文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（南京卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无
效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、
考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他
答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在 这四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，进行
判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴在 这四个数中，最大的数是3．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项，根据相关运算法则计算出各选项的结
果后再判断即可【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. ，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：B
3．如图所示几何体是由一个四棱柱上放置一个球体得到的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据左视图的意义和画法可以
得出答案．
【详解】解： 球的左视图是一个圆，长方体的左视图是一个长方形，
该几何体的左视图是一个圆与一个长方形，
故选：B．
4．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2023
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与判别式 的关系，
当 ，方程无实数根； ，方程有两个相等的实数根； ，方程有
两个不相等的实数根．根据判别式的意义得到 ，然后解关于 的不等式，最后对选项进行判断即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根
∴
解得 ．
∴m的值可能是0．
故选：A．
5．如图，已知正方形 的边长为1，连接 、 ， 平分 交 于点 ，则 长（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，角平分
线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．
过 作 于 ，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出 的长．
【详解】解：过 作 于 ，
四边形 是正方形，
，
平分 交 于点 ，
，
正方形 的边长为1，，
，
∵ ，
，
，
，
故选：C．
6．如图， 的顶点 是坐标原点， 在 轴的正半轴上， ，反比例函数 的图象经过
点 ， ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】过点 作 于 ，过点 作 轴于 ，根据平行四边形的性质及矩形的判定证明四边
形 为矩形，得 ，再证 （ ），得 ，利用三线合一得
，从而有 ，于是根据反比例函数 的意义即可得解．
【详解】解：过点 作 于 ，过点 作 轴于 ，∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，即 ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选： ．第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
7．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法分解因式求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
8．今年春节电影《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生 》、《熊出没•逆转时空》在网络上持续引
发热议，根据猫眼专业版数据显示，截至 月 日 时， 年春节档新片总票房突破 亿元，创造
了新的春节档票房纪录，则其中数据 亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，理解定义是关键．
绝对值大于 的数可以用科学记数法表示，一般形式为 ， 为正整数，且比原数的整数
位数少 ，据此可以解答．
【详解】解： ．
故答案为： ．
9．若 ，则 的值为 ；
【答案】
【分析】本题考查分式的化简求值．根据 得出 ，再代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
10．一个圆锥的底面直径是 ，母线长是 ，则它的侧面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，圆锥的侧面积： ．
根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】解：圆锥的底面直径是 ，则圆锥的底面周长为： ，
所以圆锥的侧面积＝ 母线长 底面周长 ．
故答案为： ．
11．已知实数 、y，如果 ，那么 ；
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式 ，当 时有意义，也考查了算术平方根．
根据二次根式有意义的条件得到 得 ，即可求解y，即可得到 的值．
【详解】解：由题意得： ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
12．已知一元二次方程 的两根为 、 ，则 ．
【答案】54【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟知“ ， 是一元二次方
程 的两根时， ， ”是解题的关键．先根据题意得出 与
的值，代入变形后的代数式进行计算即可．
【详解】解： 一元二次方程 的两根为 、 ，
， ，
．
故答案为：54．
13．春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作
的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形 、正方形 及 拼成的（不重叠，无缝
隙），则 的度数是 ．
【答案】 /15度
【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）和正多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，正六边形的每个
内角为 ，即可求 ，正方形每个内角为 ，即可求 ，进而求 的大小，根据
即可求 的度数．
【详解】解：∵正六边形的每个内角为 ，正方形每个内角为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
14．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋 可视为抛物线的一部分，桥面 可视为水平线段，桥面
与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度 为80米，桥拱的最大高度 为16米（不考虑灯
杆和拱肋的粗细），则与 的距离为4米的景观灯杆 的高度为 米．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐
标系是解题的关键．
以 所在直线为 轴、 所在直线为 轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为 ，将点 坐
标代入求得抛物线解析式，再求当 时 的值即可．
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线表达式为 ，
由题意可知， 的坐标为 ，
，
，
，
时， ，
答：与 距离为4米的景观灯杆 的高度为 米，
故答案为： ．
15．如图在 中， 为直径， 为弦，点 为弧 的中点，以点 为切点的切线与 的延长线交于点 ．若 则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理的推理，平行线分线段成比例，勾股定理的综合，掌握圆
的基础知识是解题的关键．
根据垂径定理的推理可得 ，根据切线的性质可得 ，由此证得 ，根据平行线分线
段成比例可得 ，设 ，可用含 的式子表示出 的长，在直角 中根
据勾股定理可求出 ，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵点 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴设 ，则 ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
16．如图，直角坐标系中，平行四边形 的顶点B在x轴的正半轴上，A、C在第一象限，反比例函数
的图象经过点A，与 交于点D， 轴于点E，连结 并延长交 的延长线于点
F，反比例函数 的图象经过点F，连结 ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】根据 的几何意义，得出 ，结合点F在第三象限，故 再设设 的
解析式为 ，运用待定系数法求 ，得出 ，根据平行四边形的性质以及相似三角
形的性质，得出 ，结合 ，代入数值进行化简，即可作答．
【详解】解：设∵反比例函数 的图象经过点A，
∴
∵连结 并延长交 的延长线于点F，反比例函数 的图象经过点F，
设
把 代入，解得
∴ ，
∴ ，
则 ，
解得
∵点F在第三象限，
∴ （正值已舍去），
∴ 或 ，
∵ 轴于点E，
∴点E的坐标为 ，
设 的解析式为
把 和 代入 ，
得
解得∴ 的解析式为 ，
∵点D在 上，且在 上
∴
整理得
即
∴
∵点D在第一象限
∴
如图：过点D作 轴
∵四边形 是平行四边形
∴
∴
∵
∴
则 ，
即 ，
∴ ，
则 ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】化简后，根据特殊角三角函数值，代入计算即可，本题考查了分式化简求值，特殊角的函数值，
熟练化简，熟记函数值是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∴原式 ．
18．解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，在数轴上表示见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示．分别解出每一个不等式的解集，再根据“同
大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．
正确解不等式组是解题的关键．【详解】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴该不等式组的解集为： ．
在数轴上表示为：
19．随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生
命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，
为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50
名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组： ， ， ，
， ）
b．七年级学生成绩在 这一组的是： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ；
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：
年级统计
平均数 中位数
量
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中 的值为 ；(2)小佳此次大赛的成绩为 分，在被抽取的 名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小佳
是哪个年级的学生，并说明理由；
(3)若成绩 分及以上为优秀，七年级共有学生 名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数．
【答案】(1)
(2)七年级
(3)
【分析】本题考查了频数分布直方图，平均数、中位数，样本估计总体；
（1）根据中位数的定义，即可求解；
（2）根据中位数的意义，即可求解；
（3）根据样本估计总体，用 乘以七年级优秀人数的占比，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，第 和 个数分别为为 ，
∴
（2）解：小佳是七年级的学生，
理由：他的成绩超过了一半以上的同学，七年级的成绩的中位数为 ，
∴小佳是七年级的学生；
（3）解：估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数为 （人）
20．随着社会经济发展和物质消费水平的大幅度提高，我国每年垃圾产生量迅速增长，为了倡导绿色社区，
做好垃圾分类工作，某社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式对辖区内 四个小区进
行抽查，并且每个小区不重复检查．
(1)若由甲组对 四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是________；
(2)若甲、乙两组同时抽查，请用画树状图法或列表法求出甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图．
（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）解：由甲组对 四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是 ；（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的结果数为1，
∴甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率为 ．
21．如图，在平行四边形 中， 于点 ，延长 至点 ，使得 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理；
（1）先证明四边形 是平行四边形，再根据垂直，即可求证；
（2）根据勾股定理的逆定理，求得 是直角三角形，等面积法求得 ，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
，
平行四边形 是矩形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
，
， ，，
是直角三角形， ，
的面积 ，
，
由（ ）得： ，四边形 是矩形，
， ，
，
．
22．如图所示，折线 是一段登山石阶，其中 ， 部分的坡角为 ， 部分的坡角为
， ．
(1)求石阶路（折线 ）的长．
(2)如果每级石阶的高不超过 ，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足
时，按一级石阶计算．可能用到的数据： ， ）
【答案】(1)120米
(2)472级
【分析】（1）根据 ，可得 ，结合
，计算即可．
（2）先计算 的长度，单位化成厘米后除以20，计算即可．本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜
坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ （级）．
答：这一段登山石阶至少有472级台阶．
23．一次函数 与反比例函数 的图像在第一象限交于A,B两点，其中 ．
(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图像，直接写出 时，x的取值范围；(3)若把一次函数 的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数 的图像只有一个交点，请直
接写出b的值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)1或9
【分析】（1）将 代入 得， ，则 ，将 代入 得，可得， ，
进而可得反比例函数表达式；
（2）联立 ，整理得， ，可求满足要求的解 或 ，将 代入 得，
，则 ，然后数形结合求不等式的解集即可；
（3）由题意知，平移后的解析式为 ，联立得， ，整理得， ，
由图像只有一个交点，可得 ，计算求解然后作答即可．
【详解】（1）解：将 代入 得， ，
∴ ，
将 代入 得， ，
解得， ，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）解：联立 ，整理得， ，
∴ ，
解得， 或 ，
经检验， 或 是原分式方程的解，
将 代入 得， ，∴ ，
∴由图像可知， 的解集为 或 ；
（3）解：由题意知，平移后的解析式为 ，
联立得， ，整理得， ，
∵图像只有一个交点，
∴ ，
解得， 或 ，
∴b的值为1或9．
24．如图， 中， ，以 为直径的 与 相交于点 ，与 的延长线相交于点 ，过
点 作 交 于点 ．
(1)求证：直线 与 相切；
(2)如果 ， 的长为2，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和解直角三角形，解答本题的关键是作出辅助线．
（1）先连接 ，由于 是直径以及 ，即可得出 ，进而得出， ，即可证得
结论；
（2）连接 ， ，先证明 ，则 ，再证明 ，则 在中利用正弦的定义
求出 ，接着在 中利用正弦的定义求出 ，则可求出 ，所以
，从而得到 的长．【详解】（1）证明：连接 ，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
而 为 的半径，
直线 与 相切；
（2）解：连接 ， ，如图，
，
，
，
，
为直径，
，
， ，
，
，
在 中，
，
，
在 中，
，
，
，
即 ，
，，
．
25．阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在
作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．
(1)如图1，在 中， ，请用无刻度直尺与圆规在 边上作出一点O，使得 过点C且
与 相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
(2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且
．
①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得 过点C且与 相切于点D；（保留作图痕迹，
不需说明作图步骤）
②若此网格中每个小正方形边长为1，则 的半径为________．（可利用图2备用图计算）
【答案】(1)见详解
(2)①见详解②
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，圆的切线判定，勾股定理，全等三角形的判
定及性质，相似三角形的判定及性质等；
（1）作出 的平分线交 于 ，即可求解；
（2）①连接 ，作 的垂直平分线，过 作 的垂线，交 的垂直平分线于 ，即可求解；②由 可判定 ，由全等三角形的性质得 ， ，由
可判定 ，由相似三角形的性质得 ，求出 ，由勾股定理得 ，
即可求解；
掌握作法，能利用判定方法及性质进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
是所求作的点；
（2）解：①如图，
是所求作的点；
②如图，
由图得： ，
， ，由作图过程得：
，
，
在 和 中
，
( )，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，；
故答案： ．
26．定义：若一动点P到一条线段 的两个端点的距离满足 ，则称P为线段 的 点，但点
P不是线段 的 点．
(1)如图1，在 中， ， ，若点C是线段 的 点，求 的长．
(2)如图2，在 中，D是边 上一点，连结 ，若点A分别是线段 ，线段 的 点．求证：
C是线段 的 点（提示：证明 与 相似）．
(3)如图3，在菱形 中， ， ，点E，F分别是 ， 上的点，且满足 ．
连结 ，若点E是线段 的 点．求 的长．
【答案】(1)
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）利用 点的定义以及勾股定理进行求解即可；
（2）利用 点的定义，证明 与 相似，即可得证；
（3）利用菱形的性质，证明 ，即可得证．
【详解】（1）解：∵点 是线段 的 点，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明∵点A分别是线段 ，线段 的 点，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴C是线段 的 点；
（3）如图3中，在 上截取 ，使得 ．
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，∴ ，
∵点 是线段 的 点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即： ，∴ ，
∴ ．
27．在平面直角坐标系中为，抛物线 （ 、 为常数）的对称轴为直线 ，与 轴交点坐
标为 ．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)点 、点 均在这个抛物线上（点 在点 的左侧），点 的横坐标为 ，点 的横坐标为
． 将此抛物线上 两点之间的部分（含 两点）记为图象 ．
①当点 在 轴上方，图象 的最高与最低点的纵坐标差为6时，求 的值；
②设点 ，点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 后得到线段 ，连接 ，当
（不含内部）和二次函数在 范围上的图像有且仅有一个公共点时，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)① ；② 或 ；
【分析】本题考查待定系数法求解析式及二次函数最值、与线段交点问题：
（1）将对称轴及点 代入求解即可得到答案；
（2）①先求出二次函数与 轴交点，分点 在对称轴左边，对称轴右边两类讨论，根据最高与最低点的距离列式即可得到答案；②当点 在点 上方，用含 的代数式表示出点 ，当点
在抛物线 上时， （不含内部）和二次函数在 范围上的图像有且仅有一个
公共点，当点 在点 下方，根据 ， 得出 解析式，与抛物线解析式联立，
求出 时对应的 的值，当 时， （不含内部）和二次函数在 范围上的图像有且仅有
一个公共点．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线 ，与 轴交点坐标为 ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ；
（2）解：①当 时，
，解得： ， ，
当点 在对称轴左边时，即 时，
∵ ，
∴此时最高点为对称轴所在点，最低点为 点，
∵最高与最低点的纵坐标差为6，
∴ ，
解得： （不符合题意舍去）， ；
当点 在对称轴右边时，即 ，
∵ ，
∴此时最高点为A点，最低点为 点，
∵最高与最低点的纵坐标差为6，
∴ ，
解得： （不符合题意舍去）；综上所述： ；
②当点 在点 上方， ，即： 时，
，点 ，即 ，
当点 在抛物线 上时， （不含内部）和二次函数在 范围上的图像有且仅有
一个公共点，
∴ ，解得： ， （舍），
当点 在点 下方， ，即： 时，
，点 ，即 ，
设 解析式为： ，则： ，解得： ，
∴ 解析式为： ，与抛物线解析式联立：
，整理得： ，
当直线 与抛物线只有一个交点时， ，解得： ，当 时， （不含内部）和二次函数在 范围上的图像有且仅有一个公共点，
∴ 的取值范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
