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2024 年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
( 1)
1．计算(-3)× - 的结果等于（ ）
3
10 1
A．- B． C．1 D．
3 9
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数的乘法计算法则是解题的关键．
( 1)
【详解】解：(-3)× - =1，
3
故选：C．
2．如图所示，该几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了几何体的三视图，结合俯视图是从上面往下面看到的，据此即可作答．
【详解】解：结合几何体的特征，俯视图是长方形且中间是有一条实线 ，
即 是俯视图为 ，
故选：B3．估计2√15-1的值在哪两个数之间（ ）
A．4与5 B．5与6 C．6与7 D．7与8
【答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解
题的关键．
先估算2√15的范围，然后再确定2√15-1的范围即可．
【详解】解：∵2√15=√60，√49<√60<√64
∴7<2√15<8，
∴6<2√15-1<7．
故选C．
4．2024年李强总理政府工作报告指出，今年发展的主要预期目标是：国内生产总值增长5%左右；城镇新
增就业1200万人以上．将数据“1200万”用科学记数法表示为（ ）
A．12×103 B．1.2×107 C．12×106 D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：
“a×10n，其中1≤a<10，n是正整数”是解题的关键．
【详解】解：1200万=1.2×107，
故选B．
5．随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛．下列新能源汽车品牌图标是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根
据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫
做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形；故选：B．
6．tan60°-2√3的值等于（ ）．
1 √2 √3
A． B． C．-√3 D．
2 2 2
【答案】C
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的加法等知识点，牢记常见的特殊角的三角函数
值成为解题的关键．
先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．
【详解】解：tan60°-2√3=√3-2√3=-√3．
故选：C．
7．化简 的结果是（ ）
a+1 1 a
A． B． C． D．1
a-1 a-1 a-1
【答案】D
【分析】本题考查异分母的分式的减法，掌握分式加减法的法则是解题的关键．
先分解因式并约分，再加减即可．
【详解】
2a(a-1) a+1
= -
(a-1) 2 a-1
2a a+1
= -
a-1 a-1
a-1
=
a-1
故选：D．
k
8．已知点A(-1,y )，B(2,y )，C(3,y )都在反比例函数y= (k<0)的图像上，则y ，y ，y 的大小
1 2 3 x 1 2 3
关系是（ ）
A．y y >y ，
3 2
∵点A(-1,y )在第二象限，
1
∴y >0，
1
∴y ∠BAC， ，
∴∠BDC>∠BDE，
故②不正确，
故选：C．
12．如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地ABCD，墙角两边DC和DA足够长，用
总长28m的篱笆围成另外两边AB和BC．有下列结论：①当AB的长是10m时，劳动基地ABCD的面积是180m2；
②AB的长有两个不同的值满足劳动基地ABCD的面积为192m2；
③点P处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙DC的距离是12m，到墙DA的距离是8m，如果这棵树
需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是196m2，最小值是160m2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，①求出BC的长，可直接计算面积；②设AB的长
是xm时，则BC=(28-x)m，根据题意列方程求解即可；③设AB的长是xm，ABCD的面积为ym2，根据
题意得到x的取值范围，再得到关于x的函数，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：①当AB的长是10m时，BC=28m-10m=18m，
劳动基地ABCD的面积是10×18=180m2，说法正确；
②设AB的长是xm时，则BC=(28-x)m，
若ABCD的面积为192m2，
则x(28-x)=192
或x=16，说法正确；
③设AB的长是xm，ABCD的面积为ym2
{ x≥8
由题意可得 ，
28-x≥12
解得：8≤x≤16，
∵y=x(28-x)=-(x-14) 2+196，
当x<14时，y随x的增大而增大，
∴当 时，面积有最大值196m2，
∵x=8时，面积为160m2，x=16时，面积为192m2，
∴面积的最小值为160m2，说法正确，
综上，3个说法都正确，故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．
记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面朝上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标(x,y)，
那么点P落在直线y=-x+6上的概率为 ．
5
【答案】
36
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数的性质，注意画树状图法与列表法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事
件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由表格求得所有等可能的结果与点P落在直线y=-x+6上的情况，再利用
概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图如下：
故所有等可能结果为
(1,1),(1,2)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1,6)；
(2,1),(2,2)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2,6)；
(3,1),(3,2)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(3,6)；
(4,1),(4,2)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(4,6)；
(5,1),(5,2)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(5,6)；
(6,1),(6,2)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(6,6)，
共36种等可能结果．
当x=1时，y=-x+6=-1+6=5，
当 时，y=-x+6=-2+6=4，
当x=3时，y=-x+6=-3+6=3，
当x=4时， ，当x=5时，y=-x+6=-5+6=1，
当x=6时，y=-x+6=-6+6=0，
故有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)满足在直线y=-x+6上，共5种情况，
5
∴点P落在直线y=-x+6上的概率为 ．
36
5
故答案为： ．
36
14．计算 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的混合运算，根据多项式除以单项式的法则计算即可．解题的关键是掌握多项式除
以单项式的法则．
【详解】解：原式
；
故答案为： ．
15．计算 的结果是 ．
【答案】√5+2
【分析】本题考查了二次根式的乘法．积的乘方的逆运算，平方差公式．熟练掌握二次根式的乘法．积的
乘方的逆运算，平方差公式是解题的关键．
根据(√5-2) 3 (√5+2) 4=[(√5-2)(√5+2)] 3 (√5+2)，计算求解即可．
【详解】解：(√5-2) 3 (√5+2) 4=[(√5-2)(√5+2)] 3 (√5+2)=√5+2，
故答案为：√5+2．
16．把直线y=-2x+3向左平移4个单位后，再上平移5个单位得到直线l，则直线l的解析式为 ．
【答案】y=-2x
【分析】本题主要考查了一次函数图像的几何变换，掌握直线平移变换的规律“对直线 而言：上
下移动，上加下减；左右移动，左加右减”是解题的关键．
直接根据“左加右减、上加下减”的平移法则解答即可．【详解】解：由“左加右减、上加下减”的平移法则可知：将直线y=-2x+3向左平移4个单位后，再上
平移5个单位得到直线l的解析式为：y=-2(x+4)+3+5，即y=-2x．
故答案为：y=-2x．
17．如图，四边形ABCD与CEFG均为矩形，如图放置，使得G，D，C共线，B，C，E共线，取AD中
点M，连接 ，GM交于点H，若 ，CD=CE=2，则AH= ．
【答案】√10
【分析】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等．延长AD交EF于点N，先
证四边形 为矩形得 ， ，然后在Rt△AFN中由勾股定理求出
AF=2√10，再证△GFH和△MAH全等得 ，进而可求出AH的值．
【详解】解：延长AD交EF于点N，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形， ，CD=CE=2，
∴∠ADC=∠CGF=∠GFE=90°， ，CD=AB=CE=GF=2，
∴∠GDN=∠CGF=∠GFE=90°， ，
∴四边形 为矩形，
， ，
在Rt△AFN中， ， ，
由勾股定理得： ，
，
∴FG⊥CG，AD⊥CG，
∴AD∥GF，
，
又 是AD的中点，∴ ，
，
在△GFH和△MAH中，
{∠GFH=∠MAH
∠GHF=∠MHA，
GF=AM
∴△GFH≌△MAH(AAS)，
∴FH=AH，
．
故答案为：√10．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 ；
⏜ ⏜ ⏜
（2）若点D在圆上，在 BC 上有一点P，满足 BP=AD ．
请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证
明） ．
【答案】 图见解析；连接BD与网格线相交于点F，取AB与网格线的交点E，连接FE并延
长与网格线相交于点G，连接AG并延长与圆相交于点P．则点P即为所求．
【分析】（1）由勾股定理即可求得线段AB的长；
（2）连接BD与网格线相交于点F，取AB与网格线的交点E，连接FE并延长与网格线相交于点G，连接
AG并延长与圆相交于点P．则点P即为所求．分别证明△BEG≌△AEF及△AEG≌△BEF，则可得
⏜ ⏜
AP∥BD，即有 AD=BP ．
【详解】（1）、解：由勾股定理得：AB=√42+12=√17，故答案为： ；
（2）解：连接BD与网格线相交于点F，取AB与网格线的交点E，连接FE并延长与网格线相交于点G，
连接AG并延长与圆相交于点P．则点P即为所求．
∵△AEH∽△ABM，
AE AH 1
∴ = = ，
AB AM 2
∴ ；
∵BG∥AF，
∴∠GBE=∠FAE，
∵∠BEG=∠AEF，
∴△BEG≌△AEF，
∴GE=FE；
∵∠AEG=∠BEF，AE=BE，
∴△AEG≌△BEF，
∴∠EAG=∠EBF，
∴AP∥BD，
⏜ ⏜
∴ AD=BP ．
【点睛】本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
夹在两平行弦间的弧长相等等知识．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）解不等式组 ，请结合题意填空，完成本题的解答：
(1)解不等式①，得__________，
(2)解不等式②，得__________；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为__________．
【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)
【分析】（1）先去括号，再移项合并，最后化系数为1，即可求解；
（2）先去分母，再移项合并，最后化系数为1，即可求解；
（3）根据（1）（2）得出的解集，画出数轴即可；
（4）根据数轴，写出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
故答案为： ；
（2）解： ，
，
；
故答案 ： ；
（3）解：数轴如图所示：
（4）解：由数轴可知：原不等式组的解集为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一
元一次不等式组的方法和步骤，以及不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；
不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号
方向改变．
20．（8分）为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满
分为10分），根据获取的样本数据，制作了如图的统计图（1）和图（2）．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次随机抽查的学生人数为_____，在图（2）中，“①”的描述应为“7分 ”，其中m的值为
______；
(2)求抽取的学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数；
(3)若该校九年级共有 名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
【答案】(1)
(2)平均数为 分，众数是9分，中位数为8分
(3)估计该校理化生实验操作得满分的学生有 人
【分析】（1）根据条形统计图可求出抽查学生人数；根据扇形统计图即可求出m的值；
（2）根据条形统计图即可求出平均数、众数和中位数；
（3）根据样本估计总体的原则即可求解．
【详解】（1）解：本次随机抽查的学生人数为 （人），
，即 ；
故答案为：40，15；
（2）解：平均数为： （分），
由图表得知，众数是9分．
名同学，中位数为从小到大排名第 和第 名同学的平均数，
由图表得知，排名后第 和第 名同学得分均为8分，
因此，中位数为8分；
（3）解：根据题意得：
（人），
答：估计该校理化生实验操作得满分的学生有 人．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图信息关联．掌握各统计数据的意义是解题关键．21．（10分）已知 ， 是 的直径，且 ，E为 上一点， 与 交于点F．
(1)如图①，若E为 的中点，连接 ，求 和 的大小；
(2)如图②，过点E作 的切线，分别与 ， 的延长线交于点G，H，若 的半径为6，
， 求 的长．
【答案】(1) ， (2)
【分析】本题主要考查圆周角的性质、勾股定理及切线的性质，熟练掌握圆周角的相关性质及切线的性质
是解题的关键；
（1）由题意易得 ，则有 ，然后根据圆周角定理可进行求解；
（2）连接 ，由题意易得 ，则有 ，然后可得 ，进而根据勾股
定可进行求解．
【详解】（1）解：∵E为 的中点，
，
，
又∵ ，∴ ．
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
；
（2）解：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ．
，
又 ，得 ，
∵ ，得 ，
∴ ．
∴ ．
在 中， ， ，
∴ ．
在 中， ，
．
22．（10分）如图，小文骑自行车从家 出发沿正北方向行驶 到岔路口 后，沿北偏西 方向再行
驶 到达综合实践活动基地 ，参加完活动后，沿路线 到达爷爷家 ．已知小文爷爷家 在小文
家 的北偏西 方向上，在岔路口 的北偏西 方向上，且点 ， ， ， 在同一平面内．（计算结果保留根号）
(1)求小文爷爷家 到小文家 的距离；
(2)求综合实践活动基地 到小文爷爷家 的距离．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题：
（1）过点 作 于点 ，根据余弦的定义求出 ，根据正弦的定义求出 ，根据正切的定义求
出 ，进而求出 ；
（2）过点 作 于点 ，根据余弦的定义求出 ，根据正弦的定义求出 ，再根据勾股定理求
出 即可．
【详解】（1）解：如图，过点 作 于点 ，则 ．
由题意，得 ， ， ．
．
在 中， ， ．
在 中， ．
．
答：小文爷爷家 到小文家 的距离为 ．（2）解：如图，过点 作 于点 ，则 ．
∵ ， ， ．
．
由题意，得 ， ， ．
．
在 中， ， ．
．
．
答：综合实践活动基地 到小文爷爷家 的距离为 ．
23．（10分）小江和小北两人相约爬山锻炼身体，山顶距出发地路程为600米．小江爬到半山腰休息了5
分钟，然后加速继续往上爬．小北因有事耽搁，出发晚了8分钟，为追赶小江，小北开始爬山的速度是小
江休息前速度的2倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶．两人距出发地路程y（米）与小江登
山时间x（分钟）之间的函数关系如图所示（注：小江，小北每一段的爬行均视为匀速）．
(1)小江休息前登山的速度为______米/分钟，小北减速后登山的速度为______米/分钟．
(2)求a的值．
(3)若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后的速度至少要比原来提高多少米/分钟？
【答案】(1)10，12
(2)
(3)小江加速后的速度至少要比原来提高 米 分钟．
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结
合的思想解答．（1）由图象可以直接求出小江休息前的速度；先求出小北减速前的速度，再求出他到达半山腰所用时间，
再用路程除以时间求出他减速之后的速度；
（2）由两人的路程相等列方程，解方程即可；
（3）先求出小江到达山顶最多所用时间，再求出加速后的最小速度即可．
【详解】（1）解：小江休息前登山的速度为 （米 分），
小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍，
小北减速前的速度为20米 分，
小北到达半山腰所用时间为： （分 ，
小北减速后登山的速度为 （米 分），
故答案为：10，12；
（2）解：根据题意得： ，
解得 ；
（3）解：若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后到达山顶所需时间最多为 （分钟），
小江的速度至少为 （米 分），
（米 分），
小江加速后的速度至少要比原来提高 米 分钟．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在x轴上， ， 的长是一元
二次方程 的根，过点C作x轴的垂线，交对角线 于点D，直线 分别交x轴和y轴于点
E和点F，动点N从点E以每秒2个单位长度的速度沿 向终点F运动．设运动时间为t秒．(1)求直线 的函数表达式：
(2)求点N到直线 的距离h与运动时间t的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点M．使得以 为项点的四边形是矩形．若
存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标是 或
【分析】（1）过点 作 于 ，解方程可得 ，然后解直角三角形求出 、 和 的
长，得到点 、 的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；
（2）先求出 ，可得 为 的中点，利用勾股定理可得
，再证得 是等边三角形，可得 ，然后
分情况讨论∶当 时，即点 在线段 上运动时，过点 作 于 ，当 时，
即点 在线段 上运动时，过点 作 于 ，分别解直角三角形即可求得答案；
（3）分情况讨论∶①当 是矩形 的边时，则 ，过点 作 于 ，首先求出 ，
然后解直角三角形求出 和 ，再利用平移的性质得出点 的坐标；②当 是矩形 的对角线
时，则 ，过点 作 于 ，证明 ，可得 然后解直角三角形
求出 ，再利用平移的性质得出点 的坐标．
【详解】（1）解：方程 ，
解得∶ ，
四边形 是是形， ，
，
，
，过点 作 于 ，如图1，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，代入 得∶
解得∶ ，
直线 的解析式为 ；
（2）当 时， ，当 时，
为 的中点，
在 中，是等边三角形．
当 时，即点 在线段 上运动时，过点 作 于 ，如图2，
则
当 时，即点 在线段 上运动时，过点 作 于 ，如图3，
则 ，
，
综上所述，点 到直线 的距离 与运动时间 的函数关系式为（3）存在，分情况讨论∶
①如图4，当 是矩形 的边时，则 ，过点 作 于 ，
，即点 为 与 的交点，
，
将点 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点 ，
将点 向左平移向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点 ，
，
；
②如图5，当 是矩形 的对角线时，则 ，过点 作 于 ，，
是等边三角形，
将点 向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点 ，
将点 向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点 ，
存在一点 ，使得以 为顶点的四边形是矩形，点 的坐标是( )或 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，解直角三角形，待定系数法的应用，等边三角形的判
定和性质，含 直角三角形的性质，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用相关知识点，
作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点 且交 轴于点 ，点 ，
交 轴于点 ，顶点为 ，连接 ， ．(1)求抛物线的表达式．
(2)点 是直线 下方抛物线上的一动点，过点 作 交 轴于点 ， 轴交 于点 ，求
的最大值，以及此时点 的坐标．
(3)连接 ，把原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度后交 轴于 ， 两点 在 右侧），在新
抛物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)最大值为 ， (3) ，
【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式；
（2）求出直线 的解析式，设 ，则得到H的坐标，表示出 证明
，得到一个关于m的二次函数表达式，利用二次函数的性
质求出最值和此时P点坐标即可；；
（3）先求出新的抛物线的表达式为： ，先求出 ， ，分两种情况进行讨
论：当点 在 轴上方时，当点 在 轴下方时，分别画出图形进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 且交x轴于点 ，
把点 、 代入 ，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：过点P作 轴于点N，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
令 ，
，，
设直线 为 ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
，
设 ，
，
轴交 于点H，
的纵坐标为 ，得 ，
，
，
，
，
时， 有最大值，是 ，此时 ，
此时点P的坐标为 ．
（3）解：过点D作 轴于点P，如图所示：
∵抛物线 ，
∴顶点 ，
，
，
，
∴原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度时，相当于向上平移 个单位，向右平移 个
单位，
∴新的抛物线的表达式为：
，令 ，
解得： ， ，
∴ ， ，
当点 在 轴上方时，如图所示：
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，
解得： ， （舍去），
把 代入 得 ，
∴此时G点坐标为 ；当点 在 轴下方时，如图所示：
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，
解得： ， （舍去），
把 代入 得 ，
∴此时G点坐标为 ；
综上分析可知，点G的坐标为： 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数的定义，二次函数与最值问题，二次函数的平移，
相似三角形的性质和判定等知识，本题的关键是熟练掌握角的转换，结合三角函数转换线段从而求出最值
问题，同时熟悉二次函数的特殊值和对称轴公式，发现联系列出方程解题．
