文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（包头卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方法则逐项计算即可．
【详解】解：A． ，故不正确，不符合题意；
B． ，故不正确，不符合题意；
C． ，故不正确，不符合题意；
D． ，正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方运算，熟练掌握运
算法则是解答本题的关键．
2．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约55000000000千克．这个数据用科学记数法表示为（ ）
A． 千克 B． 千克
C． 千克 D． 千克
【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10
时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．本题主要考查了
科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
【详解】解：55000000000千克 千克．
故选：C．
3．关于x的不等式 的解集在数轴上表示如图所示，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题的关键．直接利用已知不等式的
解集得出关于a的等式，进而得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的解集在数轴上为： ，
∴ ，
解得： ．
故选C．
4．如图，已知直线 ，将含 角的直角三角板按如图所示的方式放置．若 ，则 的度数为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，三角板的特点．掌握平行线的性质是解题关键．由三角板的特点可
知 ，再根据“两直线平行，内错角相等”求解即可．
【详解】解：如图，
由含 角的直角三角板的特点可知 ．
∵ ，
∴ ．
故选A．
5．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图形有两列，数量分别为1、2，据此即可判断答
案．
【详解】解：由图形可知，主视图为故选：D．
6．根据高考综合改革实施方案，河南2025年首届新高考，实行“3+1+2”模式. 其中“3”指的是语文、数
学、外语三科必考科目，“1”指的是在物理和历史中任选一科，“2”指的是在思想政治、地理、生物和
化学中任选两科，若小明在思想政治、地理、生物和化学中任选两科，则选中思想政治和化学的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查的是树状图法求概率．画出树状图，共有12种等可能的结果，其中小明选中地理和化学的结
果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：把思想政治、地理、生物和化学分别记为 、 、 、 ，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小明选中地理和化学的结果有2种，
小明选中地理和化学的概率是 ，
故选：B．
7．美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形 中，
， ， 是边 上一点，且 ， ．如果 的面积为1，且
，那么 的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．5【答案】C
【分析】由题意求得 ，根据 的面积为梯形面积减去两个直角三角形的面积，列式计算
即可求解．
【详解】解：∵ 的面积为1，
∴ ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ 的面积 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是利用面积关系，完全平方公式的变形求解．
8．在平面直角坐标系中，将直线 向右平移2个单位长度后图象经过点 ，则 （
）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据平移规律得到平移后的直线为 ，然后把 代入解得即可．
【详解】解：将直线 向右平移2个单位长度后得到 ，
∵经过点 ，
∴ ，
解得 ，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的平移，一次函数图象上点的坐标特征，正确把握平移变换规律是
解题关键．
9．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BD，作 ，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出 的度数，再由
可得出 是等边三角形，则 ， ，根据锐角三角函数的定义即可
得出结论．
【详解】连接BD，作 ，连接OD，
为四边形ABCD的外接圆， ，
．
，
是等边三角形．
， ，
．
故选D．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
10．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C， ．若 的面积为 ，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．8
【答案】C
【分析】作 轴， 轴，结合 ，可得 ， ，结合
，可得 ，即： ，根据 的几何意义，即可求解，
本题考查了反比例函数 几何意义，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法．
【详解】解：过点 、 ，分别作 轴于 ， 轴于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 、 在反比例函数 上，
∴ ，即： ，即 ，
∴ ，即： ，∴ ，
∴ ，
∵反比例函数经过第一象限，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若 ，且 为两个连续的正整数，则 ．
【答案】
【分析】
本题考查了无理数的整数估算，根据 且 为两个连续的正整数，得 ，再代
入计算，即可作答．
【详解】解：∵ ，且 为两个连续的正整数，
∴
即
∴
故答案为：
12．若关于 的方程 的一个根为3，则 的值为 ．
【答案】
【分析】将 代入方程可得一个关于 的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将 代入方程 得： ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
13．如图．将扇形 翻折，使点 与圆心 重合，展开后折痕所在直线 与 交于点 ，连接 ．若
，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识．连接
，由翻折的性质及圆的性质可得 是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面积即为所求
的阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接 ，设l交 于点D，
由翻折的性质得： ， ， ，
，
，
即 是等边三角形，
，由勾股定理得 ，
，
故答案为： ．14．已知抛物线C： ，则该抛物线关于y轴对称后的抛物线 的函数解析式为的
．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于y轴对称点的特点．
由函数关于y轴对称点的特点是∶纵坐标不变，横坐标变为相反数，故把原抛物线上的顶点变换后，
化简后可得关于y轴对称的抛物线解析式．
【详解】解∶ ，
抛物线 的顶点
与 关于 轴对称，
顶点坐标是 ，
抛物线 的函数解析式为的 ，即 ．
故答案为∶ ．
15．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝ ，
CD＝2，则△ABE的面积为 ．
【答案】
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，解Rt△ABC求出AC、BC，再由勾股定理求得AD，根据三角形
的面积公式求得DF，由勾股定理求得AF，再证明△DEF∽△BEC，求得EF，进而求得AE，最后由
三角形面积公式求得结果．
【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴ ，
∵∠ADC＝90°，CD=2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形．
16．如图， 和 都是等边三角形，连接AD，BD，BE， ．下列四个结论中：①
≌ ；② ；③ ；④ ，正确的是
（填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③/③①
【分析】利用等边三角形的性质即可证明出 ；在四边形 中，根据 ，
可得 ，即 ；先求出 ，得
，通过等量代换即可；根据 即可判断．
【详解】解： 和 都是等边三角形，
，
，
，
，
故①正确；
，
在四边形 中，
，
，
故②错误；
，
，，
，
，
故③正确；
，
，
不一定等于 ，
不一定成立，
故④错误；
故答案是：①③．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定定理、勾股定理、多边形内角和，解题的
关键掌握等边三角形的性质，通过等量代换的思想进行求解．
三、解答题本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位
置．
17．（本小题满分8分）
（1）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是先利用完全平方
公式和多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项，最后将 代入进行计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
（2）解方程： ．
【答案】【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可．
【详解】解：去分母（两边都乘以 ），得，
．
去括号，得，
，
移项，得，
．
合并同类项，得，
．
系数化为1，得，
．
检验：把 代入 ．
∴ 是原方程的根．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程
必须检验．
18．（本小题满分8分）
“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八
年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单
位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A． ，B． ，
C． ，D． ），下面给出了部分信息．
七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．
七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比
七年
1.3 1.1 a 0.26 40%
级
1.3 b 1.0 0.23 m%
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值；
（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由
（写出一条理由即可）．
【答案】（1） ；（2）6个；（3）见解析
【分析】（1）根据题中数据及众数、中位数的定义可解a，b的值，由扇形统计图可解得m的值；
（2）先计算在10个班中，八年级A等级的比例，再乘以30即可解题；
（3）分别根据各年级的众数、中位数、方差等数据结合实际分析解题即可．
【详解】解：（1）根据题意得，七年级10个班的餐厨垃圾质量中， 出现的此时最多，即众数是
；
由扇形统计图可知 ，
八年级的A等级的班级数为10×20%=2个，八年级共调查10个班，故中位数为第5个和第6个数的平
均数，A等级2个班，B等级的第3个数和第4个数是1.0和1.0，故八年级10个班的餐厨垃圾质量的
中位数为（1.0+1.0）÷2=1.0
；
（2）∵八年级抽取的10个班级中，餐厨垃圾质量为A等级的百分比是20%，
∴估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%＝6（个）；
答：估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个．
（3）七年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：①七年级各班餐厨垃圾质量的众数0.8低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数1.0；
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨垃圾质量A等级的20%；
八年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1；
②八年级各班餐厨垃圾孩子里那个的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26．
【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、众数、中位数、方差、用样本估计总体等知识，是重要考点，
难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19．（本小题满分8分）
数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选
择测量一座砖塔 的高度，在点 处测得砖塔顶端 的仰角为 ，再从 点出发沿斜坡走
到达斜坡上的 点，在点 处测得砖塔顶端 的仰角为 ．若斜坡 的坡比 ，且点
在同一水平线上．
(1)求点 到水平线 的距离；
(2)求砖塔 的高度（结果保留根号）．
【详解】（1）解：如图，作 于 ，则 ，
，
斜坡 的坡比 ，
，
设 ，则 ，
由题意得： ， ，，
解得： ，
，
点 到水平线 的距离为 ；
（2）解：如图，作 于 ，
，
则 ，
四边形 为矩形，
， ，
设 ，则 ，
， ，
，
，
解得： ，
，
砖塔 的高度为 ．
20．（本小题满分11分）
荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进 ， 两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购 种的件数
是630元采购 种件数的2倍， 种的进价比 种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；
计划采购这两种饰品共600件，采购 种的件数不低于390件，不超过 种件数的4倍．
(1)求 ， 饰品每件的进价分别为多少元？
(2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购 种超过150件时， 种超过的部分按进价打6折．设购进 种饰品 件，
①求 的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【详解】（1）（1）设 种饰品每件的进价为 元，则B种饰品每件的进价为 元．
由题意得： ，解得： ，
经检验， 是所列方程的根，且符合题意．
种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．
（2）①根据题意得： ，
解得： 且 为整数；
②设采购 种饰品 件时的总利润为 元．
当 时， ，
即 ，
，
随 的增大而减小．
当 时， 有最大值3480．
当 时，
整理得： ，
，
随 的增大而增大．
当 时， 有最大值3630．
，
的最大值为3630，此时 ．
即当采购 种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
21．（本小题满分12分）
如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 的切线， 、 是⊙ 的弦，且 ，垂足为E，连接
并延长，交 于点P．(1)求证： ；
(2)若⊙ 的半径 ，求线段 的长．
【详解】（1）证明：∵ 是 的切线，
∴ ．
∵
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）解：如图，连接 ．
∵ 为直径，
∴
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
22．（本小题满分12分）
平行四边形ABCD中， ，垂足为E，连接 ，将 绕点E逆时针旋转 ，得到 ，连接
．
(1)当点E在线段 上， 时，如图①，求证： ；
(2)当点E在线段 延长线上， 时，如图②：当点E在线段 延长线上， 时，
如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
(3)在（1）、（2）的条件下，若 ， ，则 _______．
【详解】（1）证明： ，
．
，
∴
∴
．，
．
．
，
．
．
四边形 是平行四边形，
．
；
（2）如图②，当点E在线段 延长线上， 时，
同（1）， ，
∴
四边形 是平行四边形，
．
∴
即 ；
如图③，当点E在线段 延长线上， 时，
∵∴
∵
∴
∴
∴
∴
同（1）可证，
∴
四边形 是平行四边形，
．
∴
即
（3）如图①，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
∵
∴
中， , ，
由 ，得 ；
如图②， ，则 , 中， ，
∴ ,与 矛盾，故图②中，不存在 ， 的情况；
如图③，
∵四边形 是平行四边形
∴
∴
∵
∴
中， ，
∴由 知， ．
综上， 或7．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据条件选用恰当的方法作全等的
判定是解题的关键．
23．（本小题满分13分）
抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．
点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求 的最大值．
【详解】（1）解：∵ 在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴ ， （舍），∴ ．
∵ 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ．
（2）解：如图，作 轴于点 ，
对于 ，令x=0，则y=-6，
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴ ，
∴ ， ，
∵∠CAP=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵∠AOC=∠AMP=90°，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ （舍）， ，
∴ ，
∴点 ．
（3）解：如图，作 轴交 于点 ，过点 作 轴于点 ，
∵ ，
∴点 ，
∴ ，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠PNQ=∠OCB，
∵∠PQN=∠BOC=90°，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵EN⊥y轴，
∴EN∥x轴，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最大值是 ．
