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2024 年中考第二次模拟考试（湖南省卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查相反数的定义，根据相反数定义直接求解即可得到答案，熟记相反数定义是解决问题的关键．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：D．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
是轴对称图形，
故选：D．
3．2023年全国粮食播种面积17.85亿亩，比上年增加954.6万亩，增长0.5%．将数据“17.85亿”用科学
记数法表示为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值 时，n是正整数；当原数的绝对值 时，n是负整数．
【详解】解：数据“17.85亿”用科学记数法表示为 ．
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，单项式的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法
则的掌握．利用相关法则对各项进行判定即可．
【详解】解：选项A： ，正确，
选项B： ，故错误，不符合题意，
选项C： ，故错误，不符合题意，
选项D： ，故错误，不符合题意，
故选：A
5．如图， 是 的平分线，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行线的性质可得 ， ，再由角平分线的定义可得 ，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
6．如图，在 中， ，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 于点M，N，再分别
以M，N为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点O，作射线 ，交 于点E．已知 ，
， 的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【分析】
本题考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图．作 ，由题意可知 平分 ，故可得
，即可求解 的面积．
【详解】解：过点E作 ，如图所示：
由题意可知： 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
故选：B7．古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数
字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是（ ）
A．中位数为1
B．从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大
C．众数是1
D．平均数为
【答案】A
【分析】
本题主要考查了求中位数，求众数，求平均数以及简单的概率计算，根据中位数的和众数的定义即可判断
AC；根据平均数的计算公式即可判断D；分别求出从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的
概率和取得偶数的概率即可判断B．
【详解】解：A、把这组数据从小到大排列为：1，1，1，4，4，5，处在最中间的两个数为1，4，则中位
数为 ，原说法错误，符合题意；
B、∵一共有6个数，其中4个是奇数，2个是偶数，
∴从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数抽到奇数的概率为 ，抽到偶数的概率为 ，
∵ ，
∴从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大，原说法正确，不符合题意；
C、∵数字1出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是1，原说法正确，不符合题意；
D、平均数为 ，原说法正确，不符合题意；
故选：A．
8．今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排
练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的
概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B【分析】
根据概率公式，即可解答．
【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田
野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，
故选到前两首的概率是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．
9．如图，在矩形 中， ．对角线 与 相交于点 ， ，垂足为 ， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】
本题考查了矩形的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．设 ，则
，先在 和 中，利用勾股定理可得 和 ，再在 中，利用
勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵ ，
∴设 ，则 ，
∵四边形 是矩形， ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，即 ，解得 ，
，
则 或 （不符合题意，舍去），
故选：D．
10．若三条长度分别为 ， ， 的线段能构成三角形，我们就把 称为三角数组，已知 是三
角数组，则下列说法正确的是（ ）
① 一定是三角数组；② 不一定是三角数组；
③ 一定是三角数组；④ 不一定是三角数组；
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】 ，且 ，先证明 ，即可证明 ，由此即可判断①②；
根据 是一个三角数组， 不是一个三角数组即可判断③④．
【详解】解：∵ 是三角数组，
∴可设 ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 一定是三角数组，故①正确，②不正确；
∵ 是一个三角数组， ，
∴ 不是一个三角数组，∴当 是三角数组时， 不一定是三角数组，故③错误，④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，实数比较大小，正确理解题意是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
解：根据题意得：
，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是理解二次根式有意义，即被开方数大于或等于0．
12．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．利用提公因式法和公式法
进行因式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
13．不等式组 的解集是 ．【答案】 /
【分析】
本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小
小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
14．若关于x的分式方程 有增根，则m的值是 ．
【答案】1
【分析】先将分式方程去分母化为整式方程求出解，再根据分式方程有增根得 ，即可求出答案．
【详解】解：将方程去分母，得 ，
整理，得
∵关于x的分式方程 有增根，
∴
∴
∴
故答案为：1．
【点睛】此题考查了利用分式方程的根的情况求参数，正确掌握分式方程的解法及增根的意义是解题的关
键．
15．设a，b是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到 ，利用根与系数关系得到 ，则 ，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌
握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．
【详解】∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 是 的外接圆，点A，B，O在网格线
的交点上，则 的值是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键．
连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 ，利用勾股定理求解 的长，再
解直角三角形可求解．
【详解】解：连接 并延长交 于点 ，连接 ，
则 ，故答案为： ．
17．如图，反比例函数 的图象经过 对角线的交点 ，已知点 A， ， 在坐标轴上，
， 的面积为16，则 ．
【答案】
【分析】
由平行四边形面积转化为矩形 面积，在得到矩形 面积，应用反比例函数比例系数k的意义即
可．
【详解】
解：如图，过点 做 轴于点 ．
四边形 为平行四边形，
，
又 轴，
为矩形，
，，
为对角线交点， 轴，
四边形 为矩形面积为8，
即 ，
设 点坐标为 ，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等
是解题的关键．
18．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的
直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：
；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，
弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是 ．
【答案】
【分析】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），根据所给
的二组数找规律可得结论．
【详解】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一
条直角边 ，弦 ．
则弦为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10
分，第26题12分，共66分）19．计算： ．
【答案】
【分析】
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂与零指
数幂的运算法则；根据绝对值化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂与零指数幂的运算法则解题即可．
【详解】解：
．
20．先化简，后计算： ，其中 是满足条件 的合适的非负整数．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了分式的运算，化简求值，先通分计算分式的加减，再将除法变为乘法计算并化为
最简，最后选择适合的数值代入计算即可．
【详解】原式 ，
．
根据题意可知 1，0， ，
将 代入，原式 ．
21．如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点
在同一水平线上，经过测量，支架的立柱 与地面 垂直 ， 米，支撑杆
于点 且 ，从点 观测点 的仰角为 ，又测得 米．(1)求该支架的边 的长；
(2)求支架的边 的顶端点 到地面 的距离 ．（结果保留根号）
【答案】(1)该支架的边 的长为 米；
(2)
【分析】
（1）在 中， ，根据已知可得 ，即可求解．
（2）由 代入数据求得 ，进而根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 是直角三角形，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
即该支架的边 的长为 米；（2）
根据已知可得，在 ，中 ，且 ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
在矩形 中， ，
∴ 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
22．4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学
生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．
(1)n＝ ，补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“70﹣80”这组的扇形圆心角为 °；
(3)若成绩达到80分以上为优秀，请你估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的
学生人数．
【答案】(1)50，图见解析
(2)72
(3)672
【分析】（1）根据80～90的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后即可计算出90～
100这一组的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整；（2）根据（1）中的结果，可以计算出70﹣80所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据直方图中的数据，可以估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生
人数．
【详解】（1）本次调查共抽测了 名学生，
90～100的学生有： 人），
补全的频数分布直方图如图所示：
故答案为：50．
（2）70﹣80所对应的扇形圆心角的度数是 ，
故答案为：72．
（3）估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数为
（名）．
答：相关知识了解情况为优秀的学生672人．
【点睛】本题考查了样本容量计算，条形统计图的完善，圆心角的计算，样本估计总体，熟练掌握样本容
量计算，圆心角的计算，样本估计总体是解题的关键．
23．为了培育“一镇一特，一村一品”，加快农民脱贫致富步伐．近年来，长沙某镇依托地域优势创办了
优质葡萄种植基地，该基地对外销售种植的A，B两种不同品种的葡萄，A品种葡萄每千克的售价比B品种
葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元．
(1)问葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是多少元？
(2)某超市计划从葡萄种植基地购进400千克葡萄，其中A品种葡萄不少于80千克，且总费用不超过3600
元，超市对购进的葡萄进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A品种葡萄多少包时，所获总
利润最大？最大总利润为多少元？葡萄品种 A品种 B品种
每包中葡萄重量（千克） 1 2
售价（元/包） 18 20
每个包装盒的成本（元） 3 2
【答案】(1)A，B两种葡萄每千克的售价各是12元，8元．
(2)当包装A品种葡萄100包时，所获总利润最大，最大总利润为 元
【分析】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
（1）设葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是x元，y元，根据“A品种葡萄每千克的售价
比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元．”列方程组并
解方程组即可；
（2）设包装A品种葡萄m包，则包装B品种葡萄 包，设总利润为w元，列不等式组求出m的取值
范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）
解：设葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是x元，y元，根据题意，得
，
解得
答：A，B两种葡萄每千克的售价各是12元，8元．
（2）设包装A品种葡萄m包，则包装B品种葡萄 包，设总利润为w元，
则 ，解得 ，
总利润 ，
∵ ，
∴w随着m的增大而增大，
∵ ，∴当 时，得到最大值 ，
∴当包装A品种葡萄100包时，所获总利润最大，最大总利润为 元
24．如图，已知 的内接锐角三角形 中， 、 、 所对的边分别记作 ， ， ．
(1)如图①，若在直径 的延长线上取一点 ，使 ，求证： 是 的切线；
(2)如图①，在（1）的条件下，若 ， ，求 的长度；
(3)如图②，若设 的半径为 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）如图①，连接 ，由 是直径，可得 ，证明 ，则
，即 ，由 ，可得 ，则 ，
即 ，进而结论得证；
（2）设 ，则 ， ，由 ，可得 ，即 ，解
得 ， （舍去），则 ， ， ，在 中，由勾股定理得
，即 ，计算求解满足要求的 值即可；
（3）证明：如图②，连接 并延长交 于 ，连接 ，由 知， ，则，即 ，连接 并延长交 于 ，连接 ，连接 并延长交
于 ，连接 ，同理可证 ， ，进而结论得证．
【详解】（1）证明：如图①，连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得 ， （舍去），
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，解得 ， （舍去），
∴ 的长度为 ；
（3）证明：如图②，连接 并延长交 于 ，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
如图②，连接 并延长交 于 ，连接 ，则 ，同理可得 ，
即 ，
如图②，连接 并延长交 于 ，连接 ，则 ，同理可得 ，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，切线的判
定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．
(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是________；
A．平行四边形；B．矩形；C．正方形；D．菱形
(2)如图1，在边长为a的正方形 中，E为 边上一动点（E不与C、D重合）， 交 于点F，过F作 交 于点H．
①试判断四边形 是否为“等补四边形”并说明理由；
②如图2，连接 ，求 的周长；
③若四边形 是“等补四边形”，求 的长．
【答案】(1)C
(2)①四边形 是等补四边形，见解析；② ；③ 或者
【分析】（1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四
边形的定义，即可得到问题的答案；
（2）①先证A、B、H、F四点共圆，利用圆周角定理可得 ，进而求出
，利用等角对等边得出 ，最后利用“等补四边形”的定义即可证明；
②将 绕A点逆时针旋转 得到 ，证明 ，再证 ，得出
，即可求出 的周长；
③根据 ，四边形 是“等补四边形”可得四边形 有一组邻边相等，然后分
、 、 、 四种情况讨论即可．
【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，
∴正方形是等补四边形，
故选：D．
（2）解：①四边形 是“等补四边形”，理由如下：
∵ 为正方形 的对角线，
∴ ，
又 ， ，
∴A、B、H、F四点共圆，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是“等补四边形”．
②将 绕A点逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴E、D、L三点共线，
由①得 ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，∴ 的周长 ；
③∵ ，四边形ECHF是“等补四边形”，
∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论：
情况1： ，
连接 ，
由题意知∶ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
则 为正三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
情况2： ，则 ，
∴ ，
同情况1， ；
情况3： ，由②得 的周长 ．
设 ，则 ，有 ，
∴ ，
即 ；情况4： ，
连接 ，
则 ，
则HF垂直平分AE，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，这不可能，故这种情况不存在．
综上： 或者 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判
定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
26．我们定义：对于一个函数，如果自变量 与函数值 ，满足：若 ，则 （ 为实
数），我们称这个函数在 上是同步函数．比如：函数 在 上是同步函数．理由：
， ， ，得 ， 是同步函数．
(1)若函数 在 上是同步函数，求 的值；
(2)已知反比例函数 在 上是同步函数，求 的值；(3)若抛物线 在 上是同步函数，且在 上的最小值为 ，设抛物
线与直线 交于 ， 点，与 轴相交于 点．若 的内心为 ，外心为 ，试求 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据同步函数的定义和一次函数的增减性可得答案；
（2）根据反比例函数的增减性可知， 时， ，从而得出答案；
（3）由 ， ，得 ，则抛物线 在 上是递增的，可知
时， ，且最小值为 ，得出抛物线的解析式，从而得出点 、 、 的坐标，设 ，根据
，可得 的坐标，再利用面积法求出点 的坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：函数 在 上是同步函数，且函数 是递减函数，
∴ ， ，当 时， ；当 时， ；
，
．
（2）解：∵反比例函数 在 上是同步函数，
∴ ， ，
反比例函数 在 或 上是递减的，
当 时， 取最大值，当 ， 取最小值，
，
．（3）解：抛物线的顶点式为 ，顶点坐标为 ，
， ，
，
抛物线 在 上是递增的，
当 时，取最小值，
，解得， ，
抛物线的函数表达式为 ，
抛物线与直线 相交于 、 两点，设 ， ，
假设 点在 点的左侧，即 ，
，解得， ， ，
在 中， ， ， ，
， ， ，
外心 在线段 的垂直平分线上，设 ，则 ，，解得， ，
，
在 中，根据内心的性质，设内心 到各边距离为 ，得 ，
，
∵ 是等腰三角形， 轴为 的角平分线，
内心 在 轴上，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内
心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出 的顶点坐标是解题的关键．
