文档内容
2012年江苏省南通市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2012•南通）计算6÷（﹣3）的结果是（ ）
A． B．﹣2 C．﹣3 D．﹣18
﹣
2．（3分）（2012•南通）计算（﹣x2）•x3的结果是（ ）
A．x3 B．﹣x5 C．x6 D．﹣x6
3．（3分）（2012•南通）已知∠a=32°，则∠a的补角为（ ）
A．58° B．68° C．148° D．168°
4．（3分）（2012•南通）至2011年末，南通市户籍人口为764.88万人，将764.88万用科学记数法表示为
（ ）
A．7.6488×104 B．7.6488×105 C．7.6488×106 D．7.6488×107
5．（3分）（2012•南通）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，若线段M′N′与MN关于y轴对称，则点M
的对应点M′的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（4，﹣2）
6．（3分）（2012•南通）已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于（ ）
A．64 B．48 C．32 D．16
7．（3分）（2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
8．（3分）（2012•南通）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
第1页（共22页）A． cm B．2cm C．2 cm D．4cm
9．（3分）（2013•兰州）已知A（﹣1，y ），B（2，y ）两点在双曲线y= 上，且 y ＞y ，则m的取值范围是（
1 2 1 2
）
A．m＜0 B．m＞0 C． D．
m＞﹣ m＜﹣
10．（3分）（2012•南通）如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且AC在直线l上，将△ABC绕点
A顺时针旋转到①，可得到点P ，此时AP =2；将位置①的三角形绕点P 顺时针旋转到位置②，可得到点
1 1 1
P ，此时AP =2+ ；将位置②的三角形绕点P 顺时针旋转到位置③，可得到点P ，此时AP =3+ ；…按此
2 2 2 3 3
规律继续旋转，直到点P 为止，则AP 等于（ ）
2012 2012
A．2011+671 B．2012+671 C．2013+671 D．2014+671
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）（2012•南通）单项式3x2y的系数为 ．
12．（3分）（2012•哈尔滨）函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）（2012•南通）某校9名同学的身高（单位：cm）分别是：163，165，167，164，165，166，165，164，
166，则这组数据的众数为 ．
14．（3分）（2012•南通）如图，⊙O中，∠AOB=46°，则∠ACB= 度．
15．（3分）（2012•南通）甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰
好用去700元，则甲种电影票买了 张．
第2页（共22页）16．（3分）（2012•南通）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，则CD=
cm．
17．（3分）（2012•南通）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β= ．
18．（3分）（2012•南通）无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．Q（m，n）是直线l上的点，则
（2m﹣n+3）2的值等于 ．
三.解答题
19．（10分）（2012•南通）计算：（1）|﹣1|+（﹣2）2+（7﹣π）0﹣（ ）﹣1
（2） ÷ ﹣ × + ．
20．（8分）（2012•南通）先化简，再求值： ，其中x=6．
21．（9分）（2012•南通）为了了解学生参加家务劳动的情况，某中学随机抽取部分学生，统计他们双休日两
天家务劳动的时间，将统计的劳动时间（单位：分钟）分成5组：30≤x＜60，60≤x＜90，90≤x＜120，120≤x＜
150，150≤x＜180，绘制成频数分布直方图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ；
（2）根据小组60≤x＜90的组中值75，估计该组中所有数据的和为 ；
（3）该中学共有1000名学生，估计双休日两天有多少名学生家务劳动的时间不小于90分钟？
第3页（共22页）22．（8分）（2012•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD
的上方，求AB和CD的距离．
23．（8分）（2012•南通）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南
方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程（结果保
留根号）．
24．（8分）（2012•南通）四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．
（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数偶数的概率；
（2）从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，求这两张牌的点数都是偶数的概率．
25．（9分）（2012•南通）甲、乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段
OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y
（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了 h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
26．（10分）（2012•南通）菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；
（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．
第4页（共22页）27．（12分）（2012•南通）如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以
a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B
运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．
（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．
①若a= ，求PQ的长；
②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
请修改新增的标题
28．（14分）（2012•南通）如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y= x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O
为坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y= x2+bx+c向上平移 个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛
物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．
第5页（共22页）第6页（共22页）2012 年江苏省南通市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2012•南通）计算6÷（﹣3）的结果是（ ）
A． B．﹣2 C．﹣3 D．﹣18
﹣
考点：有理数的除法．
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专题：计算题．
分析：根据有理数的除法运算法则计算即可得解．
解答：解：6÷（﹣3），
=﹣（6÷3），
=﹣2．
故选B．
点评：本题考查了有理数的除法，是基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（3分）（2012•南通）计算（﹣x2）•x3的结果是（ ）
A．x3 B．﹣x5 C．x6 D．﹣x6
考点：同底数幂的乘法．
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分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算后直接选取答案．
解答：解：（﹣x2）•x3=﹣x2+3=﹣x5．
故选B．
点评：本题主要考查同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加．熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（3分）（2012•南通）已知∠a=32°，则∠a的补角为（ ）
A．58° B．68° C．148° D．168°
考点：余角和补角．
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专题：常规题型．
分析：根据互为补角的和等于180°列式计算即可得解．
解答：解：∵∠a=32°，
∴∠a的补角为180°﹣32°=148°．
故选C．
点评：本题考查了余角与补角的定义，熟记互为补角的和等于180°是解题的关键．
4．（3分）（2012•南通）至2011年末，南通市户籍人口为764.88万人，将764.88万用科学记数法表示为
（ ）
A．7.6488×104 B．7.6488×105 C．7.6488×106 D．7.6488×107
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10
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的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当
原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将764.88万用科学记数法表示为7.6488×106．
故选C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
第7页（共22页）5．（3分）（2012•南通）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，若线段M′N′与MN关于y轴对称，则点M
的对应点M′的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（4，﹣2）
考点：坐标与图形变化-对称．
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分析：根据坐标系写出点M的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标相等，横坐标互为相反
数，即可得出M′的坐标．
解答：解：根据坐标系可得M点坐标是（﹣4，﹣2），
故点M的对应点M′的坐标为（4，﹣2），
故选：D．
点评：此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握关于y轴对称点的坐标的变化特点．
6．（3分）（2012•南通）已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于（ ）
A．64 B．48 C．32 D．16
考点：完全平方式．
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分析：根据乘积项先确定出这两个数是x和8，再根据完全平方公式的结构特点求出8的平方即可．
解答：解：∵16x=2×x×8，
∴这两个数是x、8
∴k=82=64．
故选A．
点评：本题是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点，求出这两个数是求解的关键．
7．（3分）（2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．
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分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可
得出结果．
解答：解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．
故选B．
第8页（共22页）点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和
它不相邻的两个内角之和．
8．（3分）（2012•南通）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A． cm B．2cm C．2 cm D．4cm
考点：矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
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分析：
根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO= AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后
得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
解答：
解：在矩形ABCD中，AO=BO= AC=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°﹣120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm．
故选D．
点评：本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．
9．（3分）（2013•兰州）已知A（﹣1，y ），B（2，y ）两点在双曲线y= 上，且 y ＞y ，则m的取值范围是（
1 2 1 2
）
A．m＜0 B．m＞0 C． D．
m＞﹣ m＜﹣
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
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专题：计算题．
分析：
将A（﹣1，y ），B（2，y ）两点分别代入双曲线y= ，求出 y 与y 的表达式，再根据 y ＞y 则列
1 2 1 2 1 2
不等式即可解答．
解答：
解：将A（﹣1，y ），B（2，y ）两点分别代入双曲线y= 得，
1 2
y =﹣2m﹣3，
1
y = ，
2
∵y ＞y ，
1 2
∴﹣2m﹣3＞ ，
解得m＜﹣ ，
第9页（共22页）故选：D．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，反比例函数图象上的点符合函数解析式．
10．（3分）（2012•南通）如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且AC在直线l上，将△ABC绕点
A顺时针旋转到①，可得到点P ，此时AP =2；将位置①的三角形绕点P 顺时针旋转到位置②，可得到点
1 1 1
P ，此时AP =2+ ；将位置②的三角形绕点P 顺时针旋转到位置③，可得到点P ，此时AP =3+ ；…按此
2 2 2 3 3
规律继续旋转，直到点P 为止，则AP 等于（ ）
2012 2012
A．2011+671 B．2012+671 C．2013+671 D．2014+671
考点：旋转的性质．
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专题：压轴题；规律型．
分析：仔细审题，发现将Rt△ABC绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依次增加2， ，1，且三次
一循环，按此规律即可求解．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，
∴AB=2，BC= ，
∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P ，此时AP =2；将位置①的三角形绕点P 顺时针旋
1 1 1
转到位置②，可得到点P ，此时AP =2+ ；将位置②的三角形绕点P 顺时针旋转到位置③，可得到
2 2 2
点P ，此时AP =2+ +1=3+ ；
3 3
又∵2012÷3=670…2，
∴AP =670（3+ ）+2+ =2012+671 ．
2012
故选：B．
点评：本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，得到AP的长度依次增加2， ，1，且三次一循环是解
题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）（2012•南通）单项式3x2y的系数为 3 ．
考点：单项式．
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分析：把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数．
解答：解：3x2y=3•x2y，其中数字因式为3，
则单项式的系数为3．
故答案为：3．
点评：本题考查了单项式的系数，确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，
是找准单项式的系数的关键．找出单项式的系数的规律也是解决此类问题的关键．
12．（3分）（2012•哈尔滨）函数y= 中，自变量x的取值范围是 x≠ 5 ．
考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
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专题：计算题．
分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．
解答：解：根据题意得x﹣5≠0，
解得x≠5．
故答案为x≠5．
点评：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
第10页（共22页）13．（3分）（2012•南通）某校9名同学的身高（单位：cm）分别是：163，165，167，164，165，166，165，164，
166，则这组数据的众数为 16 5 ．
考点：众数．
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分析：根据众数是一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
解答：解：数据163，165，167，164，165，166，165，164，166中165出现了3次，且次数最多，
所以众数是165．
故答案为：165．
点评：本题考查了众数的定义，熟记定义是解题的关键，需要注意，众数有时候可以不止一个．
14．（3分）（2012•南通）如图，⊙O中，∠AOB=46°，则∠ACB= 2 3 度．
考点：圆周角定理．
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分析：由⊙O中，∠AOB=46°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角
的一半，即可求得∠ACB的度数．
解答：解：∵⊙O中，∠AOB=46°，
∴∠ACB= ∠AOB= ×46°=23°．
故答案为：23．
点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于
这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．
15．（3分）（2012•南通）甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰
好用去700元，则甲种电影票买了 2 0 张．
考点：二元一次方程组的应用．
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专题：应用题．
分析：设购买甲电影票x张，乙电影票y张，则根据总共买票40张，花了700元可得出方程组，解出即可得
出答案．
解答：解：设购买甲电影票x张，乙电影票y张，
由题意得， ，
解得： ，即甲电影票买了20张．
故答案为：20．
点评：此题考查了二元一次方程组的应用，属于基础题，解答本题的关键是根据题意等量关系得出方程
组．
16．（3分）（2012•南通）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，则CD=
2 cm．
第11页（共22页）考点：梯形；勾股定理．
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分析：作DE∥BC于E点，得到四边形CDEB是平行四边形，根据∠A+∠B=90°，得到三角形ADE是直角三
角形，利用勾股定理求得AE的长后即可求得线段CD的长．
解答：解：作DE∥BC于E点，
则∠DEA=∠B
∵∠A+∠B=90°
∴∠A+∠DEA=90°
∴ED⊥AD
∵BC=3cm，AD=4cm，
∴EA=5
∴CD=BE=AB﹣AE=7﹣5=2cm，
故答案为2．
点评：本题考查了梯形的性质及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线．
17．（3分）（2012•南通）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β= 4 ．
考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．
分析：由α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两 菁优网版权所有 个根，得出α+β=﹣3，α2+3α=7，再把α2+4α+β变形为
α2+3α+α+β，即可求出答案．
解答：解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，
∴α+β=﹣3，α2+3α﹣7=0，
∴α2+3α=7，
∴α2+4α+β=α2+3α+α+β=7﹣3=4，
故答案为：4．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关
系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x +x =﹣ ，x •x = ．
1 2 1 2
18．（3分）（2012•南通）无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．Q（m，n）是直线l上的点，则
（2m﹣n+3）2的值等于 1 6 ．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
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专题：压轴题；探究型．
分析：先令a=0，则P（﹣1，﹣3）；再令a=1，则P（0，﹣1），由于a不论为何值此点均在直线l上，设此直线
的解析式为y=kx+b（k≠0），把两点代入即可得出其解析式，再把Q（m，n）代入即可得出2m﹣n的
值，进而可得出结论．
解答：解：∵令a=0，则P（﹣1，﹣3）；再令a=1，则P（0，﹣1），由于a不论为何值此点均在直线l上，
∴设此直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ ，解得 ，
∴此直线的解析式为：y=2x﹣1，
第12页（共22页）∵Q（m，n）是直线l上的点，
∴2m﹣1=n，即2m﹣n=1，
∴原式=（1+3）2=16．
故答案为：16．
点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析
式．
三.解答题
19．（10分）（2012•南通）计算：（1）|﹣1|+（﹣2）2+（7﹣π）0﹣（ ）﹣1
（2） ÷ ﹣ × + ．
考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
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分析：（1）根据绝对值、有理数的乘方、零整数指数幂、负整数指数幂的定义分别进行计算，再把所得的结
果相加即可；
（2）根据二次根式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再合并同类二次根式即可．
解答：
解：（1）|﹣1|+（﹣2）2+（7﹣π）0﹣（ ）﹣1
=1+4+1﹣3
=3；
（2） ÷ ﹣ × +
= ﹣ +2
=4+ ．
点评：此题考查了二次根式的混合运算，在计算时要注意顺序和法则以及结果的符号．
20．（8分）（2012•南通）先化简，再求值： ，其中x=6．
考点：分式的化简求值．
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分析：首先把括号里面的分子分解因式，再约分化简，然后再通分计算，再把括号外的除法运算转化成乘
法运算，再进行约分化简，最后把x=6代入即可求值．
解答：
解：原式=[1+ •
]
=[ + •
]
= •
=x﹣1，
把x=6代入得：原式=6﹣1=5．
点评：本题主要考查了分式的化简求值，解答本题的关键是把分式通过约分化为最简，然后再代入数值计
算．在化简的过程中要注意运算顺序．
第13页（共22页）21．（9分）（2012•南通）为了了解学生参加家务劳动的情况，某中学随机抽取部分学生，统计他们双休日两
天家务劳动的时间，将统计的劳动时间（单位：分钟）分成5组：30≤x＜60，60≤x＜90，90≤x＜120，120≤x＜
150，150≤x＜180，绘制成频数分布直方图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 10 0 ；
（2）根据小组60≤x＜90的组中值75，估计该组中所有数据的和为 150 0 ；
（3）该中学共有1000名学生，估计双休日两天有多少名学生家务劳动的时间不小于90分钟？
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体．
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分析：（1）把每一组的频数相加即可求出这次抽样调查的样本容量；
（2）用小组60≤x＜90的组中值乘以这一组的频数即可求出答案；
（3）用总人数乘以劳动的时间不小于90分钟的人数所占的百分比即可．
解答：解：（1）这次抽样调查的样本容量是：5+20+35+30+10=100；
（2）因为小组60≤x＜90的组中值75，
所以该组中所有数据的和为：75×20=1500；
（3）根据题意得：
1000× =750（人）．
答：该中学双休日两天有750名学生家务劳动的时间不小于90分钟．
故答案为：100，1500．
点评：
本题考查频率分布表，根据频率= ，知道其中任何两个量可求出其它的量，且频率和为1，频数
和与样本容量相等，以及频率与所占百分比的关系等．
22．（8分）（2012•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD
的上方，求AB和CD的距离．
考点：垂径定理；勾股定理．
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专题：探究型．
分析：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，
EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，在构建的直角三角形中，根据勾股定
第14页（共22页）理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．
解答：解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=30cm，CD=16cm，
∴AE= AB= ×30=15cm，CF= CD= ×16=8cm，
在Rt△AOE中，
OE= = =8cm，
在Rt△OCF中，
OF= = =15cm，
∴EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm．
答：AB和CD的距离为7cm．
点评：本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．（8分）（2012•南通）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南
方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程（结果保
留根号）．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
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专题：计算题．
分析：将AB分为AE和BE两部分，分别在Rt△BEP和Rt△BEP中求解．要利用30°的角所对的直角边是
斜边的一半和等腰直角三角形的性质解答．
解答：解：∵AB为南北方向，
∴△AEP和△BEP分别为直角三角形，
在Rt△AEP中，
∠APE=90°﹣60°=30°，
AE= AP= ×100=50海里，
∴EP=100×cos30°=50 海里，
在Rt△BEP中，
BE=EP=50 海里，
∴AB=（50+50 ）海里．
答：测量船从A处航行到B处的路程为（50+50 ）海里．
第15页（共22页）点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，找到题目中的特殊角并熟悉解直角三角形是解题
的关键．
24．（8分）（2012•南通）四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．
（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数偶数的概率；
（2）从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，求这两张牌的点数都是偶数的概率．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
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分析：（1）利用数字2，3，4，8中一共有3个偶数，总数为4，即可得出点数偶数的概率；
（2）利用树状图列举出所有情况，让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
解答：解：（1）根据数字2，3，4，8中一共有3个偶数，
故从中随机抽取一张牌，这张牌的点数偶数的概率为： ；
（2）根据从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，列树状图如下：
根据树状图可知，一共有12种情况，两张牌的点数都是偶数的有6种，
故连续抽取两张牌的点数都是偶数的概率是： = ．
点评：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成
的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实
验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．（9分）（2012•南通）甲、乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段
OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y
（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了 0. 5 h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
第16页（共22页）考点：一次函数的应用．
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分析：（1）利用图象得出CD这段时间为2.5﹣2=0.5，得出答案即可；
（2）利用D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），求出函数解析式即可；
（3）利用OA的解析式得出，当60x=110x﹣195时，即可求出轿车追上货车的时间．
解答：解：（1）利用图象可得：线段CD表示轿车在途中停留了：2.5﹣2=0.5小时；
（2）根据D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），
代入y=kx+b，得：
，
解得： ，
故线段DE对应的函数解析式为：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）∵A点坐标为：（5，300），
代入解析式y=ax得，
300=5a，
解得：a=60，
故y=60x，当60x=110x﹣195，
解得：x=3.9，故3.9﹣1=2.9（小时），
答：轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车．
点评：此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出函数解析式利用图
象分析得出是解题关键．
26．（10分）（2012•南通）菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；
（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
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专题：证明题．
分析：（1）首先连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，又由三
线合一，可证得AE⊥BC，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；
（2）首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角
第17页（共22页）形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三
角形．
解答：证明：（1）连接AC，
∵在菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AB=BC=CD，∠C=180°﹣∠B=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵∠AEF=60°，
∴∠FEC=90°﹣∠AEF=30°，
∴∠CFE=180°﹣∠FEC﹣∠ECF=180°﹣30°﹣120°=30°，
∴∠FEC=∠CFE，
∴EC=CF，
∴BE=DF；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠B=∠ACF=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，
∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，
∴∠AEB=∠AFC，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判
定与性质．此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
27．（12分）（2012•南通）如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以
a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B
运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．
（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．
①若a= ，求PQ的长；
②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
第18页（共22页）考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质．
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专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，
即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的
值；
（2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线
段成比例定理，即可得方程 ，解此方程即可求得答案；
②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是
菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在．
解答：解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，
∴BD=CD= BC=6cm，
∵a=2，
∴BP=2tcm，DQ=tcm，
∴BQ=BD﹣QD=6﹣t（cm），
∵△BPQ∽△BDA，
∴ ，
即 ，
解得：t= ；
（2）①过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，
∴PB=CM，
∴PB=PQ，
∴BE= BQ= （6﹣t）cm，
∵a= ，
∴PB= tcm，
∵AD⊥BC，
∴PE∥AD，
∴PB：AB=BE：BD，
第19页（共22页）即 ，
解得：t= ，
∴PQ=PB= t= （cm）；
②不存在．理由如下：
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．
若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，
∵PM∥CQ，
∴∠PCQ=∠CPM，
∴∠CPM=∠PCM，
∴PM=CM，
∴四边形PQCM是菱形，
∴PQ=CQ，PM∥CQ，
∴PB=CQ，PM：BC=AP：AB，
∵PB=atcm，CQ=CD+QD=6+t（cm），
∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB﹣PB=10﹣at（cm），
，
化简得②：6at+5t=30③，
把①代入③得，t=﹣ ，
∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．
第20页（共22页）点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性
质等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．
请修改新增的标题
28．（14分）（2012•南通）如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y= x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O
为坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y= x2+bx+c向上平移 个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛
物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．
考点：二次函数综合题．
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专题：压轴题；分类讨论．
分析：（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入
直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．
（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半
轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过
相关比例线段求出AM的长．
解答：
解：（1）将A（0，﹣4）、B（﹣2，0）代入抛物线y= x2+bx+c中，得：
，
解得：
第21页（共22页）故抛物线的解析式：y= x2﹣x﹣4．
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y= （x+m）2﹣（x+m）﹣4+ ，即：y= x2+（m﹣1）x+ m2﹣
m﹣ ；
它的顶点坐标P：（1﹣m，﹣1）；
由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把x=4，y=0代入，
∴4k+b=0，b=﹣4，
∴y=x﹣4．
同理直线AB：y=﹣2x﹣4；
当点P在直线AB上时，﹣2（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m= ；
当点P在直线AC上时，（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；
∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜ ；
又∵m＞0，
∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜ ．
（3）由A（0，﹣4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠OMB=∠NBA；
如图，在△ABN、△AM B中，
1
∠BAN=∠M
1
AB，∠ABN=∠AM
1
B，
∴△ABN∽△AM
1
B，得：AB2=AN•AM
1
；
易得：AB2=（﹣2）2+42=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2；
∴AM =20÷2=10；
1
而∠BM
1
A=∠BM
2
A=∠ABN，
∴OM =OM =6，AM =OM ﹣OA=6﹣4=2．
1 2 2 2
综上，AM的长为10或2．
点评：考查了二次函数综合题，该函数综合题的难度较大，（3）题注意分类讨论，通过构建相似三角形是打
开思路的关键所在．
第22页（共22页）
