文档内容
2024 年中考第三次模拟考试(盐城卷)
数 学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的）
1．在0、 、 、3这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】B
【分析】解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数
比较大小，绝对值大的其值反而小．
根据“负数 0 正数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小”可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ 最小，
故选：B．
2．如图图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对
称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫
做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、 利用二次根式的性质化简，同底数幂相乘，据此相关性质
内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
B、 ，故该选项是错误的；
C、 ，故该选项是错误的；
D、 ，故该选项是正确的；
故选：D．
4．如图，A、B、C、D是平面内四点， 若 ， ， ，则线段 的长度可能是
（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查两点间的距离及三角形三边关系，掌握构成三角形的条件是解题的关键．分别在
和 中根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式组并求解即可．【详解】解：在 中， ，即：
在 中， ，即： ，
∴ ，
各个选项中满足条件的只有4，
故选：B．
5．机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型 工业纳
米机器人，其大小仅约 纳米．已知1纳米 米，则 纳米用科学记数法表示为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米．
【答案】A
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确
定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．熟知科学记数法的表示方法是关键．
【详解】解：∵1纳米 米，
∴ 纳米 米
故选∶A．
6．如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为 ，且三角尺的面积为 ，
则投影三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为 ，再得出投影三角形的
面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为 ，对应边的比为 ，则面积比为 ，即可得出投影三角形的面积．
【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为 ，三角尺的面积为 ，
∴投影三角形的面积为 ．
故选：B．
7．如图， ，以 的顶点 为圆心，直角边 为半径画弧，与斜边 交于点 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质，由 得到
，进而由 得到 ，再利用邻补角互补即可求解，掌握等腰三角形的性
质是解题的关键．
【详解】解：由题意可得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
8．如图，在 中， ， ， ，边长为 的正方形 从点 出发，沿射
线 运动．当点 与点 重合时，运动停止．设 ，正方形 与 的重叠面积为 ， 关于
的图象如图所示．下列结论：
① ， ， ， ， ；②当 时， ；③在运动过程中， 的
最大值为 ．其中正确的是（ ）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数关系式，动点问题，解直角三角形，解题的关键是找出运动过程的边界点．
分情况讨论，求出 ， ， ， 时， 与 的关系即可求解．
【详解】解：画出运动过程中草图如下：
；临界点为B与G重合时；
；临界点为 与 重合时；
；临界点为D与C重合时；时，临界点为F与A重合时；
时，临界点为G与C重合，此时运动停止．
经过计算可知，S与x的关系式如下（部分未化简）：
由上 ， ， ， ， 成立，故①正确；
当 时，如下图所示， ，符合，故②正确；
由图像可知，在 时取到最大值．化简前式使用顶点公式可知，最大值为 ，显然与③
不符，故③错误；
综上，①②正确，
故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
9．要使分式 有意义，则 的取值范围是 .
【答案】 ，且
【分析】本题考查分式有意义的条件、解不等式，平方根的定义，等知识，由分式有意义的条件得到
，求解即可得到答案，熟记不等式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解： 要使分式 有意义，
，解得 ，且 ，
故答案为： ，且 ．
10．如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采
取了以下办法：用一个长为 ，宽为 的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域
内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统
计图．由此他可以估计不规则图案的面积为
．
【答案】2.1
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的
概率约为0.35．根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为 ，再根
据几何概率可得：不规则图案的面积 长方形的面积 小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为 ，
设不规则图案的面积为 ，则 ，
解得： ，
不规则图案的面积约为 ，
故答案为：2.1．
11．如图，在 中， ， 是 的中线，点E，F分别是 ， 的中点，连接
，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质；
先根据三角形中位线定理可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案．
【详解】解：∵点E，F分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， 是 的中线，
∴ ，
故答案为： ．
12．已知一个正 边形的内角和与外角和的差为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，解一元一次方程，根据多边形的内角和公式
，外角和等于 列出方程求解即可，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的
外角和都是 是解题的关键．
【详解】解：由题知，正 边形的内角和为 ，正 边形的外角和为 ，
又∵正 边形的内角和与外角和的差为 ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
13．“让孩子变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读、阅读、再阅读”. 某学校坚持开展
阅读活动，学生人均阅读量从 年的 万字，增加到 年的 万字，则该校人均阅读量年均增长
率为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了一元二次方程的增长率问题：设该校人均阅读量年均增长率为 ，根据“学生人均阅读量从
年的 万字，增加到 年的 万字” ，列式 ，即可作答．
【详解】解：设该校人均阅读量年均增长率为 ，
∵学生人均阅读量从 年的 万字，增加到 年的 万字
∴ ，解得 ，负值已舍去
则该校人均阅读量年均增长率为
故答案为：
14．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在
中，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，将 分割后可
拼接成矩形 ．若 ，则 的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，由四边形 是矩
形，得 ， ，从而可证 ， ，根据面积和差得到
，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
同理可证： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
，
，
∴ ，
故答案为： ．
15．如图，在正方形 中，边 ，点 ， 分别是边 ， 的中点，某一时刻，动点 从点
出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点 出发，沿 方向
以每秒1个单位长度的速度向点 匀速运动，其中一点运动到正方形顶点时，两点同时停止运动，连接
，过点 作 的垂线，垂足为 ．在这一运动过程中，点 所经过的路径长是 ．【答案】
【分析】连接 交 于P，连接 ，根据正方形的判定与性质证明四边形 是矩形，求得
，再证明 求得 ，进而利用勾股定理求得 ，由 得知点H在
为直径的圆上，设圆心为O，当点E与M重合时，点H在点N处，当点E与A重合时，点H在点P处，
可得点H的运动轨迹为 ， 利用等腰直角三角形性质和圆周角定理求得 ，进而利
用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接 交 于P，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵点M、N分别是边 、 的中点， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
又 ，
∴ ，
动点 从点 出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点 出发，
沿 方向以每秒1个单位长度的速度向点 匀速运动，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，则 ，
∴点H在 为直径的圆上，设圆心为O，
当当点E与M重合时，点H在点N处，当点E与A重合时，点H在点P处，则点H的运动轨迹为 ，
，
，
∴ ，
则点H所经过的路径长是 ，
故答案为： ．
16．如图，反比例函数 的图形过点A，反比例函数 的图象与直线 交于点B，C，已知
，则 ；过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数 的图象于点D
和E，连接 交y轴于G，连接 交x轴于点F，当 的面积为1时， ．【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何综合，求一次函数解析式，三角形面积的计算，相似三角形的
判定与性质，延长 交x轴于点N，过点B作 轴于点M，证明 ，得出
，求出 ，设点 且 ，则 ， ，求出点B的坐标，从而得
出点C的坐标，求出直线 的解析式，得出 ，求出直线 的解析式，得出 ，根据面积列式求解
即可得到答案；
【详解】解：延长 交x轴于点N，过点B作 轴于点M，如图所示，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
设点 且 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 点坐标为
∵ 、 两点是正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点，
∴ 与 关于原点对称，
∴ 点坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得，
，解得： ，
∴ 的解析式为： ，
把 代入得， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得，
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
把 代入得 ，，解得： ，
∴ ，
∵ 的面积为1，
∴ ，
即： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的
三角函数值进行计算即可．
【详解】解：
．
18．（6分）解不等式组： ，并写出它的所有负整数解．【答案】 ，它的负整数解是
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先
分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找
出其中的负整数即可．
【详解】解： ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
原不等式组的解集是
它的负整数解是 ．
19．（8分）先化简，再求值： ，其中 是方程 的根．
【答案】 ，4
【分析】本题考查的是分式的化简求值，解一元二次方程，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程 的根求出x的值，把x的值代
入进行计算即可．
【详解】解：
∵x是方程 的根，
∴解得： ， ，
∵x不能取 ，
∴当 时，原式 ．20．（8分）花钿（diàn）是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，在唐代比较流行．王欣
和张敏都是汉服妆造爱好者，两人买了四种不同的花钿（如图所示），由于每个花钿都很漂亮，一时不知
道该选哪个来装扮，因此用抽卡片的方式来决定，将这四种花钿分别画在四张背面完全相同的不透明卡片
上（卡片大小、形状、质地均相同），将背面朝上洗匀，王欣先从这四张卡片中随机选择一张不放回．
(1)王欣选中的花钿恰好是 的概率是______；
(2)张敏将剩下的三张卡片洗匀后，再从这三张卡片中随机选择一张，请用列表或画树状图的方法求两人选
择的花钿恰好是 和 的概率．（不分先后顺序）
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）直接利用概率公式进行计算即可；
（ ）画出树状图，利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：∵一共有 、 、 、 四种花钿，
∴选中的花钿恰好是 的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解：根据题意画树状图如下：
共有 种等可能的结果，恰好是 和 的结果数为 种，
∴两人选择的花钿恰好是 和 的概率 ．
21．（8分）如图，在平行四边形 中，E是 边上一点．
(1)过点E作 的平行线 ，交 于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，求证： ．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在 上截取 ，结合 可得四边形 是平行四边形，则 ；
（2）根据平行线的性质得出 ， ，即可证明 ．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ．
22．（10分）为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某市教育部门对友谊中学九年级部分
学生每天完成作业所用的时间进行调查，根据图中信息解答下列问题：
(1)本次共调查了 名学生．
(2)本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为 ；众数为 ．(3)该校九年级有1700名学生，请你估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有多少
人？
【答案】(1)100
(2)1.5，1.5
(3)306人
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估算整体，
（1）用每天完成作业所用的时间为 小时的人数除以占比，即可求解；
（2）根据条形统计图分析出中位数和众数；
（3）根据样本计算出每天完成作业所用时间为2小时的学生在样本的比例，根据比例估算出九年级学生中，
每天完成作业所用时间为2小时的学生．
【详解】（1）解：本次调查的人数为： （人），
故答案为： ；
（2）完成作业时间为 小时的有： （人），
用 小时的人数最多，
抽查学生完成作业所用时间的众数是 ．
从小到大排列后，第 和 名用时都是 ，
中位数是 ，
故答案为： ， ；
（3）解： ，
（人），
答：九年级学生中，每天完成作业所用时间为 小时的学生约有 人．
23．（10分）【建构模型】
对于两个不等的非零实数 ， ，若分式 的值为零，则 或 ．
又因为 ，
所以关于 的方程 有两个解，分别为 ， ．
【应用模型】
利用上面的结论解答下列问题：
(1)方程 的两个解分别为 ， ，则 ______， ______；(2)关于 的方程 的两个解分别为 ， ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）由题意可得 ， ；
（2）将已知方程变形为 ，则可得 或 ，再求
解即可．
【详解】（1）解：由题意可得 ， ；
（2）解： ，
，
，
或 ，
或 ，
又 ，
， ，
．
24．（10分）如图， 是 的直径，点 是 上的一点， 与 的延长线交于点 ， ，
．
(1)求证： 是 的切线；
(2)过点 作 于点 ，若 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）连接 ，利用等边对等角求得 ， ，利用三角形内角和定理求得
，即可证明 是 的切线；
（ ）利用勾股定理和直角三角形的性质分别求出 及 ，再根据
即可求解；
此题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，不规则图形的面积计算，正确作出辅助线
是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由三角形内角和得，
，
∴ ，
∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：由（ ）得 ，∴ 为直角三角形，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
，
∴图中阴影部分的面积 ．
25．（10分）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10
万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1
台；
(1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加
组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第
40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
x（场） 3 10 25
p（万
10.6 12 14.2
元）
(2)求p与x之间满足的函数关系式；
(3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
(4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)(2) 其中 为正整数
(3)第15场和第35场
(4)第21场获得的利润最大，最大利润为145万元
【分析】（1）根据第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即可解答；
（2）根据题意设出相应的函数表达式，然后通过表格中的数据求出表达式中的未知量即可；
（3）把 分别代入（2）中两个解析式中即可求解；
（4）分别表示出利润的相关函数，再在自变量取值范围内研究哪一场获得的利润最大，最大利润是多少．
【详解】（1）解：∵第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，
∴ 与 的函数关系式为 ．
（2）解：设基本价为 ，
①第1场～第20场， 且 为正整数，
设 与 的函数关系式为 ，
依题意得 ，解得 ，
∴ ．
第21场～第40场，即 且 为正整数时，
设 与 的函数关系式为 ，即 ．
依题意得 ，解得 ，
∴ ，
综上所述， 其中 为正整数；
（3）解：当 时， ，
解得 ；
，解得 ．故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场
（4）解：设每场获得的利润为 （万元）．
当 且 为正整数时，
，
∵在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，
∴当 时， 最大，最大利润为 （万元）．
当 且 为正整数时， ，
∵ 随 的增大而减小，
∴当 时， 最大，最大利润为 （万元），
∵ ，
∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元．
26．（12分）定义：在平面直角坐标系 中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐
标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点 ，
， 中，是矩形 “梦之点”的是___________；
(2)点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标
是___________，直线 的解析式是 ___________．当 时，x的取值范围是___________．(3)如图②，已知点A，B是抛物线 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接 ，
， ，判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ， ， 或
(3) 是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；
（2）把 代入 求出解析式，再求与 的交点即为 ，最后根据函数图象判断当 时，
x的取值范围；
（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出 ， ， ，即可
判断 的形状．
【详解】（1）∵矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，
∴矩形 “梦之点” 满足 ， ，
∴点 ， 是矩形 “梦之点”，点 不是矩形 “梦之点”，
故答案为： ， ；
（2）∵点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，
∴把 代入 得 ，
∴ ，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在直线 上，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，∴直线 的解析式是 ，
函数图象如图：
由图可得，当 时，x的取值范围是 或 ；
故答案为： ， ， 或 ；
（3） 是直角三角形，理由如下：
∵点A，B是抛物线 上的“梦之点”，
∴联立 ，解得 或 ，
∴ ， ，
∵
∴顶点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
27．（14分）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问
题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．(1)问题背景
如图1，正方形 中，点 为 边上一点，连接 ，过点 作 交 边于点 ，将
沿直线 折叠后，点A落在点 处，当 时， ；
如图2，连接 ，当点 恰好落在 上时，其他条件不变，则 ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形 改成矩形 ，且 ，其他条件不变，请写出
与 之间的数量关系式（用含 的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形 改成菱形 ，且 ， ，其他条件不
变，当 时，请直接写出 的长．
【答案】(1) ，2
(2) ，理由见详解
(3)
【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出 ，再根据相似三角形的性
质，得出 和 的关系即可求解；
（2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出 不变，再根据 和 的关系， 和
的关系即可；
（3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出 和 相等，然后根据相似三角形的性质和勾股
定理求出 的长，即为 的长．
【详解】（1）解：（1） ，
，
， ，
由翻折的性质可知， ，
，，
又 ，
，
又 ，
，
，
由翻折的性质可知， ， ，
，
，
四边形 为正方形，
，
，
， ，
，
，
，
，即 ，
故答案为： ，2；
（2） ，理由如下：
由（1）可知， ， ，
，
；
（3）过 作 ，交 延长线于 ，作 的平分线，交 于 ，如图，
，
， ， ，
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又 ，，
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， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
设 ，
四边形 为菱形，
，
，
，
， ，
， ，
由勾股定理可得： ，
，
解得： ，即 的长为 ．
