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2024 年中考第三次模拟考试（湖南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列实数中，最大的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反
而小．先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴最大的数是 ．
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算：涉及同类项的合并，积的乘方，同底数幂相除，完全平方公式，根
据相关内容性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 ，故该选项是错误的；
B、 ，故该选项是错误的；
C、 ，故该选项是正确的；
D、 ，故该选项是错误的；故选：C
3．下列图标是第十九届杭州亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
根据轴对称概念可知，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，据此
分析解答．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲
中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用
科学记数法表示成元，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于等于10的数表示成 的形式（a大于或等于1
且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可求解．
【详解】解：972亿 ，
故选：C．
5．如图，直线 ，点 在直线n上，点B在直线m上，连接 ，过点A作 ，交直线m于
点C．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内
错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出 ，结合
已知条件即可求出 的度数．
【详解】解：如图所示，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
故选：C．
6．3、6、 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】C
【分析】先根据三角形三边的关系求出 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：∵3、6、 是某三角形三边的长，
，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是先根据题意求出 的范围，再对二次根式化
简．7．关于x的一元二次方程方程 有两个不相等的实数解，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两
个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．根据判别式的意
义得到 ，然后解不等式即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
解得 ．
故选：D
8．下列函数的图像在每一个象限内，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、由 得到，在每个象限内，y随x的增大而增大，故该项错误，不符合题意；
B、由 ，对称轴左侧，y随x的增大而减小，对称轴的右侧，y随x的增大而增大，故该项不正
确，不符合题意；
C、由 ，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故该项正确，符合题意；
D、由 ，得到y随x的增大而增大，故该项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的增减性，熟练掌握函数的增减性是解题的关
键．
9．马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似
地看作扇环 （ 和 的圆心为点O），A为 的中点， ，则该马面裙裙面
（阴影部分）的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查阴影部分面积求解，解题的关键是熟知扇形的面积公式．
【详解】解：∵ ， ，A为 的中点，
∴ 为等边三角形， ，
∴ ，
∴ ；
故选B
10．如图，小明站在原点处，从离地面高度为 的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至
点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线
的解析式为 ，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，
如果在地上摆放一个底面半径为 ，高为 的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为 米，若要弹
力球从B点弹起后落入筐内，则 的值可以是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．8
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角
坐标系是解题的关键，根据点 的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点 的坐标，再根
据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为 ，可求
出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时， 的值，进而得到 的取值范围，从而得到答案．
【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为 ，且过点 ，代
入解析式中得： ，
，
∴
解析式为： ，
∴
当 时， 的最大值为 ，
令 ，则 ，
解得： ，
，
∴
B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，
∵
其最大高度为： ，
∴
弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
∵
设处着地后弹起的抛物线解析式为： ，
将点 代入该解析式得： ，
解得： ，
该抛物线的解析式为： ，
∴
对称轴为： ，
∴
点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
∵
圆柱形的高为 ，
∵当 时，则 ，
解得： 或 （舍去），
当弹力球恰好砸中筐的最左端时， ，
∴
筐的底面半径为 ，直径为 ，，
∵
当弹力球恰好砸中筐的最右端时， ，
∴
，
∴
选项B， 满足，
∴故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得 ，即可求解．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．分解因式： .
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，首先提公因式 ，再根据平方差公式进行分解即可，解题的关键是掌
握提公因式法和公式分解法因式分解．
【详解】解： ，故答案为： ．
13．一元二次方程 的两个实数根分别为 ，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题
是一种经常使用的解题方法．根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，再把
通分变形，再代入数值计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案是： ．
14．如图， 是 的直径， 与 相切于点 的延长线交 于点 ，则 的
度数是 ．
【答案】 /26度
【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解： 是 的直径， 与 相切于点A，
，
，， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．
15．如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心，适当长为半径作弧分别交 ，
于点 ， ，分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于
点 ，作射线 ，交 于点 ，则 到 的距离为 ．
【答案】 /
【分析】
过点 作 于 ，由勾股定理可求得 ，由题意可证明 ，则可得
，从而有 ，在 中，由勾股定理建立方程即可求得结果．
【详解】解：过点 作 于 ，如图，
由勾股定理可求得 ，
由题中作图知， 平分 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得： ，解得： ，即 的长为为 ；
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，
利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键．
16．某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成
绩（百分制）如下表：如果按创新性占 ，实用性占 计算总成绩，那么甲、乙、丙、丁中应推荐的
作品是 ．
项目作品 甲 乙 丙 丁
创新性
实用性
【答案】乙
【分析】首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出四人的平均成绩各是多少；然后比较大小，判
断出谁的平均成绩最高，即可判断出应推荐谁．
【详解】解：甲的平均成绩 （分），
乙的平均成绩 （分），
丙的平均成绩 （分），
丁的平均成绩 （分），
∵ ，
∴乙的平均成绩最高，
∴应推荐乙．
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了加权平均数的含义和求法，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键．
17．如图，点M是反比例函数 图像上的一点，过点M作 轴于点N，点P在y轴上，若
的面积是2，则 ．【答案】
【分析】设 ，可求 ， ， 由 ，即可求解．
【详解】解：设 ，
轴， ， ， 轴，
，解得： ，
在 上， ，故答案： ．
【点睛】本题主要考查了在反比例函数中利用面积求 ，掌握解法是解题的关键．
18．阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）， ，
是弧 的中点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ．请应
用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边 内接于 ， ， 为 上一点，
， 于点 ，则 的周长是 ．
【答案】 /
【分析】根据等边三角形的性质可得点 是弧 的中点，则可用阿基米德折弦定理得，，根据 中， ， 于点 ，可得 是等腰直角三角形，可
求出 的长，即 的长，根据 的周长的计算方法即可求解．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ 外接圆 中， ，即点 是弧 的中点，且 于点 ，
∴根据阿基米德折弦定理得， ，
∵ 中， ， 于点 ，且 ，
∴ ， ，即 是等腰直角三角形，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查定义新运算，等边三角形的性质，圆的基础知识，等腰直角三角形的性质，几
何图形的周长的计算方法等知识，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10
分，第26题12分，共66分）
19．先化简，再求值： ，其中 是满足条件 的合适的正整数解．
【详解】解：原式，
，
，
又 是满足条件 的合适的正整数解，
，
则原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
20．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是积极落实节能环保的重大举措，某校学生开
展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，已知测倾器的高度为 米，在测点A
处安置测倾器，测得点M的仰角 ，在与点A相距 米的测点D处安置测倾器，测得点
M的仰角 （点A，D与点N在一条直线上），求电池板离地面的高度 的长．（结果
精确到 米，参考数据： ， ， ）
【详解】解：过E作 于F，连接 ，设 米，
∵ ，
∴四边形 ，四边形 均是矩形，
∴ 米， 米，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴解得 米，
经检验 是原方程的解，且符合题意，
∴ 米．
答：电池板离地面的高度 的长为 米．
【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，分式方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，
简单方程是解题关键．
21．如图，反比例函数 的图像与一次函数 的图像交于 ， 两点，且一次函数
图像交 轴于点A．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)求 的面积．
【详解】（1）将点 代入 得：
，
，
反比例函数解析式为 ；
将点 ， 代入一次函数 得：
，解得 ，
一次函数解析式为 ；
（2）将 代入一次函数解析式为 得：
，
，
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点和不规则三角形面积，函数图像上的点可带入解析式求
解参数，计算不规则图形面积通常采用割补法．
22．荷塘区教育局开展中小学“与阅读同行伴书香成长”阅读活动，某校组织对全校八年级“大阅读”五
星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分情况（积分为整数）进行分析：
【收集数据】20名学生的“大阅读”积分如下（单位：分）：
32 43 34 35 15 56 48 24 45 10 25 40 59 42 55 30 47 28 37 42
【整理数据】请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整
积分/分 星级 频数
红 2
橙 3
黄 5
绿
青
根据以上数据可制成不完整的频数分布直方图．(1)填空： ____________， _____________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)【得出结论】估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数．
(4)已知该校八年级学生小明的积分为 分，是绿星级；小红的积分为 分，是青星级．如果俩人的积
分与上述20名学生的积分都不一样，那么 的最大值是_________．
【详解】（1）解：由样本数据得 的有7人， 的有3人，则 ， ，
故答案为：7；3；
（2）解：由（1）中 ， ，补全频数分布直方图如下：
（3）解：样本中，积分在绿星级以上的人数，占抽样人数的 ，
（人 ，
答：估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数约为300人；
（4）解：俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，由题意知， 的最大值为58， 的最小值为
41，
的最大值为 ，
故答案为：17．
【点睛】本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认
真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23．阳光营养餐公司为学生提供的 早餐食品中，蛋白质总含量占 ％，包括一份牛奶，一份谷物食品
和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为 ，谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见下表：
项目 谷物（每 ） 牛奶（每 ） 鸡蛋（每 ）
蛋白质（ ）脂肪（ ）
碳水化合物（
）
(1)求每份该种早餐中谷物食品和牛奶各多少g？
(2)该公司为学生提供的午餐有 、 两种套餐（每天只提供一种），见下表：
套餐 主食 肉类 其他
为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生主食的摄入量不超过
，肉类摄入量不超过 ，每个学生一周内午餐可以选择 、 套餐各几天（一周按 天计算）？
【详解】（1）解：设每份该种早餐中谷物食品有 ，牛奶有 ．依题意，列方程组为
，
解得 ，
∴ ， ，
答：每份该种早餐中谷物食品有 ，牛奶 。
（2）解：设每个一周里共有 天选择 套餐，则有 天选择 套餐．
依题意，得 ．
解得 ．
∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴每个学生一周内午餐可以选择 套餐 天，选择 套餐 天；或每个学生一周内午餐可以选择 套
餐 天，选择 套餐 天.
24．如图点 是正方形 中 边上一点，将 沿 翻折得到 ，使点 落在点 处，延长
与 边交于点 ，直线 与 交于点 ．(1)如图①，求证： ；
(2)如图②，若直线 与 的延长线交于点 求证： ；
(3)如图③，若直线 与 、 的延长线分别交于点 、 ， 交 于点 求证： ．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用
这些性质解决问题是解题的关键．
25．如图，在 中， ， ，以 为直径的 交 于点 ， 交 的延长
线于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且 ， ．
(1)请判断线段 和 的大小关系，并说明理由．
(2)求 的值．
(3)若点 从点 匀速运动到点 时，点 恰好从点 匀速运动到点 ，记 ， ．
①求 关于 的函数表达式．
②当点 运动到半径 上时，若射线 交 于点 ，点 恰好为 ， ， 其中两点之间的弧
的中点，请求出所有满足条件的 的值．【详解】（1）解：线段 和 的大小关系为： ．理由：
，
，
，
．
，
， ，
，
；
（2）连接 ，如图，
，
设 ，则 ， ．
为 的直径，
．
，
，
，
，
，
，
．
；（3）①由（1）知： ，
．
，
，
．
点 从点 匀速运动到点 时，点 恰好从点 匀速运动到点 ，
，
，
．
， ，
，
，
，
．
， ，
．
关于 的函数表达式为： ；
②当点 为 的中点时，
连接 ， 交 于点 ，如图，点 为 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ．
为 的直径， ，
．
，
， ．
，
，
，
，
解得： （负数不合题意，舍去），
．
当点 为 的中点时，
连接 ，如图，点 为 的中点，
，
，
，
，
，
由题意得： ， ， ．
，
解得： 或 （负数不合题意，舍去），
．
综上，所有满足条件的 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，直角三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的
判定与性质，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，分类讨论的思想方法，本题是动点问
题，依据题意画出符合条件的图形是解题的关键．
26．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．
(1)若点 是一次函数 的图象上的“梅岭点”，则 ________；若点 是函数
的图象上的“梅岭点”，则 ________；
(2)若点 是二次函数 的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；(3)若二次函数 是常数， 的图象过点 ，且图象上存在两个不同的“梅岭
点” ， ，且满足 ， ，如果 ，求 的取值范围．
【详解】（1）解： 点 是一次函数 的图象上的“梅岭点”，
， ， ，解得： ；
点 是函数 的图象上的“梅岭点”， ，
整理得： ，
解得： ， ，
经检验： ， ，是此方程的根；
或 ；
故答案： ； 或 ．
（2）解： 点 是二次函数 的图象上唯一的“梅岭点”，
二次函数 与直线 有唯一的交点 ，
方程 的根为： ，
即： ， ，解得： ，
二次函数的表达式 ．
（3）解： 二次函数 的图象过点 ，
， ，
图象上存在两个不同的“梅岭点” ， ，
， ，， ，
、 是方程 的根， ，
， ，
，
整理得： ，
，
，
， 或 ， 或 ，
， 或 ，
解得： 或 ，
， ，
， ， ，
当 时， 随着 的增大而减小，
当 时， ，
．
【点睛】本题考查了次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数
的关系，不等式性质等知识点，熟练掌握根与系数关系，理解应用新定义“梅岭点”是解题的关键．
