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2024 年中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据倒数的定义及二次根式的性质化简即可．
【详解】解： 的倒数是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数的定义，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．下列抗疫宣传图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可作答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够
与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
3．下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为 的奖券100张，中奖”是必然事件
B．“汽车累计行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C．某地气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着该地明天一定下雨
D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
【答案】D
【分析】根据随机事件的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】A、“买中奖率为 的奖券100张，中奖”是随机事件，故本选项错误；
B、“汽车累计行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；
C、某地气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；
D、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳 定，故本选项正确；
故选：D ．
【点睛】此题考查了随机事件、概率的意义和方差的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．
4．某同学在实践活动上设计了如图所示的艺术字“中”，则几何体“中”字的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看得到的图象是：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题关键是掌握从上边看得到的图形是俯视图．
5．下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则、同底数幂的乘法运
算法则分别计算，进而得出答案．
【详解】解：A． ，无法合并，故此选项不合题意；
B． ，故此选项计算错误，不合题意；
C． ，故此选项计算正确，符合题意；
D． ，故此选项计算错误，不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、单项式乘单项式运算、同底数幂的乘法运算，正
确掌握相关运算法则是解题关键．
6．已知函数 是反比例函数，图象在第一、三象限内，则m的值是（ ）
A．3 B． C．±3 D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义建立关于 的一元二次方程，再根据反比例函数的性质解答．
【详解】解： 函数 是反比例函数，
，
解得， ，
，
当 时， ，图象位于一、三象限；
当 时， ，图象位于二、四象限；故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质，对于反比例函数 ，（1） ，反比例函数图
象在一、三象限；（2） ，反比例函数图象在第二、四象限内．
7．设 ， 都是不为0的实数，且 ， ，定义一种新运算： ，则下面四个结论正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可．
【详解】A. 根据题中的新定义化简得： ，
，不符合题意；
B. ，
，不符合题意；
C. ，
，符合题意；
D. ，
，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，弄清题中的新定义是解题的关键．
8．有甲、乙两车从 地出发去 地，甲比乙车早出发，如图中 、 分别表示两车离开 地的距离与甲车行驶时间 之间的函数关系．现有以下四个结论：①甲车比乙车早出发2小时；②乙车出
发4小时后追上甲车；③甲车出发11小时两车相距 ；④若两地相距 ，则乙车先到达 地，其
中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】①根据 与x轴的交点即可得；②先根据图象求出甲、乙两车的速度，再根据乙车追上甲车时，
两车行驶的路程相等建立方程求解即可得；③根据甲、乙车的速度求出两车行驶的路程，再求差即可得；
④根据甲、乙车的速度求出两车到达B地时 的值即可得．
【详解】由题意得： 表示的甲车、 表示的乙车，
由 与x轴的交点可知，甲车比乙车早出发2小时，则结论①正确；
甲车的速度为 ，
乙车的速度为 ，
设乙车出发a小时后追上甲车，
则 ，
解得 ，
即乙车出发4小时后追上甲车，结论②正确；
甲车出发11小时时，甲车行驶的路程为 ，乙车行驶的路程为 ，
则此时两车相距为 ，结论③正确；
若两地相距 ，甲车到达B地时， ，
乙车到达B地时， ，
因为 ，
所以乙车先到达 地，结论④正确；
综上，正确的是①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中正确获取信息是解题关键．
9．如图，点 在以 为直径的半圆内，连接 、 ，并延长分别交半圆于点 、 ，连接 、
并延长交于点 ，作直线 ，下列说法一定正确的是（ ）
① 垂直平分 ；② 平分 ；③ ；④ ．
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【答案】D
【分析】①AB为直径，所以∠ACB＝90°，就是AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，故错，
②只有当FP通过圆心时，才平分，所以FP不通过圆心时，不能证得AC平分∠BAF，
③先证出D、P、C、F四点共圆，再利用△AMP∽△FCP，得出结论．
④直径所对的圆周角是直角．
【详解】证明：① 为直径，
，
垂直 ，但不能得出 平分 ，
故①错误，②如图1，连接 ，
为直径，
，
，
假设 平分 成立，则有 ，
在 中， ，
，且平分 ，
垂直 ，但不能得出 平分 ，与①中的 垂直 ，但不能得出 平分 相矛盾，
故②错误，
③如图
为直径，
， ，
、 、 、 四点共圆，
和 都对应 ，
，
，，
又 ，
，
，
，
，
故③正确，
④ 为直径，
，
．
故④正确，
综上所述只有③④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角的知识，解题的关键是明确直径所对的圆周角是直角．
10．统计学规定：某次测量得到 个结果 ， ，当函数 取最小值
时，对应 的值称为这次测量的“最佳近似值” 若某次测量得到 个结果 ， ， ， 和 ，这
次测量的“最佳近似值”为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把最佳近似值 和测量的结果代入函数式，进行计算即可．
【详解】解：把最佳近似值 和测量的结果代入函数式得：
，
，
，
当 时， 最小，
故选：D．【点睛】本题主要考查了规律型：数字变化类，有理数的乘方运算，解题的关键是读懂题意，判定代数式
的最值．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知一组数据为0， ， ， ， ， ， ，则无理数出现的频数是 ．
【答案】3
【分析】根据无理数的定义判断出无理数的个数，即可解答；
【详解】解：已知一组数据为0， ， ， ， ， ， ，则无理数有： ， ， ，共有
个，
∴无理数出现的频数是 ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查了频数及无理数的判断，解题的关键是熟练掌握无理数的三种表现形式：含 的，含开
不尽方的数及无限不循环的小数．
12．计算 的结果，用科学记数法表示为 .
【答案】
【分析】先根据有理数的乘法法则和乘法运算律，求出结果，再根据科学记数法的定义，把结果改写成科
学记数法，即可.
【详解】原式=
=
=
故答案为： .
【点睛】本题主要考查有理数的乘法法则和科学记数法，熟练掌握有理数的乘法法则和乘法运算律以及科
学记数法的概念，是解题的关键.
13．为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”（蓝色垃圾桶）、“有害垃圾”（红色垃圾桶）、“可回收物”（绿色垃圾桶）和“其他垃圾”（黑色垃
圾桶）这四类标准将垃圾分类处理．爷爷把两袋垃圾随意丢入两个垃圾桶，恰巧被爷爷扔对的概率是
．
【答案】
【分析】利用题意列表求概率即可；
【详解】将“厨余垃圾” 蓝色垃圾桶 、“有害垃圾” 红色垃圾桶 、“可回收物” 绿色垃圾桶 和
“其他垃圾” 黑色垃圾桶 分别记作 、 、 、 ，
列表如下：
由表可知共有 种等可能结果，其中恰巧被爷爷扔对的只有 种结果，
所以恰巧被爷爷扔对的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列表法求概率，准确分析计算是解题的关键．
14．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆 的高度，从旗杆正前方 米处的点C出发，沿斜面坡度
的斜坡 前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为 ，量得仪器的
高 为 米．已知A、B、C、D、E在同一平面内， ．旗杆 的高度为 米．
（参考数据： ．计算结果保留根号）【答案】
【分析】如图，延长 交 延长线于点F，则 ，解 求得 米，
米，，作 ，可得 米， 米，，再求出 可得答案．
【详解】解：如图，延长 交 延长线于点F，则 ，
∵斜坡 斜面坡度 ，
∴在 中 ，
∴ ，
∵ 米，
∴ 米， 米，∴ 米，
过点E作 于点G，则四边形 是矩形，
∴ 米， 米，
又∵ ，
∴ 中， 米，
∴ 米，
∴旗杆 的高度为 米，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形
是解题的关键．
15．关于二次函数 （ 为常数）的结论：
①该函数的图象与 轴总有公共点；
②不论 为何值，该函数图象必经过一个定点；
③若该函数的图象与 轴交于 、 两点，且 ，则 ；
④若 时， 随 的增大而增大，则 ．其中说法正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】根据根的判别式可判断①；把函数解析化为 ，可判断②；
再 ，求出该函数的图象与 轴的交点，可得到关于m的不等式，可判断③，然后把函数解析式化为顶
点式，结合二次函数的性质可判断④
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
∴该函数的图象与 轴总有公共点，故①正确；
②∵ ，∴当 时， ，
即不论 为何值，该函数图象必经过定点 ，故②正确；
③令 ， ，
解得： ，
∴该函数的图象与 轴的两个交点为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，故③错误；
④∵ ，
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ 时， 随 的增大而增大，
∴ ，解得： ，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
16．如图， 是四边形 的对角线， 的面积为12， ， 是 上一点，且 是等
边三角形， 为 边上的一个动点，连接 ，以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小
值为 ．【答案】4
【分析】连接 ，证明 得到 ，当 时， 最小，此时 也最小，
根据 的面积为12， ，求出 的长即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 ，
，
和 是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
当 时， 最小，此时 也最小，
的面积为12， ，，
，
的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、三角形面积的计算，熟
练掌握以上知识点是解此题的关键．
三、解答题( 本大题共8题，共72分 )
17．（8分）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＜2，求a的取值范围．
【答案】a＜4
【分析】两式相加，用含a的代数式表示出x＋y的值，再根据x＋y＜2，求出a的取值范围．
【详解】解：方程组 ，
两式相加，得4x＋4y＝4+a，
∴x＋y＝1+ ，
代入x＋y＜2，得1+ ＜2，
解得a＜4．
所以a的取值范围是：a＜4．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组及解一元一次不等式，一般情况下，此类问题应先用含a的代数式
分别表示x，y的值，再列出关于a的不等式并求解集．
18．（8分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，
再分别以E，F为圆心，大于 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
【答案】（1）33°（2）证明见解析
【详解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°．
又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°．
由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB= ∠CAB=33°．
（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA．∴∠CAN=∠CMN．
又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC．
在△ACN和△MCN中，
∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）．
（1）由作法知，AM是∠ACB的平分线，由AB∥CD，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得
∠CAB=66°，从而求得∠MAB的度数．
（2）要证△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共边，故只要再有一边或
一角相等即可，考虑到AB∥CD和AM是∠ACB的平分线，有∠CAN="∠MAB" =∠CMN．
从而得证．
19．（8分）为增强同学们的科学防疫意识，学校开展了以“科学防疫，健康快乐”为主题的安全知识竞
赛，从全校学生中随机抽取了男、女同学各40名，并将数据进行整理分析，得到如下信息：
信息一：女生成绩扇形统计图和男生成绩频数分布直方图如图
（数据分组为A组： ，B组： ，C组： ，D组： ）信息二：女生C组中全部15名学生的成绩为：86，87，81，83，88，84，85，87，86，89，82，88，
89，85，89；
信息三：男、女生两组数据的相关统计数据如表：（单位：分）
平均数 中位数 众数 满分率
女生 90 b c 25%
男生 90 88 98 15%
请根据上述信息解决问题：
（1）扇形统计图中A组学生有______人，表格中的中位数 ______，众数 ______；
（2）若成绩在90分（包含90分）以上为优秀，请估计该校1600名学生此次知识竞赛中优秀的人数．
【答案】（1）1，88，100；（2）估计该校1600名学生此次知识竞赛中优秀的人数为580人．
【分析】（1）先利用抽取的总人数乘以 组所占百分比，求出它们的人数，再利用抽取的总人数减去
组的人数即可得 组人数，然后根据中位数和众数的定义即可得；
（2）利用1600乘以男、女生成绩在90分（包含90分）以上的人数所占百分比即可得．
【详解】解：（1）女生 组人数为 （人），
女生 人数为 （人），
则扇形统计图中 组人数为 （人），
女生 组的人数分别为1人，8人，15人，16人，总人数为40人，
将这40人的成绩按从小到大进行排序后，第20个数和第21个数的平均数为中位数，且中位数位于 组，
将女生 组中全部15名学生的成绩按从小到大进行排序为 ，则中位数 ，
女生的成绩满分的人数为 （人），
女生 组成绩的众数是89，出现的次数是3次， 的人数为16人，且 ，
众数 ，
故答案为：1，88，100；
（2） （人），
答：估计该校1600名学生此次知识竞赛中优秀的人数为580人．
【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布直方图、中位数和众数等知识点，熟练掌握统计调查的相关知
识是解题关键．
20．（8分）已知直线m与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥m于点D．
（1）如图①，当直线m与⊙O相交于点E、F时，求证：∠DAE=∠BAF．
（2）如图②，当直线m与⊙O相切于点C时，若∠DAC=35°，求∠BAC的大小；
（3）若PC＝2 ，PB＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）通过已知条件可知 ， ，再通过同角的补交相等证得
，即可得到答案；
（2）利用 ，得 ，再通过OA=OC，得 ；
（3）现在 中，利用勾股定理求得半径r=2，再通过 ，得 ，即可
求得 ，那么 ，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接BF∵AD⊥m
∴
∵AB是⊙O的直径
∴
∴
∵ ，
∴
∴∠DAE=∠BAF
（2）连接OC
∵直线m与⊙O相切于点C
∴
∵AD⊥m
∴
∴
∵OA=OC
∴
（3）连接OC∵直线m与⊙O相切于点C
∴
设半径OC=OB=r
在 中， 则：
∴
解得：r=2，即OC=r=2
∴
∴
∴
∴ ．
【点睛】本题考查了圆切线、内接四边形的性质，以及解直角三角形的应用，扇形面积求法，解答此题的
关键是掌握圆的性质．
21．（8分）如图是由单位长度为 的小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点 、 两点
在格点， 点在网线上，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程中用虚线表示．
(1)在图 中，画 中点 ，再过点 画线段 ，使 ；(2)在图 中，画线段 的垂直平分线 ，再在直线 右侧找一点 ，连接 ，使 ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）利用网格特征作出线段 的中点 ，延长 后有 ；
（2）取 的中点 ，点 作直线 即可，延长 交 与点 ，设 交直线 于点 ，射线 ，
射线 交于点 ，点 即为所求．
【详解】（1）如图 中，点 ，线段 即为所求；
（2）如图 中，直线 ，点 即为所求．
【点睛】此题考查了作图 应用与设计作图，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识解决问题．
22．（10分）甲、乙二人均从A地出发，甲以60米/分的速度向东匀速行进，10分钟后，乙以(60＋m)
米/分的速度按同样的路线去追赶甲，乙出发5.5分钟后，甲以原速原路返回，在途中与乙相遇，相遇后两
人均停止行进．设乙所用时间为t分钟．
（1）当m=6时，解答：
①设甲与A地的距离为 ，分别求甲向东行进及返回过程中， 与t的函数关系式(不写t的取值范围)；②当甲、乙二人在途中相遇时，求甲行进的总时间．
（2）若乙在出发9分钟内与甲相遇，求m的最小值．
【答案】（1）①甲向东行进过程中， =60t＋600；甲返回过程中， =－60t＋1260；②甲、乙二人在途
中相遇时，甲行进的总时间为20分钟；（2）m的最小值为20．
【分析】(1)①根据题意可得 与t的函数关系式；
②求出 与t的函数关系式，再结合①的结论列方程解答即可；
(2)根据题意列不等式解答即可．
【详解】(1)①甲向东行进过程中， =60(t+10)=60t+600，
t=5.5时， =60t+600=930．
甲返回过程中， =930-60(t-5.5)=-60t+1260．
②乙追甲所走的路程 =66t，
甲、乙二人在途中相遇时，66t=-60t+1260，
解得：t=10，
10+10=20(分)，
∴甲、乙二人在途中相遇时，甲行进的总时间为20分钟；
(2)由题意，
得：(60+m)×9+60×(9-5.5)≥930．
解得：m≥20，
∴m的最小值为20．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在
△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，
连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF= AE；（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方
时，若AB=2 ，CE=2，求线段AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4 .
【详解】试题分析：（1）依据AE=EF，∠DEC=∠AEF=90°，即可证明△AEF是等腰直角三角形；
（2）连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，先求得EH=DH=CH= ，Rt△ACH中，AH=3 ，即可
得到AE=AH+EH=4 ．
试题解析：解：（1）如图1．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF．∵AB=AC，∴AC=DF．
∵DE=EC，∴AE=EF．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE．∵∠DKC=∠C，∴DK=DC．∵DF=AB=AC，∴KF=AD．在△EKF和△EDA中，
，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF
是等腰直角三角形，∴AF= AE．
（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得
AE垂直平分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH= ，Rt△ACH中，AH= =3 ，∴AE=AH+EH=4 ．
点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平
行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻
找全等的条件是解题的难点．
24．（12分）如图，已知抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 点，
．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图2，已知点 为第一象限内抛物线 上的一点，点 的坐标为 ， ，求点
的坐标；
(3)如图3，将抛物线 平移到以坐标原点为顶点，记为 ，点 在抛物线 上，过点 作
分别交抛物线 于 两点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)直线 过定点 ，见解析
【分析】（1）先求出 ，再由 ，可求出点A，B的坐标，再代入解析式，即可求解；
（2）过点 作 ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 轴于点 ，则
， ，可得 ，从而
得到 ，进而得到 ，可求出直线 的解析式，从而得到直线 的解析
式为 ，再与抛物线解析式联立，即可求解；
（3）过点 作 轴，且 于点 于点 ，证明 ，可得
，由题意得：抛物线 解析式为： ，设直线 ，由 ，可
得： ，从而得到 ，再由 ，可得
，从而得到 ，进而得到 ，继而得到
，即可求解．
【详解】（1）解： 中， 时， ．
即 ，
∴ ，
，
∴ ，，
将 代入抛物线解析式得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：过点 作 ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 轴于点 ，则
， ，
为等腰直角三角形， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
，
设直线 的解析式为 ，
把点C，F的坐标代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 ，
．
（3）解：过点 作 轴，且 于点 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由题意得：抛物线 解析式为： ，
设直线 ，由 ，得： ，，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
当 时， 恒成立，
直线 过定点 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，等
腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想
解答是解题的关键．
