2024 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．计算(−3)−(−2)的结果是（ ）
A．1 B． C．5 D．−5
【答案】B
【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．依此计算即可求解．
考查了有理数的减法，方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，
要同时改变两个符号：一是运算符号(减号变加号)；二是减数的性质符号(减数变相反数)．
【详解】解：(−3)−(−2)=−1．
故选：B．
2．估计√3×√8−2的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键．
先估算√24的范围，再根据不等式的性质估算即可．
【详解】解：√3×√8−2=√24−2，
∵4<√24<5，
∴2<√24−2<3，
故选：B．
3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即
可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看得到的是三个小长方形，
故选：B．
4．下列四幅图案代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180
度后与原图重合．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，即可判断答案．
【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选D．
5．据公安部消息，截至2023年底，我国新能源汽车保有量达2041万辆．数据“2041万”用科学记数法
表示为（ ）
A．20.41×106 B． C．2.041×107 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点
移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数
绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：2041万 ．
故选：C．
√3
6． +3tan30°的值等于（ ）
2
7√3 3√3 5√3
A． B． C． D．
2 2 6
【答案】B
√3
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先整理tan30°= ，再进行二次根式的混合运算，
3
即可作答．
√3 √3 √3 3√3
【详解】解：依题意 +3tan30°= +3× = ，
2 2 3 2
故选：B．
1 2
7．化简 − 的结果是（ ）
x−1 x2−1
x x 1 x+1
A． B． C． D．
x−1 x+1 x+1 x
【答案】C
【分析】本题考查了分式的加减运算．通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求解．
1 2
【详解】解： −
x−1 x2−1
x+1 2
= −
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
x−1
=
(x+1)(x−1)
．
故选：C．
m2+1
8．已知点A(−2,y )，B(−1,y )，C(1,y )均在反比例函数y=− 的图象上，则y ，y ，y 的大
1 2 3 x 1 2 3小关系是（ ）
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
【答案】C
【分析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值的大小，掌握反比例函数的增减性成为解题的关键．
根据−(m2+1)<0，得到双曲线过二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大进行判断即可．
【详解】解：∵−(m2+1)<0，
∴双曲线过二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A(−2,y )，B(−1,y )，C(1,y )，−2<−1
1 2 3
∴A,B在第二象限，C在第四象限，
∴y <0<y <y ．
3 1 2
故选：C．
9．若x ,x 是方程5x−1=4x2的两个根，则（ ）
1 2
5 1
A．x +x = ,x x = B．
1 2 4 1 2 4
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先整理为一般形式，再根据根与系数的关系判定即可．
【详解】方程5x−1=4x2整理为：4x2−5x+1=0，
∵x ,x 是方程的4x2−5x+1=0两个根，
1 2
5 1
∴x +x = ，x x = ，
1 2 4 1 2 4
故选：A．
2
10．在△ABC中，点M在边AB上，且AM= AB，阅读以下作图步骤：
5
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA于点D，交BC于点E；
②以点M为圆心，以BD长为半径画弧，交 于点D'；
③以点D'为圆心，以DE长为半径画弧，交前一条弧于点E'；
④连接M E'并延长，交AC于点N，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
AN 2 MN 2
A． = B． C． = D．
NC 3 BC 3
【答案】A
【分析】本题考查了尺规作图--作一个角等于已知角、平行线的判定和相似三角形判定与性质，掌握知识
点是解题关键．由作图可知：∠AMN=∠B，推出MN∥BC，利用平行线的性质证出△AMN∽△ABC
即可解决问题．
【详解】解：由作图可知：∠AMN=∠B，
∴MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
2
∵AM= AB，
5
AM AN MN 2
∴ = = = ，
AB AC BC 5
AN 2
∴ = ，
NC 3
故选：A．
11．如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA=5，DB=4，DC=3，将线段AD以点A为旋转中心逆时
针旋转60∘得到线段AD'，下列结论：①△ACD'可以由△ABD绕点A逆时针旋转60∘得到；②
∠ADC=150∘；③点D到CD'的距离为3；④直线BD与直线CD'相交所形成的锐角是60∘⑤
25√3
S =6+ ，其中正确的有（ ）
四 边 形ADD' C 4A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心连线的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
连接DD'，延长BD交CD'与H，根据旋转的性质得AD=AD'，∠DAD'=60°，可判断△ADD'为等边
三角形，由△ABC为等边三角形等到AB=AC，∠BAC=60°，把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC
重合，AD与AD'重合可对①进行判断；根据勾股定理的逆定理得到△DD'C为直角三角形，于是可对
②③进行判断；由角的数量关系可求出∠BHC=60°则可对④进行判断；由于四边形ADCD'的面积
=S +S
，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．
△ADD' △D'DC
【详解】解：如图：连接DD'，延长BD交CD'与H，
∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，
∴AD=AD'，∠DAD'=60°，
∴ △ADD'为等边三角形，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD'重合，
∴△ACD'可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，
故①正确；
∴D'C=DB=4，DD'=AD=5，
∵DC=3，
∵32+42=52，
∴DC2+D'C2=DD'2，
∴△DD'C为直角三角形，
∴∠DCD'=90°，
∵∠ADD'=60°，∠CDD'≠90°，
∴ ∠ADC≠150°，
故②错误；
∵∠DCD'=90°，
∴ ，
∴点D到CD'的距离为3，故③正确；
∵∠ABD+∠CBD+∠ACB=120°，
∴∠CBD+∠ACB+∠ACD'=120°，
∴∠BHC=60°，
故④正确．
1 5√3 1 25√3
∵四边形ADCD'的面积=S +S = ×5× + ×3×4=6+ ，
△ADD' △D'DC 2 2 2 4
故⑤正确．
综上：①③④⑤正确．
故选∶C．
12．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快
减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售
出2件．有下列结论：①降价8元时，数量为36件．②若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价
10元．③商场平均每天盈利最多为1250元．正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件列出算式计算即可判断①；设每件衬衫应
降价x元，则每天多销售2x件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可判断②；设商场每天的盈利为w
元，根据题意得出w=−2(x−15) 2+1250，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：∵每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴降价8元时，每天售出的件数为：20+2×8=36（件），故①正确，符合题意；
设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，
由题意得：(40−x)(20+2x)=1200，
整理得：x2−30x+200=0，
解得：x =10，x =20，
1 2
∵尽快减少库存，∴x=20，
∴若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元，故②错误，不符合题意；
设商场每天的盈利为w元，
由题意得：w=(40−x)(20+2x)=−2x2+60x+800=−2(x−15) 2+1250，
∵a=−2<0，
∴当x=15时，w最大为1250元，故③正确，符合题意；
综上所述，正确的有①③，共2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，找准
等量关系，正确列出算式、一元二次方程以及二次函数是解此题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．琪琪和妈妈玩摸纸牌游戏，先从一副扑克牌中抽出1张黑桃、3张红桃，然后把它们背面朝上洗匀放
在桌子上，随机从中摸取两张，规定两次摸到的扑克牌花色不一样琪琪赢，否则妈妈赢，则琪琪赢的概率
是 ．
1
【答案】
2
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表
可得出所有等可能的结果数以及两次摸到的扑克牌花色不一样的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
黑桃 红桃 红桃 红桃
黑桃 （黑桃，红桃） （黑桃，红桃） （黑桃，红桃）
红桃 （红桃，黑桃） （红桃，红桃） （红桃，红桃）
红桃 （红桃，黑桃） （红桃，红桃） （红桃，红桃）
红桃 （红桃，黑桃） （红桃，红桃） （红桃，红桃）
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的扑克牌花色不一样的结果有6种，
6 1
∴琪琪赢的概率是 = ．
12 21
故答案为： ．
2
14．化简(−a) 2÷(−a)= ．
【答案】−a
【分析】本题主要考查了同底数幂除法运算，根据同底数幂除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：(−a) 2÷(−a)=−a，
故答案为：−a．
15．用完全平方公式计算
【答案】4x2+12xy+9 y2
【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式(a±b) 2=a2±2ab+b2．利用完全平
方公式直接求解即可．
【详解】解：(−2x−3 y) 2=(−2x) 2−2×(−2x)⋅(3 y)+(3 y) 2=4x2+12xy+9 y2，
故答案为：4x2+12xy+9 y2
16．将直线y=x+b沿y轴向上平移5个单位长度，若点A(−2,4)关于原点的对称点落在平移后直线的上方，
则b的取值范围为 ．
【答案】b<−11
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，关于y轴对称的点坐标特征，一次函数图象上点的坐标特
征．先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b沿y轴向上平移5个单位长度后的直线解析式，再把点
A(−2,4)关于y轴的对称点(2,−4)代入，即可求出b的值．
【详解】解：将直线y=x+b沿y轴向上平移5个单位长度，得直线y=x+b+5．
∵A(−2,4)关于y轴的对称点(2,−4)，
∴把点(2,−4)代入y=x+b+5，得2+b+5=−4，
解得b<−11．
故答案为：b<−11．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=3，点D在边AC上，AD=1，过点D作DE∥AB
交边BC于点E，连接BD，点O是线段BD的中点，连接OE，则OE的长为 ．√5
【答案】
2
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，解题
的关键是能正确作出辅助线，并能熟练掌握相关的性质定理，
作OF⊥BC于点F，连接OC，根据直角三角形的中位线定理求出OF，BF，再根据平行线的性质可得
CE=CD=2，进而求出EF，根据勾股定理即可求解
【详解】解：作OF⊥BC于点F，连接OC，如图所示；
∵AC=BC=3，AD=1，
∴CD=AC−AD=3−1=2
∴BD=√CD2+BC2=√13
∵点O是线段BD的中点，
√13
∴OC=OB=OD=
2
∵OF⊥BC
∴OF∥CD
又∵点O是线段BD的中点，
1 3 1
∴CF=BF= BC= ,OF= CD=1
2 2 2
∵DE∥AB,∠ABC=45°
∴∠DEC=45°
在Rt△DCE中，3 1
∴EF=CE−CF=2− =
2 2
在Rt△OFE中，
√ 1 √5
∴OE=√OF2+EF2= 12+(
)
2=
2 2
√5
故答案为：
2
18．如图，是由边长为1的小正方形组成的7×6的网格，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺
作图．
（I）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个格点P，使∠ABP=45°并简要说明画图方法
（不要求证明）
【答案】 5 构造△ABP是等腰直角三角形，根据网格先确定AP=AB=5，由AB是横3竖4的
网格，绕点A逆时针旋转90°即为AP，连结BP，∠ABP即为所作．
【分析】（1）利用勾股定理借助网格即可得出AB；
（2）借助网格作以AB为直角边的等腰直角三角形即可．
【详解】解：（1）AB=√32+42=5，
故答案为：5；
（2）构造△ABP是等腰直角三角形，根据网格先确定AP=AB=5，由AB是横3竖4的网格，绕点A逆时
针旋转90°即为AP，连结BP，∠ABP即为所作．如下图：
【点睛】本题考查作图—复杂作图，还考查勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定．熟练掌握相关定理，能结合网格分析是解题关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
{5x+1≥4x−1①
19．（8分）解不等式组 1 3 ，请结合题意填空，完成本题的解答．
x−1≤1− x②
2 2
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______．
【答案】(1)x≥−2 (2)x≤1 (3)见解析 (4)−2≤x≤1
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集：
（1）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可；
（2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可；
（3）根据（1）（2）所求在数轴上表示不等式组的解集即可；
（4）根据（3）所求即可得到答案．
【详解】（1）解：5x+1≥4x−1
移项得： 5x−4x≥−1−1，
合并同类项得：x≥−2，
故答案为：x≥−2；
1 3
（2）解： x−1≤1− x
2 2
1 3
移项得： x+ x≤1+1，
2 2
合并同类项得：2x≤2，
系数化为1得：x≤1
故答案为：x≤1；
（3）解：数轴表示如下所示：
（4）解：由数轴可知，不等式组的解集为−2≤x≤1，故答案为：−2≤x≤1．
20．（8分）为了提高学生的消防安全意识，某校对全体学生进行了消防知识测试，测试题共10道．测试
结束后，学校随机抽查了a名学生的成绩，根据学生答对题的数量（单位：道），绘制出如下的统计图①
和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空：a的值为______，图①中m的值为______．
(2)求统计的这组学生答对题的数量数据的平均数、众数和中位数．
【答案】(1)50，16 (2)平均数是8，众数是9，中位数是8
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图相关联、平均数、众数和中位数等知识，熟练掌握
相关定义是解题关键．
（1）利用“参与调查的学生中答对6道题的学生人数÷其占比”，计算随机抽查的学生人数；利用
“答对7道题的学生÷随机抽查的学生总人数×100%”，计算m的值即可；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义，分别求解即可．
【详解】（1）解：学校随机抽查的学生人数为10÷20%=50人，即a=50；
答对7道题的学生占比为8÷50×100%=16%，即m=16．
故答案为：50，16；
（2）统计的这组学生答对题的数量数据的平均数为：
6×10+7×8+8×10+9×16+10×6
=8；
50
参与调查的学生中，答对9道题的学生最多，有16人，
故统计的这组学生答对题的数量数据的众数为9；
将这些数据按照从小到大的顺序排列，其中位于第25，26位的是8，
8+8
所以，统计的这组学生答对题的数量数据的中位数为 =8．
2
答：统计的这组学生答对题的数量数据的平均数为8，众数为8，中位数为8．
21．（10分）在⊙O中，点A，点B，点P在圆上，∠AOB=150°．(1)如图①，P为弦AB所对的优弧上一点，半径OC经过弦AB的中点M，PB=AB，求∠AOC和∠ABP
的大小；
(2)如图②，P为弦AB所对的劣弧上一点，AP=OB，过点B作⊙O的切线，与AO的延长线相交于点D，
若DB=√6，求PB的长．
【答案】(1)∠AOC=75°，∠ABP=30°(2)PB=6
1
【分析】（1）由半径OC经过弦AB的中点M．可得
A
⏜
C=B
⏜
C
，则∠AOC=∠BOC= ∠AOB，
2
1
∠APB= ∠AOB，由PB=AB，可得∠PAB=∠APB，根据∠ABP=180°−∠PAB−∠APB，
2
计算求解即可；
DB
（2）由题意得∠DOB=30°，由切线的性质可知∠OBD=90°，则OB= ，由AP=OB，可
tan30°
得AP=OB=OP=OA，则△OAP为等边三角形，∠AOP=60°，
∠POB=180°−∠AOP−∠BOD=90°，由勾股定理求PB即可．
【详解】（1）解：∵半径OC经过弦AB的中点M．
⏜ ⏜
∴ AC=BC ，
1
∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB=75°，
2
1
∴∠APB= ∠AOB=75°，
2
又∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=75°，
∴∠ABP=180°−∠PAB−∠APB=30°，
∴∠AOC=75°，∠ABP=30°．
（2）解：∵∠AOB=150°，
∴∠DOB=30°，∵DB切⊙O于B，
∴∠OBD=90°，
DB
∴OB= =3√2，
tan30°
∵AP=OB，
∴AP=OB=OP=OA，
∴△OAP为等边三角形，∠AOP=60°，
∴∠POB=180°−∠AOP−∠BOD=90°，
由勾股定理得，PB=√PO2+OB2=√2OB2=6，
∴PB=6．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，切线的性质，正切，
等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等边对等角，三角形
内角和定理，切线的性质，正切，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
22．（10分）某学习数学兴趣小组要测大树BC的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为45°，
然后从距A点水平距离为9米高3米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为22°．依据他们测量的数
3 15 2
据求出大树BC的高度．（参考数据：sin22°≈ ,cos22°≈ ,tan22°≈ ）
8 16 5
【答案】11米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键．过点D作
DG⊥BC于点G，设BC=x米，先求得AC=BC=x米，则DG=CH=AC+AH=(x+9)米，在
Rt△BDG中，利用正切定义列方程求解x值即可．
【详解】解：如图所示：过点D作DG⊥BC于点G，设BC=x米，在Rt△ABC中，∠BAC=45°，
∴AC=BC=x米，
又AH=9米，
∴在矩形DGCH中，DH=CG=3米，DG=CH=AC+AH=(x+9)米，
BG x−3 2
在Rt△BDG中，由tan∠BAG= = ≈
DG x+9 5
解得：x=11
经检验，x=11是方程的解．
答：大树的高度约为11米．
23．（10分）已知小李家、菜鸟驿站、文具店依次在同一直线上，小李从家出发，先用5min匀速跑步前
往文具店，到文具店后停留了11min，接着匀速步行4min到达菜鸟驿站，用2min取到快递后返回家．下
图反映了该过程中，小李离家的距离y(m)与所用时间x(min)之间的关系．
请根据相关信息回答下列问题：
(1)小李从家跑步到文具店的速度为 _______________ __ m/min；
(2)求AB段的函数解析式；
(3)若小李取完快递准备返回家时给妈妈打电话，妈妈从家以75m/min的速度沿同一线路去接小李，那么接
到小李后离家还有多少m？
【答案】(1)120 (2)AB段的函数解析式为y=−50x+1400 (3)接到小李后离家还有300m
【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，将情境和函数图象结合起
来．
（1）根据图象得到小李从家跑步到文具店的路程和时间，进而求解即可；
（2）设AB段的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法求解即可；
（3）首先求出小李取完快递后回家的速度，然后求出妈妈接到小李时的时间，进而求解即可．
【详解】（1）600÷5=120(m/min)
∴小李从家跑步到文具店的速度为 ；
（2）设AB段的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，∵A(16,600)，B(20,400)，
{16k+b=600
∴ ，
20k+b=400
{k=−50
解得 ，
b=1400
∴AB段的函数解析式为y=−50x+1400；
400
（3）由题意得小李取完快递后回家的速度为 =25(m/min)，
38−22
则400÷(75+25)=4(min)，
此时妈妈走了75×4=300(m)，
∴接到小李后离家还有300m．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB的顶点A的坐标为(16,0)，点B在第一象限，
∠OBA=90°， ，矩形OCDE的顶点E在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D坐标为
(−4,10)．
(1)如图①，求点B的坐标；
(2)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为O'，C'，D'，E'．
设OO'=t，矩形O'C'D'E'与△OAB重登部分的面积为S．
①如图②，当矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为五边形时，D'E'与OB相交于点M，C'O'与BA相交于点
N，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当3≤t≤14时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
9
【答案】(1)B(8,8) (2)①S=−t2+20t−72(8<t<12)；② ≤S≤28
2
【分析】（1）如图所示，过点B作BF⊥x轴于点F，根据题意可得△OBA是等腰直角三角形，可得
1
OF=BF=AF= OA=8，由此即可求解；
2
（2）图形结合分析，当OO'=t=8时，OC过点B；当OO'=t=8+4=12时，DE过点B，矩形
O'C'D'E'与△OAB重叠部分不能组成五边形；可求出t的取值范围，再根据图示，可得S=S +S
，由此即可求解；②根据图形的平移，等腰直角三角形的判定和性质，分类
梯 形BEG'M 梯 形BOG'N
讨论：当t=3，t=8， ，t=12，t=14时，分别算出S最大值与最小值，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作BF⊥x轴于点F，
已知顶点A的坐标为(16,0)，点B在第一象限，∠OBA=90°， ，
∴△OBA是等腰直角三角形，OA=16，
1
∴OF=BF=AF= OA=8，
2
∴B(8,8)；
（2）解：已知四边形OCDE是矩形，D(−4,10)，
∴OE=CD=4，OC=DE=10，
∴E(−4,0)，C(0,10)，
由（1）可知，OF=BF=8，
①矩形OCDE沿x轴向右平移，OO'=t，
∴当OO'=t=8时，OC过点B，矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分不能组成五边形；
当OO'=t=8+4=12时，DE过点B，矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分不能组成五边形；
∴t的取值范围为： ，
如图所示，过点B作BG⊥x轴于点G，
∴BG=OG=8，
根据题意可知，∠AOB=45°，∠OE'M=90°，OO'=t，O'E'=OE=4，
∴M E'=OE'=OO'−O'E'=t−4，GE'=OG−OE'=8−(t−4)=12−t，
AO'=NO'=OA−OO'=16−t，O'G=OO'−OG=t−8，(M E'+BG)·GE' (t−4+8)×(12−t) −t2+8t+48
∴S = = = ，
梯 形BEG'M 2 2 2
(NO'+BG)·O'G (16−t+8)×(t−8) −t2+32t−192
S = = = ，
梯 形BOG'N 2 2 2
∴矩形O'C'D'E'与△OAB重登部分的面积为：S=S +S
梯 形BEG'M 梯 形BOG'N
−t2+8t+48 −t2+32t−192
= +
2 2
=−t2+20t−72，
∴S=−t2+20t−72(8<t<12)；
②由上述可知，S=−t2+20t−72(8<t<12)，
∴当3≤t≤8时，如图所示，当t=3时，
1 1 9
∴S= OO'O'M= ×3×3= ；
2 2 2
如图所示，当t=8时，
∴OE'=M E'=8−4=4，
∴S=S −S
△OO'B △OE'M
1 1
= ×8×8− ×4×4
2 2
=24；当 时，S=−t2+20t−72=−(t−10) 2+28(8<t<12)，
∴当 时，S的面积最大，最大面积为28；
如图所示，当t=12时，
∴AO'=NO'=16−12=4，
∴S=S −S
△AE'B △AO'N
1 1
= ×8×8− ×4×4
2 2
=24；
如图所示，当t=14时，
∴AO'=NO'=16−14=2，AE'=M E'=O'E'+AO'=4+2=6，
(NO'+M E')·O'E' (2+6)×4
∴S= = =16；
2 2
9
综上所述，当3≤t≤14时，S的取值范围为： ≤S≤28．
2
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移，几何图形面积的计算，二次函数图象的性质，
等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，图形平移的性质，
二次函数图象的性质是解题的关键．
25．（10分）如图1，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(−2,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，在抛物线
上有一动点P，连接PA，PB，PC，BC．(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)若点P在第一象限的抛物线上，当△BCP的面积是3时，求△ABP的面积；
(3)如图2，连接AC，点D在线段AC上，过D作DE⊥AB于点E，点F在线段BC上，且D，F两点关于y
轴上的某点成中心对称，连接DF，EF．试探究线段EF的长度是否有最小值？如果有请求出这个最小值；
若没有请说明理由．
1 27 15 8√5
【答案】(1)y=− x2+x+4；(2) 或 ；(3)有，最小值为 ．
2 2 2 5
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
1
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，设P(m,− m2+m+4)，则Q(m,−m+4)，表示出 ，根据
2
△BCP面积是3，解方程即可求解；
（3）过F作FH⊥x轴于 ，得出直线AC解析式为y=2x+4，根据题意设D(t,2t+4)，则
F(−t,t+4)，在Rt△EFH中，勾股定理求得EF2，进而根据二次函数的性质求得最小值，即可求解．
【详解】（1）解：将A(−2,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx+4得：
{ 1
{0=4a−2b+4 a=−
，解得 2，
0=16a+4b+4
b=1
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+x+4
2
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图.令x=0，得y=4，
∴C(0,4)，
∴直线BC解析式为y=−x+4，
1
设P(m,− m2+m+4)，则Q(m,−m+4)，
2
∴PQ= ( − 1 m2+m+4 ) −(−m+4)=− 1 m2+2m，
2 2
1
S =S +S = PQ⋅(x −x )，且△BCP面积是3，
△BCP △PQB △PQC 2 B A
∴ 1 × ( − 1 m2+2m ) ×4=3，
2 2
解得m=1或m=3，
9 27
当m=1时， )， ，
2 2
5 1 15
当m=3时， )， S = AB⋅y = ，
2 △ABP 2 P 2
27 15
∴△ABP的面积是 或 ．
2 2
（3）过F作FH⊥x轴于 ，如图.
设直线AC解析式为y=mx+n，
将A(−2,0)、C(0,4)代入得：
{ 4=n {m=2
，解得 ，
0=−2m+n n=4
∴直线AC解析式为y=2x+4，
∵D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，
∴设D(t,2t+4)，则F(−t,t+4)，∴FH=t+4，EH=−t−t=−2t，
在Rt△EFH中，EF2=FH2+EH2，
∴EF2=(t+4) 2+(−2t) 2
=5t2+8t+16
( 4) 2 64
=5 t+ + ,
5 5
4 8√5
∴当 时，EF2最小值为 ，故EF最小值为 ．
5 5
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，涉及二次函数解析式、三角形面积、中心对称、勾股
定理等，解题的关键是设点的坐标，用含字母的代数式表示相关的线段长度，列方程解决问题．
