文档内容
2024 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了用算筹表示正负数的方法，即“正算赤，负算黑”．如果
向东走30米记作“+30米”，那么向西走70米记作（ ）
A．+70米 B．+30米 C．﹣30米 D．﹣70米
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：如果向东走30米记作“+30米”，那么向西走70米记作﹣70米，
故选： D．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．2024年巴黎奥运会运动项目图标设计大量使用了对称元素．下列分别是划船、篮球、摔跤、冲浪四个
运动项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 划船 B． 摔跤
C． 篮球 D． 冲浪
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折
后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋
转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3．从水利部长江水利委员会获悉，截止 2024年3月24日，南水北调中线一期工程自2014年12月全面
通水以来，已累计调水700亿立方米．其中70000000000用科学记数法表示为（ ）
A．7×108 B．7×109 C．7×1010 D．7×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正
数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：70000000000＝7×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．已知点P（a，a+1）在平面直角坐标系的第二象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
{ a＜0
【分析】由点P（a，a+1）在平面直角坐标系的第二象限知 ，解之即可．
a+1＞0
【解答】解：∵点P（a，a+1）在平面直角坐标系的第二象限，
{ a＜0
∴ ，
a+1＞0
解得﹣1＜a＜0，
故选：C．【点评】本题考查的是平面直角坐标系及解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟
知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．下列运算正确的是（ ）
A．√(−3) 2=3 B．（3a）2＝6a2 C．3+√2=3√2 D．a6÷a2＝a3
【分析】根据二次根式的性质和运算法则、积的乘方法则和同底数幂的除法法则计算出正确结果即可判
断．
【解答】解：A、√(−3) 2=3，故A符合题意；
B、（3a）2＝9a2，故B不符合题意；
C、3+√2不能计算了，故C不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的性质和运算法则、积的乘方法则和同底数幂的除法法则，熟练掌握运算法
则是解答本题的关键．
6．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一条直角边重合，含30°角的直
角三角板的斜边与纸条的一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数为（
）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】延长AB交直线DE于点E，由题意可得∠CAB＝60°，∠ABC＝90°，∠CBD＝45°，利用平行线
的性质可得∠AEF＝60°，平角的定义可求∠DBE＝45°，再由三角形的外角性质即可求∠1．
【解答】解：延长AB交直线a于点E，如图，由题意得：∠CAB＝60°，∠ABC＝90°，∠CBD＝45°，
∵AC∥DE，
∴∠AEF＝∠CAB＝60°，∠DBE＝180°﹣∠ABC﹣∠CBD＝45°，
∵∠AEF是△BDE的外角，
∴∠1＝∠AEF﹣∠DBE＝15°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB
＝60，则点A到BC的距离为（ ）
60
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
sin50°
【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得
出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是
熟练掌握三角函数的定义．8．如图，已知AB与 O相切于点A，AC是 O的直径，连接BC交 O于点D，E为 O上一点，当
∠CED＝58°时，∠B的⊙度数是（ ） ⊙ ⊙ ⊙
A．32° B．64° C．29° D．58°
【分析】由切线的性质及圆周角定理可得出答案．
【解答】解：连接AD，
∵AB与 O相切于点A，
∴CA⊥A⊙B，
∴∠CAB＝90°，
∵∠CED＝∠CAD＝58°，
∴∠DAB＝90°﹣∠CAD＝32°，
∵AC是 O的直径，
∴∠ADC⊙＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠DAB＝58°，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半
径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
9．如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝3，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点M，交CD于
▱
1
点N，再分别以点M，点N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线CF交BA的延长
2线于点E，则AE的长是（ ）
1
A．√2 B．1 C．2 D．
2
【分析】先利用基本作图得到CE平分∠BCD，则∠BCE＝∠DCE，再根据平行四边形的性质和平行线的
性质得到∠E＝∠DCE，则∠E＝∠BCE，所以BE＝BC＝3，从而可求出AE的长．
【解答】解：由作法得CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠E＝∠DCE，
∴∠E＝∠BCE，
∴BE＝BC＝3，
而BE＝BA+AE＝2+AE，
即2+AE＝3，
∴AE＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性
质和平行四边形的性质．
10．已知：平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣
3，0），则下列结论正确的有（ ）
（1）a﹣b+c＜0；（2）4a2﹣2bc＞0；（3）将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位时，它会过原点；
（4）直线y＝2ax﹣c不过第四象限．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），则x＝0时，y＜0，即a﹣
b+c＜0，于是可对（1）进行判断；
b
根据抛物线与x轴有2个交点得到b2﹣4ac＞0，利用抛物线的对称轴为直线x=− =−1，则b＝2a，于
2a是可对（2）进行判断；
根据抛物线与x轴的一个交点为（1，0），则可对（3）进行判断；
根据a＞0，c＜0，则可对（4）进行判断．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，且图象经过点（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故正确；
（2）∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2a
∴b＝2a，
∴4a2﹣2bc＞0，故正确；
（3）∵抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）、（1，0），
∴将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位时，它会过原点；故正确；
（4）∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）、（1，0），
∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴﹣c＞0，
∴直线y＝2ax﹣c经过第一、二、三象限，不过第四象限，故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，二次函数图象
与几何变换，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
1 m
11．计算 − 的结果是 ．
m2−1 1−m2
【分析】先将分母因式分解、同时通过变形化为同分母分式相加，再根据法则相加，最后约分即可得．
1 m
【解答】解：原式= +
(m+1)(m−1) (m+1)(m−1)
m+1
=
(m+1)(m−1)
1
= ，
m−1
1
故答案为： ．
m−1
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则．
12．一次函数y＝kx+b图象经过点（1，1），当x＝2时，5＜y＜9，则k的值可以是 （写出一个
即可）．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b图象经过点（1，1），
∴1＝k+b，b＝1﹣k，
∴一次函数解析式为：y＝kx+1﹣k，
∵当x＝2时，5＜y＜9，
∴5＜2k+1﹣k＜9，
∴5＜k+1＜9，
∴4＜k＜8．
不妨k＝6，
故答案为：6（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握解不等式是解答本题的关键．
13．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．若要从
“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中抽取两张，则恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的
概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的结果数，再利
用概率公式可得出答案．【解答】解：将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的结果有：BC，CB，共2种，
2 1
∴恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率为 = ．
12 6
1
故答案为： ．
6
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．我国古代《孙子算经》中有记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人
步，问人与车各几何？”意思是“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人
无车可乘，问人和车的数量各是多少？”则乘车人数为 人．
【分析】利用车的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设共有x人，
x x−9
根据题意得 +2= ．
3 2
解得：x＝39，
故答案为：39．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的
关键．
15．如图，在矩形ABCD中，点M为矩形AD的中点，连接CM，沿着CM折叠，点D的对应点D'，N为
BC上一点，且BN＜CN，沿MN折叠，恰好AM与D'M重合，此时点A的对应点为点D'，若AB＝6，BN
＝3.5，则A′到CM的距离为 ．【分析】过点A′作A′E⊥CM，连接A′M，由折叠性质得A′N，A′C，由勾股定理得CN，从而求得
DM，D′M，再求得CM，利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：如图，过点A′作A′E⊥CM，连接A′M，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BN＝3.5，
∴CD＝6，∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵△CDM沿CM折叠得到△CD′M，四边形ABNM沿MN折叠得到四边形D′A′NM，
∴A′N＝BN＝3.5，A′D′＝AB＝6，CD′＝CD＝6，∠NA′D′＝∠B＝90°，∠A′D′M＝∠A＝
90°，∠CD′M＝∠D＝90°，
∴A′C＝A′D′+CD′＝12，
∴CN=√A′N2+A′C2=12.5，
∴AD＝BC＝BN+CN＝16，
∵点M为矩形AD的中点，
∴DM＝8，
∴D′M＝8，CM=√CD2+DM2=10，
1 1
∵S△A′CM =
2
×A′C×D′M =
2
×CM×A′E，
A′C×D′M 12×8
∴A′E= = =9.6，
CM 10
∴点A′到CM的距离为9.6，
故答案为：9.6．
【点评】本题考查矩形的性质，翻转折叠，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，利
用对应边与角表示出相关量．三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
16．（6分）计算：√12−(3.14−π) 0−4sin60°+( ) −1 ．
4
√3
【分析】sin60°= ，再根据实数和指数幂的运算法则计算即可．
2
√3
【解答】解：原式=2√3−1−4× +4
2
＝3．
【点评】本题考查的是实数的运算，指数幂和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述知识点是解题的关
键．
17．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，
且AE＝CF．
求证：四边形EGFH是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质得到∠GAE＝∠HCF，根据
全等三角形的性质得到GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
{
AG=CH
∠GAE=∠HCF，
AE=CF
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形判定与
的性质是解题的关键．
18．（6分）甲辰龙年春节，红嘴鸥“火”了，全国各地的游客慕名而来，感受昆明人鸥和谐的美好氛
围．某教育集团组织开展观鸟节科普系列活动，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化
衫比每件B款文化衫多10元，用1000元购进A款和用800元购进B款文化衫的数量相同．求A款文化衫
和B款文化衫每件各多少元？
【分析】设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件（x﹣10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1000
元购进A款和用800元购进B款文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A
款文化衫的单价，再将其代入（x﹣10）中，即可求出B款文化衫的进价．
【解答】解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件（x﹣10）元，
1000 800
根据题意得： = ，
x x−10
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x﹣10＝50﹣10＝40（元）．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．（8分）3月11日邯郸3名初中生杀人埋尸案发生后，为加强学生法治观念，某校开展了“普法知
识”竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x
表示，其中A：0≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上为优
秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：94，91，93，90；
八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七 91 a 95 m
八 91 93 b 65%
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“普法知识”竞赛中，哪个年级学生成绩更好？请说
明理由．（至少写出两条理由）
（3）该校七年级有学生400名，八年级有学生500名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生的总人
数．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出a、b的值，用优秀的人数除以总人数即可得m的
值；
（2）根据中位数和优秀率进行判断即可；
（3）用样本估计总体可得结果．
【解答】解：（1）中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在C组，
91+93
∴a= =92，
2
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得众数b＝94，
20−3−5
m= ×100%＝60%，
20
故答案为：92，94，60%；
（2）八年级的学生成绩更好，理由如下：
因为八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，所以八年级的学生成绩更好；（3）400×60%+500×65%＝565（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生的总人数为565人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、平均数，解答本题的关
键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
k
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线l：y= （x＞0）过点A（a，b），B（2，1）（0＜a＜
x
2）；过点A作AC⊥x轴，垂足为C．
（1）求l的解析式；
（2）当△ABC的面积为2时，求点A的坐标；
（3）点P为l上一段曲线AB（包括A，B两点）的动点，直线l ：y＝mx+1过点P；在（2）的条件下，
1
若y＝mx+1具有y随x增大而增大的特点，请直接写出m的取值范围．（不必说明理由）
k
【分析】（1）将B（2，1）代入y= 即可得到即可；
x
2
（2）根据A（a，b）在反比例函数上，得到b= ，根据三角形的面积列方程即可得到结论；
a
2
（3）把（ ，3）代入y＝mx+1得，m＝3，根据一次函数的性质即可得到结论．
3
k
【解答】解：（1）将B（2，1）代入y= 得：k＝2，
x
2
∴反比例解析式为y= ；
x
（2）∵A（a，b）在反比例函数上，
2
∴b= ，
a
1
∵S△ABC =
2
b(2−a)= 2，1 2
即 b(2− )= 2，
2 b
∴b＝3，
2
∴A的坐标为( ， 3)；
3 ❑
❑
（3）∵直线l ：y＝mx+1过点P，点P为l上一段曲线AB（包括A，B两点）的动点，
1
∴当点P与A重合时，
2
把（ ，3）代入y＝mx+1得，m＝3，
3
∵y＝mx+1具有y随x增大而增大，
∴m＞0，
∴m的取值范围0＜m≤3．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，一次函
数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的 O交BC于点D，连接OD，过点D作
DE⊥AB于点E，延长BA交 O于点F，连接CF． ⊙
（1）求证：DE为 O的切线⊙；
⊙ 3
（2）若CF＝6，sinB= ，求 O的半径．
5
⊙
【分析】（1）由AB＝AC，得∠B＝∠ACB，则∠FAC＝∠B+∠ACB＝2∠ACB，而∠AOD＝2∠ACB，所
以∠AOD＝∠FAC，则OD∥AB，所以∠ODE＝∠BED＝90°，即可证明DE为 O的切线；
CF 3 5 ⊙
（2）由 =sinB= ，求得BC= CF＝10，则BF=√BC2−CF2=8，由勾股定理得（8﹣AC）2+62＝
BC 5 3
25 25
AC2，求得AC= ，则 O的半径长为 ．
4 8
⊙
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，∴∠FAC＝∠B+∠ACB＝2∠ACB，
∵∠AOD＝2∠ACB，
∴∠AOD＝∠FAC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠ODE＝∠BED＝90°，
∵OD是 O的半径，且DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
⊙ 3
（2）解：∵AC是 O的直径，CF＝6，sinB= ，
5
⊙
∴∠F＝90°，
CF 3
∴ =sinB= ，
BC 5
5 5
∴BC= CF= ×6＝10，
3 3
∴BF=√BC2−CF2=√102−62=8，
∵AF2+CF2＝AC2，且AF＝8﹣AB＝8﹣AC，
∴（8﹣AC）2+62＝AC2，
25
解得AC= ，
4
1 1 25 25
∴OA= AC= × = ，
2 2 4 8
25
∴ O的半径长为 ．
8
⊙
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、锐角三
角函数与解直角三角形等知识，推导出∠AOD＝∠FAC是解题的关键．
22．（10分）某地大力推广成本为 10元/斤的农产品，该农产品的售价不低于 15元/斤，不高于 30元/斤．
（1）每日销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图函数关系式．求y与x之间的函数关系式；
（2）若每天销售利润率不低于40%，且不高于100%，求每日销售的最大利润；
（3）该地科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少 m元（0＜m≤8），已知每日最大利润为
2592元，求m的值．
【分析】（1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为y＝kx+b，把（15，200）和（20，160）代
入即可求出结果；
（2）由每天销售利润率不低于4%，且不高于100求出x的取值范围，设每日销售利润为w元，利用二次
函数模型即可求出最大利润；
50−m
（3）设成本每斤减少a元后每日销售利润为Q元，由0＜m≤8和15≤x≤30确定当x= 时，利润
2
最大，从而得出关于m的方程，解出方程即可求得m值．
【解答】解：（1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为y＝kx+b，
当x＝15时，y＝200；当x＝20时，y＝160；
{15k+b=200
∴ ，
20k+b=160
{k=−8
解得： ，
b=320
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣8x+320；
答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣8x+320；
（2）解：由题意得：
x−10
40%≤ ×100%≤100%，
10
解得：14≤x≤20，
设每日销售利润为w元，
∴w＝（﹣8x+320）（x﹣10）
＝﹣8x2+400x﹣3200，∵a＝﹣8，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝25，14≤x≤20，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝20时，利润最大为w＝（﹣8×18+320）（20﹣10）＝1600（元），
答：每日销售的最大利润为1600元；
（3）解：设成本每斤减少m后每日销售利润为Q元，
则Q＝（﹣8x+320）（x﹣10+m），
＝﹣8x2+（400﹣8m）x+320m﹣3200，
50−m
∴抛物线对称轴为x= ，
2
∵0＜m≤5，
50−m
∴21＜ ≤25，
2
∵15≤x≤30，
50−m
∴当x= 时，利润最大，
2
50−m 50−m
∴（﹣8× +320）（ −10+m）＝2592，
2 2
解得：a ＝6，a ＝﹣66（不合题意舍去），
1 2
答：m的值为6．
【点评】本题考查了一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范
围，这也是解决实际问题的难点和关键.
23．（11分）综合与实践
如图①，边长为4的正方形ABCD与边长为a（0＜a＜4）的正方形CFEG的顶点C重合，点E在对角线
AC上．
（1）[问题发现]如图①，AE与BF的数量关系为 ；
（2）[类比探究]如图②，将正方形CFEG绕点C顺时针旋转 （0°＜ ＜30°），请问此时上述结论是否
仍然成立？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由；α α
（3）[拓展延伸]当a=√2时，将正方形CFEG按图①所示位置开始绕点C顺时针旋转，在正方形CFEG
旋转的过程中，当点A，F，C在一条直线上时，请直接写出此时线段AE的长．AE AC
【分析】（1）证出AB∥EF，由平行线分线段成比例定理得出 = =√2，即可得出结论；
BF CB
BF CB √2
（2）证明△BCF∽△ACE， = = ，即可得结论；
AE CA 2
（3）分两种情形：当点F在对角线AC上时，过点F作FH⊥BC于点H，连接CE，运用勾股定理可得
BF=√BH2+FH2=√32+12=√10，再由AE=√2BF，即可求得AE；当点F在AC的延长线上时，过点F
作FH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CE，同理可求得AE．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，
∴∠B＝∠CFE＝90°，∠FCE＝∠BCA＝45°，CE=√2CF，CE⊥GF，
∴AB∥EF，
AE AC
∴ = =√2，
BF CB
∴AE=√2BF，
故答案为：AE=√2BF；
（2）结论AE=√2BF仍然成立，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，
CB CF √2
∴∠ACB＝∠ECF＝45°， = = ，
CA CE 2
∴∠ACB﹣∠ACF＝∠ECF﹣∠ACF，
即∠BCF＝∠ACE，
∴△BCF∽△ACE，
BF CB √2
∴ = = ，
AE CA 2
∴AE=√2BF；
（3）当点F在对角线AC上时，如图，过点F作FH⊥BC于点H，连接CE，由（2）知：△BCF∽△ACE，
BF CB √2
∴ = = ，即AE=√2BF，
AE CA 2
∵CF＝a=√2，∠FCH＝45°，
√2
∴CH＝FH= CF＝1，
2
∴BH＝BC﹣CH＝4﹣1＝3，
∴BF=√BH2+FH2=√32+12=√10，
∴AE=√2BF＝2√5；
当点F在AC的延长线上时，如图，过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CE，
同理可得：AE=√2BF，
∵CF=√2，∠FCH＝∠ACB＝45°，
√2
∴CH＝FH= CF＝1，
2
∴BH＝BC+CH＝4+1＝5，
∴BF=√BH2+FH2=√52+12=√26，
∴AE=√2BF＝2√13；综上所述，线段AE的长为2√5或2√13．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理、相似
三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于C．
（1）求抛物线的解析式；
1
（2）点P是直线BC上方抛物线上的—个动点，使△PBC的面积等于△ABC面积的 ，求点P的坐标；
4
（3）过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得
1
到一个新图象（如图2），请你结合新图象解答：当直线 y=− x+d与新图象只有一个公共点Q（m，
2
n），且n≥﹣8时，求d的取值范围．
1
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y=− x2+x+4；
2
1
（2）过P作PK∥y轴交BC于K，求出C（0，4），S△ABC =
2
×6×4＝12，由B（4，0），C（0，4）得直
1 1
线BC函数表达式为y＝﹣x+4，设P（m，− m2+m+4），则K（m，﹣m+4），可得PK=− m2+m+4﹣
2 2
1 1 1 1 1
（﹣m+4）=− m2+2m，根据△PBC的面积等于△ABC面积的 ，有 ×（− m2+2m）×4＝12× ，即
2 4 2 2 4
9 5
可解得点P的坐标为（1， ）或（3， ）；
2 2
（3）分两种情况：①当公共点Q（m，n）在C（0，4）下方时，求出新图象过点（6，﹣8），当直线y1 1
=− x+d与新图象公共点为（6，﹣8）时，﹣8=− ×6+d，得d＝﹣5，可知当﹣5≤d＜4时，直线y
2 2
1
=− x+d 与新图象只有一个公共点；②当公共点 Q（m，n）在 C（0，4）上方时，求出
2
1
{ y=− x+d
2 有两个相等的实数解时d 41；即可得当d 41时，直线y 1x+d与新图象只有一个
= ＞ =−
1 8 8 2
y=− x2+x+4
2
公共点．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c得：
{4a−2+c=0
，
16a+4+c=0
{ 1
a=−
解得： 2，
c=4
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+x+4；
2
（2）过P作PK∥y轴交BC于K，如图：
1
在y=− x2+x+4中，令x＝0得y＝4，
2
∴C（0，4），
∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴AB＝6，1
∴S△ABC =
2
×6×4＝12，
由B（4，0），C（0，4）得直线BC函数表达式为y＝﹣x+4，
1
设P（m，− m2+m+4），则K（m，﹣m+4），
2
1 1
∴PK=− m2+m+4﹣（﹣m+4）=− m2+2m，
2 2
1
∵△PBC的面积等于△ABC面积的 ，
4
1 1 1
∴ ×（− m2+2m）×4＝12× ，
2 2 4
解得m＝1或m＝3，
9 5
∴点P的坐标为（1， ）或（3， ）；
2 2
（3）①当公共点Q（m，n）在C（0，4）下方时，
1 1
在y=− x2+x+4中，令y＝﹣8得：﹣8=− x2+x+4，
2 2
解得x＝6或x＝﹣4，
∵将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，
∴新图象过点（6，﹣8），
1 1
当直线y=− x+d与新图象公共点为（6，﹣8）时，﹣8=− ×6+d，
2 2
解得d＝﹣5，
如图：1
∵C（0，4），当﹣5≤d＜4时，观察图象可知直线y=− x+d与翻折后的抛物线无交点，
2
1
∴当﹣5≤d＜4时，直线y=− x+d与新图象只有一个公共点；
2
②当公共点Q（m，n）在C（0，4）上方时，如图：
1
{ y=− x+d
2 1 3
若 有两个相等的实数解，即− x2+ x+4﹣d＝0的Δ＝0，
1 2 2
y=− x2+x+4
2
3 1
则（ ）2﹣4×（− ）（4﹣d）＝0，
2 2
41
解得d= ；
8
41 1
由图可知，当d＞ 时，直线y=− x+d与新图象只有一个公共点；
8 2
41
综上所述，d的取值范围是﹣5≤d＜4或d＞ ．
8
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，翻折变换等，解题的关键是数
形结合思想的应用．
