2024 年中考第一次模拟考试（河北卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023上·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小
华（ ）
A．(y−2)岁 B．(y+2)岁 C．(y+4)岁 D．(y+6)岁
【答案】D
【分析】本题考查了用字母表示数，先表示出小明(y+2)岁，再表示出小华(y+6)岁，问题得解．
【详解】解：小强y岁，小明比小强大2岁，则小明(y+2)岁；小明比小华小4岁，则小华
y+2+4=(y+6)岁．故选：D
2．（2023上·河北保定·七年级统考期末）如图，点B在点O的北偏东58°24'方向上，∠BOC=119°，则
点C在点O的（ ）
A．西偏北60°36'方向上 B．北偏西60°36'方向上
C．西偏北29°54'方向上 D．北偏西29°54'方向上
【答案】B
【分析】本题考查了方向角的表示以及方向角的计算，用∠BOC的度数减去58°24'，再结合图形即可解
答．
【详解】解：119°−58°24'=60°36'
∴点C在点O的北偏西60°36'方向上．
故选：B．
3．（2023下·七年级单元测试）a9可以表示为( )A．6a B．a2 ⋅a3 C．(a3 ) 2 D．a12÷a3
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法分别计算可得．
【详解】解：A、6a不能表示为a9，此选项不符合题意；
B、a2 ⋅a3=a5，此选项不符合题意；
C、(a3) 2 =a6，此选项符合题意；
D、a12÷a3=a9，此选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的
运算法则．
4．（2023上·全国·九年级专题练习）一个布袋里装有3个红球，2个黑球，4个白球，它们除颜色外都相
同，从中任意摸出一个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．摸出的是红球 B．摸出的是黑球
C．摸出的是绿球 D．摸出的是白球
【答案】D
【分析】本题主要考查可能性大小，根据个数最多的就是可能性最大的进行判断即可．
【详解】解：因为白球最多，所以被摸到的可能性最大．
故选：D．
5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，将长为8的线段AB分成三条线段AC，CD，BD，且
AC=BD=a，若这三条线段首尾相连能够围成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是学会利用参数构建不等式解决问题．利用三角形的三
边关系构建不等式求解．
【详解】利用三角形的三边关系构建不等式求解．
【解答】解：由题意，¿，
∴2<a<4．
∴a=3符合题意．故选：B．
6．（2024下·全国·七年级假期作业）计算(x−3 y+1)(x+3 y−1)的结果是（ ）
A．x2−12xy+9 y2−1 B．x2−9 y2−6 y−1
C．x2+9 y2−1 D．x2−9 y2+6 y−1
【答案】D
【解析】(x−3 y+1)(x+3 y−1)=x2−(3 y−1) 2=x2−9 y2+6 y−1
7．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）下面是小明的作业，他判断正确的个数是（ ）
√(−2) 2=−2…………（√）
√3−5=−√3−5…………（√）
2
( √1)
3 =1…………（×）
3
√54=3√6…………（√）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，立方根的意义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次
根式的性质判断即可．
【详解】解：√(−2) 2=2，原判断错误；
√3−5=−√35，原判断错误；
2
( √1)
3 =3，原判断正确；
3
√54=3√6，原判断正确；
判断正确的个数为2个，
故选B．
8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下
列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D
【答案】C
【详解】A．∵∠D＝∠5，∴AD∥BC．
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B．∵∠3＝∠4，∴AD∥BC．
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D．∵AB∥CD，∴∠B＝∠5．
∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠5，
∴AD∥BC．
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意．
9．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，已知锐角∠AOB，按如下步骤作图：（1）在射线OA上
取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作P´Q，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆
心，CD长为半径作弧，交P´Q于点M，N；③连接OM，MN，ND．根据以上作图过程及所作图形，下
列结论中错误的是（ ）
A．∠COM=∠COD B．MN∥CD
C．若OM=MN，则∠AOB=20° D．∠COD=3∠MND
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，由圆周角定理，圆心角、弧、弦
的关系，平行线的判定，即可解决问题．【详解】解：如图，
A、连接MC，CD=MC,C´D=M´C，因此∠COM=∠COD，故A不符合题意；
B、连接ON，由OM=ON，∠OMK=∠ONL，∠MOK=∠NOL，得到△OMK≌△ONL(ASA)，因
此OK=OL，得到∠OKL=∠OLK，由OC=OD，得到∠OCD=∠ODC，则∠OKL=∠OCD，得到
MN∥CD，故B不符合题意；
1
C、由OM=ON=MN，得到∠MON=60°，而M´C=C´D=D´N，因此∠AOB= ∠MON=20°，故C
3
不符合题意；
1 1
D、由圆周角定理得到∠MND= ∠MOD,∠COD= ∠MOD,所以∠COD=∠MND，故D符合题
2 2
意．
故选：D．
10．（2021·山东日照·统考中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至
今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于7×1011的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，
则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数m，按照上述规则，恰
好实施5次运算结果为1的m所有可能取值的个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出m的所有可能的取值．
【详解】解：如果实施5次运算结果为1，
则变换中的第6项一定是1，
则变换中的第5项一定是2，
则变换中的第4项一定是4，
则变换中的第3项可能是1，也可能是8．则变换中的第3项可能是1，计算结束，1不符合条件，第三项只能是8.
则变换中第2项是16．
则m的所有可能取值为32或5，一共2个，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键．
11．（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，已知Rt△ABC，Rt△DBA，Rt△EAC，其中点F，G，
H分别为斜边BC，BA，AC的中点，连接DG，AF，EH．则线段DG，AF，EH的数量关系是（ ）
A．2AF2=2DG2+EH2 B．2AF2=DG2+2EH2
C．AF2=DG2+EH2 D．2AF2=DG2+EH2
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可
以得到AB=2DG，AC=2EH，BC=2AF，然后根据勾股定理可以得到AB2+AC2=BC2，从而可以
得到DG，AF，EH的数量关系．
【详解】解：∵点F，G，H分别为Rt△ABC，Rt△DBA，Rt△EAC的斜边BC，BA，AC的中点，
∴AB=2DG，AC=2EH，BC=2AF，
∵∠BAC=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
∴(2DG) 2+(2EH) 2=(2AF) 2，
化简，得：AF2=DG2+EH2，
故选：C．
12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）用一些完全相同的小正方体摆成一个几何体，如图是该几何体的
左视图和俯视图，针对该几何体所需小正方体的个数m，三人的说法如下，
甲：若m=6，则该几何体有两种摆法；
乙：若m=7，则该几何体有三种摆法；
丙：若m=8，则该几何体只有一种摆法．下列判断正确的是（ ）A．甲对，乙错 B．乙和丙都错 C．甲错，乙对 D．乙对，丙错
【答案】C
【分析】根据甲、乙、丙所说m的值，分别画出相应几何体的三视图，再进行判断即可．
【详解】解：如图，
甲：若m=6，则第一层已经摆放5个，第二层只放1个，由左视图的俯视图可得主视图如图①②③所示三
种，故甲错；
乙：若m=7，则第二层可放2个，可得主视图如④⑤⑥所示三种，故乙对；
丙：若m=8，则第一层放5个，第二层放3个小正方体，这样只能摆放在后面三个小正方体上，主视图如
图⑦所示，只有一种摆法，故丙对，
故选：C
【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的相关知识是解答本题的关键．
13．（2023上·河北邯郸·八年级校考期中）如图，在图纸上画有∠AOB=100°，OC平分∠AOB，定点
P在OC上．将夹角为80°的角尺任意放在图纸上，使角尺的顶点与点P重合，两边分别交射线OA，OB于
点M，N（均不与点O重合）．关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：PM始终等于PN；
乙：四边形PMON的面积为定值A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲对乙错 D．甲错乙对
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识．如图过点P作
PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∴∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，¿，
∴Rt△POE≌Rt△POF(HL)，
∴OE=OF，
1 1
∴S = ×OE×PE,S = ×OF×PF，
△PEO 2 △PFO 2
∴S =S =定值，
△PEO △PFO
在△PEM和△PFN中，¿，∴△PEM≌△PFN(ASA)，
∴EM=NF，PM=PN，故甲正确，
∴S =S ，
△PEM △PNF
∴S =S +S =S +S =S =2S =定值，故乙正确．
四边形PMON 四边形PEON △PEM 四边形PEON △PFN 四边形PEOF △PEO
故选：A．
14．（2023·广东东莞·校联考二模）如图，⊙O的半径为2，弦CD垂直直径AB于点E，且E是OA的中点，
点P从点E出发（点P与点E不重合），沿E→D→B的路线运动，设AP=x，sin∠APC= y，那么y
与x之间的关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
AE 1
【分析】本题考查动点问题的函数图象，当点P在线段ED时，y=sin∠APC= = ，推出当1<x≤2
PA x
时，函数图形是反比例函数，当点P在B´D上时，∠APC是定值，y是定值，由此即可判断．
【详解】解：连接OD,AD，如图，
∵弦CD垂直直径AB于点E，且E是OA的中点，OA=2，1
∴AE=OE= OA=1,AD=OD=2,
2
又AP=x，
AE 1
∴当点P在线段ED时，y=sin∠APC= = ，
PA x
∴当1<x≤2时，函数图形是反比例函数，
当点P在B´D上时，∠APC是定值，y是定值，
故选：C．
15．（2023上·全国·九年级期末）如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是
PG
线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则 ＝（ ）
PC
√2 √3
A．√2 B．√3 C． D．
2 3
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解
题的关键．延长PG交CD于点H，证明△DHP≌△FGP，继而证明CH=CG，根据三线合一可知
CP⊥PG，进一步可得∠PCG=60°，继而 可得答案．
【详解】解：如图，延长PG交CD于点H，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF∥AE，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠BCD=180°−60°=120°，
∴∠GCP=60°，
PG
∴ =√3；
PC
故选：B．
4
16．（2023·浙江温州·统考三模）已知二次函数y= (x−1) 2−1上的两点P(x ,y ),Q(x ,y )满足
9 1 1 2 2
x =3+x ，则下列结论中正确的是（ ）
1 2
1 1
A．若x <− ，则y >y >−1 B．若− <x <1，则y >0>y
1 2 1 2 2 1 2 1
1 1
C．若x <− ，则y >0>y D．若− <x <1，则y >y >0
1 2 1 2 2 1 2 1
【答案】B
4 4
【分析】已知二次函数y= (x−1) 2−1，由 >0确定抛物线开口向上，且对称轴为直线x=1，根据x的取
9 9
值范围与对称轴的关系，判断y的取值范围．
1 7
【详解】解：A、 若x <− ，则x =x −3<− ，二次函数开口向上，对称轴为直线x=1，此时，x >x
1 2 2 1 2 1 2
在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以y <y ，选项错误，不符合题意；
1 2
1 7 4 5 1
B、若− <x <1，则x =x −3，− <x <−2，当y= (x−1) 2−1=0时，解为 或− ，二次函数开口
2 1 2 1 2 2 9 2 2
1
向上，对称轴为直线x=1，此时，x >− >x 在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以y >0>y ，选项
1 2 2 2 1
正确，符合题意；
1 7
C、 若x <− ，则x =x −3<− ，二次函数开口向上，对称轴为直线x=1，此时，x >x 在对称轴左侧，
1 2 2 1 2 1 2y随x的增大而减小，所以y <y ，选项错误，不符合题意；
1 2
1 7 4 5 1
D、若− <x <1，则x =x −3，− <x <−2，当y= (x−1) 2−1=0时，解为 或− ，二次函数开口
2 1 2 1 2 2 9 2 2
1
向上，对称轴为直线x=1，此时，x >− >x 在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以y >0>y ，选项
1 2 2 2 1
错误，不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解决此类问题要明确抛物线的开口方向、对称轴和增减性，
根据x的取值范围确定y的取值范围．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．（2024上·陕西西安·九年级统考期末）劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对三类小麦种子的发
芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，用A，B，C三点分别表示三类种子的发芽率y与该类种子
用于实验的数量x的情况，其中点B在反比例函数图象上，则三类种子中，发芽数量最多的是 类种子．
（填“A”“B”或“C”）
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据发芽率y=发芽数量÷实验的数量x即可得到结论．
【详解】解：∵发芽率=发芽数量÷实验的数量，
∴y随x的增大而变小，
∴发芽数量最多的是C类种子．
故答案为：C．
18．（2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习）定义运算“※”：a※b=¿ ；若5※x=2，则x
的值为 ．
5 5
【答案】 或10
7 2【分析】本题主要考查了新定义和解分式方程，正确理解新定义是解题的关键．
5
（1）根据新定义得到5※(−2)=
，据此计算即可；
5−(−2)
5 x
（2）当x<5时，则 =2，当x>5时，则 =2，两种情况分别解方程即可得到答案．
5−x x−5
【详解】解：（1）∵5>−2，
5 5
∴5※(−2)= =
，
5−(−2) 7
5
故答案为： ；
7
（2）当x<5时，
∵5※x=2，
5
∴ =2，
5−x
∴5=10−2x，
5
解得x= ，
2
5
经检验，x= 是原方程的解，
2
5
∵ <5，
2
5
∴x= 符合题意；
2
当x>5时，
∵5※x=2，
x
∴ =2，
x−5
∴x=2x−10，
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的解，
∵10>5，
∴x=10符合题意；
5
综上所述，x= 或x=10，
25
故答案为： 或10．
2
19．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末）小明要在边长为10的正方形内设计一
个有共同中心O的正多边形，使其能在正方形内自由旋转．
（1）如图1．若这个正多边形为边长最大的正六边形，EF= ；
（2）如图2，若这个正多边形为正△EFG，则EF的取值范围为 ．
【答案】 5 0<EF≤5√3
【分析】（1）如图1，连接OE，OF，OI，作正方形ABCD的内切圆⊙O，根据正六边形的性质得出
EF=OF，再根据⊙O的直径等于正方形ABCD的边长可得OF=EF=5；
（2）如图2，作正方形ABCD的内切圆⊙O，作⊙O的内接正三角形EFG，此时EF最大，连接OE，
OF，过点F作FM⊥EG于点M，解直角三角形即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，连接OE，OF，OI，作正方形ABCD的内切圆⊙O，
由正六边形可得△OEF是等边三角形，
∴EF=OF，
由正方形ABCD的边长为10，可知⊙O的直径为10，即FI=10，
∴OF=EF=5，
故答案为：5；
（2）如图2，作正方形ABCD的内切圆⊙O，作⊙O的内接正三角形EFG，∴ ⊙O的直径为10，∠G=60°，
此时EF最大，连接OE，OF，
∴OF=OE=5，∠EOF=2∠G=120°，
过点F作FM⊥EG于点M，
则∠EOM=60°，
5 5
∴OM= ，EM= √3，EF=2EM=5√3，
2 2
∴ EF的取值范围为0<EF≤5√3，
故答案为：0<EF≤5√3．
【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，正六边形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，
解题的关键是正确作出辅助线．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2024上·安徽亳州·七年级统考期末）若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个
方程的“后移方程”例如：方程x−2=0是方程x−1=0的“后移方程”
(1)判断方程2x+1=0是否为方程2x+3=0的“后移方程”；
m+3
(2)若关于x的方程3(x−1)−m= 是关于x的方程2(x−3)−1=3−(x+1)的“后移方程”，求m的值．
2
【答案】(1)方程2x+1=0是方程2x+3=0的后移方程(2)m=5
【分析】本题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解题的关键．
（1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判定即可．
（2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m
的值．
1
【详解】（1）解：方程2x+1=0的解是x=− ，
2
3
方程2x+3=0的解是x=− ，
2∵两个方程的解相差1，
∴方程2x+1=0是方程2x+3=0的后移方程；
（2）解：2(x−3)−1=3−(x+1)，
2x−6−1=3−x−1
2x+x=3−1+6+1，
3x=9，x=3，
m+3
∵关于x的方程3(x−1)−m= 是关于x的方程2(x−3)−1=3−(x+1)的“后移方程”，
2
m+3
∴3(x−1)−m= 的解为x=3+1=4，
2
m+3 m+3
把x=4代入3(x−1)−m= 得：3(4−1)−m= ，
2 2
∴m=5．
21．（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）团团圆圆家买了一套住房，建筑平面图如图：（单位：米）
(1)用含有a、b的代数式表示主卧的面积为______平方米，次卧的面积为______平方米，客厅的面积为
______平方米．（直接填写答案）
(2)团团圆圆的爸爸想把主卧、次卧铺上木地板，其余部分铺瓷砖，已知每平方米木地板费用为200元，每
平方米瓷砖的费用为100元，求a=5，b=4时，求整个房屋铺完地面所需的费用？
【答案】(1)5b+15，6b，9a(2)整个房屋铺完地面所需的费用为18900元
【分析】本题考查列代数式，整式的加减，代数式求值．
（1）运用长方形的面积公式逐个计算求和即可；
（2）先求出主卧、次卧的面积和，厨房、客厅、卫生间的面积和，然后利用总价=单价×面积，将a=5，
b=4代入进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意主卧的长为5米，宽为(b+3)米，则面积为5(b+3)=5b+15（平方米）；
次卧的长为16−2−3−5=6米，宽为b米，则面积为6b（平方米）；
客厅的长为16−2−5=9米，宽为a米，则面积为9a（平方米）；
故答案为：5b+15，6b，9a；（2）解：主卧、次卧的面积和为5b+15+6b=11b+15（平方米）；
厨房的长为2+5=7米，宽为(a−3)米，则面积为7(a−3)=7a−21（平方米）；
卫生间的长为3米，宽为b米，则面积为3b（平方米）；
则厨房、客厅、卫生间的面积和7a−21+3b+9a=16a+3b−21（平方米）；
整个房屋铺完地面所需的费用为：
200(11b+15)+100(16a+3b−21)
=2200b+3000+1600a+300b−2100
=1600a+2500b+900，
当a=5，b=4时，
原式=1600×5+2500×4+900=18900（元），
答：整个房屋铺完地面所需的费用为18900元．
22．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）陕西某校为加强对防溺水安全知识的宜传，组织全校学生进行
“防溺水安全知识”测试，测试结束后，随机抽取50名学生的成绩，整理如下：
a．成绩的频数分布表：
成绩x/分 50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
频数 3 4 16 7 20
b．在0≤x<90这一组的成绩（单位：分）分别为82，83，84，85，86，87，88．
根据以上信息回答下列问题：
(1)求在这次测试中的平均成绩．（每一组的分值取组中值，例如：分数段为50≤x<60取55，分数段为
60≤x<70取65）
(2)若本校800名学生同时参加本次测试，请估计成绩不低于80分的人数．
(3)陶军同学在这次测试中的成绩是83分，结合上面的数据信息，他认为自己的成绩应该属于中等偏上水
平，你认为他的判断是否正确？并说明理由．
【答案】(1)82.4分(2)432人(3)不正确，理由见解析
【分析】本题考查了加权平均数，中位数，频数分布表等知识：
（1）根据加权平均数的求法求解即可；
（2）利用样本估计总体的思想求解即可；
（3）根据中位数的意义求解即可．
55×3+65×4+75×16+85×7+95×20
【详解】（1）解：这次测试中的平均成绩为 =82.40（分），
50
故在这次测试中的平均成绩为82.4分．20+7
（2）解：800× =432（人）．
50
答：估计成绩不低于80分的有432人．
（3）不正确．
83+84
理由：∵成绩的中位数为 =83.5，中位数反映成绩的中等水平，而83<83.5，所以陶军同学在这次
2
测试中应该处于中等偏下的水平．
23．（2024上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）某课外科技小组研制了一种航模飞机通过实验，收集了飞机
相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数
据如下表：
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 1
0 20 30 40 …
x/m 0
2
飞行高度y/m 0 40 54 64 …
2
【探究发现】
通过表格可发现x与t满足一次函数关系，即x=5t.而y与t之间的数量关系也可以用我们已经学习过的函数
来描述．
【解决问题】
(1)直接写出y关于t的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
(2)如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究
发现解决下面的问题．
①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
②在安全线上设置回收区域，点M的右侧为回收区域（包括端点M），AM=125m．若飞机落到回收区
域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．
1
【答案】(1)y=− t2+12t
2(2)①飞机落到安全线时飞行的水平距离120m；②发射平台相对于安全线的最低高度为12.5m
【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识
解决问题．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①令二次函数y=0，求出时间t代入函数x=5t式即可求解；
1
②设发射平台相对于安全线的高度为nm，则飞机相对于安全线的飞行高度y =− t2+12t+n．结合
1 2
t=25，y ≥0，即可求解．
1
【详解】（1）y与t是二次函数关系，
设y=at²+bt，
由题意得：¿，解得： ¿，
1
∴y=− t2+12t；
2
1
（2）①依题意, 得− t2+12t=0，
2
解得：t =0(舍)， t =24，
1 2
当t=24时，x=120，
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m；
②设发射平台相对于安全线的高度为nm，
1
∴飞机相对于安全线的飞行高度y =− t2+12t+n，
1 2
∵5t=125，
∵,t=25，
1
在y =− t2+12t+n中，
1 2
当t=25，y ≥0时， n≥12.5，
1
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m．
24．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，
4
AQ=10,tan∠BAC= ，点P是射线AB上一点，连接PQ,⊙O经过点A且与QP相切于点P，与边AC
3
相交于另一点D．(1)PQ的最小值是 ，当圆心O在射线AB上时，⊙O的半径为
(2)分别求出AP=4与AP=12时，圆心O到直线AB的距离；
(3)直接写出当⊙O与线段AQ只有一个公共点时，AP的取值范围．
【答案】(1)8，3
1 9
(2)当AP=4时，圆心O到直线AB的距离为 ；当AP=12时，圆心O到AB距离为
2 2
(3)AP≥12
PQ 4
【分析】（1）当PQ⊥AB时，PQ最小，由tan∠BAC= = ，设PQ=4k，AP=3k，利用勾股定
AP 3
理求出k=2，可得PQ=4k=8，AP=3k=6，再根据圆心O在射线AB上时，AP是⊙O的直径可得答案；
（2）当AP=4时，连接PO，作OT⊥AB于T，作QR⊥AB于R，可证得△POT∽△QPR，从而有
OT PT 1
= ，即可求出OT= ；当AP=12时，作QR⊥AP于R，连接OP，可证得△QPR∽△POR，从
PR QR 2
PR OR
而有 = ，即可求出OR；
QR PR
（3）当AP=12时，证明AQ是⊙O的切线，可得此时是⊙O与线段AQ有一个公共点的临界情况，然后
可得答案．
【详解】（1）解：如图1，当PQ⊥AB时，PQ最小，
PQ 4
∴tan∠BAC= = ，
AP 3
设PQ=4k，AP=3k，
∴(4k) 2+(3k) 2=102，
∴k=2（舍去负值），
∴PQ=4k=8，AP=3k=6，即PQ的最小值是8，
∵当圆心O在射线AB上时，AP是⊙O的直径，如图1，
1
∴⊙O的半径为 AP=3，
2
故答案为：8，3；
（2）当AP=4时，连接PO，作OT⊥AB于T，作QR⊥AB于R，如图2，
1
∴AT=PT= AP=2，∠OTP=∠PRQ=90°，
2
∴∠TOP+∠OPT=90°，
∵PQ是⊙O的切线，∴OP⊥PQ，
∴∠OPQ=90°，
∴∠OPT＋∠RPQ=90°，
∴∠TOP=∠RPQ，
∴△POT∽△QPR，
OT PT OT 2
∴ = ，即 = ，
PR QR 6−4 8
1
∴OT= ，
2
1
∴圆心O到直线AB的距离为 ；
2
当AP=12时，作QR⊥AP于R，连接OP，如图3，
1
∵AR=PR= AP=6，
2
∴QR经过圆心O，
∵PQ是⊙O的切线，
∴∠OPQ=90°，
∴∠QPR+∠OPR=90°，∠O+∠OPR=90°，
∴∠QPR=∠O，
∵∠QRP=∠PRO=90°，
∴△QPR∽△POR，
PR OR 6 OR
∴ = ，即 = ，
QR PR 8 6
9
∴¿= ，
29
∴圆心O到AB距离为 ；
2
（3）当AP=12时，连接OA，如图4，
由（2）知：OQ⊥AP，
∵OA=OP，
∴∠AOQ=∠POQ，
又∵OQ=OQ，
∴△AOQ≌△POQ(SAS)，
∴∠OAQ=∠OPQ=90°
∴AQ是⊙O的切线，此时⊙O与线段AQ恰有一个公共点，
∴当⊙O与线段AQ只有一个公共点时，AP≥12．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾
股定理等知识，解决问题的关键是熟练运用相似三角形解决问题．
25．（2024上·安徽六安·八年级统考期末）定义：对于一次函数y =ax+b、y =cx+d，我们称函数
1 2
y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y 、y 的“组合函数”．
1 2
(1)若函数y=5x+2为函数y =x+1、y =2x−1的“组合函数”，求m,n的值；
1 2
(2)设函数y =x−p−2与y =−x+3p的图像相交于点P．
1 2
①若p≠1，函数y 、y 的“组合函数”图像经过点P，求m+n的值；
1 2
②若m+n＞1，点P在函数y 、y 的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围．
1 2
【答案】(1)m=3,n=1；(2)①m+n=1；②p＜1
【分析】（1）根据定义，构造“组合函数”，利用恒等式性质，构造方程组求解即可．
（2）①先利用解析式联立构成方程组，求得交点坐标，确定组合函数，把坐标代入组合函数，解答即可．②根据交点的坐标为(2p+1,p−1)，确定组合函数为y=(m−n)x+3pn−mp−2m，当x=2p+1时，函
数值为(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m，结合点P在函数y 、y 的“组合函数”图像的上方，得到
1 2
p−1＞(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m，解答即可．
【详解】（1）由题意可知：m(x+1)+n(2x−1)=5x+2，
整理得：(m+2n)x+m−n=5x+2，
∴¿，
解得：¿，
故：m=3,n=1．
（2）解方程组：¿，
解得：¿，
∵函数y =x−p−2与y =−x+3p的图像相交于点P，
1 2
∴P点坐标为(2p+1,p−1)
∵函数y ,y 的“组合函数”为：y=m(x−p−2)+n(−x+3p)，
1 2
化简得：y=(m−n)x+3pn−mp−2m，
①∵点P在函数y ,y 的“组合函数”图像上，
1 2
将点P坐标代入“组合函数”得：p−1=(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m
整理得：p−1=(m+n)(p−1)，
∵p≠1，
∴m+n=1．
②∵组合函数为y=(m−n)x+3pn−mp−2m，
∴当x=2p+1时，函数值为(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m，
∵点P在函数y 、y 的“组合函数”图像的上方，
1 2
∴p−1＞(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m，
整理得：p−1＞(m+n)(p−1)．
∵m+n＞1
∴p−1＜0即p＜1
∴p的取值范围是p＜1．
【点睛】本题考查了一次函数的新定义，恒等式性质，方程组，根据纵坐标的大小判断位置的上下，解不
等式．正确理解定义，准确构造方程组，并解方程组是解题的关键．
26．（2024上·山西长治·九年级校联考期末）综合与实践
问题情境：如图1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=10．将矩形ABCD绕边AD的中点E逆时针旋转角度α(0°<α<90°)得到矩形A'B'C'D'（点A，B，C，D的对应点分别是点A'，B'，C'，D'）．
操作发现：
（1）连接A A'，AD'，DD'，A'D，则四边形A A'DD'的形状是______；
问题探究：
（2）如图2，连接A A'，CC'，试判断A A'与CC'的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，A'B'与BC交于点F，连接BD，当点A'落在线段BD上时．
①求A'B的长度；
②直接写出A'F的长度．
5
【答案】（1）矩形；（2）CC'=√2A A'，理由详见解析；（3）①√5；② ．
3
【分析】（1）根据旋转的性质得出AD=A'D'，根据中点的定义即可得出点E平分AD和A'D'，即可得出
结论四边形A A'DD'是矩形；
（2）连接CE,C'E，易得AE=DE=5，勾股定理可得CE=√CD2+DE2=5√2，根据旋转的性质得出
∠AEA'=∠CEC'=α,AE=A'E,CE=C'E，推出△AEA'∽△CEC'，即可求解；
（3）①连接A A'，根据勾股定理可得BD=√AD2+AB2=5√5，通过证明△ADB∽△A'BA，得出
AB A'B
= ，即可求解；②过点A'作AB的平行线，交AD,BC于点M和点N，先证明△BA'N∽△BCD，
BD AB
求出A'N=1,BN'=2，易得四边形ABNM为矩形，则AM=BN=2,MN=AB=5，
A'M=MN−A'N=4，ME=AE−AM=3，根据勾股定理可得A'E=√M E2+A'M2=5，最后证明
△A'EM∽△F A'N即可求解．
【详解】（1）解：∵矩形ABCD绕边AD的中点E逆时针旋转得到矩形A'B'C'D'，
∴AD=A'D'，点E平分AD和A'D'，∴四边形A A'DD'是矩形，
故答案为：矩形；
（2）解：CC'=√2A A'，理由如下：
连接CE,C'E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°,CD=AB=5，
∵点E是AD中点，AD=10，
∴AE=DE=5，
在Rt△CDE中，勾股定理可得：CE=√CD2+DE2=5√2，
∵矩形ABCD绕边AD的中点E逆时针旋转得到矩形A'B'C'D'，
∴∠AE A'=∠CEC'=α,AE=A'E,CE=C'E，
AE A'E
∴ = ，
CE C'E
∴△AE A'∽△CEC'，
A A' AE 5 √2
∴ = = = ，
CC' CE 5√2 2
∴CC'=√2A A'；
（3）①连接A A'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，根据勾股定理可得：BD=√AD2+AB2=5√5，
由（1）可得，四边形A A'DD'是矩形，
∴∠A A'D=90°，则∠A A'B=90°，∵∠A A'B=∠DAB=90°,∠ABA'=∠DBA，
∴△ADB∽△A'BA，
AB A'B 5 A'B
∴ = ，即 = ，
BD AB 5√5 5
解得：A'B=√5；
②解：过点A'作AB的平行线，交AD,BC于点M和点N，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵∠A'NF=∠C=90°，
∴A'N∥CD，
∴△BA'N∽△BCD，
BA' A'N BN √5 AN BN
∴ = = ，即 = = ，
BD DC BC 5√5 5 10
∴A'N=1,BN'=2，
∵MN∥AB，
∴∠A'ME=∠A'NF=90°，
∵∠A=∠ABC=∠BNM=90°，
∴四边形ABNM为矩形，
∴AM=BN=2,MN=AB=5，
∴A'M=MN−A'N=4，
∵点E为AD中点，
1
∴AE= AD=5，
2
∴ME=AE−AM=3，
根据勾股定理可得：A'E=√M E2+A'M2=5，
∵∠B' A'D'=90°，∴∠M A'E+∠N A'F=90°，
∵∠M A'E+∠A'EM=90°，
∴∠N A'F=∠A'EM，
∴△A'EM∽△F A'N，
A'F ME A'F 1
∴ = ，即 = ，
A'E A'N 5 3
5
解得：A'F=
．
3
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，
构造全等三角形，以及熟练掌握相关性质定理，是解题的关键．
