文档内容
强化提升-数资 4
（讲义+笔记）
主讲教师：林凡
授课时间：2024.04.08
粉笔公考·官方微信强化提升-数资 4（笔记）
目录
一、强化四重点讲解
二、数学猜题技巧-2
三、考场的做题顺序
【注意】目录：本节课是强化数资阶段的最后一节课。
1.强化四重点讲解。
2.数学猜题技巧 2。
3.整个行测考场的做题顺序，可能会略拖一点堂。
【注意】行程问题：在国考中的地位比较高。
1.普通行程：
（1）基本公式：路程=速度*时间（S=V*t）；掌握单位换算：1m/s=3.6km/h。
（2）平均速度（有两个特殊题型）：平均速度=总路程/总时间。通常有两种
考法：
①第一种是出现匀变速，强调加速度一定，平均速度=（初速度+末速度）/2
→V̅=（V+V ）/2。例如林老师开着小米 su7从速度0提速到 60km/h，平均速度
0 末
1=（0+60）/2=30km/h；从60km/h降速到 30km/h，平均速度=（60+30）/2=45km/h
②等距离平均速度V̅=2V*V/（V+V）。
1 2 1 2
a.主要适用于往返问题、上下坡问题。例如去（上学）的速度为V、回（放
1
学）的速度为 V，则平均速度=2V*V /（V+V）。
2 1 2 1 2
b.如果一道题是一段上坡+一段平路，给了 V 、V 、V ，且是往返问题，
上 下 平
则全程的平均速度=平路速度，把该结论背下来。
（3）火车过桥：
①火车完全通过桥（从车头上桥到车尾离开）：路程=桥长+车长。
②火车完全在桥上（从车尾上桥到车头离开）：路程=桥长-车长。
③假设车长 60米，桥长 100米，则火车完全通过桥的路程=100+60=160米，
火车完全在桥上的路程=100-60=40 米。
2.相对行程（近几年非常喜欢考）：
（1）相遇、追及（本质）：
①相遇（面对面）：S =V *t =（V+V）*t 。相遇的本质是两个人一共走
和 和 遇 1 2 遇
这么远。例如我们俩之间的距离是 800米，你500米，我走300米，我们可以相
遇。
②追及（快追慢）：S =V *t =（V-V）*t 。追及的本质是快的比慢的多
差 差 追 1 2 遇
走这么远。例如我们之间的距离是 300 米，你往右走 60 米，我往右走 360 米就
可以追上，不管在哪个点追上，我永远比你多走 300米。
2（2）多次运动：
①环形第 n次相遇：n 圈=V *t （共走几圈）。本质跟直线相遇一样，一共
和 遇
走这么远。
a.比如环形 400 米的跑道，一个往左、一个往右，你走 300 米，我走 100
米，就会相遇；加起来走够 400 米就会相遇；甚至夸张一点，你走 6 米，我走
394 米，也能相遇；加起来凑够 1 圈，相遇 1 次，加起来凑够 3 圈，相遇 3 次。
b.假设 400 米的跑道，两个人反向走，一个人走了 2200 米，另一个人走了
1600 米，2200+1600=3800 米，3800/4→首位商 9，两个人相遇 9 次；假设两人
共走了3999米，即使差 1米，也是相遇 9次。
②环形第 n次追及：n圈=V *t （多走几圈）。本质是快的比慢的多走几圈，
差 追
比如400米的跑道，慢的人跑 50米，快的人跑 4500米，我比你多 400米（1圈），
多1圈就追上 1次，多 3圈追上3次、多5圈追上5次。例如 400米的跑道，两
人同时往右走，一个人走了 3800 米，另一个人走了 1600 米，多跑了 2200 米，
则追上2200/400≈5次。
3③线形两端出发第 n次相遇：（2n-1）*S=V *t 。甲从 A出发往右走、乙从
和 遇
B出发往左走，两人同时出发面对面相向而行，已知 AB=S，从出发到第一次相遇
的点1’，两人一共走了一个S；相遇后不停，两人继续往前走，到达对方的位置
立即返回，第二次相遇的点 2’，从 1’到2’又走了2S，此时从出发到第二次相
遇一共走了S+2S=3S；同理，从出发到第三次相遇，共走了5S；故相遇n次是（2n-1）
*S，n 是相遇次数，S 是 AB 的距离（实在不明白可以直接背结论）。如果问两人
从出发一共相遇 4次，则一共走了 7S。
④线形一端出发第 n次相遇：2nS=V *t 。甲、乙都从 A点出发，甲到达 B
和 遇
点立即返回，与乙迎面相遇，从出发到第一次相遇是 2S，此后的每一次相遇都
是2S，公式：2nS=V *t 。
和 遇
⑤直接记忆：两端出发是（2n-1）S，一端出发是 2nS；多次相遇国考已经
四年没有考过了，所以不作为重点。真正的重点是相遇、追及、环形相遇、环形
4追及，这两年考频较高。
（3）流水行船：水本身有速度，V 是船在静水中的速度，V 是水流速度。
船 水
①顺水：S=（V +V ）*t 。
船 水 顺
②逆水：S=（V -V ）*t 。
船 水 逆
③补充结论：V =（V +V ）/2，V =（V -V ）/2。
船 顺 逆 水 顺 逆
1.（2023 广东）某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，
最后竞走到达终点。一位选手在上午 7 点出发，9 点到达了终点，全程未休息，
其蛙跳、游泳和竞走的速度分别为每小时 2千米、3千米和 6千米。如果蛙跳和
竞走的路程相同，则所有项目的总路程是：
A.无法计算 B.6千米
C.8千米 D.12千米
【解析】1.方法一：“7 点出发，9 点到达了终点”→走了 2 小时；题目给
了三段的速度，但是没有给每一段的时间，由于蛙跳和竞走的路程相同，可以利
用等距离平均速度公式，第一段 S 是蛙跳，第二段 S 是游泳，第三段竞走也是
1 2
S，蛙跳和竞争的平均速度=2*2*6/（2+6）=24/8=3，而游泳的速度也是 3，说明
1
全程的平均速度就是 3；则S=V*t=3*2=6km，对应B项。
方法二：极限思维。题目给了三段：蛙跳、游泳和竞走，蛙跳和竞走的距离
相等，题目没有给三段分别的距离，假设蛙跳和竞走的距离无限小，则全程几乎
都是游泳，S=3*2=6km；如果假设游泳无限小，令蛙跳和竞走的距离为 S，则
S/2+S/6=2，解得 S=3，全程=3+3=6，对应B项。【选B】
52.（2020 事业单位）甲骑车从 A地前往3千米外的 B地，出发时均匀加速，
骑行到一半路程时的速度为 30千米/小时。此后均匀减速，到达 B地时的速度为
20千米/小时。则甲全程用时为多少分钟？
A.不到9 分30秒 B.9分30秒～10 分之间
C.10分～10分30秒之间 D.超过10分30 秒
【解析】2.“出发时均匀加速”说明初速度 V=0、末速度 V=30，且均匀加
1 2
上，则V̅=15，前半段路程为 1.5km，可得 t=1.5km/15=0.1h=6 分钟；“此后均匀
1
减速”的初速度 V=30、末速度 V=20，则V̅=（30+20）/2=25，后半段路程为 1.5km，
2 3
可得 t=1.5km/25=0.06h=3.6 分钟；所求=6+3.6=9.6 分钟=9 分钟 36 秒，对应 B
2
项。【选B】
【注意】加速度 a一定（匀加速或者匀减速运动），V̅=（V +V ）/2。
初 末
比例行程
6三量关系：路程=速度*时间
路程一定（相同），速度与时间成反比
速度一定（相同），路程与时间成正比
时间一定（相同），路程与速度成正比
【注意】比例行程的三量关系：路程=速度*时间。
1.路程一定（相同），速度与时间成反比（S 一定，V 与 t 成反比）。同样的
路程，速度越快用的时间越短。
2.速度一定（相同），路程与时间成正比。
3.时间一定（相同），路程与速度成正比。
3.（2023 联考）为加快推进县域交通基础设施内畅外联、互联互通，A、B
两地新修建了一条高速公路。甲、乙两辆汽车在这条高速公路上同时从 A、B 两
地相向开出，甲车每小时行驶 74 千米，乙车每小时行驶 65千米，两车在距中点
18千米处相遇。这条连通 A、B两地的高速公路全长是：
A.139千米 B.256千米
C.278千米 D.556千米
【解析】3.“相向”即面对面，甲车每小时行驶 74 千米，乙车每小时行驶
65千米，两车在距中点 18千米处相遇，由于甲的速度快，所以相遇的地点在中
点的右边。令甲走的路程为 S =S/2+18、乙走的路程为 S =S/2-18，则 S -S
甲 乙 甲 乙
=36，根据S=V*t 可列式：74t-65t=36→9t=36→t=4h，说明两人从出发到相遇一
共走了4h。S =V *t=（74+65）*4=139*4=556，对应D 项。【选D】
和 和
7【注意】例如我比 1.8 米高 2 厘米→我 1.82 米，你比 1.8 米低 2 厘米→你
1.78 米，则咱们两差 2 厘米；故 A、B 两车在距中点 18 千米处相遇，假设全长
为100，一半是50，则我走了50+18=68，你走了50-18=32，我们俩相差68-32=36。
4.（2023 事业单位）甲、乙两运动员在周长为 400 米的环形跑道上同向竞
走，已知乙的平均速度是每分钟 80 米，甲的平均速度是乙的 1.25倍。如果甲在
乙前面100米处，则经过多少分钟后，甲第一次追上乙？
A.15 B.18
C.20 D.24
【解析】4.“同向竞走”是追及，追及的本质是快追慢，我比你多走几圈；
已知V =80，则 V =1.25*V =100。由于甲在乙前面 100米处，做一种极限假设，
乙 甲 乙
如果乙站着不动，甲走300米就能追上乙，如果乙动，假设乙走了 3米，则甲需
要走3+300米，即S -S =300→100t-80t=20t=300→t=15，对应A项。【选】
甲 乙
【注意】追及的本质是快的比慢的多走的，假设我们两人开始时相距60米，
你往前跑了 30 米，则我需要跑 60+30=90 米就能追上你，因为我比你多 60 米；
8你往前跑了 300 米，则我需要跑 60+300=360 米就能追上你，因为我比你多 60
米；不管你跑多远，我只要比你多跑 60 米，把最初差的这段追回来就行了，两
人差的永远是 60。
5.（2020 山东）甲、乙两人在一条 400 米的环形跑道上从相距 200 米的位
置出发，同向匀速跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了 2000 米。则甲的速
度是乙的多少倍？
A.1.2 B.1.5
C.1.6 D.2.0
【解析】5.跑道长400米，甲和乙在跑道相距 200米的位置出发，说明两人
在跑道对立的位置上。甲第一次追上乙：只需要追半圈，甲需要比乙多走 200
米；甲第二次追上乙：需要多跑 1 圈，即多跑 400 米；同理，甲第三次追上乙：
需要多跑1圈，即多跑 400米；则 S -S =400+400+200=1000 米。“甲第三次追
甲 乙
上乙的时候，乙跑了 2000 米”，S =2000 米，说明 S =3000；t 一定，S 和 V
乙 甲
成正比，则V /V =3000/2000=3/2=1.5，对应B项。【选 B】
甲 乙
96.（2021 新疆）甲、乙两地分别为一条河流的上下游，两地相距 360千米，
A 船往返需要 35 小时，其中从甲地到乙地的时间比从乙地到甲地的时间短 5 小
时。B船在静水中的速度为 12千米每小时。则其从甲地开往乙地需要多少小时？
A.12 B.20
C.24 D.40
【解析】6.“甲、乙两地分别为一条河流的上下游”说明甲是上游、乙是下
游；“A 船往返需要 35 小时，其中从甲地到乙地的时间比从乙地到甲地的时间
短5小时”，对于A船来说，t =15h、t =20h；已知路程和时间，可得V =360/15=24，
顺 逆 顺
V =360/20=18。有顺流速度和逆流速度，可以直接求出船速和水速，V =（24+18）
逆 船
/2=21，V =（24-18）/2=3。A船和 B船不一样，但水是一样的，说明水速一样；
水
对于B船来说，V =3，根据题意可知V =12，问的是从甲到乙，是顺流，V =12+3=15，
水 船 顺
则t=360/15=24，对应C项。【选 C】
B
【注意】建议大家课后再把行程问题的精讲课听一下。
10【注意】几何问题（重要）：近几年非常火，建议大家要做一做；现在考查
的几何的难度一定小于高中的难度，难度约等于初中的难度，所以对大家来说，
几何一定要挑一挑。公式运用：
1.规则图形直接用公式。
2.不规则图形先转化为规则图形，再用公式。
【注意】几何公式：所有几何的重要公式大家都需要掌握。
1.周长：
（1）正方形→4a，长方形→2（a+b）；圆形→2πR，弧长→2πR*n°/360°。
（2）重点记长方形和圆形的周长公式，弧长公式基本不考。
2.面积：
（1）正方形→a²，长方形→ab，三角形→ah/2，圆形→πR²，扇形→πR²
*n°/360°，梯形→（a+b）/2*h，菱形→对角线乘积/2。
（2）考查较多，所有都要会，菱形和扇形了解即可。
3.表面积：
（1）正方体→6a²，长方体→2（ab+bc+ac），圆柱→2πR²+2πRh，球体→4
πR²。
（2）重点记圆柱体，上下两个圆（2πR²）+侧面积（展开是矩形，2πR*h）。
4.体积：
（1）正方体→a³，长方体→abc，柱体→Sh，锥体→（1/3）Sh，球体→（4/3）
11πR³。
（2）只要是柱体，体积都是 Sh；无论是圆锥还是棱锥、三棱锥，只要是锥
体，体积都是（1/3）Sh。
5.这些公式都会就可以做一些基础的几何。
【注意】三角形相关：十道几何题，三角占一半，三角形占整个几何的半壁
江山，一般考查等腰三角形、直角三角形。
1.基础知识：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
2.直角三角形：
（1）勾股定理：
①a²+b²=c²。
②特殊勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）。重点记忆（3n、4n、
5n）、（5n、12n、13n），考频最高。如果在考场上看到一个三角形长得像三角形，
不用证明，就把它当成直角三角形；假设给出其中一条边为 9，直接猜测另两条
边为 12、15；如果直角三角形中一条边为 5，则猜测（3、4、5）或者（5、12、
13）。
（2）特殊三角形：
①30°、60°、90°三边比例=1：√3：2（30°角对应的直角边是斜边的一
半）。
②45°、45°、90°三边比例=1：1：√2。
12③考场上求直角三角形面积的题目，如果有 45°，猜带√2的；如果有30°，
猜带√3的。
④120°角对应的等腰三角形三边比为 1：1：√3。
3.面积相关：
（1）底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比。
（2）相似三角形：对应边长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方，
体积比等于相似比的立方。如果两个三角形相似，边长比为 1：3，则面积比为 1：
9，体积比为1：27。
137.（2024 浙江网友回忆版）一块空地如图所示，AD、BC 均与底边垂直，三
角形 ACD 为等腰直角三角形，且 AG、DE、CF 长度均相等。现在图中阴影部分种
上草皮，已知 DF长80米，BC长160 米，那么草皮面积为多少平方米？
A.3200 B.3600
C.4000 D.4800
【解析】7.“三角形ACD为等腰直角三角形”说明 AD=CD；且 AG=DE=CF。已
知 DF 为 80 米，BC 为 160 米，求的是阴影部分的面积。阴影部分包含两个三角
形，S =S +S 。令 DE=CF=AG=x，DF=80，则 CD=AD=80-x，可得△GEC 的底
阴影 △GEC △BCF
CE=80，则高 GD=AD-AG=80-x-x=80-2x，S =1/2*80*（80-2x）=40*（80-2x）；
△GEC
S =1/2*x*160=80x；则 S =S +S =40*（80-2x）+80x=3200-80x+80x=3200，
△BCF 阴影 △GEC △BCF
对应A项。【选 A】
148.（2022 事业单位）某兴趣小组进行科学实验。在一个长方体的容器中注
入 5 厘米深的液体，已知这个长方体容器长 45 厘米，宽 35 厘米，高 15 厘米。
现将长方体容器内的液体全部倒入一个圆柱体容器内，已知圆柱体底圆半径为
20厘米，则圆柱体容器内的液体高度约为多少厘米？
A.5.2 B.6.3
C.7.1 D.8.0
【解析】8.本题考查体积不变。V =S *h，已知长方体容器的长为 45 厘
长方体 底
米，宽为 35 厘米，注入液体的高为 5 厘米，则 V =45*35*5；倒入圆柱体容器
液体
内，V =S *h，S =π*20²=400π，则 h =45*35*5/400π，先约分，
柱体 底 底 圆柱
h=45*7/16=314/16π，π在考场上取 3.14，则 h≈315/16*3.14≈100/16，1/16
≈6.3%，则100/16≈100*6.3%=6.3，对应B项。【选B】
【注意】做题的时候不一定非得把 45*35*5算出来，它最终还要用来求别的
数据，可以作为式子保留在这里。
9.（2022 联考）某疫苗共需接种 2剂次方可达到最佳效果。A市的接种人数
占比统计如下图所示，其中，区域“0”表示尚未接种，区域“1”表示只接种 1
剂次，区域“2”表示已接种 2 剂次。假设 ABC 是四分之一圆面，D、E 是中点，
BDFE是正方形，则该市该疫苗只接种 1剂次的人数占比：
15A.超过40%但不到50% B.刚好50%
C.超过50%但不到60% D.超过60%
【解析】9.前几年联考比较喜欢考查的一类题，属于几何 2.0 时代的题目，
即求面积，用尺子量不出来。求 S/S ；但是S 不规则，没法求面积，此时需要
1 总 1
用到割补法，S=S -S-S。为了好算，假设 BE=DE=DF=EF=1，则圆的半径为 2，
1 总 0 2
则S =1/4*S =1/4*π*2²=π。S=1*1=1，S=0.5，则S ≈3.14-1.5=1.64。所求
总 圆 0 2 1
=1.64/3.14＞50%，首位商不到6，在 C项的范围内。【选 C】
10.（2020 国考）部队前哨站的雷达监测范围为 100 千米。某日前哨站侦测
到正东偏北30°100千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通
知正南方向150 千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时
间后，正好在某点与可疑无人机相遇。则我方无人机速度是可疑无人机的多少
倍？
A.√3+1 B.3（√3-1）
C.4√3/3 D.2√ /3
【解析】10.本题是现在几何很常见的一类题，即不给图、自己画，不需要
画得很标准，只需要明白上北下南左西右东即可。雷达的监测半径为 100 千米，
敌方无人机从 A点往正西方向飞，我方部队在正南方150 千米，我方部队往正北
方飞，如图所示，AC 是敌方无人机飞行的距离，BC 是我方无人机飞行的距离。
30°角三角形三边之比为 1：√3：2，则 S =AC=50√3，S =BC=50+150=200，
敌方 我方
16所求=200/50√3=40/√3，分母有理化，分子、分母同时乘以√3，所求=4√3/3，
对应C项。【选 C】
平面最短路径：找对称，再连线
如图，打算公路（直线）边修一个公交站，使其到 AB 村的距离之和最短，
请问修在哪里？
【注意】平面最短路径（将军饮马）：
1.步骤：找对称，再连线。
2.引例：如图，打算公路（直线）边修一个公交站，使其到 AB 村的距离之
和最短，请问修在哪里？
答：要求 AO+BO最短，过直线作 A的对称点A’，连接 A’B，交直线于 O点，
连接 OA，AO=A’O，故 A→O→B=A’→O→B=A’B，两点之间直线最短，故 A’B
是最短路径。
173.此类题目统一做法：找到 A 点之后的做法是统一的，延长 A’A 到和 B 一
样高的位置，连接点 B，形成一个直角三角形，找到竖直长度和水平长度，考查
3、4、5和5、12、13的概率最大。
【拓展】（2019 浙江）A、B 点和墙的位置如下图所示。现从 A 点出发以 5
米/秒的速度跑向墙，接触到墙后再跑道 B点。问最少要多少秒到达 B点？
A.30 B.34
C.38 D.42
【解析】拓展.标准化步骤。找到 A 的对称点 A’，连接 A’B，延长 A’A
和 B 点连接，水平距离为 90，竖直距离=30+45+45=120，则斜边为 150，所求
=150/5=30，对应 A项。【选A】
1811.（2021 广东选调）如图三角形中，A、B分别为两条边的中点，则图中阴
影部分面积为三角形总面积的：
A.1/3 B.1/4
C.2/7 D.3/8
【解析】11.题目没有给任何一条边的长度，说明长度不重要，把原图改为
正三角形，找到两边的中点 A、B，如图所示，再找到另一边的中点，和对角相
连，则 S=S、S=S、S=S，把正三角形分为 6 个相同的部分，阴影部分占两部
1 1 2 2 3 3
分，所求=2/6=1/3，对应A项。【选 A】
【注意】
191.蝴蝶定理：如下图所示，梯形（只要是梯形即可）连接对角线可以分为 4
个面积，结论：S=S，假设上底为a，下底为 b，S：S：S：S=a²：ab：ab：b²，
2 3 1 2 3 4
假设a：b=1：3，则S：S：S：S =1：3：3：9。
1 2 3 4
2.连接AB，四边形ABCD 为梯形，A、B分别为两条边的中点，AB=CD 的一半，
则S：S：S：S =S：2S：2S：4S，由于 B为中点，S =S ，所以S =2S+S=3S，
1 2 3 4 △ABC △ABO △ABO
总面积=4S+2S+2S+S+3S=12S，所求=4S/12S=1/3。
20【注意】排列组合与概率：所有知识点中最难的，难点在于套路少需要自己
想；如果这部分内容实在听不懂是可以放弃的，性价比较低，总体难度较高；如
果高中学的是理科，高考数学还不错，可以尝试做下排列组合。
1.排列组合问题：
（1）基础概念：
①分类用加法（要么„„要么„„），分步用乘法（既„„又„„）。如课后
要吃宵夜，楼下有 4 家烧烤店、5 家火锅店、6 家面馆，任选一家作为宵夜，有
4+5+6=15种选择（要么选烧烤、要么选火锅、要么选面馆）；吃火锅时，套餐要
求在 4 个底料中选 1 个，5 个肉类中选 1 个，6 个素菜中选 1 个，问火锅有多少
种选择：4*5*6=120 种（既要选底料、又要选肉类、又要选素菜）。
②有序用排列（不可互换），用 A表示；无序用组合（可以互换），用 C表示。
调换顺序与原来相同，用 C；调换顺序与原来不同，用 A。照片中随意调换两个
人的顺序，肯定对结果有影响（照片不同），用 A 表示；选出的人干的同一样的
活，用 C 表示。101 个人中选出 7 个人成团，为 C（101,7），无顺序，干的是同
一样的活；如果从 101 个人中选出 7 个人排名，调换顺序结果不同，存在 C 位，
为A（101,7）。
（2）经典题型：
①情况数少：枚举法（总情况数≤10种），依照次序（从大到小、从多到少）。
②必须相邻：捆绑法，先捆再排。五个人（A、B、C、D、E）排队照相，要
求 A、B 相邻，将 AB 捆在一起，内部存在顺序，为 A（2,2），再与剩余的 C、D、
E共4个主体排序，为 A（4,4），分步相乘，为 A（2,2）*A（4,4）；八个人（A、
B、C、D、E、F、G、H）中 A、B、C 要求捆在一起，将 ABC 捆在一起，内部存在
顺序为 A（3,3），再与剩余的 5 个人共 6 个主体排序，为 A（6,6），分步相乘，
为A（3,3）*A（6,6）。
③不能相邻：插空法，先排再插。五个人（A、B、C、D、E）排队照相，要
求 A、B 不相邻，先排 C、D、E，为 A（3,3），3 个人形成 4 个空，将 A、B 插入
到空中，A 在一号位、B 在二号位与 A 在二号位、B 在一号位不同，为 A（4,2），
分步相乘，为 A（3,3）*A（4,2）；八个人（A、B、C、D、E、F、G、H）中A、B、
C 要求不相邻，先排剩余的 5 人，为 A（5,5），5 个人形成 6 个空，从中选出 3
21个空插入A、B、C，为A（6,3），分步相乘，为 A（5,5）*A（6，3）。
（3）正难反易：总情况数-反面情况数。
2.概率问题：相比排列组合问题要简单。
（1）给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。要进行四级考试，甲同学
通过概率为60%、乙同学通过概率为 40%，均通过的概率为 60%*40%=24%。
（2）给情况求概率：满足条件的情况数/总的情况数。掷骰子要求4点以上，
总情况数有 6 种（有 6 个面），满足的情况要么是 5 点、要么是 6 点，有 2 种；
概率=2/6=1/3。
（3）正难反易：1-反面情况概率。
【注意】排列组合基础计算：
1.A（5,3）=5*4*3；A（8,2）=8*7；C（8,2）=8*7/（2*1）；C（5,3）=5*4*3/
（3*2*1）=10。
2.C（n,m）=C（n,n-m），C（8,6）=C（8,2）；C（11,7）=C（11,4）。
3.一个人不分 A 和 C，1 个人不涉及顺序，A（n,1）=C（n,1）=n，A（7,1）
=C（7,1）=7。
4.A（n,n）=n！。
5.C（n,n）=1。
12.（2023 吉林）像中国的回文联“洞帘水挂水帘洞，山果花开花果山”一
样，如果将一个数的数字倒排后所得的数仍是这个数，这样的数称为回文数，例
22如11，22，343，565，1881，20102 等，在所有三位数中回文数共有：
A.81个 B.90个
C.99个 D.100个
【解析】12.“回文数”即正着数、倒着数都是相同的，问“三位数中回文
数共有多少个”，三位数的回文数即 ABA，A和B可以相等，333也属于回文数，
三位数的百位不能为 0，如 030属于两位数，不是三位数。百位数字可以在 1～9
共 9 个数字中选 1 个，为 C（9,1）；十位数可以在 0～9 共 10 个数字中选 1 个，
为C（10,1），个位数字与百位数字相同（只有1种情况），分步相乘，所求=C（9,1）
*C（10,1）=9*10=90，对应B项。【选 B】
13.（2023 联考）教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、
练习作业和问卷考试五部分学习内容组成。学员需先后完成这五部分学习内容，
其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习的顺序共有：
A.120种 B.72种
C.36种 D.24种
【解析】13.如果没有条件“其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后
完成”，五部分任意排序，为 A（5,5）=120，说明 A 项不正确；从中间三个位
置选出2个放入论坛交流与练习作业，存在顺序，为A（3,2），剩余 3部分对应
3 个位置，为 A（3,3），分步相乘，所求=A（3,2）*A（3,3）=6*6=36，对应 C
项。【选C】
【注意】
1.A（3,3）=6、A（4,4）=24、A（5,5）=120。
232.插空用在不相邻的题型中。
3.“其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成”，先从中间3个位
置中选出 2 个放入，为 C（3,2），由于存在顺序，为 A（2,2），剩余 3 部分对应
3 个位置，为 A（3,3），分步相乘，所求=C（3,2）*A（2,2）*A（3,3）。但实际
C（3,2）*A（2,2）=A（3,2）。
14.（2022 联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由
式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的 6 个分项，
短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的 3个分项。小林打算去现场观看
比赛，共选择 6个项目，并且每个大项不少于 1个，若所有项目比赛时间均不交
叉，则不同的观赛方式有：
A.83种 B.84种
C.92种 D.102种
【解析】14.滑雪大项有6个分项，滑冰大项有 3个分项，“每个大项不少于
1个”，说明既要看滑雪，又要看滑冰。“小林打算去现场观看比赛，共选择 6 个
项目”，要么是 3个滑雪、3个滑冰；要么是 4个滑雪、2 个滑冰；要么是 5个滑
雪、1个滑冰。分类进行讨论：
（1）3个滑雪、3 个滑冰；6 个滑雪中选 3个，为 C（6,3），3个滑冰中选 3
个，为C（3,3），分步相乘，情况数=C（6,3）*C（3,3）=20。
（2）4个滑雪、2个滑冰：6 个滑雪中选 4个，为 C（6,4），3个滑冰中选 2
个，为C（3,2），分步相乘，情况数=C（6,4）*C（3,2）=45。
（3）5个滑雪、1个滑冰：6 个滑雪中选 5个，为 C（6,5），3个滑冰中选 1
个，为C（3,1），分步相乘，情况数=C（6,5）*C（3,1）=18。
综上，分类用加法，所求=20+45+18=83 种，对应A 项。
方法二：正难反易。正面情况数太复杂，所求=总情况数-反面情况数，要求
24“每个大项不少于 1 个”，总情况数：从 6+3=9 个大项中选 6 个，为 C（9,6），
反面情况为只看滑雪，从 6 个滑雪中选出 6 个，为 C（6,6），所求=C（9,6）-C
（6,6）=9*8*7/（3*2*1）-1=84-1=83 种，对应 A项。【选 A】
【注意】
1.比赛顺序是固定的，买的票已经标注了时间，而不是根据自己的需求对比
赛的时间排序。
2.错误做法：先从 6 个滑雪中选出 1 个→选的是 A，为 C（6,1），再从 3 个
滑冰中选出 1 个→选的是 B，为 C（3,1），最后从剩余的 7 个分项中选 3 个→选
的是D、E、F，为 C（7,3），与先从6 个滑雪中选出1个→选的是 D，为 C（6,1），
再从 3 个滑冰中选出 1 个→选的是 B，为 C（3,1），最后从剩余的 7 个分项中选
3个→选的是 A、E、F，为C（7,3），此时存在重复。
3.有6本书，要选择 3 本书看，选出 3本书为 C（6,3），这3本书的观看顺
序可以由自己决定，为 A（3,3）；但比赛的顺序是由国家规定的。
隔板法：同素分堆
[例]7个相同的苹果分给三个小盆友，每人至少分一个，有多少种分法？
方法（隔板法）
①M个元素有 M-1个空位，分 N堆，需要N-1个板子
②至少分一个共有 C（M-1,N-1）种方法
[例]10个相同的苹果分给三个小盆友，每人至少分两个，有多少种分法？
方法（隔板法）
①至少2 个，先每人分2-1=1 个
②再按照至少分 1个分
【注意】隔板法：同素分堆（套路最强），必须是相同的元素，要求是每人
至少1个。
1.7个相同的苹果分给三个小盆友，每人至少分一个，有多少种分法？
答：从7个苹果形成的 6个空中放 2块板，板子的先后放对结果无影响，为
C（6,2）；如果是 9个相同的苹果分给 4个小盆友，每人至少分一个，为C（8,3）。
252.方法（隔板法）：
（1）M个元素有 M-1个空位，分 N堆，需要N-1个板子。
（2）至少分一个共有 C（M-1,N-1）种方法。
3.10个相同的苹果分给三个小盆友，每人至少分两个，有多少种分法？
答：“每人至少分两个”，先给每人分 1 个，还剩余 10-3=7 个，7 个苹果
分给3个小朋友，要求每人至少1 个，为C（6,2）。
4.方法（隔板法）：
（1）至少 2个，先每人分2-1=1 个。
（2）再按照至少分 1个分。
15.（2022 广东）某街道对辖内 6个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结
果显示，有2个社区的垃圾分类考核不通过。如果从 6个社区中随机抽取 3个进
行现场检查，则抽取的社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区的概率为：
A.1/5 B.1/2
C.2/3 D.4/5
【解析】15.方法一：“有 2 个社区的垃圾分类考核不通过”，说明有 4 个
社区通过；给情况求概率，P=满足条件情况数/总的情况数，总情况数：从 6 个
社区中选出 3 个，与顺序无关，为 C（6,3）=20，分母为 20，肯定约分不到 3，
排除C项；满足条件情况数：要求“既有考核通过的又有考核不通过的社区的”，
有 2 种情况：2 个通过+1 个不通过或 1 个通过+2 个不通过，C（4,2）*C（2,1）
+C（4,1）*C（2,2）=16，所求=16/20=4/5，对应 D项。
方法二：正难反易，从反面考虑。所求=1-P =1-P =1-C（4,3）/C（6,3）
反面 全过
=1-1/5=4/5，对应 D项。
方法三：猜题。发现 A、D 项加和为 1，问“既有考核通过的又有考核不通
过的社区的概率”，已知有 4 个通过、2 个不通过的，选出 3 个大概率既有考核
26通过的又有考核不通过的，则概率＞1/2，对应D项。【选 D】
【注意】
1.全过的反面为不全过。
2.“既有考核通过的又有考核不通过的”的反面是要么全过、要么全不过，
但要选出3个抽查，不过的只有 2 个社区，不满足，则反面为全过。
16.（2022 事业单位）有六位高中生，身高分别为 165cm、168cm、171cm、
172cm、174cm、178cm。从这六位高中生中任意选两位，高度差为 3cm的概率为：
A.1/5 B.2/15
C.4/15 D.1/10
【解析】16.“从这六位高中生中任意选两位”，为 C（6,2）=6*5/（2*1）
=15 种，总情况数为 15，无法约分为 10，排除 D 项；要求“高度差为 3cm”，有
3种情况（165cm与168cm、168cm与 171cm、171cm与174cm），所求=3/15=1/5，
对应A项。【选 A】
17.（2023 联考）某电子元件制造厂有甲、乙、丙三个车间，甲、乙、丙三
个车间的产量分别占总产量的 5%、70%、25%，且甲、乙、丙三个车间的次品率
依次为4%、3%、2%。任取一件产品，取到次品为乙车间制造的概率是：
A.15% B.45%
C.75% D.85%
【解析】17.没有给出具体量，考虑赋值法。“甲、乙、丙三个车间的产量
分别占总产量的 5%、70%、25%”，赋值总量为 1000，甲、乙、丙三个车间的产
量依次为50、700、250，“甲、乙、丙三个车间的次品率依次为 4%、3%、2%”，
甲、乙、丙三个车间的次品数依次为 2、21、5，总共 2+21+5=28 件次品，所求
=21/28=3/4=75%，对应C项。【选C】
【注意】
1.条件概率非常难，一般不会考查。
272.若赋值总量为 100，算出的次品数依次为 0.2、2.1、0.5，此时不是整数。
特殊概率题型——跟屁虫
题型特征：
两人（物）要在同一排、列、队、车
解题思路：
分步求概率
第一步：让其中一人任意找位置，P=1（必然事件）
1
第二步：让另一人去找，P
2
结果：P=P *P=P
1 2 2
【注意】特殊概率题型——跟屁虫：技巧性非常强。
1.题型特征：两人（物）要在同一排、列、队、车；两个人选择相同的概率
或两个人在环形找位置。
2.解题思路：分步求概率。
（1）第一步：让其中一人任意找位置，P=1（必然事件）。
1
（2）第二步：让另一人去找，P。
2
（3）结果：P=P*P=P。
1 2 2
3.假设周杰伦今天坐飞机从北京→香港，已知北京→香港总共有10趟航班，
问林老师和周杰伦坐同一航班的概率：周杰伦买机票时不会考虑林老师，概率为
1，林老师买票时总共有 10趟航班，满足同一趟的只有 1 个，则同一航班的概率
为1*1/10=1/10；周杰伦坐在头等舱，林老师从经济舱升舱到头等舱，头等舱总
共有3排，每排有 4个位置，问林老师与周杰伦坐在同一排的概率：周杰伦随便
坐 1 个位置，林老师在升舱前还有 11 个位置可以选择，同一排还有 3 个位置可
以选择，概率为 3/11。
【拓展】（2018 国考）某单位的会议室有 5 排共 40 个座位，每排座位数相
同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：
A.不高于 15% B.高于15%但低于 20%
C.正好为 20% D.高于20%
28【解析】拓展.问“坐在同一排的概率”，小张随便坐，小李去找小张，小
李还有39个位置可以选择，同一排还有 7个位置可以选择，概率=7/39，对应 B
项。【选B】
【注意】
1.两个人（物）在一起的概率（跟屁虫原理）；方法：先让一个人（物）随
便挑，再让第二个人或物去找他。
2.有6个人的旋转木马，四个小孩和两个大人落座，问 2个大人不相邻的概
率：旋转木马属于环形，第一个大人随便坐，第二个大人落座时有 5个位置可以
选择，与第一个大人不相邻的位置有 3个，概率为3/5。
【注意】容斥原理：
1.公式法：需要记忆。
（1）两集合：A+B-A∩B=总数-都不。
（2）三集合：
29①标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
②非标准型：A+B+C-（只）满足两项-满足三项*2=总数-都不。
③区分：标准型的题干长、数据多（分别给出 A∩B、A∩C、B∩C，如既会
英语又会法语、既会英语又会德语，既会德语又会法语）；非标准型的题干短，
数据少（直接给出满足两项，如会两门外语的有 22人）。
2.画图法：
（1）画圆圈，标数据。
（2）从里到外，注意去重。
3.补充：
（1）都不=0：运动会报名和竞赛类题目。
（2）出现“只（只A）”，使用画图法，公式无法解决。
18.（2023 浙江）某班级对 70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有
12%的学生两个科目均不及格。已知有 2/3 的学生英语及格，数学及格的学生比
英语多10人，那两科均及格的学生有多少人？
A.31 B.37
C.41 D.44
【解析】18.题干中出现比例、百分数、分数、倍数时，优先考虑倍数特性，
“有12%的学生两个科目均不及格”，都不及格人数/总人数=12%=3/25，总人数
为25的倍数，“某班级对70多名学生进行数学和英语科目摸底测验”，即总人
数为75，都不=75*12%=9，英语及格人数=75*（2/3）=50，数学及格人数=50+10=60，
两集合公式：A+B-A∩B=总数-都不，代入数据：50+60-A∩B=75-9，A∩B=110-66=44，
对应D项。【选 D】
19.（2023 事业单位）某机关部门有 65 人，为加强文化建设，组织员工到
电影院观看A、B、C三部电影，由于三部电影放映时间错开，要求每个员工至少
观看一部电影，有 40%员工选择看电影 A，有 27 人选择观看电影 B，有 48 人选
择观看电影C。则选择观看三部电影的员工至多可以有多少人？
A.16 B.17
30C.18 D.19
【解析】19.“要求每个员工至少观看一部电影”，说明都不=0；“有 40%
员工选择看电影 A”，看电影 A的人数=65*40%=26；没有给出 A∩B，A∩C，B∩C，
题干短、数据少，使用三集合非标准型公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数
-都不，“要求每个员工至少观看一部电影”，说明都不为 0，假设满足两项的
为x，满足三项的为 y，代入数据：26+27+48-x-2*y=65-0，101-x-2y=65，x+2y=36，
问“选择观看三部电影的员工至多可以有多少人”，要让 y 尽可能大，则让 x
尽可能小，x最小取 0，y最大=36/2=18，对应C项。【选 C】
【注意】只有三者交集，不涉及两者交集，即 x为 0，如下图所示。
20.（2023 广东）某单位共有员工 200人，其中订阅杂志的人数比只订阅报
纸的人数多88%。则报纸和杂志均未订阅的员工有多少人？
A.36 B.56
C.76 D.96
【解析】20.“订阅杂志的人数比只订阅报纸的人数多 88%”，出现“只”，
考虑画图法，左边圆为订阅杂志人数，右边圆为订阅报纸人数，88%=22/25，订
阅杂志的人数/只订阅报纸的人数=1+22/25=47/25，假设只订阅报纸的人数为
25x，则订阅杂志的人数为47x，都不=200-47x-25x=200-72x，当x=1，200-72=128，
没有对应的选项；当x=2，解得都不=56，对应B项。【选 B】
31【注意】A比B多1/3→A/B=1+1/3=4/3；A比B多 2/7→A/B=1+2/7=9/7。
根据几何性质猜题
【注意】根据几何性质猜题：之前的几何题目可以用尺子测量，如 AB=2cm→
对应8，FN=1cm→对应4；这类题目逐渐变少。
现在的几何题要么给出图（示意图），没有长度、距离；或给出图，求面积、
体积；要么不给图，与行程问题结合考查（需要自行画图）。最近求面积、比大
小的题目也有，如果题目求正方形的面积，选项依次为 62、64、66、68，此时
要猜 64（平方数），给出一个圆问面积，选项依次为 14π、15π、16π、17π，
圆的面积为 πr²，猜测 16π。考场中看到一个角是直角，无需证明，直接使用
即可；出现30°，优先猜√3。
【例 1】（2018 北京）本题图中，左边的图形每个小圆的面积为π，那么右
边图形中阴影部分面积为：
A.8π B.64–16π
C.4π+8 D.20
【解析】1.问“阴影部分的面积”，所求=S -S =a²-πr²，结合选项，
正方形 圆
只有B项符合。【选B】
32【例2】（2019广东）某小区规划建设一块边长为 10 米的正方形绿地。如图
所示，以绿地的 2个顶点为圆心，边长为半径分别作扇形，把绿地划分为不同的
区域。小区现准备在图中阴影部分种植杜鹃，则杜鹃种植面积为多少平方米？
A.100-25π B.200-35π
C.200-50π D.100π-100
【解析】2.问“杜鹃种植面积”，将下面的阴影面积转移到右侧，所求=正
方形面积-1/4 的圆，所求=a²-1/4*πr²，对应A项。【选 A】
【例3】（2018联考）一长方形纸板长为 4cm，宽为 3cm，将其折叠后，折痕
为AF，如图所示，则阴影三角形的周长是：
A.10cm B.8cm
C.9/2cm D.（6+3√2）cm
【解析】3.问“阴影三角形的周长”，出现 45°的角，斜边会出现√2，猜
33测D项。【选D】
【例4】（2020 浙江选调）如下图所示，在直角三角形 ABC中，MN是中位线。
已知四边形ABMN 与三角形MNC的周长比为 28：15，则 AC与BC的长度比是：
A.5：12 B.5：7
C.3：4 D.6：7
【解析】4.问“AC 与 BC 的长度比”，观察可知肯定存在 2 倍，结合选项，
选项依次大概为 2.4、1.4、1.3、1.1倍，猜测A项。【选 A】
【注意】直角三角形常考 3、4、5和5、12、13，本题肯定不是“3、4、5”，
优先猜“5、12、13”。
【例5】（2018江苏）如图，在长方形 ABCD中，已知三角形 ABE、三角形 ADF
与四边形AECF 的面积相等，则三角形 AEF与三角形CEF 的面积之比是：
A.5：1 B.5：2
C.5：3 D.2：1
【解析】5.问“三角形AEF与三角形CEF的面积之比”，直接在图中自行画，
至少在3+倍以上，选项依次大概为 5、2.5、1.6、2 倍，只有 A 项符合。【选 A】
34总结
1.不要全盘放弃，能做还是得做
2.给数量一点时间，数量还你一个奇迹„„
【注意】总结：
1.不要全盘放弃，能做还是得做。
2.给数量一点时间，数量还你一个奇迹。
3.可选择的题目：工程、经济、几何、容斥、和差倍比（整除型、余数型、
比例型），相对难度较大的为行程、排列、概率，如果还有时间再考虑。
林氏建议：考场的做题顺序
原则——简单着手
模块顺序
模块内部顺序
【注意】林氏建议：考场的做题顺序。
1.原则——简单着手：简单的往前放，难题往后放。
2.模块顺序。建议第一部分做言语、判断中擅长的，第二部分做资料（考场
刚开始心还不够静，先做一些不太细心的，等到 9：30时进入到考场状态，此时
做资料最好），第三部分做言语、判断中剩下的，第四部分做数量，常识不属于
大板块（无需考虑，读→选），放在数量前的任意部分都可（4～6分钟内完成）。
考场的后 30 分钟非常乱，大部分同学都在涂卡，此时监考老师也开始活动，这
时如果做资料，刚列式，老师说还有 15分钟，就会打乱思路。
3.模块内部顺序。
35林氏建议：三句叮嘱
1——永远不要纠结，不要改答案
2——没有任何一道行测题配得上 2.5分钟
3——题可以做不完，卡可得涂满了
【注意】林氏建议：三句叮嘱：
1.永远不要纠结，不要改答案：主要针对言语（要么正确的改错，要么错误
的还是改错了，总之改不对）。
2.没有任何一道行测题配得上 2.5分钟（做不出来就放弃，即使做出来也不
值）。
3.题可以做不完，卡可得涂满了（建议一个大板块涂 1次）。
4.课后答疑：粉笔林凡。
【答案汇总】
1-5：BBDAB；6-10：CABCC；11-15：ABCAD；16-20：ACDCB
36遇见不一样的自己
Be your better self
37
