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2012年贵州省毕节地区中考数学试卷
一、选一选（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题的四个选项中，只有一个选项
正确，请把你认为正确的选项填涂在相应的答题卡上）
1．（3分）下列四个数中，无理数是（ ）
A． B． C．0 D．
π
2．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是（ ）
A．a＜b B．|a|＞|b| C．﹣a＜﹣b D．b﹣a＞0
3．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．a4•a6＝a24 C．a2÷a＝a D．（a+b）2＝a2+b2
5．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1＝120°，∠2＝80°，则
∠3的度数是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
6．（3分）一次函数y＝x+m（m≠0）与反比例函数 的图象在同一平面直角坐标系中是（
）
A． B． C． D．
7．（3分）小颖将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次，你认为三次都是正面朝上的概率是（
第1页（共31页））
A． B． C． D．
8．（3分）王老师有一个装文具用的盒子，它的三视图如图所示，这个盒子类似于（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．三棱柱
9．（3分）第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组
成，如图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（ ）
A．外离 B．内切 C．外切 D．相交
10．（3分）分式方程 的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．无解
11．（3分）如图．在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接
CD，若BD＝1，则AC的长是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，
得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）
第2页（共31页）A．（2，4） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣4） D．（﹣2，﹣1）
13．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．两条平行线间的距离处处相等
D．正方形的两条对角线互相垂直平分
14．（3分）毕节市某地盛产天麻，为了解今年这个地方天麻的收成情况，特调查了20户农户，
数据如下：（单位：千克）则这组数据的（ ）
300 200 150 100 500 100 350 500 300 400
150 400 200 350 300 200 150 100 450 500．
A．平均数是290 B．众数是300
C．中位数是325 D．极差是500
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；
又以A为圆心，AE的长为半径作 ．若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是
（ ）（参考数据： ， ， 取3.14）
π
A．0.64 B．1.64 C．1.68 D．0.36
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16．（5分）据探测，我市煤炭储量大，煤质好，分布广，探测储量达364.7亿吨，占贵州省探明
第3页（共31页）储量的45%，号称“江南煤海”．将数据“364.7亿”用科学记数法表示为 ．
17．（5分）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角
线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 ．
18．（5分）不等式组 的整数解是 ．
19．（5分）如图，双曲线 上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积
为2，则该双曲线的表达式为 ．
20．（5分）在如图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，
第10个图案中共有 个小正方形．
三、解答及证明（本大题共7小题，各题分值见题号后，共80分）
21．（8分）计算： +（﹣ ）﹣1﹣2tan60°﹣（﹣1）2012．
22．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
第4页（共31页）23．（12分）如图 ，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′．
（1）如图 ，将①△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四
边形A′②BCD是 形；
（2）如图 ，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、
A、B在同③一直线上，则旋转角为 度；连接CC′，四边形CDBC′是 形；
（3）如图 ，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相
交于E，④连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由．
24．（10分）近年来，地震、泥石流等自然灾害频繁发生，造成极大的生命和财产损失．为了更
好地做好“防震减灾”工作，我市相关部门对某中学学生“防震减灾”的知晓率采取随
机抽样的方法进行问卷调查，调查结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”
和“不了解”四个等级．小明根据调查结果绘制了如下统计图，请根据提供的信息回答问
题：
第5页（共31页）（1）本次参与问卷调查的学生有 人；扇形统计图中“基本了解”部分所对应的扇
形圆心角是 度；在该校2000名学生中随机提问一名学生，对“防震减灾”不了解
的概率为 ．
（2）请补全频数分布直方图．
25．（12分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商
品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商
品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
26．（14分）如图，AB是 O的直径，AC为弦，D是 的中点，过点D作EF⊥AC，交AC的延
⊙ 第6页（共31页）长线于E，交AB的延长线于F．
（1）求证：EF是 O的切线；
⊙
（2）若sin∠F＝ ，AE＝4，求 O的半径和AC的长．
⊙
27．（16分）如图，直线l 经过点A（﹣1，0），直线l 经过点B（3，0），l 、l 均为与y轴交于点C
1 2 1 2
（0， ），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
第7页（共31页）（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l 交于点E、与抛物线交于点F、与l 交于点
2 1
G．求证：DE＝EF＝FG；
（3）若l ⊥l 于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写
1 2
出符合条件的点P的坐标，并简述理由．
第8页（共31页）2012 年贵州省毕节地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选一选（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题的四个选项中，只有一个选项
正确，请把你认为正确的选项填涂在相应的答题卡上）
1．（3分）下列四个数中，无理数是（ ）
A． B． C．0 D．
π
【考点】26：无理数．
【分析】利用无理数是无限不循环小数分析求解即可求得答案，注意掌握排除法在解选择
题中的应用．
【解答】解：A、 ＝2，是有理数，故选项错误；
B、 ，是分数，故是有理数，故选项错误；
C、0是整数，故是有理数，故选项错误；
D、 是无理数．
故选π：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义．无限不循环小数为无理数．如 ， ，
0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式，注意带根号的要开不尽方π才是无理
数，
2．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是（ ）
A．a＜b B．|a|＞|b| C．﹣a＜﹣b D．b﹣a＞0
【考点】29：实数与数轴．
【分析】根据数轴表示数的方法得到a＜0＜b，数a表示的点比数b表示点离原点远，则a
＜b；﹣a＞﹣b；b﹣a＞0，|a|＞|b|．
【解答】解：根据题意得，a＜0＜b，
∴a＜b；﹣a＞﹣b；b﹣a＞0，
∵数a表示的点比数b表示点离原点远，
∴|a|＞|b|，
第9页（共31页）∴选项A、B、D正确，选项C不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；数轴上原点左边的点表示
负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．
3．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
【解答】解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，则只有选项A是中
心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身
重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．a4•a6＝a24
C．a2÷a＝a D．（a+b）2＝a2+b2
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法；4C：完全平方公式．
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及完全平方公式的知识求
解，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故本选项错误；
B、a4•a6＝a10，故本选项错误；
C、a2÷a＝a，故本选项正确；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及完全平方公式的
知识．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
5．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1＝120°，∠2＝80°，则
∠3的度数是（ ）
第10页（共31页）A．40° B．60° C．80° D．120°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据平行线性质求出∠1＝∠2+∠3，代入即可得出答案．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2+∠3，
∵∠1＝120°，∠2＝80°，
∴∠3＝120°﹣80°＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线性质的应用，关键是根据平行线性质得出∠3+∠2＝∠1，题目
比较典型，难度不大．
6．（3分）一次函数y＝x+m（m≠0）与反比例函数 的图象在同一平面直角坐标系中是（
）
A． B．
C． D．
【考点】F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象．
【专题】31：数形结合．
【分析】根据一次函数的图象性质，y＝x+m的图象必过第一、三象限，可对B、D进行判断；
根据反比例函数的性质当m＜0，y＝x+m与y轴的交点在x轴下方，可对A、D进行判断．
【解答】解：A、对于反比例函数图象得到m＜0，则对于y＝x+m与y轴的交点在x轴下方，
所以A选项不正确；
第11页（共31页）B、因为y＝x+m中，k＝1＞0，所以其图象必过第一、三象限，所以B选项不正确；
C、对于反比例函数图象得到m＜0，则对于y＝x+m与y轴的交点在x轴下方，并且y＝
x+m的图象必过第一、三象限，所以C选项正确；
D、对于y＝x+m，其图象必过第一、三象限，所以D选项不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象：对于反比例函数y＝ （k≠0），当k＞0，反比例函
数图象分布在第一、三象限；当k＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限．也考查了一次
函数的图象．
7．（3分）小颖将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次，你认为三次都是正面朝上的概率是（
）
A． B． C． D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与三次都是正
面朝上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，三次都是正面朝上的有1种情况，
∴三次都是正面朝上的概率是： ．
故选：D．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之
比．
8．（3分）王老师有一个装文具用的盒子，它的三视图如图所示，这个盒子类似于（ ）
第12页（共31页）A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．三棱柱
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答．
【解答】解：如图，俯视图为三角形，故可排除C、B．主视图以及侧视图都是矩形，可排除
A，故选D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，难度一般，考生做此类题时可利用排除
法解答．
9．（3分）第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组
成，如图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（ ）
A．外离 B．内切 C．外切 D．相交
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
【分析】根据两圆的位置关系易得到它们的位置关系有外切、外离、相交．
【解答】解：观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆只有一个公
共点，即外切；有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆有两个公共点，即相交．
故选：B．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为R，r，圆心距为d，若d＞
R+r，两圆外离；若d＝R+r，两圆外切；若R﹣r＜d＜R+（r R≥r），两圆相交；若d＝R﹣（r R
＞r），两圆内切；若0≤d＜R﹣r（R＞r），两圆内含．
10．（3分）分式方程 的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．无解
【考点】B3：解分式方程．
【分析】先去分母，求出整式方程的解再把所得整式方程的解代入公分母进行检验即可．
第13页（共31页）【解答】解：去分母得，（x+1）﹣2（x﹣1）＝4，解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入公分母得，x2﹣1＝1﹣1＝0，
故x＝﹣1是原方程的增根，此方程无解．
故选：D．
【点评】本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时要注意验根．
11．（3分）如图．在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接
CD，若BD＝1，则AC的长是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【考点】K7：三角形内角和定理；KG：线段垂直平分线的性质；KH：等腰三角形的性质；
KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理．
【专题】11：计算题．
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD＝CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、
AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，
∵BD＝1，
∴CD＝2＝AD，
∴AB＝1+2＝3，
在△BCD中，由勾股定理得：CB＝ ，
在△ABC中，由勾股定理得：AC＝ ＝2 ，
故选：A．
第14页（共31页）【点评】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角
形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合
性比较强，难度适中．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，
得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣4） D．（﹣2，﹣1）
【考点】D5：坐标与图形性质；SC：位似变换．
【分析】根据以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标
应乘以﹣2，即可得出点A′的坐标．
【解答】解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，
故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或﹣k
是解题关键．
13．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．两条平行线间的距离处处相等
D．正方形的两条对角线互相垂直平分
【考点】JC：平行线之间的距离；LE：正方形的性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理；O1：
命题与定理．
【分析】分析是否为假命题，可以举出反例；也可以分别分析各题设是否能推出结论，从而
利用排除法得出答案．
第15页（共31页）【解答】解：A、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，是真命题，故本选项不符
合题意；
B、平分弦的直径垂直于弦，是假命题，因为只有当该弦不是直径时才成立，故本选项符合
题意；
C、两条平行线间的距离处处相等，是真命题，故本选项不符合题意；
D、正方形的两条对角线互相垂直平分，是真命题，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命
题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．（3分）毕节市某地盛产天麻，为了解今年这个地方天麻的收成情况，特调查了20户农户，
数据如下：（单位：千克）则这组数据的（ ）
300 200 150 100 500 100 350 500 300 400
150 400 200 350 300 200 150 100 450 500．
A．平均数是290 B．众数是300
C．中位数是325 D．极差是500
【考点】W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数；W6：极差．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据平均数、中位数、极差和众数的定义分别进行计算即可；
【解答】解：平均数是（300×3+200×3+150×3+100×3+500×3+400×2+350×2+450×1）÷20＝
285，
因为300，200，150，100，500出现了三次，次数最多，
所以这组数据的众数是300，200，150，100，500，
所以300也是其中的一位众数，
中位数是（300+300）÷2＝300，
极差是：500﹣100＝400，
故选：B．
【点评】本题考查了平均数、中位数、极差和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大
到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；
又以A为圆心，AE的长为半径作 ．若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是
第16页（共31页）（ ）
（参考数据： ， ， 取3.14）
π
A．0.64 B．1.64 C．1.68 D．0.36
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；KW：等腰直角三角形；
LE：正方形的性质；MO：扇形面积的计算．
【专题】16：压轴题；2B：探究型．
【分析】先根据直角边和斜边相等，证出△ABE≌△ADF，得到△ECF为等腰直角三角形，
求出S△ECF 、S扇形AEF 、S△AEF 的面积，S△ECF ﹣S弓形EGF 即可得到阴影部分面积．
【解答】解：∵AE＝AF，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF（Hl），
∴BE＝DF，
∴EC＝CF，
又∵∠C＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EC＝EFcos45°＝2× ＝ ，
∴S△ECF ＝ × × ＝1，
又∵S扇形AEF ＝ 22＝ ，S△AEF ＝ ×2×2sin60°＝ ×2×2× ＝ ，
π π
又∵S弓形EGF ＝S扇形AEF ﹣S△AEF ＝ ﹣ ，
π
∴S阴影 ＝S△ECF ﹣S弓形EGF ＝1﹣（ ﹣ ）≈0.64．
π
故选：A．
第17页（共31页）【点评】本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰
直角三角形、正方形的性质，将阴影部分面积转化为S△ECF ﹣S弓形EGF 是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16．（5分）据探测，我市煤炭储量大，煤质好，分布广，探测储量达364.7亿吨，占贵州省探明
储量的45%，号称“江南煤海”．将数据“364.7亿”用科学记数法表示为 3.647×1 0 1 0
．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将364.7亿＝36470000000用科学记数法表示为：3.647×1010．
故答案为：3.647×1010．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
17．（5分）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角
线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 5 cm ．
【考点】KQ：勾股定理；KX：三角形中位线定理；L8：菱形的性质；LD：矩形的判定与性质．
【分析】顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角
线的一半，问题得解．
【解答】解：∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形；
理由如下：
∵E、F、G、H分别为各边中点
∴EF∥GH∥AC，EF＝GH＝ DB，
EF＝HG＝ AC，EH∥FG∥BD
第18页（共31页）∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH＝ BD＝3cm，EF＝ AC＝4cm，
∴HF＝ ＝5cm．
故答案为：5cm．
【点评】本题考查菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得
到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用．
18．（5分）不等式组 的整数解是 ﹣ 1 ， 0 ， 1 ．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】首先解不等式组求得不等式的解集，然后确定解集中的整数解即可．
【解答】解： ，
解 得：x≤1，
①
解 得：x＞﹣
②
则不等式组的解集是：﹣ ＜x≤1，
则整数解是：﹣1，0，1．
故答案是：﹣1，0，1．
【点评】本题考查了不等式组的整数解，正确解不等式组是解题的关键．
19．（5分）如图，双曲线 上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积
第19页（共31页）为2，则该双曲线的表达式为 y ＝﹣ ．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据S△AOB ＝2求出k的值
即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∵S△AOB ＝2，
∴|k|＝4，
∴k＝﹣4，即可得双曲线的表达式为：y＝﹣ ，
故答案为：y＝﹣ ．
【点评】本题考查的是反比例系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐
标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．
20．（5分）在如图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，
第10个图案中共有 10 0 个小正方形．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【专题】16：压轴题；2A：规律型．
第20页（共31页）【分析】观察图案不难发现，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第n个图案
的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把n＝10代入进行计算即可得解．
【解答】解：第1个图案中共有1个小正方形，
第2个图案中共有1+3＝4个小正方形，
第3个图案中共有1+3+5＝9个小正方形，
…，
第n个图案中共有1+3+5+…+（2n﹣1）＝ ＝n2个小正方形，
所以，第10个图案中共有102＝100个小正方形．
故答案为：100．
【点评】本题是对图形变化规律的考查，根据图案从上到下的正方形的个数成奇数列排布，
得到第n个图案的正方形的个数的表达式是解题的关键．
三、解答及证明（本大题共7小题，各题分值见题号后，共80分）
21．（8分）计算： +（﹣ ）﹣1﹣2tan60°﹣（﹣1）2012．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】根据负指数幂、二次根式化简，整数指数幂、特殊角的三角函数值分别进行计算，
然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解： ＝3 +（﹣2）﹣2 ﹣1＝ ﹣3．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟练掌握负整数指数幂、整数指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等考点的
运算．
22．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】11：计算题．
【分析】先算除法，再算乘法．将分式因式分解后约分，然后进行通分，最后代入数值计算．
【解答】解：原式＝ ﹣ ×
＝ +
第21页（共31页）＝ +
＝
＝ ．
当x＝ 时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及分式的除法是解题的关键．
23．（12分）如图 ，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′．
（1）如图 ，将①△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四
边形A′②BCD是 平行四边 形；
（2）如图 ，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、
A、B在同③一直线上，则旋转角为 9 0 度；连接CC′，四边形CDBC′是 直角梯 形；
（3）如图 ，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相
交于E，④连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由．
【考点】L6：平行四边形的判定；LH：梯形；LK：等腰梯形的判定；PC：图形的剪拼；Q4：作
图﹣平移变换；R2：旋转的性质．
【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；
（2）利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可；
（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD＝CE，即可得出答案．
【解答】解：（1）平行四边形；
证明：∵AD＝AB，AA′＝AC，
∴A′C与BD互相平分，
∴四边形A′BCD是平行四边形；
第22页（共31页）（2）∵DA由垂直于AB，逆时针旋转到点D、A、B在同一直线上，
∴旋转角为90度；
证明：∵∠D＝∠B＝90°，
A，D，B在一条直线上，
∴CD∥BC′，
∴四边形CDBC′是直角梯形；
故答案为：90，直角梯；
（3）四边形ADBC是等腰梯形；
证明：过点B作BM⊥AC，过点D作DN⊥AC，垂足分别为M，N，
有一张矩形纸片，将它沿对角线 AC 剪开，得到△ACD 和△A′BC′，可得
△ACD≌△A′BC′，
∴S△ACD ＝S△A′BC′ ，
∴BM＝ND，
∴BD∥AC，
∵AD＝BC，
∴四边形ADBC是等腰梯形．
【点评】此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的
判定方法等知识，熟练掌握判定定理是解题关键．
24．（10分）近年来，地震、泥石流等自然灾害频繁发生，造成极大的生命和财产损失．为了更
好地做好“防震减灾”工作，我市相关部门对某中学学生“防震减灾”的知晓率采取随
机抽样的方法进行问卷调查，调查结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”
和“不了解”四个等级．小明根据调查结果绘制了如下统计图，请根据提供的信息回答问
题：
第23页（共31页）（1）本次参与问卷调查的学生有 40 0 人；扇形统计图中“基本了解”部分所对应的扇
形圆心角是 14 4 度；在该校2000名学生中随机提问一名学生，对“防震减灾”不了解
的概率为 ．
（2）请补全频数分布直方图．
【考点】V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图；X4：概率公式．
【专题】27：图表型．
【分析】（1）根据“非常了解”的人数与所占的百分比列式计算即可求出参与问卷调查的
学生人数；求出“基本了解”的学生所占的百分比，再乘以 360°，计算即可得解；求出
“不了解”的学生所占的百分比即可；
（2）根据学生总人数，乘以比较了解的学生所占的百分比，求出比较了解的人数，补全频
数分布直方图即可．
【解答】解：（1）80÷20%＝400人，
×360°＝144°，
＝ ；
故答案为：400，144， ；
（2）“比较了解”的人数为：400×35%＝140人，
补全频数分布直方图如图．
第24页（共31页）【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
25．（12分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商
品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商
品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
【考点】HE：二次函数的应用．
【专题】124：销售问题．
【分析】（1）销售利润＝每件商品的利润×（180﹣10×上涨的钱数），根据每件售价不能高
于35元，可得自变量的取值；
（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整
数解即可；
（3）让（1）中的y＝1920求得合适的x的解即可．
【解答】解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵﹣10＜0，
∴当x＝ ＝4时，y最大 ＝1960元；
∴每件商品的售价为34元．
第25页（共31页）答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；
（3）1920＝﹣10x2+80x+1800
x2﹣8x+12＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
解得x＝2或x＝6，
∵0≤x≤5，
∴x＝2，
∴30+2＝32（元）
∴售价为32元时，利润为1920元．
【点评】考查二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取
值求得相应的售价．
26．（14分）如图，AB是 O的直径，AC为弦，D是 的中点，过点D作EF⊥AC，交AC的延
长线于E，交AB的延⊙长线于F．
（1）求证：EF是 O的切线；
⊙
（2）若sin∠F＝ ，AE＝4，求 O的半径和AC的长．
⊙
【考点】MD：切线的判定；T7：解直角三角形．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得∠BOD＝∠A，则OD∥AC，从而得出∠ODF
＝90°，即EF是 O的切线；
⊙
（2）先解直角△AEF，由sin∠F＝ ，得出AF＝3AE＝12，再在直角△ODF中，由sin∠F＝
，得出OF＝3OD，设 O的半径为R，由AF＝12列出关于R的方程，解方程即可求出
⊙
第26页（共31页）O的半径；连接BC，证明BC∥EF，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE＝AB：
⊙AF，即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，OC．
∵D是 的中点，
∴∠BOD＝ ∠BOC，
∵∠A＝ ∠BOC，
∴∠BOD＝∠A，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODF＝90°，
即EF是 O的切线；
⊙
（2）解：在△AEF中，∵∠E＝90°，sin∠F＝ ，AE＝4，
∴AF＝ ＝12．
设 O的半径为R，则OD＝OA＝OB＝R，AB＝2R．
⊙
在△ODF中，∵∠ODF＝90°，sin∠F＝ ，
∴OF＝3OD＝3R．
∵OF+OA＝AF，
∴3R+R＝12，
∴R＝3．
连接BC，则∠ACB＝90°．
∵∠E＝90°，
∴BC∥EF，
∴AC：AE＝AB：AF，
∴AC：4＝2R：4R，
∴AC＝2．
故 O的半径为3，AC的长为2．
⊙
第27页（共31页）【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形及平行线分线段成比例定理，
难度中等，综合性较强．
27．（16分）如图，直线l 经过点A（﹣1，0），直线l 经过点B（3，0），l 、l 均为与y轴交于点C
1 2 1 2
（0， ），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l 交于点E、与抛物线交于点F、与l 交于点
2 1
G．求证：DE＝EF＝FG；
（3）若l ⊥l 于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写
1 2
出符合条件的点P的坐标，并简述理由．
第28页（共31页）【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）D、E、F、G四点均在对称轴x＝1上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段DE、EF、
FG的长度．
D是对称轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求；E是对称轴与直线l 交点，需要求
2
出l 的解析式，G是对称轴与l 的交点，需要求出l 的解析式，而A、B、C三点坐标已知，
2 1 1
所以l 、l 的解析式可以用待定系数法求出．至此本问解决；
1 2
（3）△PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论．如解答图所示，在解答过程中，充分注意
到△ECG为含30度角的直角三角形，△P CG为等边三角形，分别利用其几何性质，则本
1
问不难解决．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0， ）三点，
∴ ，解得a＝ ，b＝ ，c＝ ，
∴抛物线的解析式为：y＝ x2 x ．
（2）设直线l 的解析式为y＝kx+b，由题意可知，直线l 经过A（﹣1，0），C（0， ）两点，
1 1
∴ ，解得k＝ ，b＝ ，∴直线l 的解析式为：y＝ x ；
1
直线l 经过B（3，0），C（0， ）两点，同理可求得直线l 解析式为：y＝ x ．
2 2
第29页（共31页）∵抛物线y＝ x2 x ＝ （x﹣1）2 ，
∴对称轴为x＝1，D（1，0），顶点坐标为F（1， ）；
点E为x＝1与直线l ：y＝ x 的交点，令x＝1，得y＝ ，∴E（1， ）；
2
点G为x＝1与直线l ：y＝ x 的交点，令x＝1，得y＝ ，∴G（1， ）．
1
∴各点坐标为：D（1，0），E（1， ），F（1， ），G（1， ），它们均位于对称轴
x＝1上，
∴DE＝EF＝FG＝ ．
（3）如右图，过C点作C关于对称轴x＝1的对称点P ，CP 交对称轴于H点，连接CF．
1 1
△PCG为等腰三角形，有三种情况：
当CG＝PG时，如右图，由抛物线的对称性可知，此时P 满足P G＝CG．
1 1
①∵C（0， ），对称轴x＝1，∴P
1
（2， ）．
当CG＝PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等于CG．
②如右图，C（0， ），H点在x＝1上，∴H（1， ），
在Rt△CHG中，CH＝1，HG＝|y ﹣y |＝| ﹣（ ）|＝ ，
G H
∴由勾股定理得：CG＝ ＝2．
∴PC＝2．
如右图，CP ＝2，此时与 中情形重合；
1
①
又Rt△OAC中，AC＝ ＝2，∴点A满足PC＝2的条件，但点A、C、G在同一
条直线上，所以不能构成等腰三角形．
当PC＝PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上．
③∵l
1
⊥l
2
，∴△ECG为直角三角形，
由（2）可知，EF＝FG，即F为斜边EG的中点，
∴CF＝FG，∴F为满足条件的P点，∴P （1， ）；
2
又cos∠CGE＝ ＝ ，∴∠CGE＝30°，∴∠HCG＝60°，
第30页（共31页）又P C＝CG，∴△P CG为等边三角形，
1 1
∴P 点也在CG的垂直平分线上，此种情形与 重合．
1
①
综上所述，P点的坐标为P （2， ）或P （1， ）．
1 2
【点评】作为中考压轴题，本题考查的知识点比较多，包括二次函数的图象与性质、待定系
数法求函数（二次函数、一次函数）解析式、等腰三角形、等边三角形以及勾股定理等．难
点在于第（3）问，需要针对等腰三角形△PCG的三种可能情况分别进行讨论，在解题过程
中，需要充分挖掘并利用题意隐含的条件（例如直角三角形、等边三角形），这样可以简化
解答过程．
第31页（共31页）
