考研数学公式大全(概率统计)_数学一真题+解析[87-25]_考研数学公式大全

概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 A.随机事件的关系与运算 一、随机试验 1.必然现象：在一定条件下必然出现的现象；随机现象：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 2.随机试验：对随机现象的观测，具有以下特点： （1）试验可以在相同条件下重复地发生 （2）试验的结果不止一个，且事先可以明确试验的所有可能结果 （3）进行一次试验之前无法预知会出现哪个结果 二、随机事件 1.样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合，样本空间的元素称为样本点 2.随机事件：样本空间中满足某些条件的子集 三、事件的关系与运算 1.事件的关系 （1）包含：A B 事件A发生必导致事件B发生 （2）相等：A B  A B且B  A（事件A和B同时发生或同时不发生） （3）并事件：AB 事件A与B中至少有一个发生 （4）交事件：AB 事件A与B同时发生 （5）差事件：AB AB A AB 事件A发生而事件B不发生 （6）互不相容事件：AB事件A与B不能同时发生 （7）对立事件：AB且AB  事件A与B必有一个发生且仅有一个发生 （8）完备事件组：A,A ,,A 两两互不相容，并且A  A  A  1 2 n 1 2 n 2.事件的运算 62（1）交换律：AB  B A,AB B A （2）结合律：A(BC)(AB)C,A(BC)(AB)C （3）分配律：A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC) （4）对偶律： AB  A B AB AB n n n n 推广： A A A A i i i i i1 i1 i1 i1 B.随机事件的概率与计算 一、概率 1.定义：样本空间中的每一个数，有唯一的实数P(A)和它对应，并且这个事件函数满足以下条件： （1）非负性P(A)0 （2）规范性P()1   （3）可列可加性：对于两两互不相容的事件A,A ,,A ，有P(A ) P(A )，则称P(A)为事件A的概率 1 2 n i i i1 i1 2.性质 （1）P() 0 （2）P(A)1P(A) P(AB)   3．条件概率 P B A  P(A)     性质：（1）P B A 0 （2）P S A 1 （3）P(A|B)1P(A|B) （4）P(AB|C) P(A|C)P(B|C)P(AB|C) 63n n （5）B,B ,,B 两两互不相容，则P(B | A)P(B | A) 1 2 n k k k1 k1 二、求概率的方法 1.古典型概率（有限等可能概型） 如果实验E的样本空间只有有限个样本点，并且各个样本点所构成的基本事件发生的可能性相同，则称这样的实验为古典概型对于该实验的事件A有 A中基本事件个数k P(A) 中基本事件总数n 2.几何概型（无限等可能概型） 如果实验E是从某一线段（或平面、空间中有界区域）上任取一点，并且所取的点位于中任意两个长度（或面积、体积）相等的子区间（或子区域） 内的可能性相同，则所取的点位于中任意子区间（或子区域）A内这一事件的概率为 A的几何度量 P(A) 的几何度量 3.计算概率的五个公式 （1）加法公式：对任意两个事件A, B, 有 P(AB) P(A)P(B)P(AB) n n n P(A )  P(A ) P(A A )  P(A A A )(1)n1P(A A A ) i i i j i j k 1 2 n i1 i1 1ijn 1ijkn （2）减法公式：对任意两个事件A, B, 有 P(BA) P(B)P(AB) 若A B  P(B A)  P(B)P(A)   （3）乘法公式 若P(A)0，则 P(AB) P(A)P B A   若P(B)0，则 P(AB) P(B)P A B     推广：若 (P(AA A )0) ，则有P(AA A )  P(A)P A A P A AA A 1 2 n1 1 2 n 1 2 1 n 1 2 n1 64（4）全概率公式 设B,B ,,B 是完全事件组，如果P(B)0 (i 1,2,,n)，则对于事件A，有 1 2 n i n n P(A)P(AB) P(B )P(A B ) i i i i1 i1 （5）贝叶斯公式：在全概率公式的条件下，如果P(A)0，则有 P(AB ) P(B )P(A B ) P(B A)  k  k k k P(A) n P(B)P(A B ) i i i1 C.事件的独立性和独立重复试验 一、事件的独立性 1.两个事件相互独立：设A,B是两个事件，若P(AB) P(A)P(B)成立，则称A与B相互独立 注：①若P(B)0，则P(AB) P(A)P(B)  P(A|B) P(A) 若P(A)0，则P(AB) P(A)P(B)  P(B| A) P(B) ②若P(A)0，P(B)0，则A与B相互独立与A,B互不相容不能同时成立 ③通常独立性是根据实际意义判断，而不是根据定义判断 2.三个事件的独立性 三个事件的相互独立：（1）P(AB) P(A)P(B)（2）P(AC) P(A)P(C)（3）P(BC) P(B)P(C)（4）P(ABC) P(A)P(B)P(C) 三个事件的两两独立：（1）P(AB) P(A)P(B)（2）P(AC) P(A)P(C)（3）P(BC) P(B)P(C) 注：若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立 65若A,A ,,A 相互独立，则它们中任意m个事件也相互独立 1 2 n 3.常用结论 （1）若事件A与B相互独立，则P(AB) P(A)P(B)P(A)P(B) 1P(A)P(B) P(B A) P(BA) P(B)P(A) （2）若A,A ,,A 相互独立，则P(A  A  A )1 P(A)P(A ) 1 2 n 1 2 n 1 n 二、独立试验 1.独立重复试验：把一个试验独立地重复作若干次，各次试验所联系的事件之间相互独立，且同一事件在各个试验中出现的概率相同 2.伯努利试验：如果实验的只有两个结果A和A，则称这种试验为伯努利试验。将一伯努利试验独立重复地进行n次，称为n重伯努利试验 设在每次试验中，P(A) p，则在n重伯努利试验中，事件A出现k次的概率为：Ckpk(1 p)nk (k 0,1,2,,n) n 66第二章 随机变量及其分布 一、随机变量及其分布函数 1.随机变量：定义在样本空间{e}上的实值函数X  X(e)（事件的函数） 2.随机变量的分布函数 （1）定义：设X 是一个随机变量，对于任意实数x，称函数F(x) P{X  x}，xR为随机变量X 的分布函数 （2）性质： ①F(x)是一个单调不减的函数（对任意x ,x 且x  x ，有F(x ) F(x )） 1 2 1 2 1 2 ②0 F(x)1，且F()1，F()0 ③F(x)是右连续的，即F(x) F(x) （3）利用分布函数求事件的概率 P{a X b} P{X b}P{X a} F(b)F(a) P{X a} F(a)F(a0) P{a X b} P{a X b}P{X a} P{a X b} P{a X b}P{X b} P{X a} P{X a}P{X a}，P{X a}1P{X a} 二、离散型随机变量及其分布律 1. 离散型随机变量：如果一个随机变量X 可能取的值是有限多个或可列无穷多个，则称X 为离散型随机变量 672.概率分布：设离散型随机变量X 可能取的值是x ,x ,,x ,，X 取各值的概率为P(X  x ) p (k 1,2,,n)，称为X 的分布律或概率分布 1 2 n k k n 注：① p 0；p 1 i i i1 ②分布函数F(x) P{X  x } k x x k ③P{a X b} P{X  x }，P{X I} P{X  x } k k ax b x I k k ④离散型随机变量分布函数的四个特征：单调不减；右连续；阶梯形；在X  x 处跳跃间断点 k 3.常用的离散型随机变量及其分布 (1) 0 – 1 分布：随机变量X 的可能取值只有0和1，其分布律为 P{X  k} pk(1 p)1k, k 0,1 (2) 二项分布 B(n,p) 在n重伯努利试验中，若P ( A ) = p，事件A发生的次数X 的可能取值为0,1,,n，其概率分布为 P{X  k}Ckpk(1 p)nk, k 0,1,,n n （3）几何分布：随机变量X 的分布律为P{X  k}(1 p)k1p, k 1,,n，则称X 服从几何分布 例：某射手向一目标独立的射击，每次击中的概率为 p，X 表示首次击中目标时，已经进行的射击次数，则X 服从几何分布 Ck Cnk （4）超几何分布：随机变量X 的分布律为P{X  k} M NM , k 0,1,,n，则称X 服从超几何分布 C n N 例：设有N 件产品，其中M 件次品，今从中任取n(nM,n N M)件，X 表示取到次品的件数，则X 服从超几何分布 （5） Poisson 分布：设随机变量X 的分布律为 68k P{X k}e , k 0,1,2,，其中0是常数，则称X 服从参数为的泊松分布，记为X ～P() k! 三、连续型随机变量及其密度函数 x 1.连续型随机变量：设随机变量X 的分布函数为F(x)，若存在函数 f(x)0，使得F(x)  f(t)dt，xR，  则称X 为连续型随机变量，其中 f(x)称为X 的密度函数 2. 连续型随机变量密度函数的性质  （1） f(x)0， f(t)dt 1  x （2）P{x  X  x } F(x )F(x )  2 f(x)dx 1 2 2 1 x 1 （3）若X 为连续型随机变量，则F(x)为连续函数；若 f(x)在x处连续，则有 f(x) F(x) （4）若X 为连续型随机变量，则P{X a}0 b （5）P{a X b} P{a X b} P{a  X b}  f(x)dx a 3.常用的连续型随机变量及其概率密度  0, x a  1   , a xb xa (1)均匀分布U(a,b)，密度函数 f(x)ba 分布函数F(x)  , axb ba    0, 其他   1 xb  ex, x 0  0, x0 (2)指数分布E() (0)，密度函数 f(x) 分布函数F(x)   0, 其他 1ex, x0 691 (x)2 (3)正态分布N(,2)，密度函数 f(x) exp{ }, xR,,0为常数 2 22 1  x2 注：①标准正态分布N (0,1)，密度函数(x) e 2  x， 2 1 x  t2 分布函数(x)  e 2dt  x，且(x)1(x) 2  b a ②设X ～N(,2)，则P{a X b} ( )( )；   b a P{X b}( )，P{a X}1( )   四、随机变量的函数分布 1.已知离散型随机变量X 的分布律，求Y  g(X)的分布律 方法：先确定Y 的可能取值，然后计算Y 取每个值的概率，从而求得Y 的概率分布 2. 已知连续型随机变量X 的密度函数 f (x)，求Y  g(X)的分布律 X （1）定义法（分布函数法） F (y) P{Y  y} P{g(X) y}  f(x)dx，所以 f (y) F(y) Y Y Y g(X)y （2）公式法：设连续型随机变量X 的概率密度为 f (x)，又g(x)处处可导且g(x)0（或g(x)0），则Y  g(X)的概率密度为 X  f (g1(y))(g1(y)), y  f (y)  X ，min(g(),g())，max(g(),g()) Y  0 其它 70第三章 多维随机变量及其分布 一、二维随机变量及其联合分布函数 1.二维随机变量：设X  X{e}和Y Y{e}是定义在样本空间上的两个随机变量，则称向量(X,Y)称为二维随机变量 2.二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数 （1）定义：设(X,Y)是二维随机变量，对任意x,yR ，称二元函数F(x,y)  P{X  x,Y  y}为二维随机变量(X,Y)的分布函数 注：平面上随机点(X,Y)落在矩形域G {(X,Y)| x  X  x ,y Y  y }上的概率 1 2 1 2 P{x  X  x ,y Y  y } F(x ,y )F(x ,y )F(x ,y )F(x ,y ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 （2）性质 ①F(x,y)分别关于x单调不减，关于y单调不减 ②0 F(x,y)1，F(,y) 0，F(x,)0，F(,)0，F(,)1 ③F(x,y)分别关于x和y右连续，即F(x,y) F(x0,y)，F(x,y) F(x,y0) 3.边缘分布函数：设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，分别称函数 F (x)  F(x,)  lim F(x,y)和F (y) F(,y)  lim F(x,y) X Y y x 为二维随机变量(X,Y)关于X 和关于Y 的边缘分布函数 二、二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 1. 二维离散型随机变量的概率分布 （1）定义：若二维随机变量(X,Y)的可能取值为(x,y ) (i, j 1,2,)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量 i j 71P{X  x ,Y  y } p ,i, j 1,2,称为二维离散型随机变量的概率分布或联合概率分布 i j ij （2）性质   ① p 0，p 1 ij ij i1 j1 ②联合分布函数：F(x,y) P{X  x,Y  y}   p ij x xy y i j ③概率的计算：P{(X,Y)D} p ，其中D是xoy平面上任一区域 ij (x y )D i, j 2.边缘概率分布：设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为P{X  x ,Y  y } p ,i, j 1,2,，则 i j ij   P{X  x}p  p (i 1,2,)和P{Y  y}p  p (j 1,2,) i ij i i ij j j1 i1 称为(X,Y)关于X 和关于Y 的边缘概率分布 注：联合概率分布决定边缘概率分布，但反之不成立 3.条件概率分布：设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为P{X  x ,Y  y } p ,i, j 1,2,， i j ij P{X  x ,Y  y } 对于固定的 j，若P{Y  y }0，则称P{X  x |Y  y } i j 为在Y  y 条件下，X 的条件分布律 j i j P{Y  y } j j P{X  x ,Y  y } 对于固定的i，若P{X  x}0，则称P{Y  y | X  x} i j 为在X  x 条件下，Y 的条件分布律 i j i P{X  x} i i 三、二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度 1.二维连续型随机变量的概率密度 72x y （1）定义：对(X,Y)的分布函数F(x,y)，若存在非负函数 f(x,y)0使得F(x,y)   f(u,v)dvdu，则称(X,Y)是二维连续型随机变量   f(x,y)称为(X,Y)的概率密度函数或联合概率密度   （2）性质： f(x,y)0，  f(u,v)dvdu 1   2F （3）若 f(x,y)在点(x,y)连续，则有 f(x,y)  xy x   2.边缘分布函数与边缘概率密度 F (x)   f(u,v)dvdu f (x)  f(x,y)dy X X    y   F (y)   f(u,v)dudv f (y)  f(x,y)dx Y Y    f(x,y) f(x,y) 3.条件概率密度 f (x| y) ， f (y|x) X|Y f (y) Y|X f (x) Y X 四、随机变量的独立性 1. 随机变量独立的定义：若对任意x,y有F(x,y) F (x)F (y)，则称X 和Y 相互独立 X Y 2.二维离散型X 和Y 相互独立 P{X  x ,Y  y } P{X  x}P{Y  y }(i, j 1,2,) i j i j 3. 二维连续型X 和Y 相互独立 f(x,y) f (x)f (y) X Y 4.独立的两个结论：X 和Y 独立 P{X L,Y L } P{X L}P{Y L }，其中L,L 是R的子集 1 2 1 2 1 2 X 和Y 独立，g (x),g (y)是连续函数，则g (X)与g (Y)也独立 1 2 1 2 73五、二维均匀分布和二维正态分布 1. 二维均匀分布：若二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 1  , (x,y)G f(x,y)A ，  0, 其他 其中D是xoy平面上有界区域，A是D的面积，则称(X,Y)在区域D上服从均匀分布 2.二维正态分布：二维连续型随机变量(X,Y)密度函数为 1  1 (x)2 (x)(y) (y)2 f(x,y) exp  1 2 1 2  2   x, y 2 1  2 12   2(12)   1 2  1  2  2 2   其中,, 0, 0,11均为常数，记为(X,Y)～N(,;2,2;) 1 2 1 2 1 2 1 2 注：①(X,Y)～N(,;2,2;)  X ～N(,2)，Y ～N(,2)，但逆命题不成立 1 2 1 2 1 1 2 2 ②若(X,Y)服从二维正态分布，则X 与Y 独立0（即不相关） 六、两个随机变量函数的分布 1.二维离散型随机变量函数的分布 已知P{X  x ,Y  y } p (i, j 1,2,)，则Z  g(X,Y)也为离散型，其分布律为 i j ij P{Z  g(x,y )} p ,i, j 1,2, 其中g(x ,y )相同值的概率相加 i j ij i j 2. 二维连续型随机变量函数的分布 74已知(X,Y)的概率密度为 f(x,y)，Z  g(X,Y)的分布函数为F (z) P{Z  z} P{g(X,Y) z}  f(x,y)dxdy Z g(X,Y)z 密度函数 f (z) F(z) Z z   （1）若Z  X Y，则 f (z)  f(z y,y)dy或 f (z)  f(x,z x)dx z z   （2）设X 与Y 相互独立，则M max(X,Y)和N min(X,Y)的分布函数分别为 F (z) P{M  z} F (z)F (z) M X Y F (z) P{N  z}1(1F (z))(1F (z)) N X Y 推广：M max(X ,X ,,X )，F (z) P{M  z} F (z)F (z)F (z) 1 2 n M X X X 1 2 n N  min(X ,X ,,X )，F (z) P{N  z}1(1F (z))(1F (z))(1F (z)) 1 2 n N X X X 1 2 n 注：X ,X ,,X 独立同分布，则F (z)(F(z))n，F (z)1(1 F(z))n 1 2 n M N （3）(X,Y)服从二维正态分布 X,Y 的任意线性组合aX bY服从一维正态分布（a,b不全为零） 设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N(,2)，Y ～N(,2)，则W  aX bY 服从正态分布且W  aX bY ～N(a b,a22 b22) 1 1 2 2 1 2 1 2 若(X,Y)服从二维正态分布，设U,V 是X 和Y 的线性函数，则(U,V)服从二维正态分布 若(X,Y)服从二维正态分布，设U,V 是X 和Y 的线性函数，则U,V 独立  0 UV 75第四章 随机变量的数字特征 一、随机变量的数学期望 1.离散型随机变量的数学期望 （1）已知一维随机变量的分布律为P{X  x} p (i 1,2,)，则 i i  E(X)xP{X  x} i i i1   E(Y) E(g(X))g(x )P{X  x}，其中Y  g(X)（g是连续函数）或E(Y)yP{Y  y} i i i i i1 i1 （2）已知二维随机变量的联合分布律为P{X  x ,Y  y } p ,i, j 1,2,，则 i j ij    E(Z) E(g(X,Y)) g(x,y )p 或E(Z) z P{Z  z} i j ij i i i1 j1 i1 2.连续型随机变量 （1）已知一维随机变量的密度函数为 f(x)，则  E(X)  xf(x)dx   E(Y) E(g(X))  g(x)f(x)dx，其中Y  g(X)是连续函数  （2）已知二维随机变量的联合概率密度为 f(x,y)，则   E(Z) E(g(X,Y))   g(x,y)f(x,y)dxdy，其中Z  g(X,Y)   3.数学期望的性质 76（1）设c是常数，则E(c)c （2）E(cX)cE(X) （3）E(X Y) E(X)E(Y) （4）设X,Y 是相互独立的随机变量，则E(XY) E(X)E(Y) 推广：X ,X ,X 相互独立，则E(X X X ) E(X )E(X ) 1 2 n 1 2 n 1 n 二.方差 1.定义：D(X) E{(EE(X))2} E(X2)(EX)2， DX 称为标准差 注：常用此式的变式E(X2) D(X)(E(X))2 2.性质：（！）D(X)0 （2）D(c)0且D(X)0 P{X C}1 （3）D(aX b) a2D(X) （4）设X,Y 是两个随机变量，则D(X Y) D(X)D(Y)2E{(X E(X))(Y E(Y))} 特别，若X 与Y 相互独立，则D(X Y) D(X)D(Y)， D(aX bY) a2D(X)b2D(Y) 推广：X ,X ,X 相互独立，则D(X  X  X )  D(X )D(X ) 1 2 n 1 2 n 1 n 三.常见分布的数学期望和方差 77分布 期望EX 方差DX 0-1分布 p pq 二项分布 np npq 泊松分布   ab (ba)2 均匀分布 2 12 指数分布 1 2 正态分布  2 四、随机变量的协方差和相关系数 1.协方差 （1）定义：Cov(X,Y) E[(X E(X))(Y E(Y))] （2）公式：Cov(X,Y) E(XY)E(X)E(Y) D(X Y) D(X)D(Y)2Cov(X,Y) （3）性质：Cov(X,Y)Cov(Y,X)；Cov(X,X) D(X)；Cov(aX,bY)abCov(X,Y) Cov(X  X ,Y)Cov(X ,Y)Cov(X ,Y) 1 2 1 2 2.相关系数 Cov(X,Y) （1）定义：  ，若 0,则称X 与Y 不相关 XY DX DY XY （2）性质：① 1② 1存在a,b使P{Y baX}1 XY XY 78注： 是一个可以表征X 与Y 之间线性关系紧密程度的一个量 XY 当  较大时，X 与Y 之间线性关系程度较好 XY 当  较小时，X 与Y 之间线性关系程度较差 XY 当 0时，没有线性关系即不相关；当 1时，X 与Y 以概率1存在线性关系 XY XY （3）X 与Y 不相关（ 0） Cov(X,Y)0  E(XY) E(X)E(Y)  D(X Y) D(X)D(Y) XY （4）X 与Y 独立 X 与Y 不相关，但反之不成立 （5）设(X,Y)～N(,;2,2;)，则X 与Y 独立 X 与Y 不相关（0） 1 2 1 2 79第五章 大数定律及中心极限定理 一、切比雪夫不等式 D(X) D(X) 设随机变量X 的方差D(X)存在，则对任意0，有P{X E(X) } 或P{X E(X) }1 2 2 二、大数定律 1.依概率收敛：设X ,X ,,X ,是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意给定的正数，有lim P{X a }1， 1 2 n n n 则称该随机变量序列依概率收敛与a，记为X pa n 2.切比雪夫大数定律：设X ,X ,,X ,是由两两不相关（或两两独立）的随机变量所构成的序列，其期望E(X )和方差D(X )，k 1,2,均存在 1 2 n k k 1 n 1 n  且存在常数M 0，使得D(X ) M ，则对于任意正数，有limP X  E(X ) 1 k n  n k1 k n i1 i  3.独立同分布的切比雪夫大数定律：设随机变量X ,X ,,X ,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望E(X )和方差D(X )2，k 1,2,， 1 2 n k k 1 n  1 n 则对于任意正数，有lim P X 1即 X p n  n k1 k  n k1 k 4.伯努利大数定律：设在每次试验中事件A发生的概率P(A) p，在n次独立重复试验中，事件A发生的频率为 f (A)，则对于任意给定的正数，有 n   limP f (A) p  1 n n 5.辛钦大数定律：随机变量X ,X ,,X ,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望E(X )，k 1,2,则对于任意正数，有 1 2 n k 801 n  lim P X 1 n  n k1 k  三、中心极限定理 1.棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布） 设随机变量X 服从参数为n和 p的二项分布，即X ～B(n,p) (0 p 1,n1,2,)，则对于任意实数x，有 n n  X np  x 1  t2 lim P n  x e 2dt n   np(1 p)    2 2.列维-林德伯格中心极限定理（独立同分布极限定理） 设设随机变量X ,X ,,X ,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望E(X )和方差D(X )2，k 1,2,，则对于任意实数x，有 1 2 n k k  n  X n   k   x 1  t2 lim Pk1  x  e 2dt n  n   2     81第六章 样本及抽样分布 一、总体、样本和统计量 1.总体：研究对象的某项数量指标X 取值的全体称为总体，X 是一个随机变量。总体中的每个元素称为个体，每个个体是一个实数 2.简单随机样本：X ,X ,,X 来自总体X ，且独立同分布。它们的观测值x ,x ,,x 称为样本值 1 2 n 1 2 n 3.统计量：设X ,X ,,X 来自总体X 的样本，g(X ,X ,,X )是X ,X ,,X 的函数， 1 2 n 1 2 n 1 2 n 若g中不含任何未知参数，则称Y  g(X ,X ,,X )是一个统计量 1 2 n 注：统计量是样本的函数，不含任何未知参数，是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布 4.常用统计量 1 n （1）样本均值：X  X n i i1 1 n 1  n  （2）样本方差：S2  n1 (X i  X)2  n1   X i 2 n(X)2   i1 i1 2 2 注：常用的结论，设E(X),D(X)2，则E(X),D(X) ；E((X)2)2  ；E(S2)2 n n 二、三大分布及其典型模式 1.2分布 n （1）定义：设随机变量X ,X ,,X 相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量2 X2 服从自由度为n的2分布，记为2～2(n) 1 2 n k k1 注：①2分布定义要掌握，密度函数不要记但是密度函数图形的轮廓要掌握 822  X  ②若X ～N(0,1)，则X2～2(1)，若X ～N(,2)，则  ～2(1)    ③若X ,X ,,X 相互独立，则X2,X2,,X2相互独立 1 2 n 1 2 n （2）2分布的性质：若2～2(n )，2～2(n )，并且2与2相互独立，则2+2～2(n n ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 若2～2(n)，则有E(2)n，D(2) 2n f(x)  （3）上分位点2(n)  O 2(n) x  设2～2(n)，对于给定的(01)，满足条件 P{2 2(n)} f(x)   的点2(n)称为2分布的上分位点   2 2 如图：P{2 (n)2(n)2(n)}1 2 (n) 2 (n) x 1   1   2 2 2 2 2.t分布 X （1）定义：设X ～N(0,1)，Y ～2(n)且X 与Y 独立，则随机变量t  服从自由度为n的t分布，记为t～t(n) Y n （2）性质：①t(n)分布的概率密度函数是偶函数，且有E(t)0 1  x2 ②当n充分大时，t(n)分布近似于N(0,1)分布，即lim f(x) e 2 n 2 83f (t) （3）上分位点t (n)   设t～t(n)，对于给定的(01)，满足条件 P{t t (n)} O t (n) t   的点t (n)称为t分布的上分位点  f (t) 注：由于t分布的概率密度是偶函数，有t (n) t (n) 1    P{t (n)t t (n)} P{t (n)t t (n)}12 1     t (n) t (n) t   3.F 分布 X n （1）定义：设X ～2(n )，Y ～2(n )，且X 与Y 独立，则随机变量F  1 服从自由度为(n,n )的F 分布，记为F ～F(n ,n ) 1 2 Y n 1 2 1 2 2 1 （2）若F ～F(n ,n )，则 ～F(n ,n ) 1 2 E 2 1 （3）上分位点F (n ,n )  1 2 设F ～F(n ,n )，对于给定的(01)，满足条件 1 2 P{F  F (n ,n )}  1 2 的点F (n ,n )称为F 分布的上分位点  1 2 P{F (n ,n ) F  F (n ,n )} P{F (n,n ) F  F (n ,n )}12 1 1 2  1 2  1 2  1 2 84三、正态总体的几个常用统计量的分布 1.单正态总体的样本均值和样本方差的分布 设总体X 服从正态分布N(,2)，X ,X ,,X 是来自总体X 的样本，则 1 2 n 2 X  n(X ) （1）X ～N(, )，即  ～N(0,1) n  n  2 (n1)S2 n  X  X  （2）  i  ～2(n1) 2    i1  （3）X 与S2独立 X  （4） ～t(n1) S n 85第七章 参数估计 一、点估计 1.点估计的概念 设总体X 的分布函数F(x,)的形式已知，但未知，X ,X ,,X 是X 的一个样本，x ,x ,,x 是相应的一个样本值，点估计问题就是要构造一 1 2 n 1 2 n ˆ ˆ 个适当的统计量(X ,X ,,X )，用它的观察值(x ,x ,,x )作为未知参数的近似值 1 2 n 1 2 n ˆ ˆ 称(X ,X ,,X )为的估计量，(x ,x ,,x )为估计值 1 2 n 1 2 n 2.点估计的方法 （1）矩估计法：设总体X 为连续型随机变量，其概率密度为 f(x;,,,)， 1 2 k 或设X 为离散型随机变量，其分布律为P{X  x} p(x,,,)(i 1,2,)，其中,,, 为待估参数 i i 1 k 1 2 k  设总体X 的l阶原点矩u  E(Xl)   xl f(x;,, )dx 或u  E(Xl)xlp(x ,,,)(l 1,2,,k) l 1 k l i i 1 k  i1 1 n 样本的l阶原点矩A  Xl ，令u  A (l 1,2,,k)，这是一个包含k个未知参数的,, 的联立方程组，从中解出,, l n i l l 1 k 1 k i1 用方程组的解,, 作为,, 的估计值量 1 k 1 k 注：一个参数时，矩等式为：E(X) X 86 1 n E(X) X   n i 两个参数时，矩等式为： i1 1 n  E(X2) X2   n i i1 （2）最大似然估计法 最大似然估计法原理：小概率事件总认为不发生，既然事件{X  x ,,X  x }发生，可以认为它发生的概率最大 1 1 n n ①总体X 为离散型：X 的分布律为P(x,),I的形式为已知，为待估参数，I 为可能取值的范围，又(x ,,x )是(X ,,X )的一个样本值 1 n 1 n n 则事件P{X  x ,,X  x }的概率为L() P(x ,)，I ，这一概率随的取值而变化，它是的函数 1 1 n n i i1 ˆ ˆ ˆ ˆ 根据最大似然估计法，在I 内找数使L()最大，即L() maxL()，这样得到(x ,,x )为的最大似然估计值，(X ,,X )为最大似然估计量 1 n 1 n I n ②总体X 为连续型：X 的概率密度函数为 f(x,),I ，为待估参数，则似然函数为L() f(x ,)，I ，它是的函数 i i1 ˆ ˆ ˆ ˆ 根据最大似然估计法，在I 内找数使L()最大，即L() maxL()，这样得到(x ,,x )为的最大似然估计值，(X ,,X )为最大似然估计量 1 n 1 n I 总结：最大似然估计法的求解步骤 n n 1）写出似然函数L() P(x ,)或L() f(x ,) i i i1 i1 d(L()) d(lnL()) 2）如果L()或lnL()关于可微，则往往可以从方程 0或 0中解得 d d 3.估计量的评选标准 （1）无偏性：设X ,,X 是总体X 的一个样本，是包含在总体X 的分布中的待估参数， 1 n ˆ ˆ ˆ ˆ 若估计量(X ,,X )的数学期望E()，则称是的无偏估计量 1 n 87ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ （2）有效性：设 (X ,,X )与 (X ,,X )都是的无偏估计量，若D()  D()，则称较 有效 1 1 1 n 2 2 1 n 1 2 1 2 二、区间估计 1.置信区间：设总体X 分布函数F(x,)，其中是未知参数，从总体X 中抽取样本X ,,X ，对于给定的(01)， 1 n 如果两个统计量 (X ,,X )和 (X ,,X )满足P{(X ,,X )(X ,,X )}1 1 1 1 n 2 2 1 n 1 1 n 2 1 n 则称随机区间(,)是的置信度为1的置信区间，1称为置信水平（或置信度） 1 2 2.单个正态总体均值和方差的置信区间 设总体X ～N(,2)，X ,X ,,X 是来自总体X 的样本，X 是样本均值，S2是样本方差 1 2 n   （1）2已知，的置信水平为1的置信区间为(x u ,x u )   n n 2 2 S S （2）2未知，的置信水平为1的置信区间为(x t (n1),x t (n1))   n n 2 2  n n  (x )2 (x )2  i i （3）已知，2的置信水平为1的置信区间为  i1 , i1   2(n) 2 (n)    1    2 2     (n1)S2 (n1)S2  （4）未知，2的置信水平为1的置信区间为 ,  2(n1) 2 (n1)      1  2 2 88