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2008 年无锡市初中毕业暨高级中等学校招生考试
数学试题
注意事项：1．本试卷满分130分，考试时间为120分钟．
2．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其余各题均应给出精确结果．
一、细心填一填（本大题共有12小题，15空， 每空2分，共30分．请把结果直接填在题
中的横线上．）
1． 的相反数是 ，16的算术平方根是 ．
2．分解因式： ．
3．设一元二次方程 的两个实数根分别为 和 ，
则 ， ．
4．截至5月30日12时止，全国共接受国内外社会各界捐赠的抗
震救灾款物合计约3990000万元，这个数据用科学记数法可表示为
万元．
5．函数 中自变量 的取值范围是 ；
（第9题）
函数 中自变量 的取值范围是 ．
6．若反比例函数 的图象经过点（ ），则 的值为 ．
7．一射击运动员一次射击练习的成绩是（单位：环）：7，10，9，9，
10，这位运动员这次射击成绩的平均数是 环．
8．五边形的内角和为 ．
（第10题）
9．如图， ， ，则 ．
10．如图， 于 ，若 ，则 ．
11．已知平面上四点 ， ， ， ，
直线 将四边形 分成面积相等的两部分，
则 的值为 ．
（第12题）
12．已知：如图，边长为 的正 内有一边长为 的内接正
，则 的内切圆半径为 ．
二、精心选一选（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内．）13．计算 的结果为（ ）
Ａ． B． Ｃ． Ｄ．
14．不等式 的解集是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
15．下面四个图案中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
16．如图， 绕点 逆时针旋转 到 的位置，
已知 ，则 等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
17．下列事件中的必然事件是（ ） （第16题）
Ａ．2008年奥运会在北京举行
Ｂ．一打开电视机就看到奥运圣火传递的画面
Ｃ．2008年奥运会开幕式当天，北京的天气晴朗
Ｄ．全世界均在白天看到北京奥运会开幕式的实况直播
18．如图， 分别为正方形 的边 ， ， ，
（第18题）
上的点，且 ，则图中阴影部分的面积
与正方形 的面积之比为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
三、认真答一答（本大题共有8小题，共64分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或
证明过程．）
19．解答下列各题（本题有3小题，第（1），（2）小题每题5分，第（3）小题3分，共
13分．）（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
（3）如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，
使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形
涂黑，并画出移动后的正方形）
20．（本小题满分6分）
如 图 ， 已 知 是 矩 形 的 边 上 一 点 ， 于 ， 试 说 明 ：
．
21．（本小题满分7分）
如图，四边形 中， ， 平分 ， 交 于 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若点 是 的中点，试判断 的形状，并说明理由．
22．（本小题满分6分）
小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一
次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，小晶赢；点数之和等于7．小红赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．问他们两人谁获胜的概率大？请你用“画树状图”或
“列表”的方法加以分析说明．
23．（本小题满分6分）
小明所在学校初三学生综合素质评定分 四个等第，为了了解评定情况，小
明随机调查了初三30名学生的学号及他们的评定等第，结果整理如下：
学号 3003 3008 3012 3016 3024 3028 3042 3048 3068 3075
等第 Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ａ
学号 3079 3088 3091 3104 3116 3118 3122 3136 3144 3154
等第 Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ａ Ｂ
学号 3156 3163 3172 3188 3193 3199 3201 3208 3210 3229
等第 Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ
注：等第Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ分别代表优秀、良好、合格、不合格．
（1）请在下面给出的图中画出这30名学生综合素质评定等第的频数条形统计图，并
计算其中等第达到良好以上（含良好）的频率．
（2）已知初三学生学号是从3001开始，按由小到大顺序排列的连续整数，请你计算
这30名学生学号的中位数，并运用中位数的知识来估计这次初三学生评定等第达到良好以
上（含良好）的人数．
24．（本小题满分8分）
已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为 ．
（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为 ”，那
么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作
法，但要保留作图痕迹．
图1
25．（本小题满分9分）
在“5 12大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材 24000 和乙种板材
12000 的任务．
（1）已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材30 或乙种板材
20 ．问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材，才能确保他们用相同的时间完
成各自的生产任务？
（2）某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建 两种型号的板房共400间，在
搭建过程中，按实际需要调运这两种板材．已知建一间 型板房和一间 型板房所需板材
及能安置的人数如下表所示：
板房型号 甲种板材 乙种板材 安置人数
型板房 54 26 5
型板房 78 41 8
问：这400间板房最多能安置多少灾民？
26．（本小题满分9分）
已知抛物线 与它的对称轴相交于点 ，与 轴交于 ，与 轴正
半轴交于 ．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设直线 交 轴于 是线段
上 一 动 点 （ 点 异 于 ） ， 过 作
轴交直线 于 ，过 作轴于 ，求当四边形 的面积等于 时点 的坐标．
四、实践与探索（本大题共2小题，满分18分）
27．（本小题满分10分）
如图，已知点 从 出发，以1个单位长度/秒的速度沿 轴向正方向运动，以 为
顶点作菱形 ，使点 在第一象限内，且 ；以 为圆心，
为半径作圆．设点 运动了 秒，求：
（1）点 的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）当点 在运动过程中，所有使 与菱形 的边所在直线相切的 的值．
28．（本小题满分8分）
一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城
市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的
理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）
图1 图2 图3 图4
2008年无锡市初中毕业高级中等学校招生考试
数学试题参考答案及评分说明
一、细心填一填
1．6，4 2． 3．7，3 4． 5． ，
6．2 7．9 8．540 9．20 10．30 11． 12．
二、精心选一选
13．B 14．C 15．D 16．D 17．A 18．A
三、认真答一答
19．（1）解：原式 ···················（4分）
．······································（5分）
第19题（3）
（2）解：原式 ．
··············································································································（4分）
当 时，原式 ．····························································（5分）
（3）如图所示（答案不唯一）·····································································（3分）20．解法一： 矩形 中， ， ，·······························（2分）
．·················································································（4分）
， ， ．·········································（5分）
．···············································································（6分）
解法二： 矩形 中， ．··········································（2分）
， ， ．···········（4分）
（下同）
21．（1） ，即 ，又 ， 四边形 是平行四边形．
··············································································································（2分）
平分 ， ，····················································（3分）
又 ， ， ， ，
四边形 是菱形．···········································································（4分）
（2）证法一： 是 中点， ．
又 ， ， ，···········································（5分）
，································································（6分）
， ．
即 ， 是直角三角形．···················································（7分）
证法二：连 ，则 ，且平分 ，···············································（5分）
设 交 于 ．
是 的中点， ．······························································（6分）
， 是直角三角形．·······················································（7分）
22．解：列表如下：
小
晶
小 1 2 3 4 5 6
红
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
或列树状图：
小晶 1 2 3
小红 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
点数之和 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9
4 5 6
小晶
小红 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
点数之和 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
由表或图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次，
故 （和为6） ， （和为7） ．
（和为6） （和为7）， 小红获胜的概率大．
评分说明：列表正确或画对树状图得3分，两个概率每求对一个得1分，比较后得出结论
再得1分．
23．解：（1）评定等第为 的有8人，等第为 的有14人，等第为 的有7人，等第为
人数
的有1人，频数条形统计图如图所示．
14
等第达到良好以上的有22人，
12
10
8
6
其频率为 ． 4
2
（2）这30个学生学号的中位数是3117，
A B C D 等第
故初三年级约有学生 人，
，
故该校初三年级综合素质评定达到良好以上的人数估计有171人．
评分说明：第（1）小题画图正确得2分，频率算对得1分；第（2）小题中位数算对得1
分，估计出学生总数得1分，最后得出结论得1分．
24．解：（1）如图1；···········（3分）
（2）如图2；·······················（6分）
2cm
（3）4．·····························（8分）
2cm
25．解：（1）设安排 人生产甲种板材， 40° 40°
1cm 1cm
则生产乙种板材的人数为 人． 图1 图2由题意，得 ，······························································（2分）
解得： ．经检验， 是方程的根，且符合题意．······························（3分）
答：应安排80人生产甲种板材，60人生产乙种板材．······································（4分）
（2）设建造 型板房 间，则建造 型板房为 间，
由题意有： ·····················································（6分）
解得 ．························································································（7分）
又 ， ．
这400间板房可安置灾民 ．·························（8分）
当 时， 取得最大值2300名．
答：这400间板房最多能安置灾民2300名．···················································（9分）
26．解：（1）由题意，知点 是抛物线的顶点，
·····················································································（2分）
， ， 抛物线的函数关系式为 ．··························（3分）
（2）由（1）知，点 的坐标是 ．设直线 的函数关系式为 ，
则 ， ， ．········································（4分）
由 ，得 ， ， 点 的坐标是 ．
设直线 的函数关系式是 ，
则 解得 ， ．
直线 的函数关系式是 ．························································（5分）
设 点坐标为 ，则 ．
轴， 点的纵坐标也是 ．设 点坐标为 ，
点 在直线 上， ， ．···························（6分）
轴， 点的坐标为 ，
， ， ，
，··············（7分）
， ， ，当 时， ，
而 ， ，
点坐标为 和 ．····························································（9分）
四、实践与探索
27．解：（1）过 作 轴于 ，
， ，
y
P C
， ， B
x
O D A
图1
点 的坐标为 ．·············（2分）
（2）①当 与 相切时（如图1），切点为 ，此时 ，
y
C
B
， ，
P
E
x
O A
．··················（4分）
图2
②当 与 ，即与 轴相切时（如图2），则切点为 ， ，过 作 于 ，则 ，·····················································（5分）
， ．················································（7分）
③当 与 所在直线相切时（如图3），设切点为 ， 交 于 ，
则 ， ，
．·························································（8分）
过 作 轴于 ，则 ，
y
C
B
H
，
P G
x
化简，得 ， O A
F
解得 ，
图3
，
．
所求 的值是 ， 和 ．····································（10分）
28．解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这
4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为 ，
每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．
···················（3分）（图案设计不唯一）
（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得 ．将每个装置安装在
这些矩形的对角线交点处，设 ，则 ， ．
由 ，得 ，
， ，即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求．········································（6分）
或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得 ， 是 的中点，将每个装
置安装在这些矩形的对角线交点处，则 ， ，
，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要
求．········································································································（6分）
要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图 3，用一个
直径为31的 去覆盖边长为30的正方形 ，设 经过 ， 与 交于
，连 ，则 ，这说明用两个直径都为31的圆不
能完全覆盖正方形 ．
所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求．·······························（8分）
评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．
E
A D A D A E
D
H
O
O
B
B C F C
图1 B F
图2 图3
