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2024 年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即
可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把
一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称
图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
2．实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴的特征、实数大小比较、绝对值的意义理解，逐项判断即可，根据数轴得出
“ ， ， ”是解题的关键．
【详解】解：∵实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，
∴ ， ， ，∴ ， ，则 ，故A成立，
， ，则 ，故B不成立，
，故C不成立，
，故D不成立，
故选：A．
3．如图是一款手推车的平面示意图，其中 ，点 在 上， 交 于点 ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据平行线的性质可得 ，根据三角
形的外角性质可得 ，据此即可求解，掌握平行线和三角形的外角性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
4．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即
可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看得到的是三个小长方形，
故选：B．
5．如图， 是 的直径， 是 的弦， 交 于点D，连接 、 ，若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，由 得
，由三角形内角和得 ，等量代换得 ，利用等腰三角形的性
质可得 ，利用圆周角定理可得 ，进而即可得解，熟练掌握其性质是解决此题的关
键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
6．估算 的结果（ ）A．在7和8之间 B．在8和9之间
C．在9和10之间 D．在10和11之间
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先进行乘法运算，再进行估算即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ；
故选C．
7．如图，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，将线段 绕点A按逆时针方向旋转得到线段 ，
若点C的坐标为 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，过点 作 轴交于点 ，先
求出 ，再根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：过点 作 轴交于点 ，如图：∵点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
由旋转可知， ，
∵点C的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ，
∴m的值为 ，
故选：B．
8．欧几里德在《几何原本》中，记载了用图解法解方程 的方法，类似地可以用折纸的方法求方
程 的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片 ，先折出 的中点E，再折出
线段 ，然后通过折叠使 落在线段 上，折出点B的新位置F，因而 ，类似地，在 上折
出点M使 ．下列线段中，其长度是方程 的一个根的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】A【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，设 ，则 ，根
据线段中点的定义得到 ，再由勾股定理建立方程 ，化简得到
，据此可得答案．
【详解】解：设 ，则 ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴线段 的长度是方程 的一个根，即线段 的长度是方程 的一个根，
故选：A．
9．如图，直线 与y轴、x轴分别交于点A，B，点C为双曲线 上一点， ，连接
交双曲线于点D，点D恰好是 的中点，则k的值是（ ）
A． B．2 C．14 D．
【答案】A
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：线段中点坐标公式，两直线平行
时斜率满足的关系，坐标与图形性质，先确定出 坐标，根据 ，利用两直线平行时斜率相等确定
出直线 的解析式，与反比例函数解析式联立表示出 坐标，再利用线段中点坐标公式表示出 坐标，代入反比例解析式中列出关于 的方程，求出方程的解即可得到 的值，熟练表示相关点的坐标是解题的
关键．
【详解】解：对于直线 ，
令 ，得到 ，
，
，
直线 解析式为 ，
与反比例解析式联立消去 得： ，
去分母得： ，
解得： 或 （舍去），
．
，
为 中点，
，
将 坐标代入反比例解析式得： ，
解得： ．
故选：A．
10．对称轴为直线 的抛物线 （ 为常数，且 ）如图所示，某同学得出了以
下结论：
① ，
② ，
③ ，
④ ，
⑤ （ 为任意实数），⑥当 时， 随 的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的系数与图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次
函数的图象和性质，以及二次函数系数与图象的关系．
根据图象得出 ，即可判断①；根据图象得出抛物线与x轴有两个交点，则 ，
即可判断②；由图可知，当 时， ，根据二次函数的对称性得出当 时， ，
即可判断③；根据对称轴得出 ，则当 时， ，即可判断④；
根据二次函数的性质得出当 时，二次函数值最小，则 ，即可⑤；根据图象得出
当 时， 随 的增大而增大，即可判断⑥．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，抛物线与y轴相交于负半轴，
∴ ，
∴ ，故①不正确，不符合题意；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，故②正确，符合题意；
③由图可知，当 时， ，
∵抛物线称轴为直线 ，
∴当 时， ，故③不正确，不符合题意；
④∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，则 ，
当 时， ，故④正确，符合题意；
⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时，二次函数值最小，∴ ，
∴ ，故⑤正确，符合题意；
⑥∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
故⑥正确，符合题意；
综上：正确的有②④⑤⑥，共4个，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，先提公因式后，再用完全平方公式即可分解因式．
【详解】 ．
故答案为： ．
12．2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统
作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超
3000亿次，将数据3000亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中，
为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．表示时关键要正确确定 的值
以及的值．
本题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法进行变形、求解即可，关键是能准确理解并运用以上
知识．【详解】3000亿 ，
故答案为： ．
13．春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季．游
戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】，就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，
抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风
纸鸢”的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于
两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实
验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，即可解答．
【详解】解：设7款壁纸分别为A、B、C、D、E、F、G，
根据题意列出表格如下：
A B C D E F G
A
B
C
D
E
F
G由表可知，一共有49种情况，她两次都抽到“东风纸鸢”的情况有1种，
∴她两次都抽到“东风纸鸢”的概率 ，
故答案为： ．
14．如图，在 中， ，以B为圆心 为半径画弧，分别交 于点
F，E，再以C为圆心 为半径画弧，恰好交 边于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积公式，平行四边形的性质，等边三角形的面积，明确题意，熟知知识点是解
决本题的关键．
由 ， ，得 与 等底同高，因此 ，所以
转变为 ，分别求出 ， 即可．
【详解】解：连接 ，交于点O，
由题意得： ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 与 等底同高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．如图，在矩形 中， ， ，点M，N分别在边 上．沿着直线 折叠矩形
，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段 上（不与两端点重合），过点M作 于
点H，连接 ．已知下列判断：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②③④【分析】根据折叠的性质可判定①正确；根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定②正确；根据
最大值和最小值时 的位置可判定③正确；求得 的值，可判定④正确；从而求解．
【详解】解：如图1，由折叠可知 ，①正确；
，
，
，
，
，
，
，②正确；
∵ ，
∴ ，③正确；
当 与 重合时， ，此时 最小，
当 与 重合时，如图，此时 最大，
由勾股定理得： ，
，
，即 ，，
∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
点 在线段 上（不与两端点重合），
折痕 的长度的取值范围为 ；
综上，①②③④都是正确的，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本
题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题
的关键．
16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作 详解九章算法 中提出“杨辉三角” 如图 ，此图揭示了
为非负整数 展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如： ，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
；
则 的展开式共有 项，系数和为 ．
【答案】 /1+n
【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首
尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和．因此根据项数以及各项系数的和的变
化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和即可．
【详解】根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，
∵1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
∴（a+b）n各项系数的和等于2n
故答案为n+1，2n
【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方
公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，
都可以用这个公式．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
17．已知：如图△ABC（AB＞AC）．求作：△PAB，使得PA＝PB，且∠C＝∠APB．
【答案】见解析
【分析】分别作AB，BC的垂直平分线，交点为O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，在AB的同侧，AB的
垂直平分线与⊙O的交点即为P，连接PA、PB，则△PAB满足条件；接着作P点关于AB的对称点P′，
△P′AB满足条件．【详解】解：如图，△PAB和△P′AB为所作．
【点睛】本题考查了尺规作图--复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图
形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．已知 ．
(1)化简P；
(2)当a满足不等式组 ，且a为整数时，求P的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是分式的化简求值，解一元一次不等式组．
（1）根据分式的加法法则、乘法法则化简P；
（2）解不等式组求出a的范围，进而确定a的值，代入计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：解不等式组 ，得 ，其中整数为2，
∴ ，
∴ ．
19．某校准备组织开展四项项目式综合实践活动：“ ．家庭预算， ．城市交通与规划， ．购物决策，
．饮食健康”．为了解学生最喜爱哪项活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能选择一
项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题：
(1)本次一共调查了______名学生，在扇形统计图中， 的值是______；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有 名学生，估计最喜爱 和 项目的学生一共有多少名？
(4)现有最喜爱 ， ， ， 活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请
用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱 和 项目的两位学生的概率．
【答案】(1) ， ；
(2)补全统计图见解析图；
(3)估计最喜爱 和 活动项目的学生一共有 名；
(4) ．
【分析】（ ）用喜欢 项目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；用 减去其它项目所
占的百分比，即可求出 的值；
（ ）用总人数乘以 项目所占的百分比，求出 项目的人数，从而补全统计图；
（ ）用该校的总人数乘以喜爱 和 项目的学生所占的百分比即可；
（ ）画树状图展示所有 种等可能的结果数，再找出最喜爱 和 项目的两位学生的结果数，然后根据概率公式求解；
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形
统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
【详解】（1）被调查的学生有 （名）， ，即 ，
故答案为： ， ；
（2）最喜爱 活动项目的学生有 （名），
补全统计图如图所示：
（3） （名） ，
答：估计最喜爱 和 活动项目的学生一共有 名；
（4）画树状图为：
共有 种等可能的结果，最喜爱 和 项目的两位学生的可能情况由 种，
∴最喜爱 和 项目的两位学生的概率为 ．
20．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪 为正方形， ，
顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线
交 于点H.经测量，点A距地面 ，到树 的距离 ， .求树 的高度.【答案】树 的高度约为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意可知， ， ，易知
，可得 ，进而求得 ，利用 即可求解，得
到 是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知， ， ，
则 ，
，
， ，
则 ，
，
，
则 ，
，
．
答：树 的高度约为 ．
21．如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于点 ， ．(1)求k的值；
(2)直接写出不等式 的解集；
(3)直线 与y轴的交点为C，若P为x轴上的一点，当 的面积为3时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 ．
(3) 或 ．
【分析】（1）依据题意，由两函数图象相交于点 ，从而 ，求出 后可得 的坐标，再代
入反比例函数 ，即可得解；
（2）依据题意， 在函数 上，从而可得 的坐标，再由不等式 的解集为一次函
数图象在反比例函数图象下方时对应的自变量的取值范围，从而可以判断得解；
（3）依据题意，令 ，可得直线 与 轴的交点，再令 ，可得 ，又设 ，
再结合 ， ，可得 ，进而求出 ，即可得解．本题主要考查了反比
例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【详解】（1）解： ．
．
．
又 在反比例函数 上，．
（2）解：由题意， 在函数 上，
．
．
由图象可得不等式 的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的自变量的取值范围，
又 ， ，
或 ．
（3）解：由题意，令 ，
．
直线 交 轴于点 ．
对于函数 ，令 ，
．
．
设 ，
又 ， ，
．
．
或 ．
或 ．
22．消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了
人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了
变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在
一次消防演练中，模拟建筑物 某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼 正前方的点O处，O到
的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度 为4米，喷出水的路线
近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以
所在的直线为y轴，以 所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变）
(1)求出水口在D点时抛物线的解析式:
(2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云
梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户
内？
(3)若火源的中心在距离窗口 水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户
的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由.
【答案】(1)
(2)水能够射进窗户
(3)正好能击中火苗，理由见详解
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题目中的数量关系并结合
实际分析是解题的关键．
（1）由题意知，抛物线顶点坐标为 ，且过点 ，设顶点式，代入点 即可；
（2）经过平移后抛物线的解析式为 ，当 时，则 ，
即可比较；
（3）由题意可得，抛物线的解析式为， ，此时着火点的横坐标为40，当 时，
，因此可以击中火苗．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为 ，且过点 ，
设解析式为 ，代入 得： ，
解得： .∴解析式为： ；
（2）解：经过平移后抛物线的解析式为 ，
即为：
当 时， ，
∵ ，
∴水能够射进窗户；
（3）由题意可得，抛物线的解析式为，
此时着火点的横坐标为40，当 时， ，
因此，正好能击中火苗．
23．如图，在 中， 为线段 的中点，延长 交 的延长线于点 ，连接 ，
．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）证 ，得 ，再证四边形 是平行四边形，然后证
，即可得出结论；
（ ）过点 作 于点 ，由矩形的性质得 ， ，再由等腰三角形的性质得，则 为 的中位线，得 ，然后由平行四边形的性质得
，进而由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ 为 的中点，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的长为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中
位线定理以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
24．【问题初探】
（1）数学课上，老师给出如下信息：
如图1， ， 平分 ，且 ，垂足为 ，连接 并延长，交 于点 ．
①根据以上信息，通过观察，猜想，可以得到 与 的数量关系为：______；
②小亮同学从“ 平分 ”和“ ”这两个条件出发，想到了如下证明思路：如图2，延长
交 于点 ，构造出一对特殊位置的全等三角形，结论得以证明．
请你结合图2，按照小亮的思路写出证明过程．
【类比迁移】
（2）如图3，在 中， ， ， 平分 ，与 交于点 ，过点 作
于点 ，若 ，求 的值．
【拓展应用】
（3）如图4，在 中， ， 平分 ，点 是 的中点，过点 作 于点 ，
交 于点 ，求证： ．
【答案】（1）① ；②证明见解析；（2） ；（3） ．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
（1）① ，②证明 即可；
（2）延长 交 的延长线于点 ，先证 得 ，再证 ，最后
证 即可；
（3）作 于 ，交 于 ，先证 得 ，再用勾股定理
即可．
【详解】（1）① ；
②证明： 平分
又
，
；
（2）证明：如图，延长 交 的延长线于点 ，
又在 和 中
平分
又
；
（3）作 于 ，交 于 ，
是 的中点
由（1）
在 中，又
．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），
与 轴交于点 ， ，顶点为 ，对称轴交 轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)如图2，点 为抛物线对称轴上一动点，当 在什么位置时 最小，求出 点的坐标，并求出此
时 的周长；
(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点 ，在对称轴右侧的抛物线上有一点 ，满足 ．
求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1) ，
(2) ， 的周长为
(3)证明见解析，定点
【分析】（1）首先求得点 的坐标，点 的坐标，利用待定系数法求解，再配成顶点式，即可获得答案；（2）先求得直线 的解析式，再求直线 与对称轴交点 ，将 转化为 ，然后求得 、
的值，即可求解；
（3）过点 作 轴，过点 作 交于 点，过点 作 交于 点，设
， ，证明 ，求得 ，再利用待定系
数法求得直线 的解析式，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
将 ， 代入 ，
可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
∵ ，
∴顶点 ；
（2）解：连接 交对称轴于点 ，如下图，
∵ 、 点关于对称轴对称，
∴ ，
∴ ，当 时， 有最小值，
设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入，
可得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
将 代入直线 ，可得
∴ ，
当 时，解得 或 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 的周长 ；
（3）证明：设直线 的解析式为 ， ， ，
当 时， ， ，
过点 作 轴，过点 作 交于 点，过点 作 交于 点，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
整理得， ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 经过定点 ．
【点睛】本题是二次函数的综合运用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、
二次函数的综合应用、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质、轴对称的性质，添加适当的辅
助线是解题的关键．
26．如图，已知 ， ， ，斜边 ，将 绕点O顺时针旋转
，得到 ，连接 ．点M从点D出发，沿 方向匀速行动，速度为 ；同时，点N从点O
出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．连接 ， ，
交 于点P．设运动时间为 ，解答下列问题：
(1)当t为何值时， 平分 ？
(2)设四边形 的面积为 ，求S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P为线段 的中点？若存在，求出t的值；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)(2)
(3)存在；
【分析】（1）当 平分 时，证明 ，得到 ，继而问题得解；
（2）由 ，进而求解；
（3）过点C作 ，得到 ，有 ，建立关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
当 平分 时，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图， 分别为 的边 ， 上的高，
∵ ，
∴ ， ，
根据旋转可知： ，
∴ ， ，∴
；
（3）解：存在，理由如下：
如图过点C作 ，交 的延长线于点G，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故存在某一时刻 ，使点 为线段 的中点．
【点睛】本题是几何旋转变换综合题，考查了全等三角形的判定，30度的直角三角形的性质、解直角三角
形、三角形的面积及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会用数形结合
的思想思考问题，本题综合性较强，但难度不大．
