文档内容
2012年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（本题个8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列实数中是无理数的是（ ）
A． B． C． 0 D．
π
2．（3分）2012年5月25日有700多位来自全国各地的知名企业家聚首湖北共签约项目投资
总额为909260000000元，将909260000000用科学记数法表示为表示（保留3个有效数
字），正确的是（ ）
A．909×1010 B．9.09×1011
C．9.09×1010 D．9.0926×1011
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x4•x3＝x12 B．（x3）4＝x81
C．x4÷x3＝x（x≠0） D．x4+x3＝x7
4．（3分）如图，水平放置的圆柱体的三视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（
第1页（共22页））
A．矩形
B．菱形
C．对角线互相垂直的四边形
D．对角线相等的四边形
6．（3分）如图，AB为 O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则 O的直径为（
） ⊙ ⊙
A．8 B．10 C．16 D．20
7．（3分）下列说法中
若式子 有意义，则x＞1．
①已知∠ ＝27°，则∠ 的补角是153°．
②已知x＝α2是方程x2﹣α6x+c＝0的一个实数根，则c的值为8．
③
在反比例函数y＝ 中，若x＞0时，y随x的增大增大，则k的取值范围是k＞2．
④
其中正确命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每
秒 cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向
终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若
四边形QPCP′为菱形，则t的值为（ ）
第2页（共22页）A． B．2 C． D．3
二、填空题（本题个8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）﹣ 的倒数是 ．
10．（3分）因式分解：x3﹣9x＝ ．
11．（3分）化简 的结果是 ．
12．（3分） 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点
D，连接BE，则∠EBC的度数为 ．
13．（3分）已知实数x满足x+ ＝3，则x2+ 的值为 ．
14．（3分） 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，AB＝CD＝5，∠B＝60°，则下底BC的
长为 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，
0），将△ABC平移至△A B C 的位置，点ABC的对应点分别是A B C ，若点A 的坐标为
1 1 1 1 1 1 1
（3，1）．则点C 的坐标为 ．
1
16．（3分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快
递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直
至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间
x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：
快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；
①甲、乙两地之间的距离为120千米；
②
第3页（共22页）图中点B的坐标为（3 ，75）；
③
快递车从乙地返回时的速度为90千米/时，
④以上4个结论正确的是 ．
三、解答题（本题个9个小题，72分）
17．（5分）解不等式组 ．
18．（7分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且
DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．
求证：AM⊥DF．
19．（6分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1、2、3、4．小明先随机地摸
出一个小球，小强再随机的摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号
为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜．
若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．
①若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．
20．②（6分）为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，梅灿
中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实
地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，先从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，
数据如表：
年收入（单位：万元） 2 2.5 3 4 5 9 13
第4页（共22页）家庭个数 1 3 5 2 2 1 1
（1）求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数；
（2）你认为用（1）中的哪个数据来代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适？请
简要说明理由．
21．（6分）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有AB两个
制衣间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A、B两车间共完成一半后，A车间出现
故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成，求A、B两车间每天
分别能加工多少件．
22．（8分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆 O，交AC于点D，过点D作
DE⊥BC，垂足为点E． ⊙
（1）求证：DE为 O的切线；
（2）求证：BD2＝⊙AB•BE．
23．（8分）新星小学门口有一直线马路，为方便学生过马路，交警在路口设有一定宽度的斑
马线，斑马线的宽度为4米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2
米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为
∠FAE＝15°和∠FAD＝30°，司机距车头的水平距离为0.8米，试问该旅游车停车是否符合
上述安全标准？（E、D、C、B四点在平行于斑马线的同一直线上）
参考数据：tan15°＝2﹣ ，sin15°＝ ，cos15°＝ ， ≈1.732， ≈1.414．
第5页（共22页）24．（12分）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定
为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一
次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10
件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于
2600元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间
的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一
次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越
多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不
变）
25．（14分）如图，已知抛物线的方程C ：y＝﹣ （x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，
1
与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C 过点M（2，2），求实数m的值；
1
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C 上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与
1
△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
第6页（共22页）2012年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题个8个小题，每小题3分，共24分）
1．【分析】根据无理数的三种形式： 开方开不尽的数， 无限不循环小数， 含有 的数，
结合选项即可得出答案． ① ② ③ π
【解答】解：A、 ＝2，是有理数，故本选项错误；
B、 ＝2，是有理数，故本选项错误；
C、 0＝1，是有理数，故本选项错误；
D、π 是无理数，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了无理数的定义，属于基础题，熟练掌握无理数的三种形式是解答本题
的关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定a×10n
（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点；有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0
的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的
a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：909260000000＝9.0926×1011≈9.09×1011．
故选：B．
【点评】本题考查学生对科学记数法的掌握和有效数字的运用．用科学记数法表示数，一
定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
3．【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，及幂的乘方与积的乘方的法则，
结合选项即可作出判断．
【解答】解：A、x4•x3＝x7，故本选项错误；
B、（x3）4＝x12，故本选项错误；
C、x4÷x3＝x（x≠0），故本选项正确；
D、x4+x3≠x7，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方及合并同类项的知识，关键是
第7页（共22页）掌握各部分的运算法则，要求我们熟练基本知识．
4．【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即
可得出答案．
【解答】解：依据圆柱体放置的方位来说，从正面和上面可看到的长方形是一样的；
从左面可看到一个圆．
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键，本题是基础题，常规题型．
5．【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：
所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻
边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【解答】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的
中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用
三角形的中位线定理解答．
6．【分析】连接OC，可知，点E为CD的中点，在Rt△OEC中，OE＝OB﹣BE＝OC﹣BE，根据
勾股定理，即可得出OC，即可得出直径．
【解答】解：连接OC，根据题意，
CE＝ CD＝6，BE＝2．
在Rt△OEC中，
第8页（共22页）设OC＝x，则OE＝x﹣2，
故：（x﹣2）2+62＝x2
解得：x＝10
即直径AB＝20．
故选：D．
【点评】本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用，解题的关键是利用勾股定理构造
直角三角形．
7．【分析】分别根据二次根式有意义的条件、补角的定义、一元二次方程的解及反比例函数的
性质对各小题进行逐一解答即可．
【解答】解： 若式子 有意义，则x≥1，故本小题错误；
若∠ ＝27°①，则∠ 的补角＝180°﹣27°＝153°，故本小题正确；
②已知αx＝2是方程xα 2﹣6x+c＝0的一个实数根，则22﹣12+c＝0，解得c＝8，故本小题正
③确；
在反比例函数y＝ 中，若x＞0时，y随x的增大增大，则k﹣2＜0，解得k＜2，故本
④
小题错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、补角的定义、一元二次方程的解及反比例
函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
8．【分析】首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根
据平行线分线段成比例可得 ＝ ，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t
的值．
【解答】解：连接PP′交BC于O，
∵若四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥QC，
第9页（共22页）∴∠POQ＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴PO∥AC，
∴ ＝ ，
∵设点Q运动的时间为t秒，
∴AP＝ t，QB＝t，
∴QC＝6﹣t，
∴CO＝3﹣ ，
∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝6 ，
∴ ＝ ，
解得：t＝2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是熟记平行线
分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所
得的对应线段成比例．推出比例式 ＝ ，再表示出所需要的线段长代入即可．
二、填空题（本题个8个小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】根据乘积是1的两数互为倒数，进行计算即可．
【解答】解：﹣ 的倒数为：﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了倒数的定义，属于基础题，注意掌握倒数的定义：乘积是1的两数互为
第10页（共22页）倒数．
10．【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【解答】解：x3﹣9x，
＝x（x2﹣9），
＝x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次
分解，分解因式要彻底．
11．【分析】原式被除式括号中的第一项分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公
式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，再利
用乘法分配律将括号外边的项乘到括号中的每一项，约分后，找出两分母的最简公分母，
通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分后得到最简结果．
【解答】解：（ + ）÷
＝[ + ]•
＝ • + •
＝ ﹣
＝
＝
＝ ．
故答案为：
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找出最
简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母
出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．
12．【分析】由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE＝BE，则可求
得∠ABE的度数，又由AB＝AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC
的度数，继而求得答案．
第11页（共22页）【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ ＝72°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝72°﹣36°＝36°．
故答案为：36°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数
形结合思想的应用．
13．【分析】将x+ ＝3两边平方，然后移项即可得出答案．
【解答】解：由题意得，x+ ＝3，
两边平方得：x2+2+ ＝9，
故x2+ ＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全平方公式的展开式的形式是解答此题
的关键，属于基础题．
14．【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，分别利用解直角三角
形的知识得出BE、CF的长，继而可得出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB＝5，∠B＝60°，
∴BE＝ ；
同理可得CF＝ ，
故BC的长＝BE+EF+FC＝5+AD＝9．
故答案为：9．
第12页（共22页）【点评】此题考查了等腰梯形的性质，解答本题的关键是求出BE及CF的长度，要求我们
熟练记忆等腰梯形的几个性质．
15．【分析】首先根据A点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，点A横坐标加5，纵坐
标减2，那么让点C的横坐标加5，纵坐标﹣2即为点C 的坐标．
1
【解答】解：由A（﹣2，3）平移后点A 的坐标为（3，1），可得A点横坐标加5，纵坐标减2，
1
则点C的坐标变化与A点的变化相同，故C （2+5，0﹣2），即（7，﹣2）．
1
故答案为：（7，﹣2）．
【点评】本题主要考查图形的平移变换，解决本题的关键是根据已知对应点找到所求对应
点之间的变化规律．
16．【分析】根据一次函数的性质和图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案．
【解答】解： 设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，则
3（x﹣60）＝1①20，
x＝100．（故 正确）；
因为120千①米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，（故
②错误）；
②因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，
③
所以图中点B的横坐标为3+ ＝3 ，
纵坐标为120﹣60× ＝75，（故 正确）；
③
设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时，则
④
（y+60）（4 ﹣3 ）＝75，
y＝90，（故 正确）．
故答案为； ④ ．
【点评】本题①考③查④的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，关键
是根据一次函数的性质和图象结合实际问题判断出每一结论是否正确．
三、解答题（本题个9个小题，72分）
第13页（共22页）17．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小
小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解： ，
由 得：x＜ ，
①
由 得：x≥﹣2，
②
故不等式组的解集为：﹣2≤x＜ ．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，一般是求出其中各不等式的解集，再求出
这些解集的公共部分．
18．【分析】根据DE＝CF，可得出OE＝OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝
∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即得出了结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝DO，
又∵DE＝CF，
∴OD﹣DE＝OC﹣CF，即OF＝OE，
在△AOE和△DOF中， ，
∴△AOE≌△DOF（SAS），
∴∠OAE＝∠ODF，
∵∠OAE+∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，
∴∠ODF+∠DEM＝90°，
即可得AM⊥DF．
【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全
等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题．
第14页（共22页）19．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情
况，继而利用概率公式即可求得答案，注意此题属于不放回实验；
（2）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明、小强获胜的情况，
继而利用概率公式求得其概率，比较概率，则可得到他们制定的游戏规则是否公平，注意
此题属于放回实验．
【解答】解： 画树状图得：
①
∵共有12种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）
共6种情况，
∴小明获胜的概率为： ＝ ；
（2）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）
共6种情况，
∴P（小明获胜）＝ ＝ ，P（小强获胜）＝ ，
∵P（小明获胜）≠P（小强获胜），
∴他们制定的游戏规则不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概
率相等就公平，否则就不公平．
20．【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；
（2）在平均数，众数和中位数中，平均数受到极端值的影响较大，所以众数和中位数都能
反映家庭年收入的一般水平．
第15页（共22页）【解答】解：（1）这15名学生家庭年收入的平均数是：
（2+2.5×3+3×5+4×2+5×2+9+13）÷15＝4.3万元；
将这15个数据从小到大排列，最中间的数是3，
所以中位数是3万元；
在这一组数据中3出现次数最多的，
故众数3万元；
（2）（2）众数和中位数代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适，
因为3即是众数也是中位数，所以能代表家庭年收入的一般水平．
【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数的概念和其意义．要注意：当所给数据有单位
时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
21．【分析】首先设B车间每天能加工x件，则A车间每天能加工1.2x件，由题意可得等量关
系：A、B两车间生产4400件所用的时间+B两车间生产4400件所用的时间＝20天，有等
量关系可列出方程 + ＝20，解方程可得答案，注意不要忘记检验．
【解答】解：设B车间每天能加工x件，则A车间每天能加工1.2x件，由题意得：
＝20，
解得：x＝320，
经检验：x＝320是原分式方程的解，且符合题意．
1.2×320＝384（件）．
答：A车间每天能加工384件，B车间每天能加工320件．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，
再列出方程．列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答，必须严格按照这5步进
行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．
22．【分析】（1）连接OD、BD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，继而得出点D是AC中点，
判断出OD是三角形ABC的中位线，利用中位线的性质得出∠ODE＝90°，这样可判断出
结论．
（2）根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD2＝BC•BE，将BC替换成AB即可得出
结论．
【解答】证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB＝90°（圆周角定理），
第16页（共22页）∵BA＝BC，
∴CD＝AD（三线合一），
又∵AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵∠DEB＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，
故可得DE为 O的切线；
⊙
（2）∵∠EBD＝∠DBC，∠DEB＝∠CDB，
∴△BED∽△BDC，
∴ ＝ ，
又∵AB＝BC，
∴ ＝ ，
故BD2＝AB•BE．
【点评】此题考查了切线的判定及性质、三角形的中位线的判定与性质等腰三角形的性质，
解答本题的关键是得出点D是AC中点，求出∠ODE是直角，有一定难度．
23．【分析】由∠FAE＝15°，∠FAD＝30°可知∠EAD＝15°，根据AF∥BE可知∠AED＝∠FAE
＝15°，∠ADB＝∠FAD＝30°，设AB＝x，则在Rt△AEB中，EB＝ ，在Rt△ADB
中，BD＝ ，再把两式联立即可求出CD的值．
【解答】解：∵∠FAE＝15°，∠FAD＝30°，
∴∠EAD＝15°，
第17页（共22页）∵AF∥BE，
∴∠AED＝∠FAE＝15°，∠ADB＝∠FAD＝30°，
设AB＝x，
则在Rt△AEB中，EB＝ ＝ ，
∵ED＝4，ED+BD＝EB，
∴BD＝ ﹣4，
在Rt△ADB中，BD＝ ＝ ，
∴ ﹣4＝ ，即（ ﹣ ）x＝4，解得x＝2，
∴BD＝ ＝2 ，
∵BD＝CD+BC＝CD+0.8，
∴CD＝2 ﹣0.8≈2×1.732﹣0.8≈2.7＞2，故符合标准．
答：该旅游车停车符合规定的安全标准．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意找出符合条件的直角三角形，利用
直角三角形的性质进行解答是解答此题的关键．
24．【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000﹣10（x﹣10）元，根据销售单价恰好为2600
元，列方程求解；
（2）由利润y＝（销售单价﹣成本单价）×件数，及销售单价均不低于2600元，按
0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情形列出函数关系式；
（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，
确定销售单价．
【解答】解：（1）设件数为x，依题意，得3000﹣10（x﹣10）＝2600，解得x＝50，
答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；
（2）当0≤x≤10时，y＝（3000﹣2400）x＝600x，
当10＜x≤50时，y＝[3000﹣10（x﹣10）﹣2400]x，即y＝﹣10x2+700x
当x＞50时，y＝200x．
第18页（共22页）（3）由y＝﹣10x2+700x可知抛物线开口向下，当x＝﹣ ＝35时，利润y有最大
值，
此时，销售单价为3000﹣10（x﹣10）＝2750元，
答：公司应将最低销售单价调整为2750元．
【点评】本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，
会表达单件的利润及总利润．
25．【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值；
（2）求出B、C、E点的坐标，进而求得△BCE的面积；
（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x＝1对称，连接
EC与对称轴的交点即为所求的H点，如答图1所示；
（4）本问需分两种情况进行讨论：
当△BEC∽△BCF时，如答图2所示．此时可求得m＝ +2；
①当△BEC∽△FCB时，如答图3所示．此时可以得到矛盾的等式，故此种情形不存在．
②【解答】解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：
2＝﹣ （2+2）（2﹣m），解得m＝4．
（2）由（1）知，m＝4，
∴抛物线的方程C ：y＝﹣ （x+2）（x﹣4），
1
令y＝0，即 （x+2）（x﹣4）＝0，解得x ＝﹣2，x ＝4，
1 2
∴B（﹣2，0），C（4，0）
在C 中，令x＝0，得y＝2，
1
∴E（0，2）．
∴S△BCE ＝ BC•OE＝6．
（3）由（1）知，m＝4，
∴抛物线的方程C ：y＝﹣ （x+2）（x﹣4），
1
抛物线的对称轴为x＝1，
第19页（共22页）又点B、C关于x＝1对称．
如解答图1，连接EC，交x＝1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）．
设直线EC：y＝kx+b，
将E（0，2）、C（4，0）代入得：y＝ x+2，
当x＝1时，y＝ ，
∴H（1， ）．
（4）分两种情形讨论：
当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．
①
则 ，
∴∠EBC＝∠CBF，BC2＝BE•BF．
由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB＝OE，
∴∠EBC＝45°，
∴∠CBF＝45°，
作FT⊥x轴于点T，则∠BFT＝∠TBF＝45°，
∴BT＝TF．
∴设F（a，﹣a﹣2）（a＞0），又点F在抛物线上，
∴﹣a﹣2＝﹣ （a+2）（a﹣m），
∵a+2＞0，
∵a＞0，
∴a＝2m，F（2m，﹣2m﹣2）．
此时BF＝ ＝2 （m+1），BE＝ ，BC＝m+2，
又∵BC2＝BE•BF，
∴（m+2）2＝ • （m+1），
∴m＝2± ，
∵m＞0，
∴m＝ +2．
第20页（共22页）当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．
②
则 ，
∴BC2＝EC•BF．
∵△BEC∽△FCB
∴∠CBF＝∠ECO，
∵∠EOC＝∠FTB＝90°，
∴△BTF∽△COE，
∴ ，
∴设F（b， （b+2））（b＞0）
又∵点F在抛物线上，
∴ （b+2）＝﹣ （b+2）（b﹣m），
∵b＞0，
∴b+2＞0，
∴b＝m+2，
∴F（m+2， （m+4）），EC＝ ，BC＝m+2，
又∵BC2＝EC•BF，
∴（m+2）2＝ •
（m+2）2＝ •（m+4），
∴m（m+2）2＝（m2+4）（m+4），
∴m3+4m2+4m＝m3+4m+4m2+16，
整理得：0＝16，显然不成立．
综合 得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与
△BC①E相②似，m＝ +2．
第21页（共22页）【点评】本题涉及二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称﹣最小路径
问题等重要知识点，难度较大．本题难点在于第（4）问，需要注意分两种情况进行讨论，避
免漏解；而且在计算时注意利用题中条件化简计算，避免运算出错．
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