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2024 年中考第一次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D B C C B A B A A D D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13． 14. 15. 16. 5 17. 100m 18. ①③④
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．(本题满分6分)
【详解】解：原式=1×3+4-4 .............................3分
=3+4-4.............................4分
=3．............................6分
20．(本题满分6分)
【详解】移项，得 ，.............................1分
合并同类项，得 ，.............................2分
不等式的两边同时除以2，得 ，.............................3分
所以，原不等式的解集为 ．.............................4分
如图所示：
．.............................6分
21．(本题满分10分)
【详解】解：（1）如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线AC于M，直线AD于N，连
接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN的一半为半径画弧，两弧交于E，连接AE即为所求；..........5
分（2）∵AE∥BC，
∴∠C=∠CAE，∠B=∠EAD，.................6分
∵AE是∠CAD的角平分线，
∴∠CAE=∠EAD，.................7分
∴∠B=∠C，.................8分
∴AB=AC..................10分
22．(本题满分10分)
【详解】（1）解：根据学生的成绩得出：得91分的学生人数为4人，
∴a=4；.................1分
得97分的学生人数为4人，
∴b=3；.................2分
得91分的学生人数最多，出现4次，
∴众数为91，
∴c=91；.................3分
共有20名学生，所以中位数为第10、11位学生成绩的平均数，
∵2+2+2+4=10，2+2+2+4+1=11，
∴第10、11位学生成绩分别为91，95，
∴d= ；.................4分
（2）解：95分及以上的人数为：1+3+3+2+1=10，
∴ ，.................6分
“优秀”等级所占的百分率为 ；.................7分
（3）解：1500×50%=750，.................9分
估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为750人．.................10分
23．(本题满分10分)【详解】解：（1）∵抛物线 经过 和 ，
∴ ，.................1分
∴ ， ，.................2分
∴抛物线的表达式为 ．.................3分
（2）如图，过点 作 轴于点 ，而 ， 轴．
∴ ，则 ，
∵ ， ，设 ，.................4分
∴ ， ，
又 ，
∴ ，即 ， ， （舍去），.................5分
从而 ，
∴点 的坐标为 ．.................6分
（3）①如图，当点 在 轴上方时，设直线 与 交于点 ，
∵ ， ，∴ 是等腰直角三角形，
，作 轴于点 ，则 ，∴
， ， ，.................7分
∴ ， ， ，∴点 的坐标为 ，.................8分
∴直线 的表达式为 ，
又∵
∴ ，解得 ， （舍去）；.................9分
②如图，当点 在 轴下方时，设直线 与 交于点 ，作 轴于点 ，则
，同理可得：点 的坐标为 ，∴直线 的表达式为 ，
又 ， ，解得 ， （舍去）；
综上所述， 的值为 或-5．.................10分
24．(本题满分10分)
【详解】（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；.................5分
（2）∵点O是AB的中点，点E时BD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴AD∥OE，∴∠A=∠BOC．∵由
（1）∠D=∠OBC=90°，∴∠C=∠ABD，∵tanC= ，∴tan∠ABD= = = ，解得BD=6，∴AB=
= = ．.................10分
25．(本题满分10分)
【详解】解：由题意知， 米， 米，设 米，
在 中，
米， ，
米，.................2分
米，.................3分
在 中，，.................5分
，.................6分
即 ，.................7分
解得 米，.................8分
米，.................9分
故魁星阁顶端距离地面的高度约为 米．.................10分
26．(本题满分10分)
【详解】解：初步探究：结论： ，.................1分
理由：如图1，延长 到点G，使 ，连接 ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
；
故答案为： ；.................3分
灵活运用：仍成立，
理由：如图2，延长 到点G，使 ，连接 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，，
，
，
，
；.................6分
拓展延伸：结论： ，
理由：如图3，在 延长线上取一点G，使得 ，连接 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
即 ，
．.................10分
