文档内容
2024 年中考第二次模拟考试(无锡卷)
数 学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：140分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的）
1．下列计算结果最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解： ， ， ， ，
，
故结果最小的为 ，
故选：D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A、 ，此选项错误，故不符合题意；
B、 ，此选项错误，故不符合题意；
C、 与 不是同类项，不能合并，此选项错误，故不符合题意；D、 ，此选项正确，故符合题意，
故选：D．
3．下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：A、 ，故A正确，不符合题意；
B、 ，故B正确，不符合题意；
C、 ，故C正确，不符合题意；
D、 ，故D不正确，符合题意，
故选：D．
4．2024年，中国将迎来一系列重要的周年纪念活动，某校开展了主题为“牢记历史·吾辈自强”的演讲比
赛，九年级8名同学参加该演讲比赛的成绩分别为76，78，80，85，80，74，78，80．则这组数据的众数
和中位数分别为（ ）
A．80，79 B．80，78 C．78，79 D．80，80
【答案】A
【解析】解：将这组数据从小到大排列为：74，76，78，78，80，80，80，85．
80出现3次，出现的次数最多，故众数是80，
最中间两个数据是78，80，
故中位数是 ．
故选：A
5．若 ，则 的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．【答案】D
【解析】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
故选：D．
6．数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和
底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设正方形的边长为 ，
如图，连接 ， ，则 ，
， 在 上，
设 ，
过 作 于 ，连接 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
而 ，∴ ，
解得： （舍去）， ，
∴大的半圆的弧长为 ，
小圆的周长为 ，故A不符合题意；
如图，
由正方形与圆的性质可得： ，
∴大的半圆的弧长为 ，
小圆的周长为 ，故B符合题意；
如图，连接 ， ，则 ，
设 ，
同理可得： ， ， ，
∴ ，
解得： ，∴∴大的扇形的弧长为 ，
小圆的周长为 ，故C不符合题意；
如图，连接 ， ，
设 ，
当刚好要围成一个圆锥时，则扇形的弧长等于小圆的周长，
∴ ，
∴ ，
而图中裁剪的条件中没有这个条件，故D不一定能够刚好围成圆锥，不符合题意；
故选B
7．如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数
关系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由图1可设 （k，b为常数，且 ，由图2可设 （m为常数， ），
将 代入 得： ，
与 的函数关系为一次函数关系，
， ， ，， ，
与 的函数图象过一、二、四象限．
故选：D．
8．如图，矩形 中，点 为 边的中点，连接 ，过 作 交 于点 ，连接 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】延长 ，交 的延长线于点 ，如图所示：
在矩形 中， ， ，
，
为 边中点，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
，
垂直平分 ，
，
，
∵ ，，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
9．如图，在菱形纸片 中，点 在边 上，将纸片沿 折叠，点 落在 处， ，垂足为
．若 ， ，则 （ ） ．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：过点 作 于点 ，如下图，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得， ， ，
∵四边形 为菱形，∴ ， ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
10．如图，在直角三角形 中， ， 分别是 上两点，以 为直径作圆与 相切
于点 ，且 ．若 则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：连接 ，
∵ ，∴ ，
∴ 为 的直径，
∵ 与 相切于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．维生素C 能够促进白细胞的产生，且帮助其发挥免疫作用，成年人每天维生素C 的摄入量最少为 80
mg．已知 ，则将数据 80 mg用科学记数法可表示为 g．
【答案】
【解析】解：∵ ，∴ ；
故答案为： ．
12．因式分解： ．
【答案】【解析】解： ，
故答案为： ．
13．已知一元二次方程 有一个根为2，则另一根为 ．
【答案】
【解析】解： 一元二次方程 有一个根为2，
设另一个根为 ，
，解得 ，
故答案为： ．
14．如图，在 中， ， ， ，点P是 内一动点，且 ，点
Q是 的中点，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】解：如图，取 的中点D，连接 ，则 ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，∴ ，
∵点Q是 的中点， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
15．已知等腰三角形的两边长为10和12，则等腰三角形的面积为 ．
【答案】48或
【解析】解：当等腰三角形的腰长为10时：如图，过A作 于D，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ 的面积是 ．
当等腰三角形的腰长为12时，则： ，
∴ ，
∴ 的面积是 ；
故答案为：48或 ．
16．如图，在边长为 的小正方形网格中，已知 ， 在网格格点上，在剩余的格点中任选一点 ，恰好
能使 的面积为 的概率是 ．【答案】
【解析】如答图，因为在剩余格点中任选一点 ，共有 种等可能的结果，其中恰好能使 的面积为
的结果有 种，所以恰好能使 的面积为 的概率为 ．
故答案为： ．
17．如图所示，已知抛物线 ，与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，连接 ，
过点A作 交抛物线于点D，连接 ，则 的度数 ．
【答案】 / 度
【解析】解：如图所示，过点B作 于E，
在 中当 时，解得 或 ，
∴ ，
∴ ，在 中当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
∵ ，
∴可设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
联立 解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为： ．
18．定义：在平面直角坐标系 中，若点P关于直线m的对称点在图形Q的内部（不包含边界），则称
点P是图形Q关于直线m的“伴随点”．如图，已知 ， ， ，直线l： ，若原
点O是 关于直线l的“伴随点”，则b的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：如下图所示，点O关于直线 的对称点 ，并且轨迹为直线 ；
直线 与直线 交点为点 ，与直线 交点为点 接下来只要求两个点的交点坐标即可，B点通过
观察，直角在直线 上，直接求G点即可；
∵ ， ；设直线解析式为 ；
把两个点带入解析式中的得；
；
解得： ， ；
∴ ；
在联立两条直线求交点G坐标；
；
解得： ， ；
∴ ；
在计算线段 中点坐标，线段 中点坐标，分别带入 中；
其中线段 中点为 ，线段 中点为
可以求出两个b的值， ， ；
∴ ；
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算 ；（2）解方程组： ．【解析】解：（1）
；
（2）
把①代入②得： ，
解得 ，
把 代入①得： ．
故方程组的解 ．
20．（8分）(1) 解方程 ； (2)解不等式组 ．
【解析】（1）解： ，
方程两边同乘最简公分母 ，得 ，
解得 ，
检验：把 代入最简公分母 ，
原方程的解为 ；
（2）解： ，
解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∴不等式组的解集为： ．
21．（8分）已知点M，N在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹．(1)如图1，在矩形边上找点E，F，使得 为平行四边形；
(2)如图2，在矩形边上找P，G，H三点，使得四边形 为菱形．
【解析】（1）解：如图，四边形 即为所求；
（2）解：如图，四边形 即为所求．
22．（8分）在 中， 是对角线 的中点，过 作 ，分别交边 ， 于点 ， ，
交 延长线于点 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是菱形．
(2)若 是 的中点， ，求 的长．
【解析】（1）证明：在 中， ，
， ．
是 对角线 的中点，
，，
．
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
（2） 四边形 是菱形，
．
又 是 的中点，
．
，
，
，
，
．
23．（8分）据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，
观影人次1.63亿，春节档是阖家团圆的喜庆日子，龙年春节档电影票房火热的当属A《热辣滚烫》、B
《飞驰人生2》、C《第二十条》．小优和小秀恰好同一天去看这三部电影中的一部，用画树状图（或列
表）的方法，求小优和小秀看同一部电影的概率．
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小优和小秀看同一部电影的可能性有三种，故看同一场电影的概率为 ．
24．（8分）八年级二班举办了主题为“致敬航天人，共筑星河梦”的演讲比赛．由学生1，学生2，老师、班长一起组成四人评委团，对演讲者现场打分，满分10分．图1是甲、乙二人的演讲得分的不完整折线图，
已知二人得分的平均数都是8分．
(1)班长给乙的打分是 分，补全折线图；
(2)在参加演讲的同学中，如果某同学得分的四个数据的方差越小，则认为评委对该同学演讲的评价越一致．
请通过计算推断评委对甲、乙两位同学中哪位同学的评价更一致；
(3)要在甲、乙两位同学中选出一人参加年级的演讲比赛．按照扇形统计图（图2）中各评委的评分占比，
分别计算两人各自的最后得分，得分高的能被选中，请判断谁被选中．
【解析】（1）解： （分），
∴班长给乙的打分是，
故答案为：8；
补全图形如图所示：
（2）解：∵ ，
∴∵ ，
∴
即评委对乙同学的评价更一致；
（3）解：各评委的评分占比为 ，
甲： （分），
乙： （分）．
∵
∴甲被选中．
25．（8分）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．如图是从正面看到的一个
“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以 为直径的半圆 ， 为台面截线，半圆
与 相切于点 ，连结 与 相交于点 ．水面截线 ， ， ．
(1)如图（1）求水深 ；
(2)将图（1）中的老碗先沿台面 向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得 、 重合，求此时最
高点 和最低点 之间的距离 的长；
(3)将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时 ，求滚动过程中圆心
运动的路径长．
【解析】（1）解：连结 ，如图所示：，
在 中，由勾股定理可得 ，
；
（2）解：过 点作 的平行线，与 的延长线相较于点 ，如图所示：
，
，
在 和 中，
，
，
由（1）知 ， ，
， ，
在 中，由勾股定理可得 ；
（3）
解：如图所示：由（1）可知 ， ，
在 中， ，
，
由题意可得，圆心 运动的路径长为 的长度 ．
26．（10分）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主
要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点 ， ， 在同一直线上， 可绕着点 旋
转， 为云梯的液压杆，点 ，A， 在同一水平线上，其中 可伸缩，套管 的长度不变，在某种
工作状态下测得液压杆 ， ， ．
(1)求 的长．
(2)消防人员在云梯末端点 高空作业时，将 伸长到最大长度 ，云梯 绕着点 顺时针旋转一定的
角度，消防人员发现铅直高度升高了 ，求云梯 旋转了多少度．（参考数据： ，
， ， ， ， ）
【解析】（1）解：如图，过点B作 于点E，
在 中 ，
∴ ，在 中， ， ，
∵ ，
∴ ．
答： ．
（2）解：如图，过点D作 于点F，旋转后点D的对应点为 ，过点 作 于点G，过
点D作 于点H，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，即云梯 大约旋转了 ．27．（10分）问题背景：数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图（1），在 中，
， ，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作 关于点 中心对称的图形，其中点 的对应
点是点 ．请你帮助小明完成画图和后面的解答．
尝试运用：如图（2）， 是 的中线， ， ， ，试判断线段
与 的关系，并加以证明．
迁移拓展：如图（3）， 是 的中线， ， ，直接用含 的代数式
写出 与 之间的面积关系．
【解析】解：（1）问题背景：作图如图．
由中心对称的性质知 ，
．在 中， ，
，
即 ，
．
（2）尝试运用： ．
理由如下：如图，延长 到点 ，使得 ，
延长 交 与点 ，连接 ，
由前面知， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，，
；
（3）迁移拓展：如图，延长 到点 ，使得 ，延长 交 与点 ，连接 ，
由（1）可知： ，
，
，
又由（2）可知 ，
，
，
,
又 ，
,
，
即 ．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 交 轴于点 ，
，与 轴交于点 ．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，若点 是第四象限内抛物线上一点， 轴交 于点 , 交 轴于点 ，求
的最大值；
(3)如图，在 轴上取一点 ，抛物线沿 方向平移 个单位得新抛物线，新抛物线与 轴交于点
，交 轴于点 ，点 在线段 上运动，线段 关于线段 的对称线段 所在直线交新抛物线
于点 ，直线 与直线 所成夹角为 ，直接写出点 的横坐标．
【解析】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：过点B作 交 于点E，如图所示：
∵ ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
把 代入 得出 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
设 ， ，∴ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，且最大值为 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴抛物线沿 方向平移 个单位时，沿x轴、y轴移动的距离为： 个单位，
∵抛物线 ，
∴抛物线沿 方向平移 个单位后新抛物线的解析式为：
，把 代入 得： ，
把 代入 得： ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 轴时，连接 并延长交x轴于点K，交 于点L，如图所示：
∴ ，
∴ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴此时直线 与直线 所成夹角为 ，符合题意，
根据折叠可知， ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 代入 得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，
解得： ， （舍去），
∴点 的横坐标为 ；
当 轴时，连接 并延长交y轴于点K，交 于点L，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴此时直线 与直线 所成夹角为 ，符合题意，
根据折叠可知， ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 代入 得： ，解得： ，
∴此时直线 的解析式为： ，
令 ，
解得： ， （舍去），
∴此时点 的横坐标为 ；
综上分析可知，点 的横坐标为 或 ．
