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2014山东烟台中考数学试卷(解析版)
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（2014年山东烟台）﹣3的绝对值等于（ ）
A． ﹣3B． 3 C． ±3 D． ﹣
考点：绝对值
分析：根据绝对值的性质解答即可．
解：|﹣3|=3．故选B．
点评：此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相
反数；0的绝对值是0．
2．（2014年山东烟台）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形，中心对称图形
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及
轴对称图形的定义即可判断出．
解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，
故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，
故此选项错误；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选
项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此
选项正确．故选：D．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的
关键．
3．（2014年山东烟台）烟台市通过扩消费、促投资、稳外需的协同发力，激发了区域发展活力，
实现了经济平稳较快发展．2013年全市生产总值（GDP）达5613亿元．该数据用科学记数法
表示为（ ）
A．5.613×1011元 B．5.613×1012元 C．56.13×1010元 D．0.5613×1012元
考点：科学记数法--大数的表示方法
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将5613亿元用科学记数法表示为：5.613×1011元．故选；A．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2014年山东烟台）如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（ ）A． B． C． D．
考点：几何图形的三视图
分析：根据主视图是从正面看到的图形判定则可．
解：从正面看，主视图为 ．故选：C．
点评：本题考查了三视图的知识，根据主视图是从物体的正面看得到的视图得出是解题关键．
5．（2014年山东烟台）按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（ ）
A． x=5，y=﹣2 B．x=3，y=﹣3 C．x=﹣4，y=2 D．
x=﹣3，y=﹣9
考点：二元一次方程的解的定义
分析：根据运算程序列出方程，再根据二元一次方程的解的定义对各选项分析判断利用排除
法求解．
解：由题意得，2x﹣y=3，A、x=5时，y=7，故本选项错误；
B、x=3时，y=3，故本选项错误；C、x=﹣4时，y=﹣11，故本选项错误；
D、x=﹣3时，y=﹣9，故本选项正确．故选D．
点评：本题考查了代数式求值，主要利用了二元一次方程的解，理解运算程序列出方程是解
题的关键．
6．（2014年山东烟台）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与
AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（ ）
A． 28°B． 52°C． 62° D． 72°
考点：菱形的性质，全等三角形的判定和性质
分析：根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可
得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵ ，∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°．故选C．
点评：本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角
线相互垂直的性质．
7．（2014年山东烟台）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线
EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（ ）
A． 1.5 B． 3 C． 3.5 D． 4.5
考点：等腰梯形的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质
分析：根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰
三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根
据三角形的中位线，可得答案．
解：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，
∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC．∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC．
∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC= ∠C=30°，BC=2DC=2×3=6．
∵EF是梯形中位线，∴MF是三角形BCD的中位线，∴MF= BC= 6=3，故选：B．
点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，三角形的中
位线的性质．
8．（2014年山东烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ）
A．﹣1或5 B．1 C．5 D．﹣1
考点：一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系
分析：设方程的两根为x ，x ，根据根与系数的关系得到x +x =a，x •x =2a，由于x 2+x 2=5，变
1 2 1 2 1 2 1 2
形得到（x +x ）2﹣2x •x =5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．
1 2 1 2
解：设方程的两根为x ，x ，则x +x =a，x •x =2a，∵x 2+x 2=5，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴（x +x ）2﹣2x •x =5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a =5，a =﹣1，
1 2 1 2 1 2
∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x ，
1
x ，则x +x =﹣ ，x •x = ．也考查了一元二次方程的根的判别式．
2 1 2 1 2
9．（2014年山东烟台）将一组数 ， ，3，2 ， ，…，3 ，按下面的方式进行排列：
， ，3，2 ， ；
3 ， ，2 ，3 ， ；
…若2 的位置记为（1，4），2 的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（
）
A．（5，2） B．（5，3） C．（6，2） D．（6，5）
考点：规律型（开平方）
分析：根据观察，可得 ，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，可得答
案．
解：3 = ，3 得被开方数是 得被开方数的30倍，
3 在第六行的第五个，即（6，5），故选：D．
点评：本题考查了实数，利用了有序数对表示数的位置，发现被开方数之间的关系是解题关
键．
10．（2014年山东烟台）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标
是（ ）
A． （1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．
（1，4）
考点：坐标与图形变化﹣旋转
分析：先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性
质得到旋转中心在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的
交点为旋转中心．
解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
∴点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，
作线段AA′和BB′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），∴旋转中心的坐标为（1，2）．故选
B．
点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特
殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
11．（2014年山东烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对
称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：二次函数图象的性质
分析：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣ =2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，
函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，
所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；
由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．
解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，
而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵对称轴为直线x=2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以④错
误．故选B．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决
定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一
次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y
轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物
线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2
个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交
点．
12．（2014年山东烟台）如图，点P是 ▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P
点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（
）A． B． C． D.
考点：动点问题的函数图象
分析：分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP
的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．
解：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．故选：A．
点评：本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（2014年山东烟台）（ ﹣1）0+（ ）﹣1= ．
考点：实数的运算（0指数幂及负整数指数幂的计算法则）
分析：分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法
则进行计算即可．
解：原式=1+2014=2015．故答案为：2015．
点评：本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则是解答此题的关
键．
14．（2014年山东烟台）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
考点：二次根式的性质；分式有意义条件
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，解得：x≤1且x≠﹣2．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
15．（2014年山东烟台）在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，
如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是 ，那么袋子中共有球 个．
考点：概率
分析：设袋中共有球x个，根据概率公式列出等式解答．
解：设袋中共有球x个，∵有3个白球，且摸出白球的概率是 ，
∴ = ，解得x=12（个）．故答案为：12．
点评：本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
16．（2014年山东烟台）如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx
﹣3＞2x+b的解集是 ．考点：一次函数；一元一次不等式
分析：把P分别代入函数y=2x+b与函数y=kx﹣3求出k，b的值，再求不等式kx﹣3＞2x+b的
解集．
解：把P（4，﹣6）代入y=2x+b得，﹣6=2×4+b
解得，b=﹣14把P（4，﹣6）代入y=kx﹣3解得，k=﹣
把b=﹣14，k=﹣ 代入kx﹣3＞2x+b得﹣ x﹣3＞2x﹣14解得x＜4．故答案为：x＜4．
点评：本题主要考查一次函数和一元一次不等式，解题的关键是求出k，b的值求解集．
17．（2014年山东烟台）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分
的面积等于 ．
考点：正多边形与圆及扇形的面积的计算
分析：先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两
个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．【连接OD，】
解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，
由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，
∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，
∴BM=OB×sin60°=2 ，OM=OB•cos60°=2，∴BD=2BM=4 ，
∴△BDO的面积是 ×BD×OM= ×4 ×2=4 ，同理△FDO的面积是4 ；
∵∠COD=60°，OC=OD=4，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD=∠ODC=60°，
在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2 ，
∴S扇形OCD ﹣S
△COD
= ﹣ ×4×2 = π﹣4 ，∴阴影部分的面积是：4 +4 + π﹣4 + π﹣4 = π，故答案为： π．
点评：本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和
两个三角形面积，题目比较好，难度适中．
18．（2014年山东烟台）如图，∠AOB=45°，点O 在OA上，OO =7，⊙O 的半径为2，点O 在
1 1 1 2
射线OB上运动，且⊙O 始终与OA相切，当⊙O 和⊙O 相切时，⊙O 的半径等于 ．
2 2 1 2
考点：圆与圆的位置关系（相切）
分析：作O
2
C⊥OA于点C，连接O
1
O
2
，设O
2
C=r，根据⊙O
1
的半径为2，OO
1
=7，表示出
O O =r+2，O C=7﹣r，利用勾股定理列出有关r的方程求解即可．
1 2 1
解：如图，作O
2
C⊥OA于点C，连接O
1
O
2
，
设O C=r，∵∠AOB=45°，∴OC=O C=r，
2 2
∵⊙O 的半径为2，OO =7，
1 1
∴O O =r+2，O C=7﹣r，
1 2 1
∴（7﹣r）2+r2=（r+2）2，解得：r=3或15，
故答案为：3或15．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度中等．
三、解答题（本大题共8个小题，满分66分）
19．（2014年山东烟台，6分）先化简，再求值： ÷（x﹣ ），其中x为数据0，﹣
1，﹣3，1，2的极差．
考点：分式的化简求值，极差
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，求出数据的极差确定出x，代入计算即可求出值．
解：原式= ÷ = • = ，
当x=2﹣（﹣3）=5时，原式= = ．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2014年山东烟台，7分）2014年世界杯足球赛6月12日﹣7月13日在巴西举行，某初中
学校为了了解本校2400名学生对本次世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机
抽取了200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形
统计图（图2）．（1）四个年级被调查人数的中位数是多少？
（2）如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本届世
界杯的学生大约有多少名？
（3）在这次调查中，初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯，现准备从四
人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙
的概率．
考点：数据处理（中位数），列表法与树状图法求概率
分析：（1）根据条形统计图中的数据，找出中位数即可；
（2）根据扇形统计图找出关注本届世界杯的百分比，乘以2400即可得到结果；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是甲与乙的情况，即可确定出所求概率．
解：（1）四个年级被抽出的人数由小到大排列为30，40，50，80，
∴中位数为 =45（人）；
（2）根据题意得：2400×（1﹣45%）=1320（人），
则该校关注本届世界杯的学生大约有1320人；
（3）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是甲与乙的情况有2种，
则P= = ．
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（2014年山东烟台，7分）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长 米，
钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下
端C之间的距离．考点：直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
分析： 延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出∠CAD=180°﹣
∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC•tan∠ACD= 米，CD=2AD=3米，
再证明△BOD是等边三角形，得到BD=OD=OA+AD=4.5米，然后根据BC=BD﹣CD即可求
出浮漂B与河堤下端C之间的距离．
解：延长OA交BC于点D．∵AO的倾斜角是60°，
∴∠ODB=60°．∵∠ACD=30°，∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．
在Rt△ACD中，AD=AC•tan∠ACD= • = （米），
∴CD=2AD=3米，又∵∠O=60°，∴△BOD是等边三角形，
∴BD=OD=OA+AD=3+ =4.5（米），∴BC=BD﹣CD=4.5﹣3=1.5（米）．
答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，作出辅助线得到Rt△ACD是解题的
关键．
22．（2014年山东烟台，8分）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点
D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐
标；若不存在，请说明理由．
考点：反比例函数（解析式，坐标特征）；三角形面积。
分析： （1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出
A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
（2）存在，设E（x，0），表示出DE与CE，连接AE，BE，三角形ABE面积=四边形ABCD面积
﹣三角形ADE面积﹣三角形BCE面积，求出即可．
解：（1）由题意得： ，解得： ，∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y= ，将A（1，6）代入得：k=6，则反比例解析式为y= ；
（2）存在，设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，则S
△ABE
=S四边形ABCD ﹣S
△ADE
﹣S
△BCE
= （BC+AD）•DC﹣ DE•AD﹣ CE•BC= ×（1+6）×5﹣
（x﹣1）×6﹣ （6﹣x）×1= ﹣ x=5，解得：x=5，则E（5，0）．
点评：此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练
掌握待定系数法是解本题的关键．
23．（2014年山东烟台，8分）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，
某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的
数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数
量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车 B型车
进货价格（元） 1100 1400
销售价格（元） 今年的销售价格 2000
考点：列分式方程，分式方程的运用，一次函数的运用
分析：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建
立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A行车a辆，则B型车（60﹣x）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关
系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得
，解得：x=1600．经检验，x=1600是元方程的根．
答：今年A型车每辆售价1600元；
（2）设今年新进A行车a辆，则B型车（60﹣x）辆，获利y元，由题意，得
y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），
y=﹣100a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．∵y=﹣100a+36000．∴k=﹣100＜0，
∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=34000元．
∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式
的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
24．（2014年山东烟台，8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于
弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．
求证：tanα•tan = ．考点：相似三角形的判定与性质，圆周角的性质，三角函数
分析：连接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出 = ，最后得到tanα•tan = ．
证明：连接AC，则∠A= ∠POC= ，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴tanα= ，BD∥AC，
∴∠BPD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，∴ = ，
∵PB=0B=OA，∴ = ，∴tana•tan = • = = ．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出
△PBD∽△PAC，再求出tanα•tan = ．
25．（2014年山东烟台，10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以
相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE
与DF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成
立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）
（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立
吗？请说明理由；
（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，
使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．
考点：四边形的综合知识
分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，
∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以
△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+
∠ADF=90°，所以AE⊥DF；
（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角
相等可得AE⊥DF；
（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的
中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得
OC的长，再求CP即可．
解：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；
（2）是；
（3）成立．
理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF
延长FD交AE于点G，
则∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°．
∴AE⊥DF；
（4）如图：
由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△ODC中，OC= ，
∴CP=OC﹣OP= ．
点评：本题主要考查了四边形的综合知识．综合性较强，特别是第（4）题要认真分析．
26．（2014年山东烟台，12分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，
x轴上，∠ACB=90°，OA= ，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2， ），与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；
（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．
考点：待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，对称轴的性质，解三角函数分析：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．
（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD∽△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然
后得出结论．
（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求
得结果．
解：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得 =a×22﹣2a﹣a，解得a= ，
∴抛物线的表达式为y= x2﹣ x﹣ ．
（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°
∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCF=90°，∴∠ACO=∠CBF，
∵∠AOC=∠CFB=90°，∴△AOC∽△CFB，∴ = ，
设OC=m，则CF=2﹣m，则有 = ，解得m=m=1，∴OC=OF=1，
当x=0时y=﹣ ，∴OD= ，∴BF=OD，
∵∠DOC=∠BFC=90°，∴△OCD∽△FCB，∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，
∴点B、C、D在同一直线上，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．
（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则 ，
解得k=﹣ ，
∴y=﹣ x+ ，代入抛物线的表达式﹣ x+ = x2﹣ x﹣ ．
解得x=2或x=﹣2，
当x=﹣2时y=﹣ x+ =﹣ ×（﹣2）+ = ，
∴点E的坐标为（﹣2， ），∵tan∠EDG= = = ，
∴∠EDG=30°∵tan∠OAC= = = ，∴∠OAC=30°，
∴∠OAC=∠EDG，∴ED∥AC．点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解
三角函数等知识的理解和掌握．
