文档内容
2024 年中考第一次模拟考试（成都卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1． 年央视春晚主题、主标识近日正式发布，本次龙年春晚主题为“龙行龖龖（dá），欣欣家国”，
请问 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解： 的相反数是 ，故选：B．
2．杭州亚运会已闭幕，中国代表团共收获201金、111银、71铜，总计383枚奖牌，创历史．图①是2023
年10月2日乒乓球男单颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了组合体的主视图．熟练掌握从正面看到的是主视图是解题的关键．根据从正面看到的
是主视图进行判断作答即可．【详解】解：由题意知， 是主视图，故选：B．
3．俄罗斯和乌克兰的战争从去年2月24日开始到现在还在持续，战争持续的主要原因是：以美国为首的
北约在不断拱火，据不完全统计仅美国就先后向乌克兰提供军火价值275.8亿美元，275.8亿用科学记
数法如何表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】解：275.8亿用科学记数法表示为 ．故选：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法
的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移
动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．若关于 的方程 的一个根是 ，则另一个根 及 的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把 代入方程先求出 的值，从而确定出方程，再解方程即
可求出 ，理解方程的解并准确计算是解题的关键．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，∴ ,∴ ，
∴方程为 ，解得 ， ，∴另一个根 为 ， 的值为 ，故选： ．
5．关于x的方程 ，下列做法正确的是（ ）
A．方程两边都乘以 得： B． 是方程的解
C．方程两边都乘以 得： D． 是方程的增根【答案】D
【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分
式方程的解．
【详解】解：A、方程两边同乘以 ，得： ，故本选项不符合题意；
B、解方程得 ，当 时分母 ， 是方程的增根，故本选项不符合题意；
C、方程两边同乘以 ，得： ，故本选项不符合题意；
D、解方程得 ，当 时分母 ， 是方程的增根，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
6．如图，矩形 与矩形 是位似图形，点 是位似中心．若点 ，点E的横坐标为 ，则
点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出 ，
是解题的关键．根据位似图形的概念得到 ， ，进而证明
，根据相似三角形的性质求出 ，得到答案．
【详解】解：∵四边形 为矩形， ，∴ ，
∵矩形 与矩形 是位似图形，∴ ， ，
∴ ∴ ，
∴ ，解得： ， ∴点P的坐标为 ，故选：A．
7．每次监测考试完后，老师要对每道试题难度作分析．已知：题目难度系数 该题参考人数得分的平均分该题的满分．上期全市八年级期末质量监测，有11623名学生参考．数学选择题共设置了12道单选
题，每题5分．最后一道单选题的难度系数约为 ，学生答题情况统计如表：
选项 留空 多选
人数 11 22 4209 3934 2057 1390
占参考人数比（%）
根据数据分析，可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算出最后一道单选题参考人数得分的平均分，再分别测算，进行比较即可．
【详解】解： 题目难度系数 该题参考人数得分的平均分 该题的满分，
最后一道单选题参考人数得分的平均分 题目难度系数 该题的满分 ，
如果正确答案应为 ，则参考人数得分的平均分为： ，
如果正确答案应为 ，则参考人数得分的平均分为： ，
如果正确答案应为 ，则参考人数得分的平均分为： ，
如果正确答案应为 ，则参考人数得分的平均分为： ，故选：B．
【点睛】本题考查了统计表、新概念“题目难度系数”等知识，熟练掌握新概念“题目难度系数”，由统
计表的数据计算出参考人数得分的平均分是解题的关键．
8．对于抛物线 ，y与x的部分对应值如下表所示：
x … 0 3 4 …
y … 10 3 …
下列说法中正确的是（ ）
A．开口向下 B．当 时，y随x的增大而增大
C．对称轴为直线 D．函数的最小值是
【答案】C
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，把二次函数化简成顶点式即可解题．
【详解】解：把 ， ， 代入 ，得： ，解得∶ ，∴ ，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，即当 时，函数取最小值 ，
当 时，y随x的增大而增大， 故A，B，D错误，C正确，故选：C．
第Ⅱ卷（共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9．《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提
纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不
同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用
示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
【答案】1.2
【分析】设被称物的重量为 ，砝码的重量为 ，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为 ，砝码的重量为 ，依题意得，
，解得 ，故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
10．若关于x的一元二次方程 没有实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况求参数．根据题意得 ，进行计算即可
得．
【详解】解：∵一元二次方程 没有实数根，
∴ ，∴ ，∴k的值可能是 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
11．如图所示是地球截面图，其中 ， 分别表示南回归线和北回归线， 表示赤道，点 表示太原市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬 ，太原市的纬度是北纬
，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线 的延长线经过地心 ），则太
原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线 的夹角 的度数是 ．
【答案】
【分析】设 与 交于点K，先由三角形内角和定理求出． ，再根据平行线的性质求解即
可．
【详解】如图，设 与 交于点K，
∵ ， ，∴ ，
在 中， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．
12．已知 ， 两点都在反比例函数 的图象上，且 ，则 （填“ ”
“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】∵ ， 两点都在反比例函数 的图象上， ，且 ，∴该图象在第二、四象限上，且每个分支上y随x的增大而增大， ，∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，正确记忆反比例函数的性质是解题的关键．
13．如图，四边形 是平行四边形，以点 为圆心，任意长为半径画弧分别交 和 于点 ， ；
分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交边 于点 ：分别
以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于 ， 两点，作直线 交边 于点
，连接 ，交 于点 ．若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了基本作图，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．先根据作图得出
平分 ， 垂直平分 ，再根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
由作图得： 平分 ， 垂直平分 ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，故答案为： ．
三、解答题 （本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（满分12分）（1）计算： ；（2）解一元一次不等式组： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先代入三角函数值、计算负整数指数幂、化简二次根式，再去绝对值符号、计算乘法，最
后计算加减即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找大大小小找不到确定不等式组的解集；
【详解】（1）
（4分）
（5分）
；（6分）
（2）将
去括号得： （7分）
解得： ；（8分）
将
去分母得： （9分）
去括号得： （10分）
解得： ；（11分）
故方程组的解集为： ．（12分）
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、实数的运算，特殊角三角函数，解题的关键是掌握实数的混
合运算顺序和运算法则．
15．（满分8分）中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的
功能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充
电桩的需求量逐渐增大．根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快
充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是 万台．
(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内
容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，
再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．
【答案】(1)①见解析；②2 (2)
【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解中位数，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上
基础的统计知识是解本题的关键；
（1）①由星星充电10万台充电桩占比 求解总的充电桩的数量，再求解国家电网的充电桩的数量与占
比即可；②根据11家企业的充电桩是数量按照从大到小顺序排列后，排在第6的数据是中位数，从而可得
答案；（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，结合概率公式可得答
案．
【详解】（1）解：①公共充电桩的总数为 （万台），
∴“国家电网”的公共充电桩数量为 （万台），“国家电网”的公共充电桩的市场份额为 ；
如图，
（2分）
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是2万台．（4分）
（2）画树状图为：
（6分）
共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的结果数为2，（7分）
所以抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率 ．（8分）
16．（满分8分）“日照间距系数”反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距
系数 ，其中 为楼间水平距离， 为南侧楼房高度， 为北侧楼房底层窗台至地面高
度，如图②，山坡 朝北， 长为15m，其坡度为 ，山坡顶部平地 上有一高为24.3m的
楼房 ，底部 到 点的距离为5m．欲在 楼正北侧山脚的平地 上建一楼房 ，已知该楼底
层窗台 处至地面 处的高度为1.1m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部 距 处至少多远?【答案】要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部 距 处至少30m远
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点 作 ，垂足为点 ，根据 的坡
度为 ，设 ，则 ，求得 ，进而求得 的长，根据该楼的日照间距系数
不低于 ，列出不等式 ，解不等式即可．
【详解】解：过点 作 ，垂足为点 （1分）
，在 中， 的坡度为 ， ，（2分）
设 ，则 ， ，（3分）
， ， ， ， ．（4分）
，（5分）
， ，（6分）
由题意得： 解得： （7分）
答：要使该楼的日照间距系数不低于 ，底部 距 处至少 远 （8分）
17．（满分10分）如图1， 是 的一条弦， 是 的切线． 是 的直径． 是 上一动
点，过点 作直线 于点 ，交 于点 ．
(1)求证 ．(2)如图2，若 是 的中点． ， ，求 的长．【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）本题考查等腰三角形的性质和判定和切线的性质，连接 ，利用切线性质和等角的余角相
等，再结合题干的条件证明 ，即可解题．（2）本题考查等腰三角形性质、勾股定理和相似
三角形的性质和判定，作 于点 ，利用等腰三角形性质、勾股定理和题干的条件，求得 、
、 、 ，再证明 ，利用相似比，即可解题．
【详解】（1）解：连接 ，如图所示：
是 的切线． ， ，（1分）
直线 于点 ，有 ，（2分）
， ，（3分）
， ， ， ．（4分）
（2）解：作 于点 ，如图所示： ，（5分）
， ，（6分）是 的中点， ， ， ，（7分）
， ，（8分）
，则 ， ，（9分）
，有 ，解得 ．（10分）
18．（满分10分）如图 ，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，反比例函数 （
）在第一象限内的图象经过点 、 ，(1)点 为对角线 上一点，满足 ，点
在边 上，且 ，求反比例函数解析式；(2)在（ ）的条件下，反比例函数上是
否存在点 ，满足 ，若存在，求点 的横坐标；(3)我们把有一个内角为 的三角形
称为“美好三角形”，这个 的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图 ，若点
B的坐标为 ，则当 为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中 的值．
【答案】(1) ；(2)存在，点Q的横坐标为 或 ，理由见解析；(3) 或 ．
【分析】（ ）过 作 轴于 ，由矩形的性质得 ，根据相似三角形的判定和
性质得 ，根据三角函数的定义得到 ，求得 ，代入即可；
（ ）分情况 当 在 下方时， 当 在 上方时讨论即可得解；（ ）分 和
两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出 的值即可．【详解】（1）如图，过 作 轴于 ，
∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，（1分）
∵ ，点 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴反比例函数解析式为 ；（2分）
（2）存在，理由：
当 在 下方时，满足 ，则需平行 且过 中点的直线，
找 中点 ，过 交反比例函数图象于点 ，
由（1）得： ，∴直线 解析式为： ，
∵ ，∴ ，则点 ，∴设直线 为 ，
∴ ，解得： ，∴直线 为 ，（3分）
联立 ，解得 或 （舍去）∴点 的横坐标为 ；（4分）当 在 上方时，满足 ，则需平行 且过 中点的直线，
找 中点 ，过 交反比例函数图象于点 ，
同（ ）理：直线 解析式为： ，
∵ ，∴ ，∴点 ，∴ ，则直线 为 ，（5分）
联立 ，解得 或 （舍去）∴点 的横坐标为 ，
综上可知：点Q的横坐标为 或 ；（6分）
（3）∵ ， ， ，
如图，当 时，作 ，交 延长线于点 ，作 ，交 延长线于
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ， ，∴ ，又∵ ∴ ，∴ ， ，（7分）
∴ ，设直线 的解析式为 ，∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，∴ ，
解得： 或 （负值舍去），（8分）
当 ，作 ，交 延长线于点 ，过点 作 轴于点 ，
同理 可证： ，∴ ， ，∴ ，（9分）
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： 或 （不合题意，舍去）
综上，符合条件的 的值为 或 ．（10分）
【点睛】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三
角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键.
B卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19．如果 ，那么代数式 的值为 ．【答案】 /0.5
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解： ，
， ， 原式 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，
．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 =
．
【答案】
【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即
可解答．
【详解】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子：
；
原式两边提取 ，可得原式 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键．
21．在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n， ，则估计图中a的值为
【答案】1
【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个
区域面积比估计概率计算即可．
【详解】解： 区域面积为 ， 区域面积为 ，
区域面积为 ，
又 落在这三个区域中的豆子数依次为m，n， ，
，即 ， ，
解得： （不合题意，舍去），故答案为：1．
22．如图，抛物线 与 轴交于 两点，抛物线上点 的横坐标为 ， 点坐标为 ，
连接 ，点 为平面内任意一点，将 绕点 旋转 得到对应的 （点 的
对应点分别为 ， ， ），若 中恰有两个点落在抛物线上，则此时点 的坐标为
（点 不与点 重合）【答案】 或
【分析】根据题意，分别求出点 的坐标，设 ，根据旋转的性质，可用含 的式子表示出对
应点 的坐标，分类讨论，①当点 在抛物线 上时；②当点 在抛物线
上时；③当点 在抛物线 上时；列二元一次方程组并求解即可．
【详解】解：抛物线 与 轴交于 两点，令 ，
∴ ，解得， ， ，∴ ， ，
∵点 的横坐标为 ，∴ ，即 ，
∵将 绕点 旋转 得到对应的 （点 的对应点分别为 ， ， ），且
， ， ，∴设 ，根据旋转的性质，则点 与点 关于点 中心对称，点 与点 关于
点 中心对称，点 与点 关于点 中心对称，
∴ ， ， ，
①当点 在抛物线 上时，如图所示，，解方程组得， ，
∴点 ，则 的坐标为 ，与点 重合，不符合题意；
②当点 在抛物线 上时，如图所示，
，解方程组得， ，
∴点 ，则 的坐标为 ，符合题意；
③当点 在抛物线 上时，如图所示，，解方程组得， ，
∴点 ，则 的坐标为 ，符合题意；
综上所示，点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数图形与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，旋转的性质求点坐
标，解二元方程组是解题的关键．
23．在边长为4的正方形 中，E是 边上一动点(不与端点重合)，将 沿 翻折，点A落在
点H处，直线 交 于点F，连接 ， ， 分别与AC交于点P、Q，连接 ， ．则以下
结论中正确的有________ (写出所有正确结论的序号)．① ；② ；③
；④ 为等腰直角三角形；⑤若连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】①②④⑤【分析】①正确．由正方形 的性质可证明 ，可得结论；②正确．证明
，推出 ，推出 ，由 ，可
得结论；③错误．可以证明 ；④正确．利用相似三角形的性质证明 ，可得结
论；⑤正确．求出 ， ，根据 ，可得结论．
【详解】解：∵四边形 是正方形，∴ ， ，
在 和 中 ∴ ，∴ ，故①正确；
∵ 沿 翻折，点A落在点H处，直线 交 于点F，
∴ ，则 ， ，
∵ ，∴ ，则 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，则 ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，则 为等腰直角三角形，故④正确；
∵ ，∴ ，
∵ ，∴P，E，D，F四点共圆，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故②正确，
将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连接 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故③错误，连接 ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ 的最小值为 ，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键
是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、解答题 （本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
24．（满分8分）（1）【阅读理解】倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分
类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含 、 两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台
型机器人和1台 型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台 型机器人先工作5小时后，再
加入1台 型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台 型机器人和1台 型
机器人每小时各处理垃圾多少吨？
分析 可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系．由图可得如下的数量关系：
①1台 型10小时的垃圾处理量 台 型10小时的垃圾处理量 吨；
②________ ________ 吨．
（2）【问题解决】请你通过列方程（组）解答（1）中的问题．
（3）【拓展提升】据市场调研，机器人公司对 、 两款机器人的报价如下表：
型号 型 型
报价（万元／
20 14
台）
若垃圾处理厂采购的这批机器人（ 、 两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20
吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？
【答案】（1）1台 型8小时的垃圾处理量，1台 型13小时的垃圾处理量
（2）1台 型机器人和1台 型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨
（3）当采购 型机器人66台， 型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元
【分析】（1）根据第二个线段图可以得到解答；
（2）设1台 型机器人和1台 型机器人每小时分别处理垃圾 吨和 吨，由题意得到关于 、 的二元
一次方程组并解方程组即可；
（3）设采购 型机器人 台，由题意可以用 表示 型机器人的台数，并求得 的取值范围．然后用 表示
出采购费用，根据一次函数的增减性即可得解．
【详解】解：（1）根据第二个线段图可得：
1台 型8小时的垃圾处理量 台 型13小时的垃圾处理量 吨；
故答案为：1台 型8小时的垃圾处理量，1台 型13小时的垃圾处理量；（2分）
（2）设1台 型机器人和1台 型机器人每小时分别处理垃圾 吨和 吨，
则： ，解之可得： ，（3分）经检验， 是原方程组的解，且符合题意，
答：1台 型机器人和1台 型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨；（4分）
（3）设采购 型机器人t台，则采购 型机器人 （台），
则： ，解之可得： （ 为整数），（5分）
由题意可知，采购费用为： ，（6分）
∵ ，∴ 随 的增大而减小，
∴当 时，采购费用最低，为 （万元），（7分）
此时 台，即采购 型机器人66台， 型机器人1台，
答：当采购 型机器人66台， 型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元．（8分）
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用及一
次函数的增减性是解题关键．
25．（满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 两点（ 在 的左
边），交 轴正半轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 在抛物线上， 在抛物线的对称轴上，以 为顶点的四边形是平行四边形，且
是此平行四边形的一条边，求点 的坐标；
(3)抛物线的对称轴交 轴于点 在对称轴上，且在第二象限， ，不平行于 轴的直线分别交线段 （不含端点）于 两点，直线 与抛物线只有一个公共点，求证：
的值是个定值．
【答案】(1) (2)D的坐标为 或 ；(3)证明见解析
【分析】（1）先求解A的坐标，再求解B，C的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）设 ， ，而 ，分两种情况讨论： 当平行四边形为平行四边形
，当平行四边形为平行四边形 ，再结合平行四边形的性质可得答案；
（3）先求解 ，直线 为 ，直线 为 ，设直线 为 ，由
有两个相等的实数根，可得 ，求解直线 为 ，
再求解M，N的坐标，结合勾股定理进行计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
当 时， ，即 ， ，
∵ ，∴ ， ，∴ ， ，（1分）
∴ ，解得： ，∴抛物线为： ；（2分）
（2）∵抛物线 ，∴对称轴为直线 ，
设 ， ，而 ， ， ，（3分）
由平行四边形 的性质可得：
，解得： ，∴ ，（4分）
由平行四边形 的性质可得：
，解得： ，∴ ；综上：D的坐标为 或 ；（5分）
（3）∵抛物线 ，∴对称轴为直线 ，
∵ ， ，∴ ，即 ，
设直线 为 ，∴ ，解得： ，∴直线 为 ，（6分）
同理可得：直线 为 ，设直线 为 ，
∴ ，∴结合题意可得： 即 有两个相等的实数根，
∴ ，∴直线 为 ，（7分）
∴ ，解得： ，即 ，同理可得： ，
∴ ， ，（8分）
当直线 从左往右上升时， ，
∴ ， ，∴ ，（9分）
当直线 从左往右下降时， ，
， ，∴ ，∴ 为定值．（10分）
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点坐
标问题，一次函数的交点坐标，勾股定理的应用，平行四边形的性质，本题难度大，计算量大，属于中考
压轴题．
26．（满分12分）已知 ， ， ， 于点 ， ．(1)如图1，若 ，取 的中点F，连接 ， ，求 的长度；
(2)如图2，连接 ，点 在线段 上，且 ，连接 、 ，若 ，
为 中点，证明： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，将 绕点 逆时针旋转得 ，连接 ，点 是 中点，连
接 ，若 ，在 旋转过程中，当 最大时，直线 与直线 交于点 ，请直接
写出 的面积．
【答案】(1) (2)见详解(3)
【分析】（1）解 ，进而求得结果；
（2）连接 ，作 于 ，不妨设 ，可证得 ，从而
，进而得出点 、 、 、 共圆，从而 ，从而求得
的值，进而得出 ，从而得出 是等边三角形，进一步得出结论；
（3）取 的中点 ，连接 ，在 上截取 ，可推出点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
可证得 ，从而得出 ，进而推出 ，从而当 、 、 共线时，
最大；作 于 ，作 于 ，解 求得 ，根据 求得
，解 求得 ，从而得出 ，根据求得 ，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，作 于 ，
（1分）
∵ 是 的中点， （2分）
在 中， ，
（3分）
（2）证明：如图2，连接 ，作 于 ，不妨设 ，
（4分）
四点共圆，
（5分）
（6分）是 中点，
是等边三角形， （7分）
（3）解：如图3，取 的中点 ，连接 ，在 上截取 ，
∵ 是 的中点，
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
∴ ，（8分）
∴当 、 、 共线时， 最大，（9分）
作 于 ，作 于 ，在 中，
由 得， （10分）
在 中， （11分）由 得，
（12分）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形，
等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
