人中
选出m个人（有顺序），再去掉 m个人的排序。如果觉得记忆公式比较累，可以
7不记公式，记忆计算形式。
①C（5,2）=A（5,2）/A（2,2）=5*4/（2*1），A（5,2）是从 5 开始 2个数
递减相乘，A（2,2）是从 2开始递减乘到1。
②C（7,3）=（7*6*5）/（3*2*1），为除法，分子从 7开始3个数递减相乘，
分母从上标3开始一直乘到 1，“C”的分母需要乘到 1。
③C（10,4）=10*9*8*7/（4*3*2*1），分子从 10 开始 4 个数递减相乘，分
母从4开始一直乘到 1。
④C（10,2）=（10*9）/（2*1）=90/2=45，上标是 10，分子从 10开始2个
数（上标）递减相乘，分母从上标乘到 1。
（5）例如：C（8,2）=A（8,2）/A（2,2）=8*7/（2*1）。
（6）补充技巧：
①A（n,1）=C（n,1）=n（从n个随便选一个就是 n种情况），A（n,1）、C
（n,1）都是从 n个中选择 1个，
不存在顺序，可以用 A或C，均为 n种情况。如从 1457人中选1 个人唱歌，
有1457 种选择。如 C（6,1）=6，C（5,1）=5，C（10,1）=10。
②C（n,m）=C（n,n-m）（例如：10个挑 8个等价于10个挑2 个）。
a.100 个东西，选择其中 99件购买，选择比较累，可以选择不要其中一件，
其他的都要，不需要一个一个数，只需要选择一个不要的。100 件选择 99 件等
同于100 件选择1件不要，剩余的打包带走，选择 1件比较简单、快、好算。
b.C（n,m）中 n、m 比较大且比较接近，不好算，就计算 C（n,n-m）。如 C
（10,8）=C（10,2），C（6,5）=C（6,1）=6，上面两个数加起来等于总量，C（7,6）
=C（7,1），C（7,5）=C（7,2），数字变小会好算很多。
（7）如果完全没有学过，一时间接受比较困难，不要尝试直接消化吸收，
先死记硬背，在做题过程中直接使用，这里都整理成“第一步……，第二步……，
看到……怎么办”的形式，简单直白，记住就可以用，课后慢慢消化。
【例 1】（2023 广东）某公司向餐馆订购盒饭，要求每份盒饭包含 2种荤菜、
2种素菜。如果餐馆共准备了 6种荤菜和4 种素菜，则最多有多少种盒饭？
A.42 B.60
8C.72 D.90
【解析】1.荤菜从荤菜中选择，素菜从素菜中选择。从总体中按要求选一部
分出来就是排列组合问题，本题只需要考虑选菜，不需要考虑菜的顺序，牛肉在
右、鸡肉在左或牛肉在左、鸡肉在右是相同的盒饭，只需要选择，不需要排序，
用组合数C，故荤菜（6选2）选择为 C（6,2），素菜（4选2）选择为 C（4,2），
“要么荤菜、要么素菜”相加，“既要荤菜、又要素菜”相乘，应为“既要荤菜、
又要素菜”，C（6,2）、C（4,2）是比较常见的组合数，所求=C（6,2）*C（4,2）
=[（6*5）/（2*1）]*[（4*3）/（2*1）]=15*6=90，对应D项。【选 D】
【注意】
1.广东分为县级、乡镇两套卷子，可能有的题目数字会有所变化，讲义题源
相同、但数字不同。
2.即使盒饭的格子相同，荤菜、素菜也不可能一样重，即使盒子规格相同，
份量也不可能一模一样，不要考虑多一点、少一点的事情。
【拓展】（2023 广东）某公司向餐馆订购盒饭，要求每份盒饭包含 2 种荤
菜、2种素菜。如果餐馆共准备了 4种荤菜和 3种素菜，则最多有多少种盒饭？
A.6 B.12
C.18 D.24
【解析】拓展.4 种荤菜选2种，3种素菜选 2种，都要选，分步相乘，所求
=C（4,2）*C（3,2）=C（4,2）*C（3,1）=6*3=18，对应C项。【选 C】
【注意】
1.从总体中按要求选一部分出来就是排列组合问题：只选不排序，用组合 C；
选完要排序，用排列 A。
2.各步骤之间是加法还是乘法看逻辑关系：要么要么相加，即要又要相乘。
【例 2】（2024 山东网友回忆版）某医院积极响应国家号召，组建医疗小分
队赴西部地区开展对口支援工作。该医院现有 6名男医生和3名女医生报名，现
9从9人中抽取一组男、女医生都有的 3人小分队。问有多少种不同的组队方式？
A.63 B.70
C.73 D.60
【解析】2.方法一：正面分类讨论。先不考虑要求，如果只是从 9个人中选
择3个人组成一个小分队，类似于例子中 8 个人选择3个人打扫卫生，不考虑谁
扫什么或站队，为 C（8,3）。9人选择3个，没有考虑顺序，不涉及谁去哪的分
配，直接用C（9,3）。选人就是从总量中选择一部分，用组合数 C。本题有要求，
不能随便选，即男生、女生都要有，“男女搭配、干活不累”，可能有的情况需
要男医生、有的情况需要女医生。例 1明确给出选择几个（选择 2个荤菜、2个
素菜），可以直接选择。本题男女都要有，但不知道有几个男生、几个女生。数
量确定时直接选，数量不确定时先分类确定数量（分类讨论，看几男几女）再选。
三个人且男女都要有，有两种情况，即 2男 1 女、2女1男。男生在男生中选择，
女生在女生中选择。2 男 1 女：6 个男医生选择 2 个，3 个女医生选择 1 个，男
女都要有，分类相加、分步相乘，这里是第一类情况，分为两步用乘法，C（6,2）
*C（3,1）=6*5/（2*1）*3=15*3=45。2女1 男：6个男医生选择1个，3个女医
生选择2个，C（6,1）*C（3,2）=C（6,1）*C（3,1）=6*3=18。第一类情况 45种，
第二种情况18种，分类相加，所求=45+18=63，对应A项。
方法二：反面考虑，但本题反面比较麻烦。一个题目正面只分为两种情况，
反面不会快很多，做反面一定要先算总情况数，还要找到反面情况数，反面最少
有一种情况，最少计算两步，正面分类本身也只有两步。反面考虑用总情况数-
反面，总情况数就是不看要求随意选，要求是有男有女，不看要求是 9人中选择
3人，即C（9,3）。正面情况是男女都有，从逻辑角度考虑，反面为不是男女都
有，具体转化到题目中是只有男生或只有女生，即 3男、3女。反面第一类情况：
3名医生全部为男生为C（6,3）；反面第二类情况：3名医生全部为女生为C（3,3），
所求=C（9,3）-C（6,3）-C（3,3），反面思维量比正面更大，且列式的数字更
大、更难算。原式=9*8*7/（3*2*1）-（6*5*4）/（3*2*1）-1=84-20-1=84-21=63，
对应A项。
方法三：易错点辨析，想偷懒，不分类直接一步到位。要求男、女都有，男
生先选1个，6选1 为C（6,1），女生先选 1个，3选1为C（3,1），已经选择
102个人，还剩7个人，再随便选 1个人就可以凑成小分队，即 C（7,1），都要选
择，分步相乘，所求=6*3*7=21*6=126 种，没有答案，而且远远超过任何一个选
项，因为其中有重复。假设 C（6,1）、C（3,1）、C（7,1）分别选择男一号、女
一号、男二号，还有一种情况为 C（6,1）、C（3,1）、C（7,1）分别选择男二号、
女一号、男一号，两种情况相同，选择同样的三个人（男一号、女一号、男二号），
出现重复。假设C（6,1）、C（3,1）、C（7,1）选择男一号、女一号、女二号，
还有一种情况为C（6,1）、C（3,1）、C（7,1）选择男一号、女二号、女一号，
女一号、女二号出现重复。本题只有 2男1 女、2女1男两种情况，每次重复都
是两个人的主体多排一个顺序，本题特别凑巧，重复情况就是把所有情况都多算
一遍，把结果算了 2遍，去重为126/A（2,2）=126/2=63，对应A项。【选 A】
【注意】
1.方法一：
（1）只需要进行选择：使用 C。
（2）男女都有，但不知具体数量，分类讨论。
2.C（3,3）：3 个人全部选出来，只有 1种情况。
3.本题反面可以做，但正面、反面没有本质区别，选择更擅长的方法做。
4.本题选择 3个人，分类为 2男1女、2女1 男，所以会出现巧合，刚好结
果计算2次。如果有的题目选择 4个人、选择 5个人，有3男1女的情况，重复
情况非常多，会想不明白。
5.方法三错误、不可取，不建议找重复的情况进行去重，本题恰好为“2倍”，
但其他题目的重复可能想不明白。不建议用方法三，可以用方法一、方法二做。
数量确定直接选，不确定可以正面分类、反面分类，一定要分类讨论，不要想一
步到位、一步登天，这是这类题最常见的思维陷阱。直接用正确的方法，而不是
用错误的方法再纠错。类似于可以直接把人救活，不需要先让人死亡再及时止损
进行抢救。
【例 3】（2021 新疆兵团）某部门有9 名员工，从中随机抽取 2 人参加公司
代表大会，要求女员工人数不得少于 1 人。已知该部门女员工比男员工多 1 人，
11则共有多少种方案符合要求？
A.24 B.30
C.36 D.72
【解析】3.本题是常见的排列组合问题，9人选2人为C（9,2）。
方法一：正面。“女员工人数不得少于 1 人”→出现范围，进行分类讨论，
选择2个人，且女生不少 1人，正面分类为 1 女1男、2女。男生从男生中选择，
女生从女生中选择，“已知该部门女员工比男员工多 1人”→9个员工，且女生
比男生多1个，5个女生、4个男生，5个女生选 1个、4个男生选1个，C（5,1）
*C（4,1）=5*4=20；5个女生选2个，C（5,2）=5*4/（2*1）=10，两类情况相加，
所求=20+10=30，对应 B项。
方法二：反面。“女员工人数不得少于 1人”→本质为有女生，反面情况为
没有女生，用总情况数-全部都是男生的情况（4个男生选择2个）=C（9,2）-C
（4,2）=（9*8）/（2*1）-（4*3）/2=36-6=30 种，对应B项。【选 B】
【注意】
1.Tips：数量确定时直接选，数量不确定时先分类确定数量再选。
2.例 2、例3：只是把人选出来，没有站队或分配不同的工作、地方、部门，
只需要选择，为组合数 C，如果选完后需要站队或分配工作，为排列数 A。
（2）经典题型及方法
①凑数字：枚举法
②相邻问题：捆绑法
③不相邻问题：插空法
【注意】经典题型及方法：
1.凑数字：枚举法。
2.相邻问题：捆绑法。
3.不相邻问题：插空法。
4.同素分堆：隔板法。
12①凑数字：枚举法
特征：凑数字或情况数很少（选项 10以内）
【引例】妈妈给了小明 8块钱让其去买早餐并且把钱用完。早餐摊只有两种
食品，包子3块钱一个，馒头 2块钱一个。问小明有（ ）种不同的买法？
从大到小，不重不漏
【注意】凑数字：枚举法。有的题目没有办法用排列数、组合数，只能枚举。
1.特征：凑数字（如凑具体钱数 10或8）或情况数很少（排列组合问题选项
情况很少，选项在 10以内，如4、5、6、7种），枚举法虽然看起来比较“low”，
但只需要枚举的题目可能 1分钟就可以做出来，考查细心。
2.例：妈妈给了小明 8块钱让其去买早餐并且把钱用完。早餐摊只有两种食
品，包子3块钱一个，馒头 2块钱一个。问小明有（ ）种不同的买法？
答：包子 3元，馒头 2元，用 3元、2 元凑8元。从大的开始凑，包子最多
买2个，3个包子钱不够，2个包子为 6元，还剩 2元买1个馒头，即 2个包子，
1 个馒头；买 1 个包子剩 5 元，剩下没有办法买馒头（2 元 1 个馒头，不能买半
个）；买0个包子，剩下 8元买4个馒头，即 0个包子，4个馒头，包子、馒头
不能再少，有且只有两种情况。
3.方法：从大到小，不重不漏。
【例 4】（2022 联考）某健身房近期推出甲、乙、丙、丁 4项课程，每项课
程的一次消费分别为 200 元、300 元、400 元、500 元，会员可根据充值卡内余
额自行进行消费。会员小李充值卡内还剩 2200 元，打算在有效期内每项课程都
至少消费1次，且将充值卡内余额恰好用完，问他消费这 4项课程的组合有多少
种不同的可能性？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】1.“在有效期内每项课程都至少消费 1次”→先做减法，2200-200-
300-400-500，由于都有 2个0，可以去掉，为 22-2-3-4-5=8，2200 元相当于22
元，200 元、300 元、400 元、500 元分别相当于 2、3、4、5 元，看 4 种课程如
何凑出8元，有5元、4元、3元、2元的课程。从大到小，不重不漏。1个5元
13课程，还剩3元，1 个3元课程；5元课程无法搭配，0个5元课程，2个4元课
程，正好凑出 8 元；1 个 4 元课程，2 个 2 元课程；0 个 4 元课程，4 个 2 元课
程；注意还有“3”，2 个 3 元课程，2*3=6 元，1 个 2 元课程；1 个 3 元课程凑
不出8元，存在5种情况，即 5、3；4、4；4、2、2；3、3、2；2、2、2、2，对
应C项。【选 C】
【注意】
1.这种题目没有秒杀技，枚举的题目可以做，但容易漏，建议从大到小枚举，
先凑最大的5，5最多用 1个，再看用什么凑，后续依次考虑 4、3、2，保证不重
不漏。
2.注意逻辑关系，分析的情况是在“22-2-3-4-5=8”的基础上进行的，“22-
2-3-4-5=8”不是单独的一种情况，相当于本题变形为 800 元如何凑，存在 5 种
情况，可以反推 2200 元每种至少消费 1 次的情况。先满足每一种都消费 1 次，
不代表一种情况，而是一种基础。这样变形后简单，直接用 2200凑数比较麻烦，
而且题目明确指出“至少消费 1次”，先满足这个要求，把钱数变少，满足题目
要求，方便做题。
②相邻问题：捆绑法
特征：必须相邻（在一起）
【引例 1】A、B、C、D、E五个人站成一排照相，其中 A、B是一对情侣，要
14求照相时必须相邻，一共有多少种排法？
【引例 2】A、B、C、D、E，F 六个人站成一排照相，其中 AB、CD、EF 均为
情侣，要求每对情侣照相时都必须相邻，一共有多少种排法？
思路：
①先捆：把要相邻的主体捆绑起来，考虑内部顺序；
②再排：将捆绑后的看成一个主体，和剩下的主体一起排列。
【注意】相邻问题：捆绑法。
1.特征：必须相邻（在一起）。
2.站队模型：排列组合最经典、最常考的题型，讲解排列数（A）的例子为
8人选3 个人站队，对应 A（8,3）。
（1）5个人站队为 A（5,5），4个人站队为 A（4,4），n个人站队为 A（n,n）。
（2）A（2,2）=2*1=2，A（3,3）=3*A（2,2）=3*2*1=3*2=6，A（4,4）=4*A
（3,3）=4*3*2*1=4*6=24，A（5,5）=5*A（4,4）=5*4*3*2*1=5*24=120，A（6,6）
=6*A（5,5）=6*120=720。再遇到排列数可以不列式，直接写结果，常见排列数
有如上递推规律。
3.引例 1：A、B、C、D、E五个人排成一列照相，其中 A、B是一对情侣，要
求照相时必须相邻，一共有多少种排法？
答：五个人排队照相，没有要求为 A（5,5），但本例要求“必须相邻、必须
在一起”，就把要相邻的两个人用绳子“捆起来”，避免其他人站在中间，“捆”
的时候两个人内部有顺序（谁站左边、谁站右边，如男左女右、男右女左），为
A（2,2），变为 1 个人，剩下还有 3 个人（C、D、E），一起站队，需要一起排
序，4 个人站队为 A（4,4），n 个人站队为 A（n,n）,先捆再排、分步相乘，所
求=A（2,2）*A（4,4）=2*24=48。
4.思路：
（1）先捆：把要相邻的主体捆绑起来，考虑内部顺序。
（2）再排：将捆绑后的看成一个主体，和剩下的主体一起排列。
5.引例 2：A、B、C、D、E，F 六个人站成一排照相，其中 AB、CD、EF 均为
情侣，要求每对情侣照相时都必须相邻，一共有多少种排法？
答：无论题目如何变化，思路是相同的。谁要相邻，先把谁捆起来，捆绑 AB、
15CD、EF，分别为 A（2,2）=2、A（2,2）=2、A（2,2）=2，都要发生，分步相乘，
还需要把三个主体（AB、CD、EF）捆在一起排顺序，为 A（3,3），先捆再排，分
步相乘，所求=A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（3,3）=2*2*2*6=23*6=8*6=48。
注意A（3,3）≠3，A（3,3）是从3开始3 个数递减相乘，为3*2*1。
6.A、B、C、D、E、F、G共7个人排队照相，AB、CD、EF为3对情侣：3对
情侣捆绑，3 对情侣、1 个人共 4 个主体，需要乘 A（4,4），所求=A（2,2）*A
（2,2）*A（2,2）*A（4,4），无论题目如何变化，把相邻的捆起来，看成元素
排队。
【例 5】（2020 河北事业单位）现有七年级的学生 1名，八年级的学生 4名，
九年级的学生5名，需让他们排一排拍一张合照，要求同一年级的学生要挨在一
起站，且七年级的学生不站两边，则有多少种不同的排法？
A.3760 B.4760
C.5760 D.6760
【解析】5.10 个人排队，没有要求为 A（10,10）。本题存在要求，“要求
同一年级的学生要挨在一起站”→每个年级都要捆绑，七年级只有 1 个人，不需
要捆绑，八年级4人，内部捆绑为 A（4,4）；九年级 5人，内部捆绑为 A（5,5）。
捆完后没有结束，相当于捆成“胖子”，还需要站队。如果没有要求，三个年级
排序为A（3,3），但题目有限制“七年级的学生不站两边”，七年级只能站在中
间，八年级、九年级一左一右，两个主体排顺序（两个位置），为 A（2,2），八
年级在前（左）、九年级在后（右）或者八年级在后（右），九年级在前（左），
可以进行枚举，有且只有两种情况，两个年级分别捆绑再排序，所求=A（4,4）
*A（5,5）*A（2,2）=24*120*2=48*120=50*120-2*120=6000-240=5760，对应 C项。
【选C】
【注意】
1.要相邻、捆绑法。
（1）先捆：把要相邻的主体捆绑起来，考虑内部顺序。
（2）再排：将捆绑后的看成一个主体，和剩下的主体一起排列。
162.本题来自国考母题，其衍生出很多同类型题目。在最新的 2024 联考考场
上也考查到一道非常典型的捆绑法题目。
【拓展 2】（2024 联考网友回忆）某公司开展迎新春三分球投篮比赛。3个
部门分别派出 2、4、4 个选手共计 10 人参加。规则要求同一个部门的选手顺序
相连、全部投完再安排另一个部门的人员，则这 10 人不同的投篮顺序种数的范
围是：
A.小于 1000 B.1000～5000
C.5001～10000 D.10000 以上
【解析】拓展 2.例 5 的 3 个年级变成 3 个部门，要求同一个部门的选手顺
序相连，即挨在一起，3个部门内部捆绑（2 人、4人、4人），分别为 A（2,2）、
A（4,4）、A（4,4），部门顺序没有特殊限制，三个部门排序为 A（3,3），所求
=A（2,2）*A（4,4）*A（4,4）*A（3,3）=2*24*24*6=48*144，48*100=4800，再
加上48*40+超过5000，但不到10000，48*200=9600，故 5000＜48*144＜10000，
对应C项。【选 C】
【注意】
1.本题比刚才的题目简单，没有站位限制。
2.要相邻，捆绑法：
（1）先捆：把必须相邻的主体捆绑起来，考虑内部排序。
（2）再排：将捆绑后的看成一个主体，和剩下的主体一起排列。
③不相邻问题：插空法
特征：不能相邻（不在一起）
【引例】A、B、C、D、E、F、G七个人站成一排照相，其中 A、B、C闹矛盾，
要求照相时都不能相邻，一共有多少种排法？
思路：
①先排：先安排可以相邻的主体，形成若干个空位；
②再插：将不相邻的主体插入到空位中。
17【注意】不相邻问题：插空法。
1.特征：不能相邻（不在一起）。
2.引例：A、B、C、D、E、F、G七个人站成一排照相，其中 A、B、C闹矛盾，
要求照相时都不能相邻，一共有多少种排法？
（1）“A、B、C闹矛盾，要求照相时都不能相邻”，三者都不相邻，谁和谁
都不能挨着，如果从数学排列组合的角度想不明白，可以生活化。
（2）如果你是照相师，A、B、C不能挨着（很挑剔、事情很多），先不考虑
A、B、C，但D、E、F、G可以挨着，先安排可以相邻的 D、E、F、G，没有任何限
制，4个人排队为 A（4,4）。
（3）D 左边、DE 中间、EF 中间、FG 中间、G 右边可以站人，为 5 个位置，
让 A、B、C 找位置站，三者不会相邻，从 5 个空中随便选择 3 个安排这 3 个人，
人站在不同的位置结果不同，有顺序，为 A（5,3）。先选 3 个空，再 3 个人排
序，分为两步，用 C（5,3）*A（3,3）也可以，但可以直接一步到位。
（4）分步相乘，所求=A（4,4）*A（5,3）=24*5*4*3=24*60=1440 种，A（5,3）
为3个数递减相乘。
3.插空法：谁不相邻、不好说话、不好处理，“柿子挑软的捏”，先处理可
以相邻的。
4.思路：
（1）先排：先安排可以相邻的主体（D、E、F、G，不会重复、不会遗漏，没
有“后顾之忧”，不需要分类讨论），形成若干个空位（4个人形成5 个空位）。
（2）再插：将不相邻的主体插入到空位中，5个空位放3个人，对应 A（5,3）。
5.错误思路：
（1）先排A、B、C，再把D、E、F、G插进去。考虑 A、B之间放几个人，放
1个、2个、3个都可以，还需要考虑放谁，这个做法不合理，不能这样做。如果
给出 10 个人，除 A、B、C 外还有 7 个人，不容易考虑。这种题目的正确做法就
是插空法。
18（2）反面情况：A（7,7）-三个人相邻的情况，三个人都不相邻的反面不是
三个人都相邻，捆绑三个人为 A（3,3），剩下五个主体排序为 A（5,5），这样
做会出现逻辑错误。三个人都不够 100斤的反面不是三个人都超过 100 斤，只要
有1个人超过100斤就是反面，三个人都不相邻的反面是有人相邻，可能是ABC、
AB、AC、BC，反面情况更复杂。
【拓展 3】（2020 联考）某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收
藏分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若
观看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有：
A.24 种 B.72 种
C.96 种 D.120 种
【解析】拓展 3.本题比例子更简单，但是把字母 A、B、C、D、E 换成了具体
内容。“观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、考试答题”对应 A、B、C、
D、E，“先后学完这五个部分”→五个部分排顺序。例子为 7人，本题为 5个部
分，且只有两个部分不连续。
方法一：正面，插空法。“观看视频和阅读文章不能连续进行”，先排收藏
分享、论坛交流、考试答题 3 个主体，为 A（3,3），2 个主体有 3 个空位（左、
中、右），3个主体存在 4个空位（左边、右边、中间 2个），空位一般比主体
多 1 个，4 个空位选择 2 个空位放观看视频和阅读文章，不同的位置结果不同，
有顺序，为A（4,2），所求=A（3,3）*A（4,2）=6*4*3=24*3=72种，对应 B项。
方法二：总情况数-反面情况数，反面为观看视频、阅读文章相邻，三个人
都不相邻的反面不是三个人都相邻，但两个人可以用反面（捆绑法）做。总情况
数为A（5,5）。相邻要进行捆绑，为 A（2,2），捆绑后变成一个主体，和 C、D、
E 一起，共四个主体排序，所求=A（5,5）-A（2,2）*A（4,4）=120-2*24=120-
48=72。即使可以用反面（捆绑法），但速度没有更快，反而更麻烦，需要列出 A
（5,5）、A（2,2）、A（4,4），还要做减法。【选 B】
【注意】
1.正面做两步就可以做完（例中共 7人，先排 4个可以相邻的，5个空放不
19相邻的3人），先排可以相邻的，再插空，反面做想得更复杂，还需要多算几步，
不要总考虑反面、捆绑法，不相邻的问题插空法最快。
2.不能连续，插空法：
（1）先排：先安排可以相邻的主体，形成若干个空位。
（2）再插：将不相邻的主体插入到空位中。
【例 6】（2023 成都事业单位）要将不同的五种商品 A、B、C、D、E 在货柜
上排成一排，其中 A、B必须排在一起，C、D不能排在一起。则有多少种不同的
排列方式？
A.12 B.20
C.24 D.48
【解析】6.捆绑法直接捆起来，插空法需要考虑和其他主体的关系。有相邻、
有不相邻，先安排相邻的，“柿子挑软的捏”，先把 AB捆绑起来，为 A（2,2）。
此时剩下AB、C、D、E，CD不能在一起，先排 AB、E两个部分，两个主体排序为
A（2,2），形成3个空位（左、中、右），注意不是 4个空位，AB捆绑起来，中
间不能放，把C、D 插入，3个空2个主体，有顺序，为 A（3,2），所求=A（2,2）
*A（2,2）*A（3,2）=2*2*6=4*6=24，A（3,2）是从 3 开始 2 个数递减相乘，对
应C项。【选 C】
【注意】思路梳理：既有相邻、又有不相邻，捆绑必须在一起的→安排可以
相邻的→把不相邻的插到空位中。
1.第一步：AB 必须在一起，先捆绑AB，内部排序：A（2,2）=2*1=2。
2.第二步：CD 不能一起先搁置，排AB 和E这两个部分：A（2,2）=2。
3.第三步：两个部分形成 3个空位（左边、右边、中间），将 C 和D放入3
个空位中：3 个空位选出 2 个给 2 个不同的主体，有顺序，为 A（3,2）=3*2=6。
4.分步相乘：2*2*6=4*6=24。
同素分堆问题——隔板法
[补例]7个相同的苹果分给三个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法？
20用法特征：n个相同的东西分给 m个人，每人至少一个
方法：C（n-1,m-1）
【注意】同素分堆问题——隔板法：方法非常套路，用公式就可以解决。
1.补例：7个相同的苹果分给三个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法？
（1）相同的苹果不需要考虑顺序，只需要考虑个数，不用 A。
（2）只考虑个数，最简单的办法是枚举，如 5、1、1；4、2、1；3、3、1；
2、4、1……，但情况数太多不好枚举。
（3）分给 3 个小朋友，把苹果分成 3 堆，每人拿 1 堆，往这堆苹果中放 2
个板子，可以把苹果分成 3 堆。1 个板子把苹果分成 2 堆，2 个板子把苹果分成
3堆，故分给3个小朋友需要 2块板子。
（4）7个苹果存在 8个空，但要每个人都分到苹果，板子不能放在外面，只
能放中间的 6 个空。7 个苹果中间有 6 个空，选择 2 个空放 2 个板子，所求=C
（6,2），苹果、板子都是相同的，板子是虚拟物，不需要用 A，用 C就可以。
（5）A、B、C 三个小朋友，A 拿第一堆、B 拿第二堆、C 拿第三堆，板子位
置不同决定苹果个数不同。板子放在不同的位置，如 A 拿 1 个、B 拿 3 个、C 拿
3个；A拿3个、B 拿2个、C拿2个，每个人永远拿面前的一堆苹果，不需要换
位置。换位置是考虑不同个数，但板子在不同的位置时已经考虑到每个人拿不同
个数的苹果。故C（6,2）得到的所有组合就是每个人拿到所有个数的组合数。
2.用法特征：n 个相同的东西（n-1个空）分给 m个人（需要m-1 块板子），
每人至少一个。
（1）7 个相同的苹果存在 6 个空，分给 3 个小朋友需要 2 块板子。这一类
问题有一个前提为“每人至少 1个”，如果每人先拿 1个再分配，有的人可能不
再需要，并不好分，题目可能会更复杂。
（2）这类题目没必要考虑每人先拿 1个，满足“每人至少 1个”就可以。
3.方法：C（n-1,m-1）。例子中 7 个相同的苹果存在 6 个空（7-1=6，对应
n-1），分给三个小朋友需要 2块板子分成 3堆（3-1=2，对应m-1）。
21【例 7】（2020 联考）某城市一条道路上有 4个十字路口，每个十字路口至
少有1名交通协管员，现将 8个协管员名额分配到这 4个路口，则每个路口协管
员名额的分配方案有：
A.35 种 B.70 种
C.96 种 D.114 种
【解析】7.本题分配的不是交通协管员，而是 8个协管员名额，不在乎来的
是什么人，只要是协管员就可以，在乎的是人数，而不是性别。名额是相同的东
西，8 个相同的东西分给 4 个路口，每个路口至少 1 个，套公式，8 个名额存在
7个空，分成4堆需要 3块板子，所求=C（7,3）=（7*6*5）/（3*2*1）=7*5=35，
对应A项。【选 A】
【注意】同素分堆：隔板法。如果不理解就套结论。
1.用法特征：n 个相同的东西分给m个人，每人至少一个。
2.方法：C（n-1,m-1）。
【拓展 4 变形】（2019 事业单位）有 25 颗苹果，打算全部分发给 A、B、C
三人，若每人至少拿到 6颗苹果，则有多少种分发方式？
A.15 B.20
C.35 D.36
【解析】拓展.隔板法前提是至少 1 个，如果出现“至少 6 个”，用已知推
未知，需要把“至少分 6个”转化成“至少分 1个”，再套公式。每人先给 5个，
共25个苹果，还剩 25-5*3=25-15=10个苹果。10个苹果分给3个人，每人至少
分1个，10个苹果 9个空，3个人2块板子，所求=C（9,2）=9*8/（2*1）=4*9=36，
对应D项。【选 D】
【注意】
1.Tips：需要 n个，先给 n-1个就变成还需要至少一个，然后再套公式。至
少8个就每人先给 7个，至少 3个就每人先给 2个，至少 10个就每人先给 9个。
222.如果先分 6个，还剩 25-18=7个苹果，每个人至少 0个苹果（有的人不需
要），7个苹果随便分，考虑不清楚，强行给自己增加负担，把简单的问题复杂
化。
3.隔板法：“至少 1个”→在中间插板子，是最好想、最好理解、最快的解
决方法，不要给自己增加难度。
4.相同的元素分成若干堆，至少一个，直接套公式。
概率
一、给情况（个数）求概率
概率=满足要求的情况数/所有情况数
【引例】全班 100人，男生40人。随机挑选 2人全部都是男生的概率
二、给概率求概率
（1）分类用加法：P=P+P+……+P
1 2 n
（2）分步用乘法：P=P*P*……*P
1 2 n
【引例】老邓随机购买一张彩票，中一等奖概率为 10%，中二等奖概率为 20%，
中三等奖概率为30%，问这张彩票中奖的概率是多少？
【引例】买完彩票后老邓又去刮刮乐，刮中 100万的概率为50%，问老邓今
天既彩票中奖又刮刮乐中奖的概率为多少？
【注意】概率问题：
1.给情况（个数）求概率：
（1）概率=满足要求的情况数/所有情况数。
（2）引例：全班 100 人，男生 40 人。随机挑选 2 人全部都是男生的概率。
总情况是从100人中挑 2个，只需要选人，C（100,2）；满足要求的情况是从 40
个男生中挑 2 个，只需要选人，C（40,2）；P=C（40,2）/C（100,2）=40*39/
（100*99）。
2.给概率求概率：条件中给小事件发生的概率。
（1）分类用加法（要么……要么）：P=P +P+……+P。
1 2 n
（2）分步用乘法（既……又）：P=P*P *……*P。
1 2 n
（3）引例：老邓随机购买一张彩票，中一等奖概率为 10%，中二等奖概率为
2320%，中三等奖概率为 30%，问这张彩票中奖的概率是多少？
答：要么中一等奖，要么中二等奖，要么中三等奖，分类相加，
P=10%+20%+30%=60%。
（4）引例：买完彩票后老邓又去刮刮乐，刮中 100万的概率为 50%，问老邓
今天既彩票中奖又刮刮乐中奖的概率为多少？
答：已知中彩票的概率为 60%，中刮刮乐的概率为 50%，加和为 110%，概率
不可能超过100%；既彩票中奖又要刮刮乐中奖，分步相乘，P=60%*50%=30%。
【例 1】（2020 联考）物业派出小王、小曾、小郭三名工作人员负责修剪小
区内的6棵树，每名工作人员至少修剪 1棵（只考虑修剪的棵数），则小王至少
修剪3棵的概率为：
A.3/10 B.3/7
C.1/4 D.3/5
【解析】1.6棵树分给 3个人，每人至少 1棵，同素分堆，用插板法。总情
况数为C（5,2）=10。要求小王至少修剪 3 棵：小王4棵，另外两人各 1棵；小
王 3 棵，小曾 2 棵，小郭 1 棵；小王 3 棵，小曾 1 棵，小郭 2 棵；共 3 种情况。
P=3/10，对应 A项。【选A】
【注意】
1.插板法。用法特征：n 个相同的东西分给 m 个人，每人至少一个。方法：
C（n-1,m-1）。
2.分类：小王4 棵，另外两人各1棵，只有 1种情况；小王3棵，剩余3棵，
一定有一人是2棵，两人中选一人分到 2棵，C（2,1）。1+2=3种。
【例 2】（2024 山东网友回忆版）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮
影、风筝、麦秸画、柳编、葫芦画、锡雕、鲁班枕 8个展厅。因时间原因，一名
参观者决定从8个展厅中随机选取 3个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被
选中的概率是多少？
A.5/14 B.15/28
24C.9/14 D.19/28
【解析】2.8个展厅中选 3个参观，C（8,3），都用 C不影响结果，但严谨
分析用A（8,3），参观展厅会涉及先后顺序。用C、A都正确是因为这是概率问
题，分子要排序，分母要排序，排序会被约掉。本题按8个展厅中选 3个参观为
C（8,3）讲解。叶雕和皮影展厅至少一个被选中：选叶雕、不选皮影、另外6个
中选2个；不选叶雕、选皮影、另外 6个中选 2个；叶雕和皮影都选、另外6个
中选1个，正面复杂，考虑反面。反面是叶雕和皮影一个都没有，从另外6种中
选3种，C（6,3）。P=1-C（6,3）/C（8,3）=1-6*5*4/（3*2*1）÷[8*7*6/（3*2*1）]=1-
6*5*4/（8*7*6）=1-5/14=9/14，对应C项。【选 C】
【注意】
1.A、C项加和为 1，往往就是出题人希望同学们从反面分析。
2.正面分析：叶雕和皮影都选，从另外 6 种中选 1 种，C（6,1）；选叶雕、
不选皮影，从另外 6种中选2种，C（6,2）；不选叶雕、选皮影，从另外6种中
选2种，C（6,2）；分类加和，6+15+15=36 种。C（8,3）=8*7*6/（3*2*1）=56，
P=36/56=9/14。
【拓展 5】（2024 联考网友回忆）中秋节前夕，小赵买了 6个外观相同的月
饼，其中有3个是蛋黄馅的。回到家后，小赵从中任取 3个月饼，里面恰好有 1
个是蛋黄馅的概率是：
A.9/20 B.1/2
C.3/5 D.11/20
25【解析】拓展 5.总情况是从 6个中选3 个，C（6,3）=6*5*4/（3*2*1）=20，
满足要求的是恰好有 1个蛋黄馅，从3个蛋黄馅中选 1个，另外 2个是来自非蛋
黄馅的，从不是蛋黄馅的 3个中选2个；分步相乘，C（3,1）*C（3,2）=3*3=9；
P=9/20，对应 A项。【选 A】
【注意】
1.既要有蛋黄馅的，又要有非蛋黄馅的，分步相乘。
2.有顺序用 A，无顺序用 C。本题只需要把月饼选出来，先选 A 月饼再选 B
月饼，和先选B月饼再选 A月饼，都是这两个月饼，用 C。
3.正面一步就可以做出来的题，不需要考虑反面。恰好有1个是蛋黄馅的反
面是没有蛋黄馅、2 个蛋黄馅、3个蛋黄馅。
4.C（3,1）是只拿了一个蛋黄馅的月饼，事情没有做完，整个事件是要拿 3
个月饼。
【例 3】（2023 天津事业单位）一枚骰子共有六面，点数从 1到 6，每次掷
骰子得到的数字概率相同。掷三次骰子得到的三个数字完全相同的概率：
A.小于 2% B.在 2%～5%之间
C.在 5%～8%之间 D.大于 8%
【解析】3.总情况：第一个骰子有 6种情况，第二个骰子有 6种情况，第三
个骰子有 6 种情况，每个骰子都要扔，分步相乘，6*6*6；满足要求的情况是三
个数字完全相同，3 个 1、3 个 2、3 个 3、3 个 4、3 个 5、3 个 6，有 6 种情况。
P=6/（6*6*6）=1/36=2+%，对应B项。【选 B】
【例 4】（2024 上海网友回忆版）某市向广大市民随机发放消费券，规则是
先公布消费券发放额，再根据商家的参与量决定中签率。第一批消费券商家参与
度较高，中签率为 60%；第二批和第三批消费券的中签率均为 20%。三批消费券
依次发放，市民张先生连续三次申请，则他恰好成功两次的概率约为：
A.20% B.40%
C.60% D.80%
26【解析】4.注意三次都申请了，要求恰好成功两次，哪两次成功不确定，需
要分类讨论。
第一次成功、第二次成功、第三次失败：60%*20%，有可能第三次成功，这
样就是成功了三次，因此要算上第三次失败的概率，第三次成功的概率为 20%，
失败为80%，60%*20%*80%。
第一次成功、第二次失败、第三次成功：第二次失败为80%，60%*80%*20%。
第一次失败、第二次成功、第三次成功：第一次失败为40%，40%*20%*20%。
提取公因子，口算，提出 20%，20%*（48%+48%+8%）=20%*1.04，最接近A项。
【选A】
【注意】不确定是几个人、哪一次，要分类讨论。
第九节 容斥原理
容斥原理本质：多个集合有交叉，去重补漏
考查类型：
两集合容斥原理
三集合容斥原理
解题方法：
公式法
画图法
【注意】容斥原理：就是集合问题，高一数学第一节课讲的内容。
1.本质：多个集合有交叉，去重补漏。
2.考查类型：
（1）两集合容斥原理。男生是一个集合，女生是一个集合，这两个集合没
有交叉，是矛盾关系。有的同学行测好，有的同学申论好，这两个集合有交叉，
有的同学行测好、申论也好，行测好、申论好直接加和会有重复。
（2）三集合容斥原理。第三个集合是长得好，有同学行测、申论、长相都
好，三个集合有交叉。
3.解题方法：
27（1）公式法。
（2）画图法。
两集合公式：A+B-A∩B=总数-都不
【注意】两集合公式：
1.公式：A+B-A∩B=总数-都不。
2.推导：容斥原理图为韦恩图，方框为总数，两个圆表示两个集合，公式右
边为总数-都不，都不满足是既不在 A 中，也不在 B 中，则总数-都不=两个集合
对应的部分。A+B，中间两层会有交叉的地方，有重复，需要去掉重复的一次，
减去一个A∩B，即 A+B-A∩B=总数-都不。
【例 1】（2022 广东）某单位计划从全部 80名员工中挑选专项工作组成员，
要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有 40 人有基
层经历，有 46 人有计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书
的有10 人。那么能够进入工作组的员工有多少人？
A.16 B.40
C.46 D.54
【解析】1.问能够进入工作组的员工的人数，就是问同时满足两个条件的人
数，即 A∩B，公式：A+B-A∩B=总数-都不，设 A∩B为x，40+46-x=80-10，解得
x=16，对应 A项。【选 A】
【注意】求的是 A∩B，A∩B≤[A，B]min，单位内有40人有基层经历，有 46
人有计算机等级证书，真题中没有取到等于的，小于40的只有A项。
28【例 2】（2022 联考）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人
数占全班的 14%，物理及格的人数比化学及格的人数多 10 人，且化学及格的人
数占全班人数的 60%。已知全班人数不超过 70 人，问物理及格的人中化学也及
格的有多少人？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】2.两个集合有交叉，两集合容斥问题。本题没有给总人数，给了比
例和全班人数的范围，需要结合倍数特性。物理、化学均不及格的人数占全班的
14%，都不/总人数=14/100=7/50，总人数是 50的倍数，且不超过70 人，则总人
数为50 人。A+B-A∩B=总数-都不，都不满足的有（7/50）*50=7人，化学及格的
有 50*60%=30 人，物理及格的有 30+10=40 人，代入公式：40+30-A∩B=50-7，A
∩B=27，对应 C项。【选C】
【注意】给数值范围和比例关系，问具体值，一般都是考倍数特性。
三集合公式
①标准型：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=总数-都不
【注意】三集合公式：
1.标准型：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=总数-都不。
2.推导：三个圆用 A、B、C表示，A∩B只在 A、B中出现，是两个圆的交集，
需要减去一次；A∩C只在A、C中出现，是两个圆的交集，需要减去一次；B∩C
只在 B、C 中出现，是两个圆的交集，需要减去一次。中间的三角部分（类似鱼
29头）在 A∩B、B∩C、A∩C 三个部分中，也在 A、B、C 中，先加了 3 次，又减掉
3次，中间空了，需要补上遗漏，即 A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=总数-都不，
加和、去重、补漏。
【例 3】（2020 新疆）某单位共有 240名员工，其中订阅 A期刊的有 125人，
订阅B期刊的有 126 人，订阅 C期刊的有135 人，订阅 A、B期刊的有 57人，订
阅A、C 期刊的有73 人，订阅 3种期刊的有 31人，此外，还有 17人没有订阅这
三种期刊中的任何一种。问订阅 B、C期刊的有多少人？
A.57 B.64
C.69 D.78
【解析】3.给了三个集合，给了订阅 A、B期刊、订阅 A、C期刊、订阅 3种
期刊、没有订阅这三种期刊中的任何一种，求 B∩C，设 B∩C 为 x，代入公式：
125+126+135-57-73-x+31=240-17，数量都是精确的整数加减，选项尾数各不相
同，可以用尾数法，尾 5+尾5=尾0，-尾7-尾3=-尾0，尾 6-x+尾1=尾3，尾7-
x=尾3，则 x的尾数是 4，对应B项。【选 B】
【注意】三集合数字很多，往往都是可以用尾数法。
三集合公式
②非标准型：A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不
30【注意】三集合公式：
1.非标准型：A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不。
2.推导：三个圆表示 A、B、C三个集合，①、②、③、④表示的是封闭区域
的数据。①在A、B 中，②在A、C 中，③在 B、C中，有且仅在两个集合中→①、
②、③统称为只满足两项，去重时减去 1次即可。④是 A、B、C的交集，出现 3
次，去重需要减去 2 次。因此 A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不。
【例 4】（2023 事业单位联考）某高新技术园区对园区内的部分企业的专利
申请情况进行了调查，在接受调查的企业中，申请了发明专利的有 46 家，申请
了实用新型专利的有 69家，申请了外观设计专利的有 25家，三类专利都申请了
的有 12 家，申请了其中两类专利的有 39 家，三类专利都没申请的有 16 家，那
31么接受调查的企业有多少家？
A.89 B.93
C.106 D.111
【解析】4.三种申请→有三个集合，出现只满足两项、满足三项、都不。代
入公式：A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不，46+69+25-39-2*12=总
数-16，用尾数法，尾 0-尾 3=总数-尾 6，尾 7=总数-尾 6，总数的尾数为 3，对
应B项。【选 B】
【注意】三集合容斥不好计算，可以用尾数法。
三集合标准与非标准的区分：
➢标准型：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=总数-都不
特点：分别给出两两集合的交集（既 A 又B、既A又C、既B又 C）
某单位共有 240 名员工，其中订阅 A期刊的有 125人，订阅B期刊的有 126
人，订阅C期刊的有 135人，订阅A、B期刊的有 57人，订阅 A、C 期刊的有73
人，订阅3种期刊的有 31人，此外，还有 17 人没有订阅这三种期刊中的任何一
种。问订阅B、C期刊的有多少人？
➢非标准型：A+B+C-只满足两项-2*满足三项=总数-都不
特点：出现只满足两种（满足两种）
该机关共有 139 人，有42人报名参加第一场讲座，51人报名参加第二场讲
座，88人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有 12人，只报名参加两场讲
座的有30人。
【注意】三集合标准与非标准的区分：最明显的区别是两两集合的交集。
1.标准型：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=总数-都不。
（1）特点：分别给出两两集合的交集（既 A 又 B、既 A 又 C、既 B 又 C）。
（2）例：分别给出 A∩B、B∩C、C∩A，考虑标准型公式。
2.非标准型：A+B+C-只满足两项-2*满足三项=总数-都不。
（1）特点：出现只满足两种（满足两种）。
（2）例：没有分别给出两两集合的交集，给了只满足两项，考虑非标准公
32式。
【拓展 6】（2019 河北）某班参加学科竞赛人数 40 人，其中参加数学竞赛
的有 22 人，参加物理竞赛的有 27 人，参加化学竞赛的有 25 人，只参加两科竞
赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人？
A.2 B.3
C.5 D.7
【解析】拓展 6.三个集合，出现只参加两科，三集合非标准型，A+B+C-只满
足两项-满足三项*2=总-都不，设参加三科竞赛的有 x 人，“某班参加学科竞赛
人数 40 人”，40 人是参加竞赛的人数，没有不参加的人，都不=0，代入公式，
22+27+25-24-2x=40，考虑尾数法，尾0-2x=尾0，2x的尾数为0，2*5=尾0，对
应C项。【选 C】
容斥原理的方法选择
1.公式法：
题目中所给所求都是公式中的一部分，套公式送分
2.画图法：
题目中所给所求公式里没有，或者公式法不好用
（往往是出现只满足一个集合，例“只参加一个项目”）
画图法：从里到外标数字（无具体数字赋值）
【注意】容斥原理的方法选择：
1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分，套公式送分。
2.画图法：
（1）题目中所给所求公式里没有，或者公式法不好用。往往是出现只满足
一个集合，例“只参加一个项目”、“只参加化学考试”。
（2）画图法：从里到外标数字（无具体数字赋值）。
【例 5】（2024 江苏网友回忆版）某基层工会共有 180名会员，举行甲、乙
两项工会活动，60%的会员参加甲活动，50%的会员参加乙活动，若只参加甲活动
33的会员有80人，则只参加乙活动的会员有：
A.10 人 B.36 人
C.62 人 D.78 人
【解析】5.方法一：参加甲活动的有 180*60%=108 人，参加乙活动的有
180*50%=90人，只参加甲活动是 80人，求只参加乙活动，如果逻辑能力强，可
以直接想，甲∩乙=108-80=28人，只参加乙活动=90-28=62人。
方法二：画图，画两个圆，参加甲活动的有 108人，参加乙活动的有 90人，
只参加甲是80人，则甲∩乙=108-80=28人，只参加乙活动为 62人，对应 C项。
【选C】
34【注意】
1.排列组合中，分类用加法，分步用乘法；调换顺序不影响结果，用组合 C，
调换顺序影响结果，用排列 A。
2.如果题干中出现相邻，考虑捆绑法，做题时把要相邻的先捆，再排。如果
题干中出现不相邻，考虑插空法，做题时先排可以相邻的，再把不相邻的插入空
位中。什么时候用隔板法：n 个相同的东西分给 m 个人，每人至少 1 个，C（n-
1,m-1）。变形：每人至少 x个，先每人分 x-1个。
3.当正面计算排列组合比较困难时，可以用总情况-反面情况求解；当正面
计算概率问题比较困难时，用 1-P 求解。正面需要分 3类及以上的时候，考虑
反面
反面。
4.给情况求概率，P=满足要求的情况/总情况。给情况求概率，分类用加法，
分步用乘法。
5.两集合容斥原理公式：A+B-A∩B=总数-都不。
6.三集合容斥原理标准型公式：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=总数-都不。
7.三集合容斥原理非标准型公式：A+B+C-只满足两项-2*满足三项=总数-都
不。
8.两个三集合公式如何区分：看条件，分别给两集合用标准型，给只满足两
35项用非标准型。
9.什么时候用画图法：出现只满足某一个集合（只参加甲活动、只参加乙活
动），标数据的顺序是从里到外。
数量关系考场策略
短易熟代，跳着选做
基础弱的逢 3做 1或逢5做2，目标正确率 50～60%
基础好的逢 3做 1～2或逢5做3，目标正确率 70+%
各个击破：
一段时间内只练一种题型，比如这周练工程，下周练经济。
【注意】数量关系考场策略：
1.数量关系考场的平均正确率是 30%左右。没有考场的正确率，但是有模考
的正确率，每年有 50次模考左右，平均每次有 10万多人参加，积累了近亿人次
的数据，有大数据支撑，每一次模考的数量正确率都在 30%左右。
2.为什么数量正确率在 30%左右：实际数量是绝大多数同学是放弃的，随便
蒙的正确率是25%，但也一定是有人做完的，这一部分人把正确率从25%拉到30%。
少部分人做数量，少部分人上岸，没有必然关系，一定是分数越高越容易上岸。
要在有限的时间做更多的题，言语、资料、判断一定是比数量更重要，题量比数
量大，难度比数量低。同学们已经开始学习，距离考试还有大半年，大家都在学
习言语、资料、判断，这三个模块都有 80%的正确率。公务员考试是选拔性考试，
上岸是一定要比同岗位的人分更高。要从众人中脱颖而出，要保持不满足的心态，
永远要更好一点。三大模块练到 80%以上后，锦上添花的就是数量、常识。百尺
竿头更进一步。求其上者得其中，求其中者得其下。一开始就是放弃的心态，这
个国考就和你没有关系了。一开始就抱着每个题都学的状态，还能救一救。
3.短易熟代，跳着选做。考试确实只有 2个小时，一定是来不及做的，所以
要在更短的时间做更多的题。数量挑题干短的、简单的、熟悉的、能直接代入的
题，跳着选着做，简单题、难题是随机排布的。题干只有一行字，一定读题做。
4.基础弱的逢 3 做 1 或逢 5 做 2。5 个题目中一定会有 2 个是简单的。比如
10个题目中做出4个，剩下的6个题目可以蒙对1～2个，正确率就是50%～60%。
365.基础好的逢 3 做 1～2 或逢 5 做 3。10 个题目做出 6 个，剩余的 4 个题目
蒙对 1～2 题，目标正确率 70+%。正确率超过 50%，在数量这个模块就可以战胜
绝大多数人。
6.各个击破：一段时间内只练一种题型，比如这周练工程，下周练经济。不
是全部都做、都练，有的放矢。已经学了很多题型了，总有自己觉得简单的题型，
专门练这个题型，特别难的先放过。比如觉得排列组合就是不能理解，就不管排
列组合，充其量就是数量中的一种题型。觉得工程简单，先练 50 个工程；觉得
经济简单，就先练 50 个经济，然后就会发现所有的工程、经济都在自己的射程
范围内。一旦上考场，10 个题中一眼看到工程问题就会很亲切，所有的题型都练
过，1 分钟就可以拿下。方法精讲讲的是数量中常考的、必考的 80%的题目，还
有各种零散的题目，3年考1个溶液、5年考 1个周期，没有讲，确实也不重要。
把会做的常考的练出来，上考场代入做出 2 题，倍数特性秒了1题，工程做了 1
题，经济做了1题，已经做了 5题了，剩余的就蒙题。不要想着数量关系胡子眉
毛一把抓，学会有目标地学习，把有限的精力发挥最大的价值。
7.行测是讲究排兵布阵的科目，如何把有限的时间效益最大化。可能现在感
受不深，到套题感受会更深，时间是不够的，要做出取舍，不能想着每一题都拿
到，没有3个小时给同学们用，只有 2个小时。
8.上课讲的三大方法、六大题型，排列组合与概率、几何一定是考得最多的，
最少考查2题，工程、行程、经济、容斥平均考查 1题，再剩下的就是方程、倍
数、代入排除，偶尔出现一些小考点（3 年考 1 个溶液、5 年考 1 个周期，7 年
考1个统筹规划），有补充课程就听一下。排列组合与概率、几何、方程是最多
的。
9.前期练习以专项练习为主，后面把各个知识点学得滚瓜烂熟了，再做套题，
套题很珍贵，做一套少一套。一上来就做套题，基础知识点都学得不明不白的，
套题做不完，一做错一大堆，没有必要。前期不用在意时间、正确率，先把每个
科目老师讲的方法好好学清楚、用到题目中，消化成自己的知识。确实滚瓜烂熟
了，再做套题，一步步收获，一步步提高。
【答案汇总】
37排列组合问题 1-5：DABCC；6-7：CA
概率问题 1-4：ACBA
容斥原理 1-5：ACBBC
38遇见不一样的自己
Be your better self
39
