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2024 年福建中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列各数中，最小的是( )
A. B. 0 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
【详解】解：正数大于零，零大于负数，得
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，正数大于零，零大于负数，熟练掌握有理数的大小比较的方法是解
题的关键．
2．如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．【详解】解：该直口杯的主视图为
故选：D．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
3. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补
偿，完成季节性限牧还湿 万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据 万用科学记数法
表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： 万 ，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 在平面直角坐标系中，点 在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】点（1，2）所在的象限是第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，
−）．5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得
出答案．
【详解】解：A． ，故此选项符合题意；
B． ，故此选项不合题意；
C． ，故此选项不合题意；
D． ，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则
是解题关键．
6. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了 人，则可得到
方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了
人，则第一轮传染了 个人，第二轮作为传染源的是 人，则传染 人，依题意列方程：
．
【详解】由题意得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
7. 如图，在 中， ，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交
于P，Q两点，作直线 交 ， 于点D，E，连接 ．下列说法错误的是（ ）
A. 直线 是 的垂直平分线 B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线 是 的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判
定和性质等知识，分别进行判断即可．
【详解】解：A．由作图过程可知，直线 是 的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线 是 的垂直平分线，
∴点E是 的中点， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
的
即点D是 中点，∴ ，
故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是 的中点，点E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故选项正确，不符合题意；
D．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中
位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B. 任意画一个三角形，其外角和是 是必然事件
C. 数据4，9，5，7的中位数是6
D. 甲、乙两组数据的方差分别是 ， ，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】C
【解析】
【分析】根据普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义分别进行判断即可
【详解】解：A．检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意；B．任意画一个三角形，其外角和是 是不可能事件，故选项错误，不符合题意；
C．数据4，9，5，7的中位数是，故选项准确，符合题意；
D．甲、乙两组数据的方差分别是 ， ，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不
符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义，熟练掌握相关知识是解题的关
键．
9. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆 ， ， 的最大仰
角为 .当 时，则点 到桌面的最大高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，利用解直角三角形可得 ，
，根据点 到桌面的最大高度 ，即可求得答案．
【详解】如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，在 中， ，
在 中， ，
点 到桌面的最大高度 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形
解决问题．
10. 已知二次函数 （a是常数， ）的图象上有 和 两点．若点 ，
都在直线 的上方，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与 轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解： ，
，
点 ， 都在直线 的上方，且 ，
可列不等式： ，
，
可得 ，设抛物线 ，直线 ，
可看作抛物线 在直线 下方的取值范围，
当 时，可得 ，
解得 ，
，
的
开口向上，
的解为 ，
根据题意还可列不等式： ，
，
可得 ，
整理得 ，
设抛物线 ，直线 ，
可看作抛物线 在直线 下方的取值范围，
当 时，可得 ，
解得 ，
，
抛物线 开口向下，
的解为 或 ，综上所述，可得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是
解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．如果温度上升 ，记作 ，那么温度下降 记作___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据正负数的意义即可求解．
【详解】解：如果温度上升 ，记作 ，那么温度下降 记作
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正负数 的意义，理解题意是解题的关键．
12. 在 中， ， 分别为边 ， 的中点， ，则 的长为__________cm.
【答案】
【解析】
【分析】由于 、 分别为 、 边上的中点，那么 是 的中位线，根据三角形中位线定理
可求 ．
【详解】如图所示，
、 分别为 、 边上的中点，
是 的中位线，；
又∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理．三角形的中位线等于第三边的一半．
13．如图，在平行四边形 中，按如下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为半径画
弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧
在 内交于点 ；③作射线 交 于点 ．若 ，则 为_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】先利用基本作图得 ，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到
，从而得到 ．
【详解】解：由作法得 平分 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
，．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
14. 某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表：
1 2
年龄/岁 18 20 22
9 1
人数 3 5 2 1 1
则这12名队员年龄的中位数是______岁．
【答案】19
【解析】
【分析】根据中位数的定义，求出第6名队员和第7名队员年龄的平均数即可．
【详解】解：∵ ，
∴第6名队员和第7名队员年龄均为19岁，
∴这12名队员年龄的中位数是19岁，
故答案为：19．
【点睛】本题主要考查了求中位数，解题的关键是掌握中位数的定义，奇数个数据的中位数是最中间的一
个数据，偶数个数据的中位数是最中间两个数据的平均数．
15. 如图，在 中， ， ， ，将 绕点 逆时针旋转到
的位置，点 的对应点 首次落在斜边 上，则点 的运动路径的长为_________.
【答案】
【解析】
【分析】首先证明 是等边三角形，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：在 中，∵ ， ， ，
∴ ，
由旋转的性质得 ， ，
，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴点 的运动路径的长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转变换，含 直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，
解题的关键是证明 是等边三角形．
16. 下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中， ，四边形 ，
是正方形．过点 ， 将纸片 分别沿与 平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方
形 ， 拼成图2．
（1）若 ， 的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________．
（2）若 ，则 ________．【答案】 ①. 9 ②. ##
【解析】
【分析】（1）在图1中，过 作 于 ，由 ，可得 ， ，
故 ， 而 的 面 积 为 16 ， 即 可 得 纸 片 Ⅲ 的 面 积 为
；
（2）标识字母如图，设 ，证明 ，可得 ，由
， 有 ， 即 ， 可 得 或 ， 而
， ，即可得到答案．
【详解】（1）在图1中，过 作 于 ，如图：
，
，，
，即 ，
，
，
，即 ，
，
，
的面积为16，
，
，
，
纸片Ⅲ的面积为 ；
故答案为：9；
（2）如图：，
，
设 ，则 ， ，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
解得 或 ，
当 时， ，这情况不符合题意，舍去；当 时， ，
而 ， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角
函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分） 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：原式
.
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（8分）解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】先分别解两个不等式得到 和 ，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ．
∴原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再
求出这些解集的公共部分．
19．（8分）如图，已知 ， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先由题意可证 ，可得 ，再根据等式的性质即可得出结论．
【详解】证明：在 和 中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
20. （8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，1
【解析】【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则
和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负
整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键．
21. （8分）如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点D，过点C作
的切线，交 的延长线于点E．
（1）求证： ；（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据圆周角定理得到 ．再根据切线的性质得到 ．然后利用等角
的余角相等得到 ；
（2）先证明 得到 ，则可证明 ，利用正切的定义，在 中有
，在 中有 ，所以 ，然后求出 的长，从而得到 的
半径．
【小问1详解】
证明：∵ 为 的直径，
∴ ．
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 中， ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
22. （10分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿
者，对其身高进行调查，将身高（单位： ）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完
整）．
组别 身高分组 人数
A 3
B 2
C
D 5
E 4
根据以上信息回答：（1）这次被调查身高的志愿者有___________人，表中的 ___________，扇形统计图中 的度数是
___________；
（2）若 组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚
好抽中两名女志愿者的概率．
【答案】（1）20，6，
（2）
【解析】
【分析】（1）用C组所占的比列出方程，即可求得m的值，再求出总数；用周角乘以D组所占的比，即
可求出 的度数；
（2）列出树状图或表格，求出所有可能的情况总数，再找出刚好抽中两名女志愿者的数量，带入公式即
可．
【小问1详解】
∵
∴
∴
故填：20， 6， ；
【小问2详解】
画树状图为：
或者列表为：
男1 男2 女1 女2男1 （男1男2） （男1女1） （男1女2）
男2 （男2男1） （男2女1） （男2女2）
女1 （女1男1） （女1男2） （女1女2）
女2 （女2男1） （女2男2） （女2女1）
共有12种等可能结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2种
（抽中两名女志愿者） ．
【点睛】本题考查统计与概率综合，求出总数和列出树状图，或表格是解题的关键．
23. （10分）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等
图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长
b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成 的角叫做分辨视角 ，
视力值 与分辨视角 （分）的对应关系近似满足 ．
探究2 当 时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角 的范围．素材3 如图3，当 确定时，在A处用边长为 的I号“E”测得的视力与在B处用边长为 的Ⅱ号
“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
.
【答案】探究 检测距离为5米时，视力值12所对应行的“ ”形图边长为 ，视力值1.2所对应行
的“ ”形图边长为 ；
探究 ；
探究3：检测距离为 时，视力值1.2所对应行的“ ”形图边长为 ．
【解析】
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到 与 成反比例关系，由待定系数法可得 ，将
代入 得： ；
探究2：由 ，知在自变量 的取值范围内， 随着 的增大而减小，故当 时， ，
即可得 ；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得 ，即可解得答案．
【详解】探究
由图象中的点的坐标规律得到 与 成反比例关系，
设 ，将其中一点 代入得： ，
解得： ，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；将 代入 得： ；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“ ”形图边长为 ，视力值1.2所对应行的“ ”形
图边长为 ；
探究
，
在自变量 的取值范围内， 随着 的增大而减小，
当 时， ，
，
；
探究 3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得
，
由探究1知 ，
，
解得 ，
答：检测距离为 时，视力值1.2所对应行的“ ”形图边长为 ．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性
质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
24. （13分）已知： 关于 的函数 ．（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线
交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于点 ．设
的面积为 ， 的面积为 ．
①当点 为抛物线顶点时，求 的面积；
②探究直线 在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）0或2或
（2）①6，②存在，
【解析】
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的
性质以及与坐标轴交点的情况即可求出 值．
（2）①根据 和 的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标 ，从而求出 长度，再利
用 和 的坐标点即可求出 的直线解析式，结合 即可求出 点坐标，从而求出 长度，最
后利用面积法即可求出 的面积．②观察图形，用 值表示出点 坐标，再根据平行线分线段成比例求出 长度，利用割补法表示出 和
，将二者相减转化成关于 的二次函数的顶点式，利用 取值范围即可求出 的最小值．
【小问1详解】
解： 函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时， ，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与 轴， 轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述， 或0．
故答案为：0或2或 ．
【小问2详解】
解：①如图所示，设直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 ．依题意得： ，解得：
抛物线的解析式为： ．
点 为抛物线顶点时， ， ，
， ，
由 ， 得直线 的解析式为 ，
在直线 上，且在直线 上，则 的横坐标等于 的横坐标，
，
， ，
，
．
故答案为：6．
② 存在最大值，理由如下：
如图，设直线 交 轴于 ．
由①得： ， ， ， ， ，
，， ，
，
，
即 ，
， ，
，
，
， ，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线
分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．
25. （13 分）如图 1，点 为矩形 的对称中心， ， ，点 为 边上一点
，连接 并延长，交 于点 ，四边形 与 关于 所在直线成轴对称，
线段 交 边于点 ．（1）求证： ；
（2）当 时，求 的长；
（3）令 ， ．
①求证： ；
②如图2，连接 ， ，分别交 ， 于点 ， .记四边形 的面积为 ， 的面
积为 .当 时，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明 ，即可解答；
（2）过点 作 于 ，设 ，则 ，求得 ，再利用勾股定理，列
方程即可解答；
（3）①过点 作 于 ，连接 ，证明 ，可得 ，得到，即可解答；
② 连 接 ， 证 明 ， 进 而 证 明 ， 进 而 证 明
， 可 得 ， 再 证 明 ， 得 到
，再得到 ，最后根据①中结论，即可解答．
【小问1详解】
证明： 四边形 为矩形，
，
，
四边形 与 关于 所在直线成轴对称，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，过点 作 于 ，
设设 ，则 ，
，
，
四边形 为矩形，
，
点 为矩形 的对称中心，
，
，
在 中， ，可得方程 ，
解得 （此时 ，故舍去0），
；
【小问3详解】
解：①证明：过点 作 于 ，连接 ，
点 为矩形 的对称中心，
， ，
，
，
，
，
，
，即 ，
， ，
；②如图，连接 ，
由题意可得 ,
点 为矩形 的对称中心，
，
同理可得 ，
由（1）知 ，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
当 时，由①可得 ，
解得 ，
，
，
．【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和
性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
