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2013年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目的）
1．（3分）﹣8的相反数是（ ）
A．﹣8 B． C．0.8 D．8
2．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥ D．x≥﹣
4．（3分）如图是某班学生参加兴趣小组的人数占总人数比例的统计图，则参加人数最多的课
外兴趣小组是（ ）
A．棋类组 B．演唱组 C．书法组 D．美术组
5．（3分）若 O 和 O 的半径分别为3cm和4cm，圆心距d＝7cm，则这两圆的位置是
1 2
（ ） ⊙ ⊙
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
6．（3分）据邵阳市住房公积金管理会透露，今年我市新增住房公积金11.2亿元，其中11.2亿
元可用科学记数法表示为（ ）
A．11.2×108元 B．1.12×109元
第1页（共17页）C．11.2×1010元 D．11.2×107元
7．（3分）下列四个点中，在反比例函数 的图象上的是（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
8．（3分）如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，
用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（ ）
A．（2，1） B．（0，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
9．（3分）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若|sinA﹣ |+（cosB﹣ ）2＝0，则∠C的度数是（
）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．（3分）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连结BE交
CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
二、填空题(本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）在计算器上，依次按键2、x2，得到的结果是 ．
12．（3分）因式分解：x2﹣9y2＝ ．
13．（3分）今年五月份，由于H7N9禽流感的影响，我市鸡肉的价格下降了10%，设鸡肉原来
的价格为a元/千克，则五月份的价格为 元/千克．
14．（3分）如图所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE，若DE＝5，则BC
＝ ．
第2页（共17页）15．（3分）计算： ＝ ．
16．（3分）端午节前，妈妈去超市买了大小、质量及包装均相同的粽子8个，其中火腿粽子5
个，豆沙粽子3个，若小明从中任取1个，是火腿粽子的概率是 ．
17．（3分）如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在
图中找出一对相等的角，它们是 ．
18．（3分）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件
，使四边形ABCD为矩形．
三、解答题（本大题有3个小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）先化简，再求值：（a﹣b）2+a（2b﹣a），其中 ，b＝3．
20．（8分）解方程组： ．
21．（8分）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠DFC的度数．
第3页（共17页）四、应用题（本大题有3个小题，每小题8分，共24分）
22．（8分）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3m，弓形的高EF＝
1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出 所在圆O的半径r．
23．（8分）如图所示，图 表示的是某教育网站一周内连续7天日访问总量的情况，图 表
示的是学生日访问量占①日访问总量的百分比情况，观察图 、 ，解答下列问题：②
（1）若这7天的日访问总量一共约为10万人次，求星期三①的日②访问总量；
（2）求星期日学生日访问总量；
（3）请写出一条从统计图中得到的信息．
24．（8分）雅安地震后，政府为安置灾民，从某厂调拨了用于搭建板房的板材5600m2和铝材
2210m2，计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的板房共100间，若搭建一间甲
第4页（共17页）型板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如下表所示：
板房规格 板材数量（m2） 铝材数量（m2）
甲型 40 30
乙型 60 20
请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案．
五、综合题（本大题有2个小题，其中25题8分，26题10，共18分）
25．（8分）如图所示，已知抛物线y＝﹣2x2﹣4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象
F．
（1）求图象F所表示的抛物线的解析式：
（2）设抛物线F和x轴相交于点O、点B（点B位于点O的右侧），顶点为点C，点A位于y
轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式．
26．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，点P是△ABC的外角
∠BCN的角平分线上一个动点，点P′是点P关于直线BC的对称点，连结PP′交BC于
点M，BP′交AC于D，连结BP、AP′、CP′．
（1）若四边形BPCP′为菱形，求BM的长；
（2）若△BMP′∽△ABC，求BM的长；
（3）若△ABD为等腰三角形，求△ABD的面积．
第5页（共17页）第6页（共17页）2013年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目的）
1．【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣8的相反数是8．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，符合题意，故B选项正确；
C、是轴对称图形，不符合题意，故C选项错误；
D、是轴对称图形，不符合题意，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称图形的判断方法：
把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
3．【分析】根据二次根式的性质被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：5x﹣1≥0，解得：x≥ ．
故选：C．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．【分析】根据扇形统计图各部分所占的百分比，则参加人数最多的课外兴趣小组即为所占
百分比最大的部分．
【解答】解：根据扇形统计图，知
参加人数最多的课外兴趣小组是所占百分比最大的，即为演唱．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形统计图的知识，读懂扇形统计图，扇形统计图反映的是各部分所
第7页（共17页）占总体的百分比．
5．【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况
便可直接得出答案．
【解答】解：∵ O 和 O 的半径分别为3cm和4cm，圆心距O O ＝7cm，
1 2 1 2
∴O 1 O 2 ＝3+4＝7⊙， ⊙
∴两圆外切．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R
﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
6．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于11.2亿有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝9．
【解答】解：11.2亿＝1 120 000 000＝11.2×109．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
7．【分析】根据反比例函数中k＝xy的特点进行解答即可．
【解答】解：A、∵3×（﹣2）＝﹣6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
B、∵3×2＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、∵2×3＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
D、∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y＝ 中，k＝xy
为定值是解答此题的关键．
8．【分析】建立平面直角坐标系，然后写城市南山的坐标即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图，
城市南山的位置为（﹣2，﹣1）．
故选：C．
第8页（共17页）【点评】本题考查了利用坐标确定位置，是基础题，建立平面直角坐标系是解题的关键．
9．【分析】根据绝对值及完全平方的非负性，可求出sinA、cosB的值，继而得出∠A、∠B的度
数，利用三角形的内角和定理，可求出∠C的度数．
【解答】解：∵∠A，∠B都是锐角，|sinA﹣ |+（cosB﹣ ）2＝0，
∴sinA＝ ，cosB＝ ，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，属于基础题，一些特殊角
的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
10．【分析】根据AD＝DE，OD＝OD，∠ADO＝∠EDO＝90°，可证明△AOD≌△EOD，OD为
△ABE的中位线，OD＝OC，然后根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形即
可．
【解答】解：∵AD＝DE，DO∥AB，
∴OD为△ABE的中位线，
∴OD＝OC，
∵在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS）；
∵在△AOD和△BOC中，
第9页（共17页），
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∵△AOD≌△EOD，
∴△BOC≌△EOD；
故B、C、D均正确．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须
有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
二、填空题(本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．【分析】根据题意得出22，求出结果即可．
【解答】解：根据题意得：
22＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了计算器﹣有理数，关键是考查学生的理解能力，题型较好，但是一道比
较容易出错的题目．
12．【分析】直接利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）．
【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
13．【分析】因为原来鸡肉价格为a元/千克，现在下降了10%，所以现在的价格为（1﹣10%）
a，即0.9a元/千克．
【解答】解：∵原来鸡肉价格为a元/千克，现在下降了10%，
∴五月份的价格为a﹣10%a＝（1﹣10%）a＝0.9a，
故答案为：0.9a．
【点评】本题考查了列代数式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量
关系．注意价格下降了10%就是指原来的价格减去原来价格的10%．
14．【分析】由在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后
第10页（共17页）由三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝ BC，
∵DE＝5，
∴BC＝10．
故答案为：10．
【点评】此题考查了三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
15．【分析】分母不变，直接把分子相减即可．
【解答】解：原式＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．
16．【分析】共有8个粽子，火腿粽子有5个，根据概率的公式进行计算即可．
【解答】解：∵共有8个粽子，火腿粽子有5个，
∴从中任取1个，是火腿粽子的概率是 ，
故答案为：
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．【分析】直接根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠A与∠C是同弧所对的圆周角，
∴∠A＝∠C（答案不唯一）．
故答案为：∠A＝∠C（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是圆周角定理，此题属开放性题目，答案不唯一．
18．【分析】根据旋转的性质得AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，则AB∥CD，得到四边形ABCD为
平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B＝90°．
【解答】解：∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，
∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当∠B＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，
第11页（共17页）∴添加的条件为∠B＝90°．
故答案为∠B＝90°．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对
应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的判定．
三、解答题（本大题有3个小题，每小题8分，共24分）
19．【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括
号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2+2ab﹣a2＝b2，
当b＝3时，原式＝9．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公
式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
20．【分析】根据y的系数互为相反数，利用加减消元法其解即可．
【解答】解： ，
+ 得，3x＝18，
①解得②x＝6，
把x＝6代入 得，6+3y＝12，
解得y＝2，①
所以，方程组的解是 ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，
当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
21．【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠1＝45°，再有∠3＝45°，再根据内错角相等
两直线平行可判定出AB∥CF；
（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1＝∠2＝ ∠DCE，
∵∠DCE＝90°，
∴∠1＝45°，
∵∠3＝45°，
∴∠1＝∠3，
第12页（共17页）∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行）；
（2）∵∠D＝30°，∠1＝45°，
∴∠DFC＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握内错角相等，
两直线平行．
四、应用题（本大题有3个小题，每小题8分，共24分）
22．【分析】根据垂径定理可得AF＝ AB，再表示出AO、OF，然后利用勾股定理列式进行计
算即可得解．
【解答】解：∵弓形的跨度AB＝3m，EF为弓形的高，
∴OE⊥AB于F，
∴AF＝ AB＝ m，
∵ 所在圆O的半径为r，弓形的高EF＝1m，
∴AO＝r，OF＝r﹣1，
在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2＝AF2+OF2，
即r2＝（ ）2+（r﹣1）2，
解得r＝ （m）．
答： 所在圆O的半径为 m．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，此类题目通常采用把半弦，弦心距，
半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答．
23．【分析】（1）由这7天的日访问总量一共约为10万人次，结合条形统计图可得除星期三
以外的其它天的日访问总量分别为：0.5万人次，1万人次，1万人次，1.5万人次，2.5万人
次，3万人次，继而求得星期三的日访问总量；
（2）由星期日的日访问总量为3万人次，结合扇形统计图可得星期日学生日访问总量占日
访问总量的百分比为30%，继而求得星期日学生日访问总量；
（3）结合图可得某教育网站一周内星期日的日访问总量最大；注意此题答案不唯一，符合
题意即可．
第13页（共17页）【解答】解：（1）∵这7天的日访问总量一共约为10万人次，除星期三以外的其它天的日
访问总量分别为：0.5万人次，1万人次，1万人次，1.5万人次，2.5万人次，3万人次，
∴星期三的日访问总量为：10﹣0.5﹣1﹣1﹣1.5﹣2.5﹣3＝0.5（万人次）；
（2）∵星期日的日访问总量为3万人次，星期日学生日访问总量占日访问总量的百分比为
30%，
∴星期日学生日访问总量为：3×30%＝0.9（万人次）；
（3）某教育网站一周内星期日的日访问总量最大．
【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．注意读懂统计图，从不同的
统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．注意数形结合思想的应用．
24．【分析】设甲种板房搭建x间，则乙种板房搭建（100﹣x）间，根据题意列出不等式组，再根
据x只能取整数，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：设甲种板房搭建x间，则乙种板房搭建（100﹣x）间，根据题意得：
，
解得：20≤x≤21，
x只能取整数，
则x＝20，21，
所以共有2种搭建方案：
方案一：甲种板房搭建20间，乙种板房搭建80间，
方案二：甲种板房搭建21间，乙种板房搭建79间．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出数量关系列
出不等式组，注意x只能取整数．
五、综合题（本大题有2个小题，其中25题8分，26题10，共18分）
25．【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答；
（2）先根据抛物线F的解析式求出顶点C，和x轴交点B的坐标，再设A点坐标为（0，y），
根据点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，列出关于y的方程，解方程求出y
的值，然后利用待定系数法求出AB所在直线的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2﹣4x＝﹣2（x+1）2+2的图象E，将其向右平移两个单位
后得到图象F，
第14页（共17页）∴图象F所表示的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1﹣2）2+2，即y＝﹣2（x﹣1）2+2；
（2）∵y＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴顶点C的坐标为（1，2）．
当y＝0时，﹣2（x﹣1）2+2＝0，
解得x ＝0（不合题意舍去），x ＝2，
1 2
∴点B的坐标为（2，0）．
设A点坐标为（0，y），则y＜0．
∵点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，
∴﹣y＝2×2，解得y＝﹣4，
∴A点坐标为（0，﹣4）．
设AB所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），
由题意，得 ，
解得 ，
∴AB所在直线的解析式为y＝2x﹣4．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，运用待定系数法求函数
的解析式，难度适中，求出图象F所表示的抛物线的解析式是解题的关键．
26．【分析】（1）由菱形的性质可知，点M为BC的中点，所以BM可求；
（2）△ABC为等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，则△BMP′必为等腰直角三角形．
证明△BMP′、△BMP、△BPP′均为等腰直角三角形，则BP＝BP′；证明△BCP为等腰
三角形，BP＝BC，从而BP′＝BC＝4，进而求出BM的长度；
（3）△ABD为等腰三角形，有3种情形，需要分类讨论计算．
【解答】解：（1）∵四边形BPCP′为菱形，而菱形的对角线互相垂直平分，
∴点M为BC的中点，
∴BM＝ BC＝ ×4＝2．
（2）△ABC为等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，
则△BMP′必为等腰直角三角形，BM＝MP′．
由对称轴可知，MP＝MP′，PP′⊥BC，则△BMP为等腰直角三角形，
第15页（共17页）∴△BPP′为等腰直角三角形，BP′＝BP．
∵∠CBP＝45°，∠BCP＝ （180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠BPC＝∠BCP，
∴BP＝BC＝4，
∴BP′＝4．
在等腰直角三角形BMP′中，斜边BP′＝4，
∴BM＝ BP′＝ ．
（3）△ABD为等腰三角形，有3种情形：
若AD＝BD，如题图 所示．
①此时△ABD为等腰直角②三角形，斜边AB＝4，
∴S△ABD ＝ AD•BD＝ × × ＝4；
若AD＝AB，如下图所示：
②
过点D作DE⊥AB于点E，则△ADE为等腰直角三角形，
∴DE＝ AD＝ AB＝
∴S△ABD ＝ AB•DE＝ ×4× ＝ ；
若AB＝BD，则点D与点C重合，可知此时点P、点P′、点M均与点C重合，
③
∴S△ABD ＝S△ABC ＝ AB•BC＝ ×4×4＝8．
【点评】本题是几何综合题，考查了相似三角形的性质、等腰直角三角形、等腰三角形、菱
形、勾股定理等知识点，难度不大．第（3）问考查了分类讨论的数学思想，是本题的难点．
第16页（共17页）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/17 10:23:57；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第17页（共17页）
