文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（湖南长沙卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D D B B D A C C B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13．
14． /
15．
16．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9
分，第24、25每题10分，共72分）
17．
【详解】解：
18．【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，原式 ．
19．
【详解】（1）解：由题意得： 米， 米， ， ，
∵ 是 的一个外角， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
在 中， （米），
∴ （米），
∴长沙第一高楼国金大厦的高度 为452米；
（2）由题意得： ，
在 中， 米，
∴ （米），
∴ 米，
∴小明还要走 米才能到达国金大厦．
20．
【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵E是 的中点，∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，即 ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵E是 的中点， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ．
21．
【详解】（1）参赛学生共有 （人），
即这次抽样调查的样本容量为 ，
故答案为：
（2）成绩在 等级的学生人数为 （人），
即
，
故答案为： ，
补全频数分布直方图如下：（3） （人）
答：估计全校学生成绩为“优”等的学生有 人．
22．
【详解】（1）解：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图所示，
则 ， ， ，
， ， 是等边三角形 的捷线，
故答案为：3；
（2）证明： ， ，
，
，
，
是 的“捷线”；
（3）解：设 是 的内心，连接 ，
则 平分 ，
是 的捷线，
与 相似，
分两种情况：①当 时， ，
， ， ，
，
作 于点 ，如图所示，则 ， 是 的内切圆半径，
，
平分 ，
，
，
，
即 ，
，
，
，
，
即 ，
，
②当 时，
， ，
同理可得 ，
综上： ．
23．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴a的值为100；（2）解：①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，
由题意得： ，其中 ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∴当 时，y的最大值 ，
答：销售完这两种茶叶的最大利润为41000元；
②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，
∴当 时，y的最小值 ，
解得： ，
∴m的最大值为40．
24．
【详解】（1）∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的切线，
∴ ,
∴ ，
∴ ；（2）∵ ， ，
∴ ，
过点E作 ，交 延长线于点G，则 ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
25．
【详解】（1）解： ∵ 与 有且只有一个交点 ，∴这两个函数是“亲密函数”，
故答案为： ；
∵ 与 没有交点，
∴这两个函数不是“亲密函数”，
故答案为： ；
∵ 与 有且只有一个交点 ，
∴这两个函数是“亲密函数”，
故答案为： ；
（2）解：∵一次函数 与反比例函数 (其中 为常数， )是“亲密函数”，
∴方程 有且只有一个实数根，
∴ 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ 或 ，
当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∵“密接点” 到原点的距离等于 ，
∴ ，
解得 或 (不合，舍去)，
∴ ；
当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∵“密接点” 到原点的距离等于 ，∴ ，
解得 或 (不合，舍去)，
∴ ；
综上， 的值为 或 ；
（3）解： ．
证明：设直线 ，直线 ，
∵两条直线 与 都是二次函数 的“亲密函数”，且“密接点”分别为 ，
∴ ，
即 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可得 ， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ， ，
得，
，
∴ ，令 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
