文档内容
2024 年中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负
数．如果将零下2℃记作﹣2℃，那么3℃表示（ ）
A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上5℃ D．零下5℃
【分析】根据正负数的意义即可求解．
【解答】解：如果将零下2°C记作﹣2°C，那么3°C表示零上3°C．
故选：A．
【点评】本题考查了正负数，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键．
2．第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会
上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称概念可知，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关
于这条直线（成轴）对称，据此分析解答．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．在数轴上表示不等式2x﹣1≤﹣7的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集，然后在数轴上表示出其
解集即可．
【解答】解：2x﹣1≤﹣7，
移项，得：2x≤﹣7+1，
合并同类项，得：2x≤﹣6，
系数化为1，得：x≤﹣3，
不等式的解集在数轴上表示如图所示，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是
明确解一元一次不等式的方法．
4．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a+2a＝2a2C．√2+√3=√5 D．x（1+y）＝x+xy
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及幂的乘方运算法则、单项式乘多项式运算
法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
B．a+2a＝3a，故此选项不合题意；
C．√2+√3无法合并，故此选项不合题意；
D．x（1+y）＝x+xy，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及幂的乘方运算、单项式乘多项式运算、
合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖
B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件
D．为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查
【分析】根据概率的意义、抽样调查、随机事件的定义解决此题．
【解答】解：A．根据概率的定义，某彩票中奖率是1%指该彩票中奖的可能性为1%，并
不是指买100张彩票一定有一张中奖，那么A错误，故A不符合题意．
B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球的是不可能事件，那么B错误，故B不符合题
意．
C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是随机事件，即有可能投中也有可能投不中，那
么C错误，故C不符合题意．
D．为了解一批日光灯的使用寿命，该调查对象的总体数量较大，可以采用抽样调查，以
样本的情况估计推断总体的情况，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查概率、抽样调查、随机事件，熟练掌握概率的意义、抽样调查、随
机事件是解决本题的关键．
6．已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与
直线n交于点D．若∠2＝78°，则∠1的度数为（ ）A．.30° B．.33° C．.35° D．.22°
【分析】设BC与n的交点为D，根据三角形的外角性质可得∠2＝3＝∠1+∠B＝78°，解
出∠1即可．
【解答】解：如图：
∵m∥n，
∴∠3＝∠2＝78°，
∵∠3＝∠1+∠B，
∴∠1＝∠3﹣∠B＝78°﹣45°＝33°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和
三角形内外角转化角．
7．一个多边形的每一个外角都等于40°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1260° B．900° C．1620° D．360°
【分析】先利用360°÷40°求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°
计算即可求解．
【解答】解：360°÷40°＝9，
∴（9﹣2）•180°＝1260°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正多边形的外角与边数的关系，求出多边形的边数是解题的关
键．8．如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是
边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（ ）
√2 √2 1
A．﹣2 B．− C．− D．−
2 3 2
【分析】连结 OB，作 BD⊥x 轴于点 D，由 OC＝BC＝1，∠C＝90°，得 OB
√2
=√OC2+BC2=√2，由∠COB＝45°，∠COD＝15°，得∠DOB＝30°，则BD= ，则点
2
√2
B的纵坐标为− ，于是得到问题的答案．
2
【解答】解：如图，连结OB，作BD⊥x轴于点D，则∠ODB＝90°，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴OC＝BC＝1，∠C＝90°，
∴OB=√OC2+BC2=√12+12=√2，
∵∠COB＝∠CBO＝45°，∠COD＝15°，
∴∠DOB＝∠COB﹣∠COD＝45°﹣15°＝30°，
1 1 √2
∴BD= OB= ×√2= ，
2 2 2
√2
∴点B的纵坐标为− ，
2
故选：B．
【点评】此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、直角三角形中 30°角所对的直角边等
于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代
明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长12m，轮子的吃水深
度CD为3m，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7.5m
【分析】由垂径定理得AD＝6m，设该桨轮船的轮子半径为r m，则OD＝（r﹣3）m，然
后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得：AB＝12m，OC⊥AB，
1
∴AD＝BD= AB＝6m，
2
设该桨轮船的轮子半径为r m，则OD＝（r﹣3）m，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：62+（r﹣3）2＝r2，
解得：r＝7.5，
即该桨轮船的轮子半径为7.5m，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理
是解题的关键．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴
的交点在B（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1，下列结
论不正确的是（ ）A．9a+3b+c＝0 B．4b﹣3c＞0
1 5
C．4ac﹣b2＜﹣4a D． ＜a＜
3 6
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与x轴、y轴的交点坐标综合进
行判断即可．
【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x
＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
b
有− = 1，即2a+b＝0，
2a
图象过点（3，0），因此，9a+3b+c＝0，故选项A不符合题意；
图象过点（﹣1，0），故有a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，
∴4b﹣3c＝b+3a＝﹣2a+3a＝a＞0，因此选项B不符合题意，
4ac−b2
由于﹣2＜c＜﹣1，对称轴为x＝1，因此顶点的纵坐标小于﹣1，即 ＜−1，就是
4a
4ac﹣b2＜﹣4a，故选项C不符合题意；
1 2
由﹣2＜c＜﹣1，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0可得，﹣2＜﹣3a＜﹣1，所以 ＜a＜ ，故选项
3 3
D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，数形结合，不等式的性质以及等量代换在解题
过程中起到非常重要的作用．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）a 1
11．计算 + 的结果是 ．
a2−1 a−1
【分析】先把分母是多项式的分解因式，然后再通分，最后按照同分母的分式相加即可．
a a+1
= +
【解答】解：原式
(a+1)(a−1) (a+1)(a−1)
2a+1
=
(a+1)(a−1)
2a+1
=
．
a2−1
【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和几种常见的
分解因式的方法．
12．若一次函数y＝2x+b﹣1（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围
是 ．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+b﹣1的图象经过第一、二、三象限，
∴b﹣1＞0，
∴b＞1．
故答案为：b＞1．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当
b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y
轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．记住k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象
限；k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；⇔k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在
一、二、四象限；⇔k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限． ⇔
⇔
13．如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机
选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两人恰好选中同一根绳子的结果数，再利用
概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果有3种，
3 1
∴两人恰好选中同一根绳子的概率为 = ．
9 3
1
故答案为： ．
3
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
14． 明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条
索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条
绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳
索
长 尺，竿长 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托＝5
尺）
【分析】设绳索长x尺，竿长y尺，由题意：绳索长＝竿长+5尺，竿长＝绳索长的一半+5
尺，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设绳索长x尺，竿长y尺，
{
x= y+5
由题意得： 1 ，
x= y−5
2
{x=20
解得： ，
y=15
即竿长15尺，
故答案为：20，15．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．1,5．如图，在等边三角形ABC中，AC＝6，CD⊥AB，点E是线段CD上一动点，连接
AE，将线段AE绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，连接DP，则DP长的最小值为
．
【分析】取AC的中点K，连接DK，EK，根据△ABC是等边三角形，AC＝6，CD⊥AB，
可得∠BAC＝60°，AD＝3＝AK，而将线段AE绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，即可
证明△APD≌△AEK（SAS），有DP＝EK，故当EK最小时，DP最小，此时EK⊥CD，
1 3 3
由EK是△ACD的中位线，可得EK= AD= ，从而DP长的最小值为 ．
2 2 2
【解答】解：取AC的中点K，连接DK，EK，如图：
∵△ABC是等边三角形，AC＝6，CD⊥AB，
∴∠BAC＝60°，AD＝3＝AK，
∵将线段AE绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，
∴∠PAE＝60°，AE＝AP，
∴∠PAE＝∠BAC＝60°，
∴∠PAD＝∠EAK，
在△APD和△AEK中，
{
AP=AE
∠PAD=∠EAK，
AD=AK
∴△APD≌△AEK（SAS），∴DP＝EK，
∴当EK最小时，DP最小，此时EK⊥CD，
而CD⊥AB，
∴EK∥AD，
∴EK是△ACD的中位线，
1 3
∴EK= AD= ，
2 2
3
∴DP长的最小值为 ，
2
3
故答案为： ．
2
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
1
16．（6分）计算：|−2√3|+(4−π) 0−√12−(−1) 2023−( ) −2 ．
2
【分析】根据实数的运算法则计算即可．
1
【解答】解：|−2√3|+(4−π) 0−√12−(−1) 2023−( ) −2
2
=2√3+1−2√3−(−1)−4
＝﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的化简，零指数幂运算法则，有理数的
乘方运算法则，二次根式的化简是解题的关键．
17．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，AE⊥BD，
BF⊥AC，垂足分别为E，F．若CF＝DE，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，进而利用HL证明Rt△ADE≌Rt△BCF，
进而利用全等三角形的性质和矩形的判定解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AE⊥BD，BF⊥AC，
在Rt△ADE与Rt△BCF中，
{AD=BC
，
DE=CF
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴∠ADE＝∠BCF＝∠DAO
∴DO＝AO，
由平行边形的性质可得，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点评】此题考查矩形的判定，关键是利用HL证明Rt△ADE≌Rt△BCF解答．
18．（6分）2023年4月24日，在“中国航天日”主场活动启动仪式上，国家航天局和
中国科学院联合发布了中国首次火星探测火星全球影像图．我国航天事业的飞速发展激发
了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，
决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9600
元购买的A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多5套，问A、B两款套装的单价
分别是多少元？
【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，根据用9600元购买的
A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多5套，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
9600 7200
由题意得： − = 5，
1.2x x
解得：x＝160，
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×160＝192，
答：A款套装的单价是192元，B款套装的单价是160元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19．（8分）为提高居民防范电信网络诈骗的意识，某社区举办相关知识比赛．现从该社
区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名队员的比赛成绩，并进行整理、描述和分析
（分数用x表示，共分为四组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D．x≥90）．
下面给出了部分信息：
甲队10名队员的比赛成绩：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100．
乙队10名队员的比赛成绩在D组中的所有数据为：92，92，97，99，99，99．
甲、乙代表队中抽取的队员比赛成绩统计表
代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所
占百分比
甲 90 a 94 10%
乙 90 92 b 20%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）该社区甲代表队有200名队员、乙代表队有230名队员参加了此次比赛，估计此次
比赛成绩在A组的队员共有多少名；
（3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条
理由即可）．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义可求出a、b的值；D组的人数为6，根据B组和
C组的百分比求出人数即可解答；
（2）用样本比赛成绩在A组的情况估计总体；
（3）从中位数、众数的比较得出答案．
【解答】解：（1）甲队10名队员的比赛成绩为：69，79，88，90，92，94，94，96，
98，100，92+94
∴中位数a= =93，
2
乙组10队员的比赛成绩：B组的人数为10×10%＝1，C组的人数为10×20%＝2，
D组的人数为6人：92，92，97，99，99，99，
∵99出现的次数最多，为3次，
∴众数b＝99，
A组的人数为：10﹣6﹣1﹣2＝1，
1÷10×100%＝10%，
∴m＝10，
故答案为：93，99，10；
1 1
（2）200× +230× =43（名），
10 10
估计此次比赛成绩在A组的队员共有43名；
（3）乙队成绩好．
因为乙对的众数远远高于甲队．
【点评】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意
义是正确解答的关键．
4
20．（8分）如图，点A（a，2）在反比例函数y= 的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点
x
k
C，交反比例函数y= 的图象于点B，已知AC＝2BC．
x
k
（1）求反比例函数y= 的解析式；
x
k
（2）点D为反比例函数y= 图象上一动点，连接 AD交y轴于点E，当E为AD中点
x
时，求△OAD的面积．4
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数y= 求得点A坐标，根据AC＝2BC求出点B
x
k k
的坐标，然后把点B的坐标代入y= 中求得k的值，即可求出y= 的解析式．
x x
−2
（2）设D(n， )．根据AD的中点E在y轴上求出点D和点E坐标，然后根据三角形
n
面积公式求解即可．
4
【解答】解：∵（1）∵点A（a，2）在反比例函数y= 的图象上，
x
4
∴2= ．
a
∴a＝2．
∴A（2，2）．
∵AB∥x轴，且交y轴于点C，
∴AC＝2．
∵AC＝2BC，
∴BC＝1．
∴B（﹣1，2）．
k k
∴把点B坐标代入y= 得2= ．
x −1
∴k＝﹣2．
2
∴该反比例函数的解析式为y=− ．
x
−2
（2）设D(n， )．
n
∵A（2，2），点E为AD的中点，
n+2 n−1
∴E( ， )．
2 n
∵点E在y轴上，
n+2
∴ =0．
n
∴n＝﹣2．
3
∴D（﹣2，1），E(0， )．
23
∴OE= ．
2
1 3 1 3
∴S = OE⋅|x |= ，S = OE⋅|x |= ．
△OEA 2 A 2 △OED 2 D 2
∴S△OAD ＝S△OEA +S△OED ＝3．
∴△OAD的面积为3．
【点评】本题考查根据函数值求自变量，待定系数法求反比例函数解析式，中点坐标，熟
练掌握这些知识点是解题关键．
21．（8分）如图，△ABC内接于 O，且∠B＝60°．直线l过点C，且与直径AD的延长
线交于点E，AF⊥l，垂足为F，AC⊙平分∠FAD，CG⊥AD，垂足为G．
（1）求证：直线l是 O的切线；
（2）若AF=4√3，求⊙图中阴影部分的面积．
【分析】（1）如图，连接OC，根据等边对等角和角平分线的定义证明∠FAC＝∠ACO，
则AF∥OC，再由AF⊥l，可得OC⊥l，由此即可证明直线l是 O的切线；
（2）如图，连接CD，则∠ADC＝∠B＝60°．由直径所对的圆⊙周角是直角得到∠ACD＝
90°，则∠CAD＝30°，推出∠FAC＝∠CAD＝30°，设FC＝x，则AC＝2x，利用勾股定理
8√3 16√3
得到(2x) 2−x2=(4√3) 2，求出CF＝4．再求出OC= ．OE= ．最后根据S阴影
3 3
＝S△CEO ﹣S扇形COD 进行求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAD，
∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠ACO，
∴AF∥OC，
∵AF⊥l，
∴OC⊥l，
∵OC为半径，
∴直线l是 O的切线；
（2）解：如⊙图，连接CD，则∠ADC＝∠B＝60°．
∵AD是圆的直径，
∴∠ACD＝90°
又∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠FAC＝∠CAD＝30°，
在Rt△ACF中，∠FAC＝30°，AF=4√3，
1
∴FC= AC，
2
设FC＝x，则AC＝2x，(2x) 2−x2=(4√3) 2，
解得：x＝4，
∴CF＝4．
在Rt△OCG中，∠COG＝60°，CG＝CF＝4，
4 8√3
OC= =
得 √3 3 ．
2
16√3
在Rt△CEO中，OE= ．
3
1 60π⋅OC2 32√3 32π 96√3−32π
∴S =S −S = OE⋅CG− = − = ．
阴影 △CEO 扇 形CO2D 360 3 9 9
【点评】本题主要考查了切线的判定，平行线的性质与判定，等边对等角，角平分线的定
义，求不规则图形面积，圆周角定理，勾股定理，含 30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．（10分）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进
行直播销售板栗．已知板栗的成本价为 6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/
kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且
不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/kg） 7 8 9
y（kg） 4300 4200 4100
（1）求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得
答案；
（3）由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得
答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：
{7k+b=4300
，
8k+b=4200
{k=−100
解得： ，
b=5000
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝﹣100x+5000；
（2）由题意得：
w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）
＝﹣100x2+5600x﹣30000
＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．
∴当x＝28时，w有最大值为48400元．
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∴x ＝20，x ＝36，
1 2∵a＝﹣100＜0，
∴当20≤x≤36时，w≥42000，
又∵6≤x≤30，
∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定
系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
23．（11分）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下
探究学习．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段BC绕点C顺时针旋转 （0°
＜ ＜180°），得到线段DC，取AD中点H，直线CH与直线BD交于点E，连接AE．α
α
【感知特殊】
（1）如图1，当 ＝30°时，小组探究得出：△AED为等腰直角三角形，请写出证明过
程； α
【探究一般】
（2）如图2，当0°＜ ＜90°时，试探究线段EA，EC，EB之间的数量关系并证明；
【应用迁移】 α
（3）已知AC=√5，在线段DC的旋转过程中，当AE＝3时，直接写出线段EC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得CH垂直平分AD，∠EDA＝45°＝∠EAD，从而
得证；
（2）①EA+EB=√2EC，过点 C 作 CF⊥CE，交直线 BD 与点 F，利用 ASA 得到
△FBC≌△EAC，从而得BF＝AE，△ECF是等腰直角三角形，即可得证；
②EA﹣EB=√2EC．过点C作CF⊥CE，交BD于点F，利用AAS证得△CBE≌△CDF，
得到EB＝DF，由（1）得EA＝ED，利用EA﹣EB＝ED﹣DF＝EF=√2EC，即可得证；
（3）在Rt△ACB中求得AB=√10，在△AEB中，利用勾股定理得EB＝1，再利用（2）
中的结论，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCD＝ ＝30°，
∴∠ACD＝120°， α
∵CA＝CB＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝30°，
∵H是AD的中点，
∴CH垂直平分AD，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
在△BCD中，CB＝CD，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝∠CBD＝75°，
∴∠EDA＝∠CDB﹣∠CDA＝75°﹣30°＝45°＝∠EAD，
∴∠AED＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝90°，
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）解：EA+EB=√2EC，理由如下：
如图2.1，过点C作CF⊥CE，交直线BD与点F，
∴∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠ECF﹣∠ECB＝∠ACB﹣∠ECB，即∠BCF＝∠ACE，
在四边形ACBE中，∠AEB＝∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠EBC＝360°﹣∠AEB﹣∠ACB＝180°，
∵∠FBC+∠EBC＝180°，
∴∠FBC＝∠EAC，
在△FBC和△EAC中，
∠FBC＝∠EAC
BC＝AC
∠BCF＝∠ACE
∴△FBC≌△EAC（ASA），∴BF＝AE，CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=√2EC；
∵EF＝EB+BF＝EB+EA，
∴EB+EA=√2EC；
（3）解：当 0°＜a＜90° 时，EB+EA=√2EC，如图3.1，
在Rt△ACB中，AC＝BC=√5，
∴AB=√2AC=√10，
在△AEB 中，AE＝3，AB=√10，
∴EB=√AB2−AE2=√(√10) 2−32=1，
∴√2EC＝EB+EA＝1+5＝4，
∴EC＝2√2；
Ⅱ．当 90°＜a＜180° 时，EA−EB=√2EC，如图3.2，
同理可得，EB＝1，
∴√2EC＝EA﹣EB＝5﹣1＝2，
∴EC=√2；
综上所述，在线段DC的旋转过程中，EC＝2√2或√2．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性
质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
1
24．（12分）如图1，二次函数y= x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣4，0）和点
2
B，与y轴相交于点C．
（1）①b＝ ，②顶点D的坐标为 ；
（2）如图2，抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段DE上的一个动点（不与点E
重合），连接PC，作PQ⊥PC交x轴于点Q（k，0），求k的取值范围；
（3）如图3，连接AD、BD，点M、N分别在线段AB、AD上（均含端点），且∠DMN
＝∠DBA，若△DMN是等腰三角形，求点M的坐标．
1
【分析】（1）把A（﹣4，0）代入y= x2+bx−4，求出b的值，根据二次函数的性质
2
即可求出顶点的坐标；
9
（2）由点P在线段DE上，设点P的坐标为（﹣1，a），则− ≤a＜0，由Q（k，
2
0），C（0，﹣4），得PQ2＝（k+1）2+a2，CP2＝1+（a+4）2，CQ2＝k2+6，在Rt△QPC
中，根据CQ2＝PQ2+CP2列方程即可得到k＝﹣（a+2）2+3，根据a的取值范围即可求出k
的取值范围；
（3）证明∠DMN＝∠DBA＝∠DAB，并求出m的取值范围，分①若DN＝DM；②若
DN＝MN；③若MN＝MD，三种情况讨论，结合等腰三角形的性质即可求出点 M的坐
标．1
【解答】解：（1）把A（﹣4，0）代入y= x2+bx−4，
2
1
得 ×16−4b−4=0，
2
解得b＝1，
1
得抛物线的解析式为y= x2+x−4，
2
1 9
整理得y= (x+1) 2− ，
2 2
9
得顶点的坐标为(−1，− )；
2
9
故答案为：1，(−1，− )；
2
1
（2）把x＝0代入y= x2+x−4，
2
得y＝﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4），
由点P在线段DE上，设点P的坐标为（﹣1，a），
9
则− ≤a＜0，
2
∵Q（k，0），C（0，﹣4），
∴PQ2＝（k+1）2+a2，CP2＝1+（a+4）2，CQ2＝k2+6，
∵PQ⊥PC，
∴∠QPC＝90°，
在Rt△QPC中，CQ2＝PQ2+CP2，
∴k2+16＝（k+1）2+a2+1+（a+4）2，
整理得k＝﹣（a+2）2+3，
9
∵− ≤a＜0，
2
9 13
∴当a＝﹣2时，k取得最大值3；当a=− 时，k取得最小值− ，
2 4
13
∴− ≤k≤3；
4
（3）由抛物线对称性可得，∠DBA＝∠DAB，
∵∠DMN＝∠DBA，∴∠DMN＝∠DBA＝∠DAB，
1
把y＝0代入y= x2+x−4，
2
解得x ＝﹣4，x ＝2，
1 2
∴点B的坐标为（2，0），
设点M的坐标为（m，0），
∵点M在线段AB上（含端点），
∴﹣4≤m≤2，
①若DN＝DM，则∠DMN＝∠DNM，
∵∠DMN＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠DNM，
得点N与点A重合，则点M与点B重合，
∴点M的坐标为（2，0）；
②若DN＝MN，则∠DMN＝∠NDM，
∵∠DMN＝∠DAB，
∴∠NDM＝∠DAB，
∴AM＝DM，
√ 9
即m+4= (m+1) 2+( ) 2，
2
7
解得m= ，
8
7
∴点M的坐标为( ，0)；
8
③若MN＝MD，则∠MND＝∠MDN，
∵∠AMD是△BDM的外角，
∴∠AMN+∠DMN＝∠BDM+∠DBA，
∵∠DMN＝∠DBA，
∴∠AMN＝∠BDM，
∵MN＝MD，∠MAN＝∠DBM，
∴△AMN≌△BDM（AAS），
∴AM＝BD，
3√13
∴m+4= ，
23√13−8
解得m= ，
2
3√13−8
∴点M的坐标为( ，0)；
2
7
综上所述，若△DMN 是等腰三角形，则点 M 的坐标为（2，0），( ，0)，
8
3√13−8
( ，0)．
2
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的额性质与判定，
二次函数与等腰三角形的存在性问题，本题的关键是把握题目等腰三角形的条件，利用分
类讨论思想解决问题．
