文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（新疆卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．有理数 的绝对值为（ ）
A． B． C． D．
1.A
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反
数进行求解即可．
【详解】解： ，
的绝对值是 ．
2．垃圾分类，人人有责．垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾．以下图标是几类垃圾的
标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2.A
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解
答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；C．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
3．2024年春节假期全国国内旅游出游474000000人次，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3.C
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．
解题关键是正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的
绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正整数；当原数的绝对值 时，n是负整数．
【详解】解： ，
4．若关于x的一元一次方程 的解是 ，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．7
4.D
【分析】本题考查的是一元一次方程的解，一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．把 代
入 ，再解方程可得答案．
【详解】解析 因为 的解是 ，
所以 ，
解得 ．
5．如图，在 中， ，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 于点M，N，再分别
以M，N为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点O，作射线 ，交 于点E．已知 ，
， 的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
5.A【分析】根据角平分线的尺规作图可得 平分 ．作 ，再根据角平分线的性质可得
，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：过点E作 ，如图所示：
由题意可知： 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
6．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图
形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的
重要内容之一．如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ，点 是 边
上一点，过点 作 于点 ， 于点 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6.A
【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理，连接 ，根据矩形的性质得到 ，
， ，根据勾股定理得到 ，求得 ，根
据三角形的面积公式即可得到结论，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接 ，∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
7．如图，已知 是 的直径，弦 ，垂足为 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
7.D
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，连接 ，根据垂径定理可
得 ，再根据垂径定理可得 ， ，根据等角对等边可得 ，设
的半径为 ，则 ，在 中，利用勾股定理列出关于 的方程进行计算，即可解答，根据
题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接 ，∵ ，
∴ ，
∵直径 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 的半径为 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
解得 ， (不合，舍去)，
∴ ，
∴ ，
8．已知二次函数 在 时有最小值 ，则 ( )
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
8.B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线 ，进而分 和 两种情况
讨论，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解： 二次函数解析式为 ，二次函数对称轴为直线 ，
当 时，
在 时有最小值 ，
当 时， ，
；
当 时，
在 时有最小值 ，
当 时， ，
；
综上所述， 或 ，
9．已知，如图，在 中， ， 平分 ．点D，E分别是边 ， 上的点（点
D不与点B，C重合），且 ， 与 相交于点F．有下列结论：① ；②
若 ， ，则 ；③若 ， ，且 ，则 ．其中正确的
是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9.D
【分析】
考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键．
①通过角平分线和外角定理即可证明；
②由 得出比例式，求出 ，再代入，求出 ；
③过点G作 交 于点H，先证明 ，求出 ， ，再用平行线得到比例式，
求出 ，最后再由平行线求出 ．
【详解】①：∵在 中， ， 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故①正确；
②：由①的： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
解得 ，
故②正确；
③：
过点G作 交 于点H，
∵ ，
又∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由②得
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故③正确．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
10．一个正多边形的每个外角都等于 ，那么该多边形的边数是 ．
10、10
【分析】
本题考查了多边形的外角和；
根据多边形的外角和是 计算即可．
【详解】解：该多边形的边数是 ，
11．不等式组 的整数解为 ．
11、
【分析】本题考查了解不等式组，以及求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集 ，求此范围
内的整数，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴
则
∵ 取整数
∴
12．某市科技馆拟招聘一名优秀讲解员，小婷的笔试、试讲、答辩成绩分别为94分、95分、90分，若按笔试占 ，试讲占 ，答辩占 的比例确定最终成绩，那么小婷的最后成绩为 分．
12、
【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算公式，进行计算即可．
【详解】解： （分）；
13．已知扇形面积为24π，弧长为8π，则此扇形的圆心角为 度．
13、240
【分析】根据扇形的弧长为 ，面积为 ，可以得到该扇形所在圆的半径，然后即可计算出该扇形所对
的圆心角的度数．
【详解】解：设该扇形的半径为 ，圆心角为 ，
扇形的弧长为 ，面积为 ，
，
解得， ，
，
，
【点睛】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，解答本题的关键是明确题意，利用扇形的弧长和面积公
式解答．
14．如图，矩形 中，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数 的图象交 边于
点D，交 边于点E，连接 ， ， ，若 ，且 ， ，则k的值为 ．
14、2
【分析】证明 ，得出 ，设 ，则 ，设
，则 ，设 ，则 ，得出 ， ，根据点E与点D在反比例函数上，得出 ，求出 ，得出 ，根据
，求出 ，根据勾股定理得出 ，求出 ，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ，则 ，设 ，则 ，设 ，则 ，
∴ ， ，
∵点E与点D在反比例函数上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三
角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，数形结合．
15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动
点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运
动路径长为 ．
15、2
【详解】分析：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由
△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，
根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P从点D出发运动至点B停止时，
点O的运动路径为一条线段，接着证明CE= （AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，
从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．
详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，∵△AOP为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形OECF为矩形，
∴∠EOF=90°，CE=CF，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO平分∠ACP，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，
∵AE=PF，
即AC-CE=CF-CP，
而CE=CF，
∴CE= （AC+CP），
∴OC= CE= （AC+CP），
当AC=2，CP=CD=1时，OC= ×（2+1）= ，
当AC=2，CP=CB=5时，OC= ×（2+5）= ，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长= - =2 ．
故答案为2 ．
点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．
三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（12分）计算：
(1)计算： ；
(2)先化简再求值： ，再从 、 、 中选一个合适的数代入求值．
【答案】(1) (2) ，
【分析】（1）本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算，先进行特殊角的三角函数值，负整数指
数幂，开方和去绝对值运算，再进行加减运算即可；
（2）本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则，进行计算，再选取一个使分式有意义的值，
代入计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
，
且 ，
且 ，
则 ，
原式 ．17．（13分） (1) 解二元一次方程组： ．
（2）2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢，某商场
第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高
了 ，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少
钱？
【答案】(1) ；（2）第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可．
（2）本题主要考查了分式方程的实际应用，：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是x元，则第二
次购进该“龙辰辰”玩具每件的进价是 元，再根据同样用2400元购进的数量比第一次少
10件列出方程求解即可．
【详解】（1）解： ，
原方程可变为 ，
得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为 ．
（2）解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是x元，则第二次购进该“龙辰辰”玩具每件的进价
是 元，由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元．
18．（11分）如图，在 中， 是 边上的中线，点E是 的中点，过点A作 交 的
延长线于F， 交 于 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，试判断四边形 的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；(2)四边形 是菱形，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定、
菱形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
（1）由“ ”证得 ，即可得出结论；
（2）先证明四边形 是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
∵ ，
∴ ，∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， 是 边上的中线，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
19．（10分）某超市按月订购一种酸奶，每天的进货量相同． 根据往年的销售经验，每天需求量与当天
最高气温(单位： )有关． 为了确定今年六月份的酸奶订购计划，对前三年六月份的最高气温及该酸奶
需求量数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
． 酸奶每天需求量与当天最高气温关系如表：
最高气温 (单位： )
酸奶需求量(单位： 瓶/天) 300 400 600
．2017年6月最高气温数据的频数分布统计表如表(不完整，频率精确到 )2017年6月最高气温数据
的频数分布表：
分组 频数 频率
3
14
合计 30
．2018年6月最高气温数据的频数分布脂肪体如图：．2019年6月最高气温数据如下(未按日期顺序)：
25 26 28 29 29 30 31 31 31 32 32 32 32 32 32
33 33 33 33 33 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 信息中： 表中 的值为 ；
(2)2019年6月最高气温数据的众数为 ，中位数为 ；
(3)根据2017—2019三年数据估计六月份这种酸奶一天的需求量为600 瓶的概率为 ；
(4)已知该酸奶进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全
部处理完．
①2019年6月这种酸奶每天的进货量为500瓶，则此月这种酸奶的利润为 元；
②根据以上信息，预估 2020年6月这种酸奶订购的进货量不合理的为 ．
． 550瓶/天 ． 600瓶/天 ． 380瓶/天
【答案】(1) ；(2) ； ；(3) ；(4)① ，②
【分析】（1）根据，估计频数 总数 频率，即可求解，
（2）根据众数和中位数的定义，即可求解，
（3）估计概率公式，即可求解，
（4）根据题意列式，即可求解，
本题考查了，频数分布表，用样本估计总体，众数与中位数，解题的关键是：正确理解题意并列式．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ，
（2）解：2019年6月最高气温数据中，32出现了6次，次数最多，众数是32，
中位数为： ，故答案为： ； ，
（3）解：三年这种酸奶一天的需求量为600瓶的天数为： （天），
估计六月份这种酸奶一天的需求量为600 瓶的概率为： ，
故答案为： ，
（4）解：① （元），
②以上三年6月最高气温低于25的天数一共有： （天），
∴有86天酸奶每天需求量大于400瓶，故预估2020年6月这种酸奶订购的进货量不合理为：380瓶/天，
故答案为：① ，② ．
20．（10分）如图，港口A在观测站O的正东方向， ，某船从港口A出发，沿北偏东 方向航
行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东 的方向，求该船航行的距离（即 的
长）．
【答案】该船航行的距离为
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点 作 ，分别解 和 ，求出
的长即可．
【详解】解：过点 作 ，
由题意，得： ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
在 中， ，
∴ ；
答：该船航行的距离为 ．
21．（10分）某电商根据市场需求购进一批 两种型号的电脑小音箱进行销售，每台 型音箱的进价比
A型音箱的进价多 元，用 元购进A型音箱与用 元购进B型音箱的台数相同．
(1)求A， 两种型号的电脑小音箱每台的进价：
(2)该电商计别购进A，B两种型号的电脑小音箱共 台进行销售，其中A型音箱台数不少于B型音箱台
数的 倍，A型音箱每台售价为 元，B型音箱每台售价为 元，怎样安排进货才能使售完这 台电脑
小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)每台A型音箱的进价为 元，则每台 型音箱的进价为 元
(2)购进 台A型音箱，购进 台 型音箱所获利润最大，最大利润是 元
【分析】本题考查了一次函数和分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数解析式和
方程．
（1）设每台A型音箱的进价为 元，每台A型音箱的进价为 元，根据用 元购进A型音箱与用
元购进 型音箱的台数相同列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）设最大利润是 元，购进 台A型音箱，则购进 台 型音箱，根据总利润 两种音响的利润
之和列出函数解析式，再根据 的取值范围，由函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设每台A型音箱的进价为 元，每台 型音箱的进价为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：每台A型音箱的进价为 元，则每台 型音箱的进价为 元；
（2）解：设所获利润是 元，购进 台A型音箱，则购进 台 型音箱，根据题意得： ，
型音箱台数不少于 型音箱台数的 倍，
，
解得 ，
，
随 的增大而减小，
当 时，w取最大值，最大值为 ．
答：购进 台A型音箱，购进 台 型音箱所获利润最大，最大利润是 元．
22．（11分）如图，已知 为 的直径， 与 相切，且 ， 与 交于点E．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析；(2)2
【分析】（1）连接 ，由切线定理可得 ，进一步得出 ，结合已知条件可得出
，证明 ，即可证明 ．
（2）先证明四边形 为矩形，得出 ，进而求出 ，再利用矩形的性质以及线段的和差
关系即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接 ，交 于F．为 的切线， 为半径，
．
，
，
，
（2） 为直径，
，
又∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形．
，
∴ ，
【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定以及性质以及解直角三角形的相关计算，
掌握这些性质是解题的关键．
23．（13分）综合与探究：如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C，P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为 ，过点P作 轴交x轴于点D，交直线 于点 ，连接 ， ， ， 与直线 交于点F．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)当 的面积等于 面积的 时，求点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P使 ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1) ， ，
(2)点P的坐标为
(3)存在点P使 ，点 的坐标为
【分析】（1）对于函数 ，分别令 ， 求 ， ， 三点的坐标，利用待定系数法
求直线 的函数表达式；
（2）由 想到构造三角形相似，通过对应边成比例建立方程求点 ；
（3）通过推理得到 ，则 ，通过对应边成比例建立方程求点 ．
【详解】（1）解：当 时， ，
，
令 得 或 ，
， ，
， ， ；
（2）设直线 为 ，代入 得 ，，
∴直线 的函数表达式为 ，
过 作 轴交 于点 ，
轴，
，
， ，
，
，
，
，
设 ， ，
，
， ，
，
，
或 ，
，
，
点 的坐标为 ；
（3）存在点 使 ，点 的坐标为 ，理由如下：连接 ，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或 ，
，
，
点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形面积，两角和为 ，用到了三角形相似和方程思想．
对于（2），由 想到构造三角形相似是关键，对于（3），一般是寻找或构造角和角相等．
