文档内容
方法精讲-数量 3
（笔记）
主讲教师：邓健
授课时间：2024.03.15
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 3（笔记）
学习任务：
1.课程内容：行程问题、几何问题
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第 203～208页
4.重点内容：
（1）掌握行程问题的基础公式与匀变速运动平均速度公式
（2）掌握直线和环形上的相遇、追及问题计算公式，用图示来理解复杂的
运动过程
（3）掌握几何问题基本公式及其运用
（4）掌握勾股定理、特殊三角形及面积相关的知识
1【注意】
1知识点回顾：
（1）工程问题的基本等量关系：工作总量=工作效率*工作时间。
（2）给完工时间型的工程问题的解题思路：先赋值总量，赋值的技巧是完
工时间的公倍数；再算效率=总量/时间；最后根据工作过程列式子或方程。
（3）给效率比例型的工程问题的解题思路：先赋值效率，赋值的技巧是按
比例赋值（如效率比为 3：5，则赋值效率为 3、5；再如效率比为 5：6，则赋值
效率为5、6）；再算工作总量=效率*时间；最后根据工作过程列式子或方程。
（4）给具体单位型工程问题的解题思路：设未知数，找等量关系列方程。
（5）给效率比例型，若甲 3 天的工作量等于乙 2 天的工作量，甲乙效率比
为 2：3（工作总量相同，时间和效率成反比，时间之比是 3：2，则效率之比为
2：3；或者列式，3*甲=2*乙→甲/乙=2/3）。若题目说是 36台挖掘机工作，则赋
值每台效率为1（36台挖掘机的总效率为 36）。
（6）经济利润问题涉及的基本公式：利润=售价-进价、利润率=利润/进价，
售价=进价*（1+利润率）、折扣=售价/原价（如原来卖 100 元，现在卖 80 元，
80/100=0.8，即打八折）、总收入=单价*数量、总利润=单个利润*数量。
（7）题目已知具体价格时，解题方法：方程法；题目没有具体价格时，解
题方法：赋值法（往往赋值进价为100）。
2（8）典型的分段计费问题有：水电费、出租车费、税费等，其解题过程：
按照题目标准分开计算。
（9）函数最值题型的特征：价格和销量此消彼长，求最大利润或总价；解
题方法是：两点式，列式时需要注意问法（问利润，总利润=单利*销量；问总收
入，总收入=单价*销量）。
2.本节课讲解行程问题和几何问题。行程问题比较难，核心公式只有一个“路
程=速度*时间”，但变形公式比较多，因为运动状态复杂（追及、相遇），方向不
一样，运动结果也不一样。几何问题是从小学到高考从来没有离开过的门类。本
节课公式相对多一点，只要分门别类清楚每一种情况该用什么公式，也能够游刃
有余地去处理。
第六节 行程问题
三量关系：路程=速度*时间（S=V*T）
考查题型：
1.普通行程（简单）
2.相对行程（重点）
【注意】行程问题：
1.三量关系（核心公式）：路程=速度*时间，行程问题涉及的公式略多，故
用字母表示为S=V*T，S表示路程，V表示路程，T表示时间。
2.考查题型：根据运动的主体和方向进行区分。
（1）普通行程（简单）：从 A 走到 B，中间不涉及谁和谁相遇、谁追上谁。
（2）相对行程（重点）：谁追上谁、谁比谁多跑、谁和谁在某个点相遇。
【例 1】（2024 国考网友回忆版）甲和乙两辆车同时从 A 地出发匀速开往 B
地，甲车出发时的速度比乙车快 20%，但乙车行驶 1个小时后速度加快 30千米/
小时继续匀速行驶，又用了 3小时与甲车同时抵达，则 A、B两地相距多少千米？
A.540 B.510
C.600 D.570
【解析】1.“甲车出发时的速度比乙车快 20%”，假设乙出发时速度为 V，则
3甲出发时速度为 1.2V；问 A、B 两地相距多少千米→求路程，S=V*T，已知“乙
车行驶1个小时后速度加快 30千米/小时继续匀速行驶，又用了 3小时与甲车同
时抵达”，说明一共用了 1+3=4 小时抵达 B 地，甲全程的速度没有发生改变，均
为 1.2V；乙行驶 1 小时后速度加快了 30 千米/小时，根据路程相同列式：
1.2V*4=V*1+（V+30）*3→4.8*V=4*V+90→0.8*V=90，解得V=90/0.8，可以约分
计算但没必要，数学中绝大多数是按照整数设置的，中间的步骤出现小数，最后
可以约分化简，所以中间除不尽的可以保留，最后再约分。求的是路程，S=1.2*
（90/0.8）*4=540，对应A项。【选A】
【注意】
1.猜题：S=V*T，求乘积 S，出现“A=B*C”的结构，求 A 时，可以找 B 或 C
的倍数。本题中，甲行驶4小时、运动速度不变，则 S=V *4，说明 S是的倍数，
甲
4 的整除判定看末两位，选项末两位分别为 40、10、00、70，排除 B、D 项；剩
下A、C 项，可以随便猜一个或者代入，优先代入数字比较整的 C项：A、B两地
相距600千米，则 V =600/4=150，V =150/1.2=125；用乙的速度验证，125*1+
甲 乙
（125+30）*3=125+465=590 千米＜600 千米，不满足“同时抵达”，排除 C 项，
选择A项。
2.理论上来说速度可能不是整数，但实际上通过做题会发现行测数学题90%
的题目出题人设计的数据都是整数，如果想到有倍数关系，考场上没有时间做题，
可以按照速度是整数来猜题。
【拓展】（2018 国考）一辆汽车第一天行驶了 5 个小时，第二天行驶了 600
公里，第三天比第一天少行驶 200 公里，三天共行驶了 18 个小时。已知第一天
的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？
A.800 B.900
C.1000 D.1100
【解析】拓展.求三天总共行驶了多少公里，从问题出发，S=V*T，速度没有
给出，已知三天共行驶了18个小时，则S=V*18，找18的倍数，因式分解，18=2*9，
找既满足2的倍数、又满足 9的倍数，四个选项都满足是 2的倍数，只有 B项同
4时满足是9的倍数，选择B项。【选B】
【注意】
1.考场思维：出现 A=B*C，求A时，即可考虑倍数关系。
2.9的整除判定：看各位数字加和。四个选项各位数字加和分别为 8+0+0=8、
9+0+0=9、1+0+0+0=1、1+1+0+0=2，只有 900是 9的倍数。
3.正常求解：
（1）方法一：“已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同”，设第
一天的速度为 V，则三天全程的平均速度也为 V；第一天的路程用 S 表示，则第
三天的路程为 S-200；全程的路程为 S+600+S-200=2*S+400，根据 V 相同列式：
S/5=（2*S+400）/18→18*S=10*S+2000→8*S=2000，解得S=250。说明第三天的
路程为250-200=50，所求=250+600+50=900，对应B项。
（2）方法二：设第一天的速度为 V，则第一天的路程为5*V、第三天路程为
5*V-200，已知第二天路程为 600，则全程=5*V+600+5*V-200=10*V+400，列式：
10*V+400=18*V→400=8*V，解得 V=50。第一天的路程为 50*5=250，第三天的路
程为250-200=50，所求=250+600+50=900，对应B项。
【例 2】（2023 山东）一辆车从甲地行驶到乙地共 20 千米，用时 20 分钟，
已知该车在匀加速到最大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为 0，问该车行
驶的最大速度是多少千米/小时？
A.100 B.108
C.116 D.120
【解析】2.涉及匀加速，不需要考虑物理公式，只需要求出全程的平均速度
即可，匀加（减）速的平均速度=（V +V ）/2。已知“一辆车从甲地行驶到乙
初 末
地共20千米，用时 20分钟”，注意问题单位是“千米/小时”，统一单位为小时，
20分钟=1/3小时，则 V=S/T=20÷（1/3）=60千米/小时；“该车在匀加速到最大
速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为 0”，整个过程是从速度为 0 开始匀加
速到最大速度 60，再从最大速度 60 匀减速到 0，匀加速的平均速度=（0+V ）
最大
/2=V /2，匀减速的平均速度=（V +0）=V /2，V /2=V /2=全程平均速
最大 最大 最大 最大 最大
5度60→V =120，对应 D项。【选D】
最大
【注意】匀加（减）速的平均速度：（V +V ）/2。假设匀加速走一段路程，
初 末
速度从0匀加速到 60，全程用了2小时，S=V*T=V*2，速度V是变化的，要求出
全程的平均速度，匀加速的全程平均速度=（0+60）/2=30，则 S=30*2=60 千米。
2.相对行程
（1）直线相遇
（2）直线追及
（3）环形相遇
（4）环形追及
【注意】相对行程（重点）：相遇、追及问题。
1.直线相遇。
2.直线追及。
3.环形相遇。
4.环形追及。
（1）直线相遇：同时相向而行
公式：S =V *T
和 和 遇
S ：就是两人走的路程之和
和
【注意】直线相遇：同时出发、相向而行。
1.公式：S =V *T 。
和 和 遇
2.S ：就是两人走的路程之和。
和
63.推导：如图，左边是一只猫，右边是一只老鼠，同时出发、相向而行，假
设猫的速度为V、老鼠的速度为 V，老鼠和猫在C点相遇，问合走的路程。时间
1 2
相同，S =S +S =V*T+V*T=（V +V）*T=V *T。可以理解为工程问题中的合作，
和 左 右 1 2 1 2 和
两个人一起做完一项工作。
4.如果不是同时出发，就分开计算路程。
【例 3】（2020 新疆）A、B 两地相距 600 千米，甲车上午 9 时从 A 地开往 B
地，乙车上午 10 时从 B 地开往 A 地，到中午 13 时，两辆车恰好在 A、B 两地的
中点相遇。如果甲、乙两辆车都从上午9 时由两地相向开出，速度不变，到上午
11时，两车还相距多少千米？
A.100 B.150
C.200 D.250
【解析】3.甲从上午 9 时走到中午 13 时，共走了 4 个小时；乙从上午 10
时走到中午13时，共走了3个小时；“两辆车恰好在 A、B两地的中点相遇”，说
明甲乙各走一半的路程→300千米，V =300/4=75 千米/小时，V =300/3=100千
甲 乙
米/小时。“甲、乙两辆车都从上午 9时由两地相向开出”→相遇过程，从上午9
时到上午 11 时共行驶了 2 小时，S =（75+100）*2=350 千米，注意 350 千米是
和
已经走的路程，问的是两车还相距多少千米，所求=600-350=250 千米，对应 D
项。【选D】
【注意】出现相向而行，套相遇公式：S =V *T。
和 和
【拓展】（2020 河北）甲乙两人在相距 1200 米的直线道路上相向而行，一
条狗与甲同时出发跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此
7反复，已知甲的速度为 40米/分钟，乙为 60米/分钟，狗为80 米/分钟。不考虑
狗调头所耗时间，当甲乙相距 100米时狗跑了多少米？
A.1100 B.1000
C.960 D.880
【解析】1.方法一：猜题。问狗跑了多少米，S =V *T ，已知 V =80 米/
狗 狗 狗 狗
分钟，则 S =80*T，找 80 的倍数，选项同时去掉末尾的 0 然后找 8 的倍数，排
狗
除A、B项，可以在 C、D项中猜或者代入验证。
方法二：正常做法。狗和人同时出发，所以 T =T ，S =80*T ，求出 T
狗 人 狗 狗 人
即可。甲和乙一开始相距 1200 米，现在相距 100 米，S =1200-100，列式：
和
（1200-100）=（40+60）*T→T=11分钟，所求=80*11=880米，对应 D项。【选D】
【注意】出现相向而行，套相遇公式：S =V *T。
和 和
（2）直线追及：同时同向而行
公式：S =V *T
差 差 追
S ：追及刚开始时两人相差的距离（起点的距离）
差
【注意】直线追及：同时出发、同向而行。追及即一个人在前面跑，一个人
在后面追，一前一后，两个人的方向是相同的，最终快的追上慢的。
1.公式：S =V *T 。
差 差 追
2.推导：猫从 A 点出发，老鼠从B点出发，猫在C点追上老鼠，追及研究的
是猫比老鼠多跑的路程，即路程差，S =S -S 。如下图，猫比老鼠多跑的路
差 猫 老鼠
程是黑色虚线 AB，假设猫的速度为 V 、老鼠的速度为 V ，同时出发，设时间
快 慢
为T，S =S -S =V *T-V *T=（V -V ）*T=V *T。
差 猫 老鼠 快 慢 快 慢 差
83.S ：追及刚开始时两人相差的距离（起点的距离）。猫追老鼠的路程差就
差
是起点的距离 AB（猫从 A 出发、老鼠从 B 出发），不需要考虑后面的 BC 段跑了
多远，因为只要猫追上了老鼠，BC段一定是相同的，作差时会抵消掉。
【拓展】爸爸骑车从某地出发，沿公路追赶前面 500米处的正在跑步的小明，
若骑车速度为5米/秒，小明跑步速度为 3米/秒，则爸爸追上小明需要多久？
【解析】拓展.问爸爸追上小明需要多久，套追及公式，S =V *T，S 表示
差 差 差
起点的距离，故 S =500，代入公式列式：500=（5-3）*T，解得 T=500/2=250
差
秒。
【注意】追及问题不用纠结到底跑了多远，两个人出发点的距离（S ）是
差
定值，不会随着时间推移而改变，抓住核心套公式计算即可。
【例4】（2020 深圳）小王和小李从甲地去往相距 15km的乙地调研。两人同
时出发且速度相同。15分钟后，小王发现遗漏了重要文件遂立即原路原速返回，
小李则继续前行；小王取到文件后提速 20%追赶小李，在小李到达乙地时刚好追
上，假设小王取文件的时间忽略不计，则小李的速度为多少 km/h？
A.4 B.4.5
C.5 D.6
【解析】4.方法一：根据题意画图分析，“15 分钟后，小王发现遗漏了重要
文件遂立即原路原速返回”，说明小王返回的时候也走了15分钟，并且这个过程
中小李继续前行，一去一回，小李领先了小王 30 分钟的路程。小王追上小李，
套追及公式：S =V *T，两人相差的路程就是小李走的 30 分钟的路程；问题单
差 差
位是“km/h”，要进行单位转化，30分钟=0.5小时，设小王和小李原来的速度为
9V，小王提速后的速度为 1.2V，小王开始追小李时已经提速，代入公式列式：
0.5*V=（1.2V-V）*T→0.5*V=0.2V*T，解得 T=2.5 小时，注意此时不能根据
“15/2.5=6km/h”选择 D项，6km/h是小王提速后的速度，要求的是小李原来的
速度，T =2.5+0.5=3h，V =15/3=5km/h，对应C项。
李 李
方法二：比例思维，不推荐，因为绝大多数同学想不到，即使想到可能会绕
晕，了解即可，该方法需要有非常深厚的数学基础并且练习了很多题，才能融会
贯通、巧妙运用。小王追小李这个追及过程，时间相同，路程与速度成正比，已
知V /V =1.2=6/5，则S /S =6/5，小李先走了 0.5V，后面的一段路程相当于
王 李 王 李
5份，小王走的是全程→6份对应15km，则 1份对应15/6=2.5km，小李走1份用
0.5h，所以小李原来的速度为2.5/0.5=5km/h，对应C项。
方法三：猜题。小李全程的速度没有发生改变，S=V *T，已知 S=15km，即
李
15=V *T，数据一般按照整数设计，说明 15 是速度V 的整数倍，观察选项，15
李 李
是5的整数倍，猜 C项。【选C】
【注意】
1.出现追上，套追及公式：S =V *T。
差 差
2.“假设小王取文件的时间忽略不计”，注意忽略的是取文件的时间，而不
是忽略返回去取文件的 15分钟。
3.追及时间是 2.5小时，追及前小李还走了0.5小时，则小李走的总时间为
2.5+0.5=3小时。
4.方法一必须掌握，方法二作为拓展。
10（3）环形相遇（同时同点反向出发）
公式：S =V *T
和 和 遇
结论：每相遇 1次，合走1圈，相遇 N次，S =N圈
和
提问：那如果不是同一点出发的呢？
解决：第一次相遇就是正常套公式计算；后续相遇就是同点出发套结论
【注意】环形相遇（同时同点反向出发）：同点出发，一个往左、一个往右，
即一个顺时针、一个逆时针，最后会迎面相遇。
1.公式：S =V *T 。
和 和 遇
2.如下图，无论在哪个点相遇，路程和一定是一圈的长度。
3.结论：从同一点出发，每相遇 1次，合走 1 圈；相遇 2次，合走 2 圈；相
遇3次，合走3圈；相遇N次，S =N圈。
和
4.提问：那如果不是同一点出发的呢？
答：第一次相遇就是正常套公式计算，后续相遇就是同点出发套结论。如下
图，两人分别从A 点和B点往中间走，第一次相遇正常套公式计算，S =V *T ；
和 和 遇
第一次相遇之后，再继续走就是同点出发，套用结论即可→相遇 N次，S =N圈。
和
11（4）环形追及（同时同点同向出发）
公式：S =V *T
差 差 追
结论：每追上 1次，多走1圈，追上 N次，S =N圈
差
提问：那如果不是同一点出发的呢？
解决：第一次追及就是正常套公式计算；后续追及就是同点出发套结论
【注意】环形追及（同时同点同向出发）：比如长跑比赛，特别喜欢看第一
名追最后一名，即第一名已经比最后一名多跑了整整一圈。如下图，蓝绿色跑得
快，在某处追上了橙色，要研究路程差，把相同的路程抵消掉，剩下的恰好是整
整一圈。
121.公式：S =V *T 。
差 差 追
2.结论：同时同点同向出发，每追上 1次，多走1圈；追上 N次，S =N圈。
差
3.提问：那如果不是同一点出发的呢？
答：第一次追及就是正常套公式计算，后续追及就是同点出发套结论。如下
图，两人分别从 B 点和 A 点出发，在 C 点追上，两人跑的路程分别为 BC、AC，
第一次追及，相同的 AC抵消掉，S =BA（起点的距离）；后面的追及就变成同点
差
出发，套结论→追上 N次，S =N圈。
差
【例 5】（2023 内蒙古事业单位）老张和小张在周长为 400 米的运动场上跑
步，小张的跑步速度快于老张，当两人在同一起点同时同向出发，则每隔 8分钟
相遇一次；当两人在同一起点同时反向出发，则每隔 2分钟相遇一次，老张在该
运动场跑一圈需要多少分钟？
A.5.33 B.5.36
C.5.42 D.5.45
【解析】5.行程问题，S=V*T，给出时间 T→8 分钟、2 分钟；“两人在同一
起点同时同向出发”→追及，同点出发，每追上一次，多跑一圈，即 S =V *T
差 差
→400=（V -V ）*8→V -V =50①；“两人在同一起点同时反向出发”→相
小张 老张 小张 老张
遇，每相遇一次，合走一圈，即S =V *T→400=（V +V ）*2→V +V =200
和 和 小张 老张 小张 老张
②。问老张跑一圈的时间，②-①得：2*V =150→V =75，则 T
老张 老张 老张
1
=400/75=80/15=16/3=5 ≈5.33，对应A 项。【选A】
3
13【注意】
1.思维点拨：根据方向确定相遇还是追及，套用公式。
2.环形同点出发：每相遇一次合走一圈；每追上一次多走一圈。
3.数量关系有个别题可能不是整数，但一般会在选项体现出来，如选项是范
围或者小数，如果选项没有给出提示，可以按照整数处理，不用过于担忧。
【例6】（2023 天津事业单位）师范大学体育场的环形跑道长 400米，王鹏、
李华、周可从同一地点同时同向出发，围绕跑道分别慢跑、快跑和轮滑。已知三
人的速度分别是 2 米/秒、6 米/秒和 8 米/秒，问李华第 4 次超越王鹏时，周可
已经超越了王鹏多少次？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】6.方法一：“王鹏、李华、周可从同一地点同时同向出发”→追及，
每追上 1 次多跑 1 圈。已知三人的速度分别是 2 米/秒、6 米/秒和 8 米/秒，李
华第 4 次超越王鹏：S =4 圈=（V -V ）*T→4*400=（6-2）*T→T=400 秒；
差 李华 王鹏
周可追王鹏：S =（V -V ）*T→S =（8-2）*400=6*400，即多了 6圈，说明
差 周可 王鹏 差
超了6次，对应A 项。
方法二：比例思维。问“„„时”，说明两个运动过程时间相同；时间相同，
路程和速度成正比，注意研究的是速度差和路程差的关系，周可和王鹏的路程差
/李华和王鹏的路程差=（V -V ）/（V -V ）=（8-2）/（6-2）=6/4，李
周可 王鹏 李华 王鹏
华超越王鹏4次，则周可超越了王鹏6次，对应 A项。【选A】
【注意】环形同点出发：每相遇一次合走一圈；每追上一次多走一圈。
【拓展1】甲、乙两人在一条 400 米的环形跑道上同点同时出发，同向匀速
跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了 2000米。问甲的速度是乙的多少倍？
A.1.2 B.1.5
C.1.6 D.2.0
【解析】拓展 1.方法一：同点同时同向出发→追及，每追上一次，多跑一
14圈。当甲第三次追上乙的时候，甲比乙多跑了三圈，S =3*400=1200；已知乙跑
差
了2000米，则甲跑了 1200+2000=3200米。甲和乙同时出发，时间相同，路程与
速度成正比，V /V =S /S =3200/2000=1.6，对应C项。
甲 乙 甲 乙
方法二：“乙跑了 2000 米”，已知一圈为 400 米，则乙跑了 2000/400=5 圈；
当甲第三次追上乙的时候，甲比乙多跑了三圈，说明甲跑了 8 圈，所以 V /V
甲 乙
=S /S =8/5=1.6 倍，对应C项。【选C】
甲 乙
【注意】
1.时间相同，求速度的倍数，可以找路程的倍数。
2.追上3次，多跑3圈。
【拓展2】甲、乙两人在一条 400米的环形跑道上从相距 200 米的位置同时
出发，同向匀速跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了 2000 米。问甲的速度
是乙的多少倍？
A.1.2 B.1.5
C.1.6 D.2.0
【解析】拓展 2.已知乙的路程为 2000 米，找到路程差即可知道甲的路程。
甲第三次追上乙，甲比乙多跑了三圈，则 S =1200+200=1400，所求=S /S =
差 甲 乙
（1400+2000）/2000=3400/2000=1.7 倍，这样做是错误的。注意甲和乙是从不
同点出发的，第一次追及要单独看，描述了甲追乙，环形追及，谁前谁后是相对
位置，只需要明确是快的追慢的即可；“从相距 200米的位置同时出发”，说明甲
和乙在跑道的两端同时出发（出发点连线将跑道分成两个半圆）；第一次追及：
路程差就是两人起点的距离，S =200 米；第一次追上之后到第三次追上：共追
差
上2次，S =2圈=2*400=800 米，总共的路程差=200+800=1000米，已知S =2000
差 乙
米，则S =2000+1000=3000 米，所求=S /S =3000/2000=1.5 倍，对应 B项。【选
甲 甲 乙
B】
【注意】不同点出发，第一次追及，S =起点的距离。
差
15第七节 几何问题
学习内容：
①公式运用
②三角形相关
【注意】几何问题：几何是数学中绕不开的一座大山，小学学习三角形、正
方形、长方形，初中学习勾股定理、全等、相似、圆，高中学习椭圆、双曲线、
空间几何、三角函数（正弦、余弦、正切、余切）等，从小学到高中一直在学几
何，几何的门类是比较庞杂的，东西很多，现在不可能考查三角函数（正弦定理、
余弦定理），这些在高中是用科学计算器解决的，行测考试不能带计算器，考查
几何主要是以下两个方面。
1.公式运用：求面积、体积、表面积。讲义上的公式都是比较普通的，不一
一进行回顾，球体的公式只是写在讲义上，方便大家按图索骥，考查概率非常低；
主要考查正方形、长方形、梯形、三角形、圆柱体、圆锥体。
2.三角形相关（核心）。
【例 1】（2020 河北事业单位）街心公园里有一个正方形的花坛（如下图所
示）。花坛四周有 1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是 16平方米，那么中间
花坛的面积是多少平方米？
A.16 B.9
C.4 D.1
【解析】1.方法一：学生时代做这类题非常多，考点在于四个角容易重复，
计算水泥路的时候要单独把四个角拎出来算。已知水泥路的宽是 1米，则四个角
的面积为1*1*4=4；水泥路的总面积是16 平方米，设花坛的边长为 x，则除去四
16个角后剩余的每条水泥路面积=x*1=x，4+4x=16→4x=12，解得 x=3。所求=3²=9，
对应B项。
方法二：考场思维。几何问题配图时，可结合选项直接观察，已知水泥路的
宽是1米，肉眼观察，花坛的边长为3，所求=3²=9，对应B项。【选B】
【注意】
1.思维拓展：几何问题配图时，可结合选项直接看。考试中配的几何图都是
准确的，正常给图都是吻合题意的，极少数的图可能不合理，考虑普遍的情况即
可，不要考虑极端情况。
2.可以根据“大正方形-小正方形=水泥路面积”计算。
【例 2】（2023 国考）一个圆柱体零件 A 和一个圆锥体零件 B 分别用甲、乙
两种合金铸造而成。A 的底面半径和高相同，B 的底面半径是高的 2 倍，两个零
件的高相同，质量也相同。问甲合金的密度是乙合金的多少倍？
A.4/3 B.3/4
C.2/3 D.3/2
17【解析】2.出现圆柱、圆锥，给出底面半径、高相关的信息，考虑体积公式，
V =底面积*高，V =1/3*底面积*高。已知圆柱体零件 A 和圆锥体零件 B 高相
柱体 锥体
同、质量相同，并且给出底面半径和高的关系，问密度的倍数，找体积的倍数即
可，因为质量=密度*体积，当质量相同时，体积和密度成反比。“两个零件的高
相同”，赋值两个零件的高均为1；已知“A 的底面半径和高相同，B的底面半径
是高的2倍”，则 A的底面半径为 1，B的底面半径为2，圆柱和圆锥的底面都是
圆，S =πr²，代入体积公式列式：V =π*1²*1=π，V =1/3*π*2²*1=4/3*
底 柱体A 锥体B
π，ρ /ρ =V /V =（4/3*π）÷π=4/3，对应A 项。【选A】
甲 乙 乙 甲
【注意】
1.质量=体积*密度（m=ρ*V），当质量相同时，体积和密度成反比，即质量
相同时，体积越大→密度越小，体积越小→密度越大。
2.底面圆的面积=π*r²。
【拓展】（2021 联考）一个长方体实心零件，长、宽、高分别为 12厘米、8
厘米和4厘米。如将其最大面朝下放在另一个长方体水槽中，零件将被完全淹没，
且水面上升3厘米。问零件最大面的面积比水槽底面积小多少平方厘米（ ）。
A.32 B.64
C.96 D.128
【解析】拓展.已知长方体实心零件的长、宽、高，则长方体零件的体积=
长*宽*高=12*8*4。“零件将被完全淹没”，说明水面上升的体积就等于长方体零
件体积，V =V →S *3=12*8*4→S =128cm²，注意不能选择 D 项，因为计
水面上升 零件 底 底
算出来的 128cm²是水槽的底面积；零件最大面的面积=12*8=96cm²，所求
=128-96=32cm²，对应 A项。【选A】
【注意】将一个物体放入水中淹没是最常见对体积的考查，该物体的体积等
于水面上升部分的体积。原理类似于曹冲称象，都是以水为载体。
二、三角形相关
181.勾股定理相关
2.最短路径
3.面积相关
【注意】三角形相关（重要）：从小学学习几何直到高中学习几何，始终都
在和三角形打交道，小学时学习锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，初中学
习勾股定理、证明全等、证明相似，压轴题中考圆、椭圆都是在圆或椭圆中构造
三角形或结合双曲线，通过计算长度证明是正三角形、直角三角形、等腰三角形，
然后经过旋转证明和谁相似、全等求解，所以无论什么图形最终都是落脚到三角
形，只有三角形有勾股定理、相似、全等、三角函数这些概念。行测是选择题，
时间也不多，不会考查椭圆、三角函数那么难，主要考查的是初中最常用的三角
形相关知识点。
1.勾股定理相关。
2.最短路径。
3.面积相关。
勾股定理相关
常考点：a²+b²=c²、特殊角直角三角形三边关系
①常考勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）
勾股数：满足勾股定理的一组整数
②特殊角直角三角形三边关系
【注意】勾股定理相关：
1.常考点：a²+b²=c²（在直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的
平方）、特殊角直角三角形三边关系。
2.常考勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）。（8、15、17）等勾
股数真题中考查非常少，因为不常见，记住最常见的三组即可。
193.勾股数：满足勾股定理的一组整数。
4.特殊直角三角形三边关系：
（1）含 30°角的直角三角形：30°所对的直角边是斜边的一半，把30°所
对的直角边看作 1，则斜边为 2，根据勾股定理可知另一条直角边长度为
√2²−1²=√3，所以三边比例为1：2：√3。
（2）含 45°角的等腰直角三角形：两腰之比为 1：1，根据勾股定理可知斜
边为√1²+1²=√2，所以三边比例为1：1：√2。
【例3】（2024 山东网友回忆版）某巡逻艇在海域 A点发现正南方 30千米处
的B点有一艘可疑船只正匀速向正西方行驶，巡逻艇以比该可疑船只快 1/3的速
度沿某一方向直线追击，两船恰好在 C 点相遇。问 B、C 两点之间的距离约多少
千米？
A.26 B.28
C.30 D.34
【解析】3.出现东南西北，画图分析（上北下南左西右东）。根据题意，假
设巡逻艇在C点追上可疑船只，构成直角三角形，根据勾股定理计算。同时出发，
说明时间相同，路程和速度成正比，“巡逻艇以比该可疑船只快 1/3 的速度沿某
一方向直线追击”→V /V =1+1/3=4/3，则边长之比（AC：BC）为 4：3，设 AC
快 慢
为4x、BC 为3x，根据勾股定理得：30²+（3x）²=（4x）²→30²=7x²，不好计算，
20AB对应7x²、BC对应 9x²，9x²＞7x²=30²，则BC＞AB=30，只有D 项符合。【选D】
【注意】AB²=（4x）²-（3x）²=7x²，BC²=9x²，9x²＞7x²，所以 BC＞AB=30。
【例 4】（2022 北京）一个圆形水库的半径为 1 千米。一艘船从水库边的 A
点出发，直线行驶 1千米后到达水库边的 B点，又从B点出发直线行驶 2千米后
到达水库边的C点。则 C点与A点的直线距离最短可能为多少千米？
A.不到1千米 B.1～1.3千米之间
C.1.3～1.6千米之间 D.超过1.6千米
【解析】4.“一个圆形水库的半径为 1 千米”→直径=2 千米。根据题意画
图，“一艘船从水库边的 A点出发，直线行驶 1千米后到达水库边的 B点”→AB=1；
“又从 B 点出发直线行驶 2 千米后到达水库边的 C 点”，BC=2 千米，说明 BC 是
直径（过圆心），求 AC 的长度。在圆中，直径所对的圆周角是 90°（或 90°所
对的弦是直径），说明△ABC 是直角三角形，并且出现 1：2 的比例（AB：BC=1：
2），说明△ABC 是含 30°角的直角三角形，则 AC=√3≈1.732，对应 D 项。如果
不会开根号，可以代入选项，计算选项数值的平方，1.6²=2.56＜3，说明1.6＜
√3，选择 D项。【选 D】
21【注意】
1.√2≈1.414，√3≈1.732。
2.两点之间直线最短。
3.数量题并不是按照由易到难的顺序排布的。
【拓展】（2022 联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方
500米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的 5倍。
兔子先向正东方跑了一会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，结
果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A.600 B.1200
C.2400 D.3000
【解析】拓展.方法一：画图分析，构成直角三角形。兔子和乌龟同时出发、
同时达到终点，说明时间相同，路程和速度成正比，已知“终点位于起点正北方
500米处”、“兔子的速度是乌龟的 5倍”，S =S *5=500*5=2500 米；假设兔子向
兔 龟
东跑了x米，则斜边长度为 2500-x米，根据勾股定理得：500²+x²=（2500-x）²，
直角边为 500，想到勾股数（5、12、13），5 份对应 500，12 份对应 1200，13
份对应1300，验证：1200+1300=2500，符合题干条件，所求=1200，选择 B 项。
方法二：猜题。当题目出现直角三角形时，优先猜勾股数，本题出现直角边
为500，和5有关的勾股数为（3、4、5）、（5、12、13），但不能考虑（3、4、5），
因为5对应的是直角边而不是斜边，所以考虑勾股数（5、12、13），5 份对应500，
说明1份对应100，则12份对应1200，13 份对应1300，S =1200+1300=2500，
兔子
符合题干条件，“秒”选B项。
方法三：直接代入选项，分析边的合理性。代入A项：已知S =500，S =2500，
龟 兔
22如果兔子向右跑 600 米，则斜边=2500-600=1900，500+600＜1900，两边之和小
于第三边，无法构成三角形，排除；C 项：兔子向右跑 2400 米，则斜边
=2500-2400=100 米，无法构成三角形，排除。D 项：兔子一共才跑了 2500 米，
不可能向正东跑了 3000米，排除。选择 B项。【选 B】
【注意】当题目出现直角三角形时，优先猜勾股数。
2.最短路径
考查方式：求 AB两点到直线距离之和最短
解题原理：两点之间，直线最短
解题技巧：镜面对称后连线
【注意】最短路径：
1.考查方式：求 AB两点到直线距离之和最短。
2.解题原理：两点之间，直线最短。
3.解题技巧：镜面对称后连线。
4.例：有一条公路，在公路的同一侧有 A、B 两个村庄，要在公路上修一个
垃圾回收站（高架桥），使得垃圾回收站（高架桥）到 A、B两个村庄的距离之和
最短。
答：A、B 两个点挑任意一个点作镜面对称点。如下图，作 A 关于公路的镜
面对称点 A’，连接 A’B，A’B 就是 A、B 两点到直线的距离之和最短的情况。
因为 A’和 A 对称，则 A’O=AO，A’、O、B 三点共线，两点之间直线最短，所
以最短距离之和为 A’B。假设选取点O’，AO’=A’O’，连接 O’B，构成三角
形 A’O’B，三角形中，任意两边之和大于第三边，即 A’O’+O’B’＞A’B，
由此可知A’B一定是最短距离。
23【例5】（2019 浙江）A、B点和墙的位置如下图所示。现从 A点出发以 5米
/秒的速度跑向墙，接触到墙后再跑到 B 点。问最少要多少秒到达 B点？
A.30 B.34
C.38 D.42
【解析】5.根据题意，速度是固定的，要时间最少，则路程要最短，即求A
→墙→B的最短距离。作A关于墙的镜面对称点A’，A墙=墙A’=45，连接A’B，
就是最短距离。以 A’B为斜边构造直角三角形，如下图，把90米的虚线往上移、
30 米的虚线往左移，即可构成直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为 90
米、30+45+45=120 米，90/120=3/4，想到勾股数（3、4、5），1 份对应 30 米，
则斜边 A’B 为 5 份→对应 5*30=150 米，即最短路程为 150 米，所求=150/5=30
秒，对应A项。【选 A】
24【注意】
1.对称之后出现直角三角形，想勾股数。
2.勾股数（6、8、10）、（9、12、15）都是（3、4、5）的变形。
3.注意虚线不是所走的路径，只是标注出距离。
4.也可以作B 点关于墙的镜面对称点，构造出的直角三角形两条直角边分别
为90米、30+45+75=120 米，根据勾股数可以推出最短路径为 150 米。
【例6】（2024 国考网友回忆版）甲、乙两个联络站相距 10 千米。一条道路
与甲、乙联络站连线相平行，且与两联络站连线的垂直距离为 12 千米。现需紧
邻该道路建一个工作站，问工作站距离甲、乙联络站距离之和最小为多少千米？
A.20 B.22
C.24 D.26
【解析】6.根据题意画图分析，要求工作站距离甲、乙联络站距离之和最小，
作甲关于道路的镜面对称点甲’，连接甲’乙就是距离之和最短的情况。以甲’
乙为斜边构造直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为 10 千米、12+12=24
千米，甲乙/甲甲’=10/24=5/12，想到勾股数（5、12、13），5 对应 10 千米，
说明是2倍关系，则甲’乙=13*2=26千米，对应 D项。【选D】
25【注意】
1.对称之后出现直角三角形，想勾股数。
2.本题可以直接根据“斜边长度＞直角边长度=24”选择D 项。
3.本题数据比较特殊，甲、乙在同一水平高度，此时联络站的位置恰好在中
点，构造直角三角形，两条直角边分别为 5、12，想到勾股数（5、12、13），所
以斜边为13，所求最短距离=13+13=26，对应 D项。该方法不是通用方法。
3.面积相关：
①底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比。
26【注意】面积相关：
1.底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比。
2.S =1/2*底*高。如下图，三角形△ABD、△ABC都以 AB 为底边，分别过
三角形
C、D点作AB的高 h、h，S =1/2*AB*h，S =1/2*AB*h，S /S =（1/2*AB*h）
1 2 △ABC 1 △ABD 2 △ABC △ABD 1
÷（1/2*AB*h）=h /h。两个三角形有共同的底AB，所以底相同的三角形，面积
2 1 2
比等于高之比；反之同理，高相同的三角形，面积比等于底之比。
【例 7】（2023 联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三
角形ABC区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形 DEF 是中央工厂区，
已知 BD：DE：EC=1：2：3，F 为 AE 的中点，则新能源产业园区总面积是中央工
厂区面积的：
27A.7倍 B.6倍
C.5倍 D.4倍
【解析】7.已知 F 为 AE 的中点，则 AF=FE。已知 BD：DE：EC=1：2：3，△
ABD、△ADE、△AEC 有共同的顶点 A，过 A点作BC的垂线，则△ABD、△ADE、△
AEC均以这条垂线为高，高相同，面积之比=底之比，所以S ：S ：S =BD：
△ABD △ADE △AEC
DE：EC=1：2：3，S 看成1份、S 看成 2份、S 看成3份，S =1份+2份
△ABD △ADE △AEC △ABC
+3份=6份。过 D 点作 AE的垂线，F为AE 的中点，则S =1/2*S =1份。问新
△DEF △ADE
能源产业园区总面积是中央工厂区面积的，所求=6/1=6，对应 B项。【选B】
【注意】
1.底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比。
2.注意所求≠（6-1）/5=5，不需要减去新能源产业园区的面积，比如学校
修操场，计算学校面积的时候不需要把操场的面积减去，操场是学校的一部分，
该题中新能源产业园区也是中央工厂区的一部分。
3.连接三角形的顶点和顶点所对边的中点，三角形被平分，因为中点说明被
28分成的两个三角形的底边相等，高也是相同的，所以被分成的两个三角形面积相
等，即原来的三角形被平分。本题中，连接 DF，S =1/2*S 。
△DEF △ADE
3.面积相关：相似三角形
判定：两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似
常考结论：对应边长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【注意】面积相关：相似三角形。
1.判定：两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似。以前证明需要
用AAA、AAS、SAS，现在不用这些条件，只要其中两个角对应相等，那么两个三
角形相似。
2.常考结论：对应边长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
（1）对应边长之比等于相似比。相似简单来说就是把一个图形等比例扩大，
如一个三角形的边长分别为 1、2、2，同时扩大 3 倍后，边长分别为 3、6、6，
相似比=对应边之比=1：3。
（2）面积比等于相似比的平方。
①例：两个三角形所有对应边都满足 2 倍的比例关系，S =1/2*底*高，
三角形
29底是原来的2倍、高是原来的 2倍，则面积是原来的 2*2=4倍，4=2²。
②例：如下图，假设左边三角形的边长分别为 5、12、13，右边的三角形是
左边三角形整体扩大 2 倍得到的，则边长分别对应 10、24、26，设左边三角形
的高为 h，则右边三角形的高为 2h，即对应边之比=相似比=1：2；面积之比=1：
2²=1：4。如果相似比=1：3；则面积之比=1：3²=1：9。
【拓展】（2020 联考）某演播大厅的地面形状是边长为 100 米的正三角形，
现要用边长为2米的正三角形砖铺满（如图所示）。问需要用多少块砖？
A.2763 B.2500
C.2340 D.2300
【解析】拓展.砖和播大厅的地面形状都是正三角形，一定是相似的，边长
是100/2=50倍关系，面积比=相似比²，则面积为 50²=2500倍，需要 2500块砖，
对应B项。【选B】
【注意】相似图形：面积之比等于对应边长平方之比。
【例 8】（2023 联考）边长为 10 厘米的正方形 ABCD 如下图所示，E 为正方
形中的某一点，已知 AE长8厘米，BE长 6厘米，问三角形 ADE 的面积为多少平
30方厘米？
A.24 B.32
C.44 D.48
【解析】已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米、AE 长 8 厘米、BE 长 6 厘米，
出现勾股数（6、8、10），说明△AEB是直角三角形，S =1/2*6*8=24。
△AEB
方法一：常规做法→相似或全等。可以过 E 点作 AD 的垂线，得到一个直角
三角形，然后根据该三角形和△AEB相似求解，但操作难度大，需要找对应边之
比，很绕，一旦某个点对应错就绕不明白，不建议。讲解全等的做法，过D点作
AE的垂线，交点为 F，AD=AB=10，∠1+∠2=∠2+∠3=90°→∠1=∠3，说明△ABE
和△DAF全等，则 AE=DF=8，S =AE*DF/2=8*8/2=32，选择B项。
△ADE
方法二：考场思维。几何题有图，求面积，可以肉眼观察，本题有三个角度。
角度一：已知 AE=8、BE=6，则 S =6*8/2=24。肉眼观察，△AED 的面积比
△ABE
△ABE 更大，排除 A 项；但只比 24 大一点点，C 项快接近 24 的两倍，排除，选
择B项。
31角度二：连接 BD、AC，整个正方形被平分成 4份，已知正方形的边长为10，
则整个正方形的面积为 100，1/4*S =25，△ADE只比25大一点点，结合选项，
正方形
选择B项。
角度三：过 E 点作 AD 的垂线 H，直角三角形中，直角边一定小于斜边，所
以H＜AE=8，已知 AD=10，则S =10*H/2＜10*8/2=40，选择B 项。【选B】
△ABE
【注意】
1.几何考场思维：面积比例可结合选项直接肉眼看。
2.2 个小时要做 100 多道题（国考一般是 130 道题，省部级是 135 道题），
32没有时间每一道题都证明，包括资料分析也不是计算答案，而是利用选项选答案、
分析答案的范围，任何科目都要学会结合选项连蒙带猜，不要总想着正面怎么做，
正面做得再好考场没有时间也是白瞎，行测更多考查利用选项的能力。
【注意】
331.预习（讲义 209～213页）：第八节：排列组合与概率问题（抽象、难点）；
第九节：容斥原理问题（公式记忆为主、送分点），尽量自己认真思考做一遍，
听课效果更佳，起码熟悉题目。
2.下节课6：55开始回顾本节课的知识点。
【答案汇总】
行程问题1-5：ADDCA；6：A
几何问题1-5：BADDA；6-8：DBB
34遇见不一样的自己
Be your better self
35
