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强化提升-数资 3
（笔记）
主讲教师：林凡
授课时间：2024.04.06
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强化提升-数资 3（笔记）
目录
一、强化三重点讲解
二、数学猜题小技巧
【注意】
1.有同学会问现在可以放弃数量吗。2020 年以前是可以放弃的，因为大家
都不做，但是 2020 年以后不可以放弃，原因一个字“卷”，最近几年是国考最
严的，去年国考报名人数 300多万，人数越来越多，有一部分人会做数量，你就
没有办法不做，最近两年判断和言语的难度稍微有些提高，导致数量的性价比上
升，现在的数学真的不能放弃。
2.大部分人会把数量放最后，因为时间有限，要学会挑题（不是在考场上挑
题，提前挑题）。从现在开始做，在上考场之前，把题分为三类：擅长的（比如
几何、工程、容斥、经济问题比较好，考场上优先做）；中等、正确率常保持在
50%的题目（备胎，有时间就做，没时间就蒙）；与自己无缘的（比如排列组合，
怎么都听不懂，正确率长期在25%左右，一读就要放弃）。自己要知道擅长什么，
哪类题自己能做对，哪类题需要放弃，通过练习和学习把题分为三类。
【注意】代入排除法：
1.什么时候用？从题型入手，多位数（考查较多）、年龄（考查较多）、不定
方程、余数问题，只要见到，就考虑用代入排除。
2.从选项入手。选项为一组数，选项信息充分。如果排除了两个选项，剩下
两个选项，代入一项即得答案。
3.方法：优先排除（尾数、奇偶、倍数）；直接代入（最值、好算）。
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（1）问：甲、乙分别为多少？
A.1、2 B.2、3
C.3、4 D.4、5
答：选项为一组数，选项信息充分，考虑代入排除。
（2）问：甲为多少？（甲+乙=5）。
A.1 B.2
C.3 D.4
答：选项可以转化为一组数，甲+乙=5，A 项：1、4；B项：2、3；C项：3、
2，D项：4、1，考虑代入排除。
（3）问：甲最大/小为多少？
A.11 B.12
C.13 D.14
答：问最大，从大往小代；问最小，从小往大代。
（4）问：甲为多少？
A.10 B.22
C.43 D.67
答：优先代入10，比较好算。
1.（2021 事业单位）今年小华一家四口的年龄之和为 110 岁，其中哥哥比
小华大2岁，爸爸比妈妈大 2岁，14年前全家的年龄之和为 55岁，则哥哥今年
多少岁？
A.15 B.16
C.17 D.18
【解析】1.方法一：出现“年龄之和”，年龄问题，优先考虑代入排除。代
入A项：哥哥今年15 岁，“哥哥比小华大2岁”，则小华13岁，年龄和=15+13=28
岁，则爸爸和妈妈年龄和=110-28=82，“爸爸比妈妈大 2 岁”，则爸爸 42 岁，
妈妈 40 岁；14 年前，爸爸 28 岁，妈妈 26 岁，哥哥 1 岁，则小华还没有出生，
28+26+1=55，符合题干所有条件，选择A项。
方法二：年龄问题的核心：年龄差不变。比如林老师今年 24 岁，A 同学 21
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岁，两人相差 3 岁，只要两个人不死（中国人图吉利，考试不会考这种情况），
两个人的年龄永远差 3岁。只有另一个人还没有出生，年龄差是变化的。“14年
前”，今年一家四口年龄和为 110岁，正常四个人 14年前应该少14*4=56 岁，但
是 14 年前年龄和为 55 岁，少了 1 岁，说明小华不到 14 岁，则哥哥不到 16 岁，
只有A项满足。【选 A】
2.（2021联考）饲养兔子需要场地，小林准备用一段长为 28米的篱笆围成
一个三角形形状的场地，已知第一条边长为 m 米，由于条件限制第二条边长只能
是第一条边长度的1/2多4米，若第一条边是唯一最短边，则 m 的取值可以为：
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】2.“一个三角形形状的场地”，一共 28 米。根据题意，“第二条
边长只能是第一条边长度的 1/2多4米”，已知第一条边长为 m米，则第二条边
为1/2m+4，求出m，则第二条边也可以求出，相当于选项是一组数，选项信息充
分，考虑代入排除，代入 A项：m=6，1/2m+4=7，则第三条边为28-13=15，注意
三角形两条边之和大于第三条边，6+7＜15，无法构成三角形，排除 A 项；代入
B 项：m=7，1/2m+4=7.5，则第三条边为 28-14.5=13.5，满足，当选；不放心的
话，代入 C 项：m=8，1/2m+4=8，两条边相等，不满足第一条边是唯一最短边，
排除。对应B项。【选 B】
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【注意】倍数特性法考频会高一些。
1.基础型。
（1）比如 S=V*t，总价=单价*数量，这两类是整除型考频最高的。比如苹
果5元一个，则苹果的总价一定是 5的倍数。
（2）口诀：3、9 看各位数字之和，4 看末两位（比如 123456，末两位 56
是4的倍数，则123456 是4的倍数），2、5看末位（5的倍数末位为0 或5）。8
的倍数看末3位。
（3）因数分解：分解时必须互质。比如 12 可以分解成3和4，不能分解成
2 和 6，不是最简比。18 可以拆成 2*9，不能拆成 3*6，不是最简整数比。24 可
以拆成3*8，不能拆成 4*6，不是最简整数比。
（4）拆分：拆成两个数的和或差。比如判断342是否为7的倍数，342=350-8，
8不是7的倍数，则 342不是7的倍数。
2.余数型（剩/余/缺），方法：多退少补。若 y=ax+b，则 y-b 能被 a 整除；
若y=ax-b，则y+b能被 a整除。前提：a、x 均为整数。
3.比例型（考频最高）。若A/B=m/n，则A 是m的倍数，B是n的倍数；A±B
是m±n的倍数。前提：A、B均为整数，m/n是最简整数比。比如男生/女生=7/3，
则男生人数是 7 的倍数，女生人数是 3 的倍数，男生、女生人数和是 7+3=10 的
倍数，差值是7-3=4 的倍数。出现比例、分数、百分数、倍数任意一个，考虑比
例型倍数特性。比如男生人数占全班人数 60%，可以转化成男生人数/全班人数
=60/100=3/5，则男生人数是 3的倍数，全班人数是5的倍数，女生人数是 5-3=2
的倍数。
3.（2022 事业单位）一些篮球爱好者包下了一个篮球场地，包场费用按第
一个小时 420 元，不足一小时按一小时计，之后每 10 分钟增加 70 元，不足 10
分钟的按10分钟计。比赛结束后，恰好人均付费 63元，那么最少有多少人参加
比赛？
A.20 B.15
C.10 D.5
【解析】3.方法一：代入排除。根据题意，问最少有多少人，有同学会代入
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D项，5个人，5*63＜420，不够场地费，不满足题意，排除D项；代入C项：10*63=630
元，630=420+210，210=70*3，说明打了一个小时后，往后续了 30分钟，满足题
意，选择C项。
方法二：倍数特性。列式：420+70n=63*人数，出现公因子 7，约掉 7 之后
转化为 60+10n=9*人数，60+10n 一定是 10 的倍数，则 9*人数也为 10 的倍数，
说明人数是 10 的倍数，排除 B、D 项；剩二代一，代入 C 项：10*63=420+70*3，
等式成立，对应C项。
方法三：根据常识做题。要包场地，篮球比赛（不会带 10 个人替补）可能
最少是5打5，一共 10人，选择C项。【选C】
4.（2023北京）某单位 3个部门共有员工 50人，拥有中级工程师职称的人
员比重为 40%。其中甲、乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为 45%
和32%，则丙部门拥有中级工程师职称的人员比重为：
A.60% B.52%
C.44% D.36%
【解析】4.出现百分数，优先考虑比例型倍数特性。一共 50 人，拥有中级
工程师职称的人员比重为 40%，则中级工程师一共有 50*40%=20 人。“其中甲、
乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为 45%和 32%”，意味着甲部门
中级职工人数/甲部门的人数=45/100=9/20，则甲中级职工人数是 9 的倍数，甲
部门的人数是20的倍数；乙部门中级职工人数/乙部门的人数=32/100=8/25，则
乙部门中级职工人数是 8的倍数，乙部门人数是 25的倍数；一共50人，说明甲
部门 20 人，乙部门 25 人，则丙部门 5 人，丙部门中级职工人数=20-9-8=3，所
求=3/5=60%，对应A 项。【选A】
5.（2024浙江网友回忆版）某公司招聘员工，来应聘的男、女人数比是 18：
17，最后被录取的有 280 人，其中男、女人数比是 3：4，未被录取的男、女人
数比是6：5。则来应聘的共有多少人？
A.630 B.720
C.1050 D.1400
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【解析】5.出现比例，优先考虑比例型倍数特性。“来应聘的男、女人数比
是18：17”，男生/女生=18/17，男生人数是18 的倍数，女生人数是17 的倍数，
人数和是 18+17=35 的倍数，35 可以分解成 5*7，B 项：720=700+20，20 不是 7
的倍数，则720不是 7的倍数，说明也不是35的倍数，排除B项；“最后被录取
的有280人，其中男、女人数比是 3：4”，总人数=录取的+未录取的，录取人数
为280人，未被录取的男、女人数比是 6：5，则未录取的人数是 6+5=11 的倍数，
总人数-280=未录取的人数，剩下三个选项-280 依次为 350、770、1120，只有
770是11的倍数，对应 C项。【选C】
【注意】不可以根据 3：4和6：5去做，系数是不同的。
【注意】方程法：
1.普通方程：
（1）核心方法是找等量关系。
（2）设未知数：
①设小不设大（避免分数）。
②设中间量（方便列式）。
③求谁设谁（避免陷阱）。
④出现比例：设份数。比如甲：乙=3：2，设甲为 3x，乙为2x，比较方便计
算。
2.不定方程：一个方程、两个未知数。
（1）比如2x+3y=7，y=-2/3x+7/3，它的解是一条线，线上的每一个点都是
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它的解，有无数组解。比如男生分2块糖，女生分3块，一共分出7块，问男生、
女生各有多少人，人数一定是整数，可以求解，只有当 x、y 为正整数才会解不
定方程。
（2）代入排除。
①奇偶特性：系数一奇一偶。以 2x+3y=7 为例，2 和 3 是系数，x 和 y 是未
知数，7 是常数。系数一奇一偶，考虑奇偶特性，2x 为偶数，7 是奇数，偶数+
奇数=奇数，则3y为奇数，则解得y=1，x=2。
②倍数特性：系数与常数有公因子。3x+5y=18，18 是 3 的倍数，3x 也是 3
的倍数，则 5y 也是 3 的倍数，5 不是 3 的倍数，说明 y 是 3 的倍数，解得 x=1，
y=3。如果不理解的话，原式可以转化成5y=18-3x=3*（6-x），说明5y 是3的倍
数，5不是3的倍数，则 y是3的倍数。
③尾数特性：系数尾数为 0或5。10x+3y=51，10x尾数为0，51的尾数为 1，
说明3y的尾数为1，3*7=21，y=7，x=3。
④直接代入选项。
6.（2023事业单位）某旅行团有游客 58人，将他们按照年龄划分为甲、乙、
丙、丁四档，其中乙档人数比甲档人数的 3倍少 2人，丙档人数是甲档人数的 2
倍，甲档人数是丁档人数的 1.5倍，则这个旅行团中年龄属于乙档的人数为多少
人？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】6.方法一：方程法。旅行团一共 58 人，如果设甲为 x，会出现分
数，设小不设大，设丁档人数为 x，“乙档人数比甲档人数的 3倍少2 人，丙档
人数是甲档人数的2倍，甲档人数是丁档人数的1.5倍”，则丙为3x，甲为1.5x，
乙为 4.5x-2，列式：1.5x+4.5x-2+3x+x=58，58=10x-2，解得 x=6，求乙档的人
数，所求=4.5x-2=27-2=25，对应A项。
方法二：出现倍数（3倍、2倍、1.5倍），考虑比例型倍数特性。问的是乙
档的人数，“乙档人数比甲档人数的 3 倍少 2 人”，即甲*3-2 是乙的人数，转
化为乙+2=3 甲，选项+2 依次为 27、28、29、30，排除 B、C 项；剩二代一，代
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入 D 项：30=3 甲，甲=10，甲档人数是丁档人数的 1.5 倍，甲/丁=1.5，人数必
须为整数，10不能被 1.5整除，排除D项，选择 A项。【选A】
【注意】想得多，算的就会少；想得少，算的就会多。
7.（2022 事业单位）某单位举办员工运动会，包括跑步、跳高、跳绳、拔
河、掷铅球 5 个比赛项目，共 42 人参加了项目，每人只参加一项，已知有 12
人参加跑步项目，参加跳高和跳绳项目人数相同，参加拔河项目人数最多，参加
掷铅球项目人数最少仅有 5人。参加拔河项目的人数为多少人？
A.13 B.14
C.15 D.16
【解析】7.做题时不要抄字，跑步、跳高、跳绳、拔河、掷铅球 5 个比赛项
目依次可以写成：A、B、C、D、E，节约时间。根据题意，A=12，E=5，“参加跳
高和跳绳项目人数相同”，假设B、C人数为x，D的人数为y，列式：42=2x+y+17，
2x+y=25，问拔河的人数，系数一奇一偶，2x 为偶数，25 为奇数，偶数+奇数=
奇数，则y为奇数，排除 B、D项；剩二代一，代入A项：y=13，x=6，符合；不
放心的话，代入C项：y=15，x=5，不满足“参加掷铅球项目人数最少仅有 5人”，
选择A项。【选A】
【注意】不定方程组：两个方程、三个未知数。ax+by+cz=M；ax+b y+cz=N。
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如果x、y、z代表人、车、组、袋，一定是整数。
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1.第一类：未知数一定是整数的不定方程组（求谁留谁）。方法：先消元转
化成不定方程，再按不定方程求解。
2.第二类：未知数不一定是整数的不定方程组。当 x、y、z 代表时间和钱，
时间（几分几秒）和钱（几毛几分）不一定是整数。
（1）特值法（一般赋 0）：可以赋其中1 个未知数为零，从而快速计算出其
他未知数。不用担心这个方法的正确性，x+y+z 的和是正确的。
（2）配系数。
8.（2021 黑龙江公检法司）幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新年
用品。已知大班采购春联 7 副、窗花 12 对、小狗玩偶 5 个，共花费 200 元；中
班采购春联 9 副、窗花 19 对、小狗玩偶 5 个，共花费 224 元。则小班采购春联
10副、窗花10对、小狗玩偶 10个需花费多少元？
A.170 B.176
C.340 D.352
【解析】8.依据题意，假设春联、窗花、小狗分别为 x、y、z，列式：
7x+12y+5z=200①，9x+19y+5z=224②，①*2-②得：5x+5y+5z=400-224，方法是
配系数，比较麻烦。现在追求的是又快又准，可以令 y=0（系数比较大），7x+5z=200，
9x+5z=224，两式相减，解得 x=12，z=23.2，所求=（12+0+23.2）*10=35.2*10=352，
对应D项。【选D】
【随堂练习】（2019 福建事业单位）甲、乙、丙三种货物，若购甲 3件、乙
7 件、丙 1 件，共需 325 元；若购甲 4 件、乙 10 件、丙 1 件，共需 410 元。那
么购甲、乙、丙各1 件，共需多少元？
A.100 B.125
C.135 D.155
【解析】拓展.课堂正确率 85%。根据题意，设甲、乙、丙三种货物单价为 x、
y、z元，列式：3x+7y+z=325，4x+10y+z=410，时间和钱不一定是整数，令 y=0，
两式相减，解得x=85，z=70，所求=85+0+70=155，对应D项。【选D】
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【注意】如果解出来 y=-2，有同学比较担心，无论解出来的 x、y、z 的结
果是什么，都是错的，加和是对的。
【注意】不定方程组：套路题，理清思路，注意细节。
1.形式：ax+by+c z=m；ax+by+cz=n
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2.列式：根据未知数判断类型。
（1）一定为整数。
①第一步，消元→不定方程（求谁不消谁、消系数小/好计算的未知数）
②第二步，数字特性、代入排除。
（2）不一定为整数。
①配系数（可操性不强）。
②赋0法：
a.第一步，让一个未知数为 0（一般赋值系数最大的未知数为 0）。
b.第二步，求出其它。
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【注意】工程问题：
1.给具体单位型（最简单；出现具体的效率或具体的总量，二者出现其一就
属于给具体单位型）：设未知数，找等量关系列方程。如修一条路，每天修 20
米（具体效率），总共搬砖 800块（具体工作量）。
2.给完工时间型：≥2个完工时间。
（1）先赋总量（赋值总量为完工时间的公倍数：不一定是最小公倍数）。
（2）再算效率=总量/时间（效率在手，工程我有）。
（3）根据工作过程列式子或方程。如甲乙先合作两天→2*（甲+乙）；如甲
先干6天→6甲。
3.给效率比例型：给出效率的比例。
（1）先赋效率（满足比例即可）。如甲：乙：丙=5：4：3，赋值甲效率为 5，
乙效率为4，丙效率为 3。
（2）再算总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列式子或方程。
4.一项工程，甲乙合作 8 天完成，如果甲先干 6 天，乙再干 9 天也能完成，
问如果甲先干2天，乙需要干几天：题目给出 4个时间，但只有1个完工时间（8
天）。完工时间：需要干完活，“甲先干 6天”→没有干完活，“乙再干 9天”→9
天也没有干完活，且 6+9=15 天也不是完工时间（属于自行凑的，不是题干给出
的，且也不是完工时间）；完工时间必须是干完活的时间，这段时间内，不管几
个人将活干完就是完工时间，拼接的时间不算完工时间（如 A先干4天、B先干
3天，此时3天、4天、3+4=7天都不是完工时间）。
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9.（2022 事业单位）一批试卷分配给甲、乙两人评阅。如果甲单独评阅，
需30小时才能完成任务。乙单独评阅，需 40 小时才能完成任务。现在他们两人
一起同时开始评阅，经过 25 小时评卷结束。评卷期间甲休息了 7 小时，则乙在
评卷期间休息了多少小时？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】9.“甲单独评阅，需 30 小时才能完成任务。乙单独评阅，需 40
小时才能完成任务”，给出 2 个完工时间，属于给完工时间型工程问题。“经过
25小时评卷结束。评卷期间甲休息了 7小时”，中间出现休息，不是一直在干活，
25小时不属于完工时间。（1）赋总量：赋值总量为完工时间 30、40的公倍数 120
（赋值为240、360、480均可，满足公倍数即可）。（2）求效率：甲效率=120/30=4、
乙效率=120/40=3。（3）根据工作过程列式子或方程：“现在他们两人一起同时
开始评阅，经过25小时评卷结束。评卷期间甲休息了 7小时”，甲做了 18小时，
假设乙做了t小时，4*18+3t=120，3t=48，解得 t=16小时，所求=25-16=9 小时，
对应D项。【选D】
【注意】无需纠结谁先休息、谁后休息，对结果无影响；只要满足 25 小时
干完活即可。
10.（2021北京）农场使用甲、乙两款收割机各 1台收割一片麦田。已知甲
的效率比乙高 25%，如安排甲先工作 3 小时后乙加入，则再工作 18 小时就可以
完成收割任务。如果增加 1 台效率比甲高 40%的丙，3 台收割机同时开始工作，
完成收割任务的用时在以下哪个范围内？
A.8小时以内 B.8～10小时之间
C.10～12小时之间 D.12 小时以上
【解析】10.“已知甲的效率比乙高 25%”，25%=1/4，甲效率：乙效率=5/4；
“增加1台效率比甲高 40%的丙”，40%=2/5，丙效率：甲效率=7：5，则甲效率：
乙效率：丙效率=5：4：7，属于给出效率比例型工程问题。（1）赋效率：甲效率
为5，乙效率为4，丙效率为 7。（2）求总量：“甲先工作 3小时后乙加入，则再
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工作 18 小时就可以完成收割任务”，“乙加入”是指甲和乙合作，总量=甲*3h+
（甲+乙）*18h，代入数据：总量=5*3+9*18=15+162=177。（3）根据工作过程列
式子或方程：所求=177/（5+4+7）=177/16=11+，对应C项。【选C】
11.（2023事业单位）某工厂有甲、乙、丙三人，如将 m个零件的生产任务
交给甲、乙合作，需要 12 天完成；如将 2m 个零件的生产任务交给乙、丙合作，
需要30天完成。已知甲的生产效率是丙的 2倍，则乙独自生产 3m个零件需要多
少天？
A.45 B.54
C.60 D.72
【解析】11.“将 m个零件的生产任务交给甲、乙合作，需要 12天完成；如
将2m个零件的生产任务交给乙、丙合作，需要 30天完成”，给出2个完工时间，
但对应的总量不同，需要进行约分，2m 个零件需要 30 天，则 m 个零件需要 15
天（如赚1万元需要 30天，赚5000元需要15天），给出2个完工时间，属于给
完工时间型工程问题。（1）赋总量：赋值总量 m为完工时间12、15的公倍数 60
（满足公倍数即可，赋值为 120、180均可）。（2）求效率：甲效率+乙效率=60/12=5、
乙效率+丙效率=60/15=4。“甲的生产效率是丙的 2 倍”，假设丙效率为 x，甲
效率为 2x，2x+乙效率=5，x+乙效率=4，两个式子联立，解得 x=1，乙效率=3，
即甲效率为 2、乙效率为 3，丙效率为 1。（3）根据工作过程列式子或方程：所
求=3*60/3=60天，对应 C项。【选C】
【注意】
1.本题也可以赋值求解，但不如方程法更简单。
2.“甲的生产效率是丙的 2 倍”，假设丙效率为 1，甲效率为 2，乙效率为
x，（2+x）*12*2=（1+x）*30，解得x=3，代入后算出 m=60，3m=180，所求=180/3=60
天。
3.方法可能有很多，选择适合自己的方法即可。
12.（2023 事业单位）一项工程由甲、乙两种设备完成，2 台甲设备的工作
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量恰好是 5 台乙设备的工作量。5 台甲设备和 10 台乙设备工作 4 天后，剩余的
工作量恰好是 2 台乙设备 5 天的工作量。那么 10 台甲设备和 5 台乙设备工作 2
天，可完成总工作量的比例是多少？
A.40% B.50%
C.60% D.70%
【解析】12.“2 台甲设备的工作量恰好是 5 台乙设备的工作量”，甲效率
更高，2*甲效率=5*乙效率→甲效率/乙效率=5/2。（1）赋效率：甲效率=5，乙效
率=2。（2）求总量：“5 台甲设备和 10 台乙设备工作 4 天后，剩余的工作量恰
好是 2 台乙设备 5 天的工作量”，总量=（5*5+10*2）*4+（2*2）
*5=45*4+4*5=180+20=200。（3）根据工作过程列式子或方程：“10台甲设备和 5
台乙设备工作 2 天”，完成的工作量=（10*5+5*2）*2=60*2=120，所求
=120/200=60%，对应 C项。【选C】
13.（2021 重庆选调）一项工程，甲单独完成需要 15 天，乙单独完成需要
30天，丙单独完成需要 60天，如果按照甲、乙、丙的顺序交替进行，每人做一
天，那么需要多少天能完成？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】13.“甲单独完成需要 15 天，乙单独完成需要 30 天，丙单独完成
需要 60 天”，给出 3 个完工时间，属于给完工时间型。（1）赋总量：赋值总量
为完工时间 15、30、60 的公倍数 60（赋值为 120 也可以）。（2）求效率：甲效
率=60/15=4、乙效率=60/30=2、丙效率=60/60=1。（3）根据工作过程列式子或方
程：“按照甲、乙、丙的顺序交替进行”，3 天一个循环，一个循环完成的工作
量=4+2+1=7，60/7=8 个周期……4个工作量，4个工作量由甲1天可以完成，所
求=8*3+1=25天，对应 A项。【选A】
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【注意】假设剩余 6 个工作量，甲 1 天干 4 个工作量，此时再由乙做 1 天，
则需要26天完成。
牛吃草
识别：有增长有消耗，出现排比句
变形：抽水机抽水、挖沙机挖沙、窗口售票
公式：Y=（N-X）T
Y：原有草量——消耗量
N：牛吃草的效率——消耗
X：草生长的效率——生长
T：牛吃草的时间——消耗时间
注意：牛吃草的效率一般用牛头数来表示，即赋值每头牛效率为 1
方法：
①利用排比解出 X、Y；
②结合具体问题求解
【注意】牛吃草：
1.识别：有增长有消耗（消耗＞增长），出现排比句。林老师每天吃 15 元/
个的手抓饼，但每天只有 10元的零花钱，林老师每个月有 200元的私房钱，200=
（15-10）*40天，说明 200元可以撑40天。“15”是每天花的钱，“10”是每
天的零花钱，“15-10”属于净减少（每天往里搭 5元），“200元”为老本，本
质就是老本能撑几天。牛吃草：牛每天在吃草，草每天在生长，牛吃的更快，牛
每天吃8斤，草每天长 5斤，净减少为8-5=3斤，草场原有 3000斤，3000=3*1000
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天，说明1000天后就没有草了，老本早晚有一天能被吃完。
2.变形：抽水机抽水（同时开进水管和出水管）、挖沙机挖沙（挖掘机边挖
泥沙，泥沙也会越来越多）、窗口售票（排队，每分钟队伍会增加一部分人，窗
口卖票会减少人；卖票的速度比来的人快，队伍迟早会没，如一分钟来 2 个人，
但卖3张票→走3个人，队伍就会少 1个人）。
3.公式：Y=（N-X）*T。“N-X”为净亏损、净减少。排比句：给出 N 、T，
1 1
给出N、T（如3头牛可以吃 18天、4头牛可以吃 12天；8台挖掘机需要 20天，
2 2
9台挖掘机需要15天）。
（1）Y：原有草量——消耗量（可供消耗的量，如水池有 200L 水，同时开
进水管和出水管）。
（2）N：牛吃草的效率——消耗（牛的头数）。
（3）X：草生长的效率——生长。
（4）T：牛吃草的时间——消耗时间。
4.注意：牛吃草的效率一般用牛头数来表示，即赋值每头牛效率为 1。
5.方法：
（1）利用排比解出 X、Y。
（2）结合具体问题求解。
引例.牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片青
草可供10头牛吃20 天；供15头牛吃10天。问供 25头牛，可以吃几天？
A.5 B.6
C.4 D.3
【解析】拓展.“牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长”，有增长、有消耗；
“青草可供10头牛吃 20天；供15头牛吃10 天”，给出N、T，给出 N、T，要
1 1 2 2
么给出 N 求 T，要么给出 T 求 N。公式：Y=（N-x）*T。（10-x）*20=（15-x）
3 3 3 3
*10，先约分，（10-x）*2=（15-x）*1，20-2x=15-x，解得 x=5，代入原式，Y=
（10-5）*20=100，问“供25头牛，可以吃几天”，100=（25-5）*T，解得 T=5
3 3
天，对应A项。【选 A】
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【注意】Y和x 往往是不变的。
14.（2020广东）某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等
候领取证书，且每分钟新增的人数一样多。从开始办理业务到排队等候的人全部
领到证书，若同时开 5个发证窗口就需要1个小时，若同时开 6个发证窗口就需
要40分钟。按照每个窗口给每个人发证书需要 1分钟计算，如果想要在 20分钟
内将排队等候的人的证书全部发完，则需同时开多少个发证窗口？
A.7 B.8
C.9 D.10
【解析】14.“每分钟新增的人数一样多”，队伍每分钟会变多，出现增加；
“从开始办理业务到排队等候的人全部领到证书”，办理业务会让队伍的人变少，
出现减少，“若同时开 5个发证窗口就需要1 个小时，若同时开6个发证窗口就
需要40分钟”，类比5头牛需要1小时将草吃完，6头牛需要40分钟将草吃完，
有增长、有消耗，且出现排比句，为牛吃草问题；公式：Y=（N-x）*T。代入数
据：1 小时=60 分钟，（5-x）*60=（6-x）*40，先约分，（5-x）*3=（6-x）*2，
15-3x=12-2x，解得 x=3，代入原式，Y=（5-3）*60=120；问“想要在 20分钟内
将排队等候的人的证书全部发完，则需同时开多少个发证窗口”，120=（N-3）
*20，解得N=9，对应 C项。【选C】
15.（2022江苏）某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小
时新增前来接种疫苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：若开
8个接种台，6小时后不再有人排队；若开 12个接种台，3小时后不再有人排队。
如果每小时新增的市民人数比假设的多25%，那么为保证2小时后不再有人排队，
需开接种台的数量至少为：
A.14个 B.15 个
C.16个 D.17 个
【解析】15.“每小时新增前来接种疫苗的市民人数相同”，出现增长（每
小时会来一部分人）；接种台接种完疫苗人数减少→出现消耗，且出现排比句（类
比 8 头牛需要 6 小时将草吃完，12 头牛需要 3 小时将草吃完），为牛吃草问题。
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公式：Y=（N-x）*T。代入数据：（8-x）*6=（12-x）*3，先约分，（8-x）*2=（12-x）
*1，16-2x=12-x，解得x=4，Y=（8-4）*6=24；问“如果每小时新增的市民人数
比假设的多25%，那么为保证 2小时后不再有人排队，需开接种台的数量至少为
多少个”，x=4*（1+25%）=5，24=（N-5）*2，解得N=17，对应D项。【选D】
【注意】
1.本题是近五年中牛吃草问题最难的题目。
2.王氏集团有 200 亿，王公子每天花费 2 万元，他的父亲每天给他 1 万元，
净亏损2-1=1万元，Y→原有量200亿元不变。
3.Y 和 x 是不变量、定值，给出 N、T，给出 N、T，要么给出 N 求 T，要
1 1 2 2 3 3
么给出T 求N。
3 3
【注意】经济利润问题：
1.基础经济：需要记忆。
（1）常见公式：
①利润=售价-进价。
②利润率=利润/进价。
③折扣=折后价/折前价。
④总价=单价*数量。
⑤总利润=单件利润*数量。
（2）解题方法：方程法（给出具体金额，无论是成本、利润、售价，给出
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一个具体的金额就使用方程法；如给出售价 100、利润 20、成本 80，出现任意
一个都使用方程法）、赋值法（无具体金额，售价增长 3%→赋值去年为 100，今
年为 103；今年成本下降 1/7→赋值去年成本为 7，今年成本为 6），售价-进价=
利润，题干描述的是谁就对谁赋值，往往会给出 1个比例，求的也是比例（给比
例、求比例）。
（3）列表法：不推荐。缺点是太慢，即使有再多优点也掩盖不了致命的缺
点（慢）。
2.分段计费：一根线段走天下，考查分段计费就画线段，如何描述就如何画。
如 0～5000 不收费、5000～8000 收费 10%，8000～12000 收费 20%，画出标准即
可算出答案。
（1）常见题型：水电费、出租车费、税费等。
（2）解题方法：分段计算、汇总求和。
3.函数最值：套路题。
（1）特征：单价和数量此消彼长；求最大利润或总价。
（2）方法：两点式。
16.（2021事业单位）某鲜花店购进一批玫瑰，已知单支玫瑰进价 1 元，按
定价5元销售了70%后，再以定价的4折销售剩余玫瑰，全部售完后共盈利 3100
元，则该花店共购进玫瑰多少支？
A.900 B.1000
C.1200 D.1500
【解析】16.经济利润问题，出现具体金额，使用方程法。出现等量关系“共
盈利 3100 元”，近几年经济利润问题往往考查一批货分开卖的情况，虽然没有
时间列表，但可以分批计算。进价 1元，设共购进玫瑰 x支，第一批售出 0.7x，
第二批售出0.3x，第一批售价为 5元，第二批售价为 5*0.4=2元，5*0.7x=3.5x，
2*0.3x=0.6x，总售价=3.5x+0.6x=4.1x，总成本=1*x=x，售价-成本=利润，
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4.1x-x=3.1x=3100，解得 x=1000，对应B项。【选B】
17.（2021北京）一种设备打九折出售，销售 12件与原价出售销售 10件时
获利相同。已知这种设备的进价为 50元/件，其他成本为 10元/件。问如打八折
出售，1万元最多可以买多少件？
A.80 B.83
C.86 D.90
【解析】17.出现具体金额，使用方程法。根据“获利相同”建立等量关系，
“一种设备打九折出售，销售 12件与原价出售销售 10件时获利相同”是指打9
折销售12件赚的钱与原价不打折销售10件赚的钱相同，总利润=单利*数量，成
本=50+10=60元，售价未知，假设售价为 x，不打折每件的利润=x-60，打 9折每
件的利润=0.9x-60；“一种设备打九折出售，销售 12件与原价出售销售 10件时
获利相同”，（x-60）*10=（0.9x-60）*12，10x-600=10.8x-720，0.8x=120，解
得x=150，打八折售价=150*0.8=120元，所求=10000/120=83.X，对应 B项。【选
B】
【注意】已知1/12≈8.3%，则10000/120≈83。
18.（2023 湖北选调）一家超市按 20%的利润率定价出售一批酸奶，还剩下
10 箱时，因临近保质期按定价的五折卖出，最终实际获利只有预计获利的 88%。
则这批酸奶共有多少箱？
A.200 B.240
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C.250 D.270
【解析】18.方法一：没有出现具体金额，使用赋值法。“按 20%的利润率
定价出售一批酸奶”，已知利润率为 20%，为了方便计算，赋值进价为 10 元，
定价为10*（1+20%）=12元，打五折的售价=12*0.5=6 元，分两批售卖，假设总
共有N箱酸奶，第一批按照原价售出 N-10箱，第二批按照 6元售出10 箱，总售
价=12*（N-10）+6*10=12N-60，实际利润=12N-60-10N=2N-60，预计利润=（12-10）
*N=2N，列式：（2N-60）/2N=88%，2N-60=1.76N，解得N=250，对应C 项。
方法二：“最终实际获利只有预计获利的 88%”，由于有 10 箱原计划卖 12
元，现打折卖 6 元，少赚 6*10=60 元，60 元对应预计利润的 12%，60/预计利润
=12%，预计利润=500，预计一箱赚2元，所求=500/2=250，对应C项。【选C】
19.（2020浙江选调）某停车场的收费标准如下：7：00—21：00，每小时 6
元，不足一小时按一小时计算；21：00—次日7：00，每两小时1元，不足两小
时按两小时计算；每日零时为新的计费周期，重新开始计时。小刘某天上午 10
时将车驶入停车场，待其驶出时缴费 70元，则小刘停车时长 t的范围是：
A.14小时＜t≤16小时 B.15 小时＜t≤17小时
C.16小时＜t≤18小时 D.17 小时＜t≤19小时
【解析】19.分段计费问题，一条线段走天下。“每日零时为新的计费周期”，
24：00 时算出前边的账单，之后重新计算。7：00～21：00，每小时 6 元；21：
00～24：00，1 元/2h；24：00～7：00，1 元/2h。已知“小刘某天上午 10 时将
车驶入停车场”，10：00～21：00 共 11 小时，收费 11*6=66 元；21：00～24：
00 总共 3h，每两小时 1 元，不足两小时按两小时计算，则收费 2 元，此时还剩
余70-66-2=2元，则可以再停 2～4小时，对应 C项。【选C】
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20.（2023事业单位）某电脑制造厂商生产销售一批电脑。每台电脑成本价
格为 4499 元，销售价格为 5699 元。某单位以销售原价购买 20 台电脑，在此基
础上，若销售价格每降低 100元，就多购买2 台。则该电脑制造厂商在该笔交易
中可获得的最大利润为多少元？
A.24200 B.24000
C.36000 D.31200
【解析】20.“若销售价格每降低 100 元，就多购买 2 台”，价格和销量此
消彼长（涨价卖的少，降价卖的多），函数最值问题。问“最大利润”，最大利
润=单件利润*数量，原来每件利润=5699-4499=1200 元，设降价的次数为 x，最
大利润=（1200-100x）*（20+2x），令两个括号分别为 0，解得 x=12、x=-10，
1 2
当x=（x+x）/2=（12-10）/2=1时取得最值，所求=（1200-100*1）*（20+2*1）
1 2
=1100*22=24200，对应 A项。【选A】
【注意】函数图像与 x 轴产生两个交点（一正一负），两个交点的中间值为
对称轴→对应最大值。
数学猜题小技巧
猜题有风险，下手需谨慎
1.有时间能做尽量做
2.没时间，万不得已的情况下，只能猜——尽可能保证正确率！
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【注意】猜题有风险，下手需谨慎：考场中没有人能做完行测试卷。
1.有时间能做尽量做。
2.没时间，万不得已的情况下，只能猜（有依据的猜题）——尽可能保证正
确率。
根据选项猜题
如果你是出题人……
1.四个选项，是自己随便出的吗？
2.为什么有时候做错了题，选项里却有呢？
【注意】根据选项猜题：如果你是出题人。
1.四个选项，是自己随便出的吗：并不是。
2.为什么有时候做错了题，选项里却有呢：核对答案的时候才清楚做错，但
做题时不清楚自己做错。
3.如果四个选项中 A 项是答案，将自己假装为学生，看学生如何出错，如
12608/（1+6.1%）=12608/1.061，按计算器算出“12608/1.61”作为坑选项，预
测学生会错在哪。资料分析的考点“多几倍=是几倍-1=A/B-1”，若选项存在 7.8、
7.4、7.0、6.8 时，建议选“6.8”，大概率会将“是几倍”也放在选项中，利
用出题人的“坑”反向猜题。
看选项猜题
读问题，找条件，看选项。
1.根据倍数关系猜题
2.根据和差关系猜题
【注意】看选项猜题：读问题，找条件，看选项。
1.根据倍数关系猜题。如行程问题中，要求 V ，往往会将V 也放在选项中。
乙 甲
2.根据和差关系猜题。
【引例】（2018 上海）大小两个玻璃瓶装着芝麻，如果将小瓶子里的芝麻全
部倒入大瓶子，大瓶子还可以装 45 克；如果将大瓶子里的芝麻倒入小瓶子，大
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瓶子里还剩下455克。已知大瓶子的容积是小瓶子的 2倍，则大瓶子最多可装芝
麻多少克？
A.1000 B.850
C.750 D.500
【解析】拓展.问“大瓶子最多可装芝麻多少克”，已知“大瓶子的容积是
小瓶子的 2 倍”，猜测小瓶子、大瓶子都在选项中，结合选项，A、D 项之间存
在2倍关系，猜测A 项为大瓶子，D项为小瓶子，猜测 A项。【选A】
【例1】（2019国考）甲车上午 8点从A地出发匀速开往 B地，出发 30分钟
后乙车从 A 地出发以甲车 2 倍的速度前往 B 地，并在距离 B 地 10 千米时追上甲
车。如乙车9点10分到达 B地，问甲车的速度为多少千米/小时？
A.30 B.36
C.45 D.60
【解析】1.问 V ，大概率会将 V 放在选项中，“乙车从 A 地出发以甲车 2
甲 乙
倍的速度前往B地”，结合选项，A、D项之间存在 2倍关系，速度大的对应乙车，
速度小的对应甲车，猜测 A项。【选A】
【例 2】（2018 国考）将一块长 24 厘米、宽 16 厘米的木板分割成一个正方
形和两个相同的圆形，其余部分弃去不用。在弃去不用的部分面积最小的情况下，
圆的半径为多少厘米？
A.3√2 B.2√2
C.8 D.4
【解析】2.问“圆的半径”，大概率会将直径作为坑，结合选项，C、D 项
之间存在2倍关系，猜测 D项为半径。【选D】
【例 3】（2023 联考）某村拟建造一个容积为 144 立方米，深度为 4 米的长
方体无盖蓄水池。为节约成本，侧面积最小为多少平方米？
A.24 B.36
C.96 D.132
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【解析】3.问水池的侧面积，由于无盖说明只有 5个面，5个面中有 4个面
为侧面，A、C项之间存在 4倍关系，A项为一个侧面的面积，C项为 4 个侧面的
面积，猜测C项。【选 C】
【注意】A 项为 1 个侧面面积，B 项为底面面积，C 项为 4 个侧面面积，D
项为总面积。
看选项猜题
读问题，找条件，看选项。
1.根据倍数关系猜题
2.根据和差关系猜题
【注意】看选项猜题：读问题，找条件，看选项。
1.根据倍数关系猜题。
2.根据和差关系猜题。
【引例】（2017 新疆兵团）小明参加某趣味问答竞赛，一共 50 题，满分是
100分，60分及格。答对一题得2分，答错一题扣 2分。结果小明答完所有题目
但是没有及格。小明最后发现，如果自己多答对 2题就刚好及格。那么小明一共
答错了多少题？
A.12 B.20
C.34 D.38
【解析】拓展.答对的题目+答错的题目=50，问答错的题目数，可能会将答
对的题目数作为坑，结合选项，A、D 项加和为 50，“如果自己多答对 2 题就刚
好及格”，说明答对的更多，答错的更少，猜测 A项。【选A】
【例 1】（2017 广州）某车间安排了若干工人加工甲、乙两种零件，每个工
人每天可加工甲零件 15个，或者加工乙零件 10个。某种仪器每套需配有甲零件
2个和乙零件3个。已知只安排 8个工人加工甲零件。要使每天加工的零件恰好
配套，该车间安排了（ ）个工人加工甲、乙两种零件。
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A.18 B.21
C.23 D.26
【解析】1.已知甲有 8个工人，所求=甲+乙，结合选项，A、D项之间相差 8，
18为加工乙零件的人数，26为总人数，猜测 D项。【选D】
【例2】（2021江苏）已知 2017年、2018 年和2019年全球共发射卫星 1132
颗，2019 年发射的卫星数量是 2017 年的 1.5 倍还多 2 颗，2018 年比 2017 年多
31颗，则2019年全球共发射卫星：
A.314颗 B.345 颗
C.452颗 D.473 颗
【解析】2.问2019年，2017、2018年可能为坑，“2018年比2017 年多31
颗”，发现A、B项之间相差 31，说明其中一个是 2017年、一个是2018 年，所
求=1132-314-345=尾 3，对应D项。【选D】
【注意】“2019 年发射的卫星数量是 2017 年的 1.5 倍还多 2 颗”，
314*1.5+2=473。
【例 3】（2020 浙江）某学校要将全体运动员排成方阵，老师按人数粗略估
计进行第一次排列，发现多出 99人，于是又将每行和每列多加了 4人进行排列，
发现缺少37人。问学校共有运动员多少人？
A.256 B.289
C.324 D.361
【解析】3.“将每行和每列多加了 4 人进行排列，发现缺少 37 人”，C、D
项之间相差37人，方阵中没有这 37人，说明缺少 37人，猜测C项。【选 C】
当你觉得不行的时候，就走在斑马线上
这样你就成为了一个行人
若有问题：微博（粉笔林凡）私信或明晚课前 10分钟答疑
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【答案汇总】
1-5：ABCAC；6-10：AADDC；11-15：CCACD；16-20：BBCCA
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遇见不一样的自己
Be your better self
28
