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2024 年中考第二次模拟考试（河北卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·江苏·中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同底数幂的除法进行解题即可．
【详解】解： ，
故选B．
【点睛】本题考查同底数的幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
2．（2023·四川达州·中考真题）如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落在
A'处，点E落在边BA'上的E'处，则∠CBD的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
【答案】B
【详解】解：根据折叠的性质可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，
∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，
∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°．
∴∠A′BC+∠E′BD=90°．∴∠CBD=90°．
故选B．
【点睛】由折叠的性质，即可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定义，即可求得
∠A′BC+∠E′BD=90°，则可求得∠CBD的度数．此题考查了折叠的性质与平角的定义，解题的关键是掌握
翻折的性质．
3．（2023·四川遂宁·中考真题）已知算式 □ 的值为 ，则“□”内应填入的运算符号为
（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
【答案】A
【分析】
根据相反数相加为0判断即可．
【详解】
解：∵ ，
∴“□”内应填入的运算符号为＋，
故选：A．
【点睛】
题目主要考查有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．（2023·四川自贡·中考真题）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正
多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角 ，算出这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出 ，然后可得每一个外角为 ，进而
即可求解．
【详解】解：依题意， ， ，
∴
∴∴这个正多边形的一个外角为 ，
所以这个多边形的边数为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多
边的外角和等于360°是解题的关键．
5．（2023·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．（2023·山东烟台·中考真题）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体
的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱 的投影为点E，棱 的投影为线段 ，棱
的投影为线段 ，棱 的投影为正方形 的对角线，
∴该几何体的俯视图为：
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视
图．
7．（2023·江苏镇江·中考真题）据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．
数据10870用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
用科学记数法表示较大的数的一般形式为 ，其中 ，n等于原数的整数位数减1，即可得
到答案．
【详解】
解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为 ，其中 ，n等于原数的整数位数减1，
∴ ，
故答案选：A．
【点睛】
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．8．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形 中， ，若添加一个条件，使四边形 为
平形四边形，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．根据 ， ，不能判断四边形 为平形四边形，故该选项不正确，不
符合题意；
B． ∵ ，∴ ，不能判断四边形 为平形四边形，故该选项不正确，不符合题
意；
C．根据 ， ，不能判断四边形 为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D．∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
∴四边形 为平形四边形，
故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
9．（2023·内蒙古·中考真题）如图，直线 ，直线 与直线 分别相交于点 ，点 在直线 上，
且 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】由 ， ，可得 ，由 ，可得 ，进而
可得 的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的
数量关系．
10．（2023·浙江衢州·中考真题）某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，
50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是
（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答．
【详解】解：根据题意，可得 ，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均数，
众数，方差都会受到影响，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题的关键．
11．（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（ ）÷★＝ 被小颖同学不小心滴
上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
【详解】解： ★=★=
★=
= ，
故选A．
【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
12．（2023·山西·中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路
在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 ，曲线终点为 ，过点 的两
条切线相交于点 ，列车在从 到 行驶的过程中转角 为 ．若圆曲线的半径 ，则这段圆
曲线 的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由转角 为 可得 ，由切线的性质可得 ，根据四边形的内角和定理可
得 ，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：∵ ，
∴ ，
∵过点 的两条切线相交于点 ，
∴ ,
∴ ,
∴ ．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得 是解答本题的
关键．
13．（2022·江苏扬州·中考真题）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁
四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值） 与该校参加竞赛人数 的情况，
其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛
中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．
【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲 、乙 、丙 、丁 ，
过甲点作 轴平行线交反比例函数于 ，过丙点作 轴平行线交反比例函数于 ，如图所示：
由图可知 ，
、乙 、 、丁 在反比例函数 图像上，
根据题意可知 优秀人数，则
① ，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
② ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③ ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数 乙学校优秀人数 丁学校优秀人数 丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质
是解决问题的关键．
14．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩
形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．
【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得， ，
解得 ＜a＜3，
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集，
∴a只能取2．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形
三边的问题．
15．（2023·山东·中考真题）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，
需要非常准确的数据． 的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是 ．
．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是 ．太阳
到地球的平均距离大约为 千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为 的等腰三角形底
边长为（ ）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
【答案】D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为 的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的
两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程 ，求解即可．
【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为 的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，得
解得：
∴等腰三角形底边长为 毫米 千米．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换
算．
16．（2023·山东聊城·中考真题）如图，已知等腰直角 ， ， ，点C是矩形
与 的公共顶点，且 ， ；点D是 延长线上一点，且 ．连接 ， ，
在矩形 绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段 达到最长和最短时，线段 对应的长
度分别为m和n，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据锐角三角函数可求得 ，当线段 达到最长时，此时点 在点 的下方，且 ，
， 三点共线，求得 ， ，根据勾股定理求得 ，即 ，当线段 达到最
短时，此时点 在点 的上方，且 ， ， 三点共线，则 ， ，根据勾股定理求得 ，
即 ，即可求得 ．
【详解】∵ 为等腰直角三角形， ，∴ ，
当线段 达到最长时，此时点 在点 的下方，且 ， ， 三点共线，如图：则 ， ，
在 中， ，
即 ，
当线段 达到最短时，此时点 在点 的上方，且 ， ， 三点共线，如图：
则 ， ，
在 中， ，
即 ，
故 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段 最长和最短时的位置是解题的关
键．第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．（2023·浙江湖州·中考真题）在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都
相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 ．
【答案】 /
【分析】利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球有 种等可能的结果，其中从袋中任意摸出一个球是红球的结
果有7种，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
18．（2024·安徽合肥·一模）如图，在矩形 中， ， ，P是 边上的一个动点（不含
端点A，D），E是 边上一点，连接 并延长与 的延长线交于点 ．
（1）若点 是 中点， ，那么 的长度是 ；
（2）设 ，若存在点 使 ，则 的取值范围是 ．
【答案】 4 /
【分析】（1）证明 ，得出 ，即可得出结果；
（2）设 ，则 ， ，则 ，证明 ，根据相似三角形的性质得
到比例式，计算即可．【详解】解：（1）∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ， ，
∵点 是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：4；
（2）设 ，则 ， ，则 ，
∵四边形 为矩形，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
，
，
当 时， 取最小值，此时 ，
将 代入抛物线的解析式得： ，
的取值范围为： ．故答案为： ．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的解析式的确定以及二次函数的
性质，三角形全等的判定和性质，掌握相关的性质定理以及判定定理是解题的关键．
19．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以 为边长作正方形，已知 且满足 ，
．
（1）若 ，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为 ，图2四边形 的面积为 ，则图2阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出 ，根据题意得出 ，进而得出 ，根
据图2阴影部分的面积为 ，代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是 ，
故答案为： ．
（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形 的面积为 ，
∴ ， ，即
∴ （负值舍去）
∵ ， ．解得：
∵ ①
∴ ，
∴ ，
∴ ②
联立①②解得： （ 为负数舍去）或
∴ ，
图2阴影部分的面积是
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次
方程，正确的计算是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2020·湖南张家界·中考真题）阅读下面的材料：
对于实数 ，我们定义符号 的意义为：当 时， ；当 时， ，如：
．根据上面的材料回答下列问题：
（1） ______；
（2）当 时，求x的取值范围．
【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥
【分析】（1）比较大小，即可得出答案；
（2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围．
【详解】解：（1）由题意得 ﹣1
故答案为：﹣1；
（2）由题意得：
3（2x－3）≥2（x+2）
6x－9≥2x+4
4x≥13
X≥
∴x的取值范围为x≥ ．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
21．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为 ，宽为 的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼
成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当 时，该小正方形的面积是多少？【答案】(1)
(2)36
【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边
即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．
【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边 ，
较长的直角边 ，
∴小正方形的边长 ；
（2）解： ，
当 时， ．
【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．
22．（2023·四川德阳·中考真题）三星堆遗址已有5000年历史，是迄今为止在中国境内发现的范围最大、
延续时间最长、文化内涵最丰富的古城、古国、古文化遗址．2022年三层堆青铜面具亮相央视春晚舞台，
向全国观众掀开了它神秘的面纱，“三星堆文化”再次引起德阳广大市民的关注．为了解全市九年级学生
对“三星堆文化”知识的了解程度，从中随机抽取了500名学生进行周查，并将其问题分为了五类，A．
非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解，根据调查结果，绘制出如图所示的两幅
不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求图中a，b的值，以及E类所对应的圆心角的度数；
(2)据统计，全市共有30000名九年级学生，请你估计“C．了解”的学生人数；(3)德阳市文化与旅游局为了解三星堆知识在全市九年级学生中的普及程度，将每一个接受调查的对象对景
点知识的了解程度，按本题中“A，B，C，D，E”五类，分别赋上对应的分数“90分，80分，70分，45
分，0分”，求得平均分x，若 则受调查群体获评“优秀”；若 ，则受调查群体获评“良
好”；若 则受调查群体获评“合格”；若 则受调查群体为“不合格”．请根据样本数据说
明，本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为什么等级？
【答案】(1) ， ，E类所对应的圆心角的度数为 ；
(2)估计“C．了解”的学生人数有12000人；
(3)本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为“良好”等级．
【分析】（1）由总人数乘以B类的占比可得b的值，再由总人数500减去除E类以外的各小类的人数可得
a的值，再由E类的占比乘以 可得圆心角的大小；
（2）由总人数30000乘以C类的占比即可；
（3）先求解样本平均数，再根据评级范围可得结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴E类所对应的圆心角的度数为 ；
（2）∵ （人），
∴估计“C．了解”的学生人数有12000人；
（3）样本平均数为：
，
∴本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为“良好”等级．
【点睛】本题考查的是折线统计图，扇形统计图，求解平均数，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计
知识是解本题的关键．
23．（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 表示水平的路面，
以O为坐标原点，以 所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根
据设计要求： ，该抛物线的顶点P到 的距离为 ．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点
A、B到 的距离均为 ，求点A、B的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为 ，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
【详解】（1）依题意，顶点 ，
设抛物线的函数表达式为 ，
将 代入，得 ．解之，得 ．
∴抛物线的函数表达式为 ．
（2）令 ，得 ．
解之，得 ．
∴ ．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时
求出二次函数的解析式是关键．
24．我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一
大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具--------三分角
器．图1是它的示意图，其中 与半圆 的直径 在同一直线 上，且 的长度与半圆的半径相等；
与 重直于点 足够长．
使用方法如图2所示，若要把 三等分，只需适当放置三分角器，使 经过 的顶点 ，点
落在边 上，半圆 与另一边 恰好相切，切点为 ，则 就把 三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，
并写出“证明”过程．
已知：如图2，点在 同一直线上， 垂足为点 ，
求证：
【答案】 在 上， 过点 ， 为半圆 的切线，切点为 ； EB ， EO 为 ∠ MEN
的三等分线．证明见解析．
【分析】如图，连接OF．则∠OFE=90°，只要证明 ， ，即可解决问题；【详解】已知：如图2，点在 同一直线上， 垂足为点 ， 在 上， 过点 ，
为半圆 的切线，切点为 ．
求证： EB ， EO 为 ∠ MEN 的三等分线．
证明：如图，连接OF．则∠OFE=90°，
∵EB⊥AC，EB与半圆相切于点B，
∴∠ABE=∠OBE=90°，
∵BA=BO．EB=EB，
∴∠AEB=∠BEO，
∵EO=EO．OB=OF，∠OBE=∠OFE ，
∴ ，
∴∠OEB=∠OEF，
∴∠AEB=∠BEO=∠OEF，
∴EB，EO为∠MEN的三等分线．
故答案为： 在 上， 过点 ， 为半圆 的切线，切点为 ．
EB ， EO 为 ∠ MEN 的三等分线．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，
构造全等三角形解决问题．
25．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道 ，长度为 的金
属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿 方向从左向右匀速滑动，滑动速度为 ，滑动开始前
滑块左端与点 重合，当滑块右端到达点 时，滑块停顿 ，然后再以小于 的速度匀速返回，直到
滑块的左端与点 重合，滑动停止．设时间为 时，滑块左端离点 的距离为 ，右端离点 的距离为 ，记 与 具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当 和 时，与之对
应的 的两个值互为相反数；滑块从点 出发到最后返回点 ，整个过程总用时 （含停顿时间）．请
你根据所给条件解决下列问题：
(1)滑块从点 到点 的滑动过程中， 的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）
(2)滑块从点 到点 的滑动过程中，求 与 的函数表达式；
(3)在整个往返过程中，若 ，求 的值．
【答案】(1)由负到正
(2)
(3)当 或 时，
【分析】（1）根据等式 ，结合题意，即可求解；
（2）设轨道 的长为 ，根据已知条件得出 ，则 ，根据当 和
时，与之对应的 的两个值互为相反数；则 时， ，得出 ，继而求得滑块返回的速度为
，得出 ，代入 ，即可求解；
（3）当 时，有两种情况，由（2）可得，①当 时，②当 时，分别令 ，进而
即可求解．
【详解】（1）∵ ，
当滑块在 点时， ， ，
当滑块在 点时， ， ，
∴ 的值由负到正．
故答案为：由负到正．
（2）解：设轨道 的长为 ，当滑块从左向右滑动时，∵ ，
∴ ，
∴
∴ 是 的一次函数，
∵当 和 时，与之对应的 的两个值互为相反数；
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴滑块从点 到点 所用的时间为 ，
∵整个过程总用时 （含停顿时间）．当滑块右端到达点 时，滑块停顿 ，
∴滑块从点 到点 的滑动时间为 ，
∴滑块返回的速度为 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 的函数表达式为 ；
（3）当 时，有两种情况，
由（2）可得，
①当 时， ，
解得： ；
②当 时， ，
解得： ，
综上所述，当 或 时， ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出 ，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．
26．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形 ． ，点 在边 上，且 ．
动点 从点 出发，沿折线 以每秒 个单位长度的速度运动，作 ， 交边 或边 于点 ，连续 ．当点 与点 重合时，点 停止运动．设点 的运动时间为 秒．（ ）
(1)当点 和点 重合时，线段 的长为__________；
(2)当点 和点 重合时，求 ；
(3)当点 在边 上运动时， 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
(4)作点 关于直线 的对称点 ，连接 、 ，当四边形 和矩形 重叠部分图形为轴对称
四边形时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4) 或 或
【分析】（1）证明四边形 是矩形，进而在 中，勾股定理即可求解．
（2）证明 ，得出 ；
（3）过点 作 于点 ，证明 得出 ，即可得出结论
（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点 在 上时，②当 点在 上时，当 重合时符合题意，
此时如图，③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，∵四边形 是矩形
∴
∵ ，
∴四边形 是矩形，
当点 和点 重合时，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ．
（2）如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）如图所示，过点 作 于点 ，∵ ， ，
∴ ，
则四边形 是矩形，
∴
又∵
∴ ，
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形；
（4）①如图所示，当点 在 上时，
∵ ，
在 中， ，
则 ，
∵ ，则 ， ，
在 中， ，
∴
解得：当 时，点 在矩形内部，符合题意，
∴ 符合题意，
②当 点在 上时，当 重合时符合题意，此时如图，
则 ， ，
在 中，
，
解得： ，
③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，此时
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，
分别画出图形，数形结合是解题的关键．
