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第一章
倍数特性........................................................................................ 2
补充考点1：神奇的1764（五位数字连乘之积1764）............................... 11
第二章
方程问题...................................................................................... 12
补充考点2：普通方程：A 和非A 思想在数量中的运用................................ 18
补充考点3：方程中的排比句...................................................................19
补充考点4：鸡兔同笼............................................................................22
第三章
工程问题...................................................................................... 23
补充考点5：暑假作业型.........................................................................33
补充考点6：同时开始同时结束...............................................................34
第四章
几何问题...................................................................................... 37
补充考点7：切长最短............................................................................49
第五章
经济问题...................................................................................... 51
补充考点8：合并付费............................................................................60
第六章
行程问题...................................................................................... 62
补充考点9：等距离平均速度做猜............................................................67
补充考点10：多次相遇，每人都有事做................................................... 67
补充考点11：多次相遇比例类比.............................................................68
补充考点12：漂流瓶.............................................................................69
第七章
周期问题...................................................................................... 71
第八章
等差数列...................................................................................... 76
补充考点13：等差数列中的倍数特性.......................................................79
第九章
容斥问题...................................................................................... 81
补充考点14：常识公式..........................................................................87
第十章
年龄问题...................................................................................... 88
第十一章
最值问题...................................................................................93
补充考点15：最值思维..........................................................................98
第十二章
溶液问题...................................................................................99
第十三章
排列组合.................................................................................103
补充考点16：平均分组........................................................................107
补充考点17：描点法...........................................................................108
第十四章
概率问题.................................................................................109
参考答案.................................................................................................. 115
公考高照讲数资祝小可爱：成功上岸
每一个成功的背后都有无数个无人知晓的黑夜（抖音：公考高照讲数资）
1
数量关系题库-夸夸刷-必考题型专项拔高
前言
恭喜你，悄悄的我们走到了数量的夸夸刷。真正的勇者是，敢于面对自己的弱项，敢于查
漏补缺。你是上岸的孤勇者。
不要害怕数量，数量是我们拿高分的关键。没有数量学不好，只有不学和不做。
听不懂，见的题少，或者一听就会、一做就废，找不到这样点对点的练习。我们归还学习
本来的样子：“讲练结合”，这次夸夸刷希望对你有帮助，我们又增加了一些补充考点或者小
技巧，是对理论课的补充和拓展，我们只是为了上岸，特别希望你能坚持下来，要是累了坚持
不住了，你可以听回放，你一定会用到的。
如果没有天赋，
那就一直重复，
当你快到本能反应的时候，
你的重复，
就是别人眼里的天赋。
加油，祝你又有新的收获，闯关成功。
数量题做题步骤：先读问题，再读题干。
数量题学习步骤：先做再听。（有时间全听，没时间，只听错题）
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2
第一章
倍数特性
【例1】（2025 湖北选调）甲、乙、丙三个单位共有100 多名职工，甲单位职工比乙单位
多14%；丙单位职工比甲单位少3 人。问三个单位共有多少人？
A. 158
B. 159
C. 160
D. 161
【例2】（2021 上海）公司购买某设备24 套，现要登记单价，但是数据上没有标注单价，
且总价第一位和最后一位模糊不清，只看到是☆579△元。则☆可能是（
）。
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
【例3】（2022 辽宁事业单位）1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字各用一次，组成
3 个能被9 整除的三位数，这3 个数的和最大是（
）。
A. 2007
B. 2394
C. 2448
D. 2556
【例4】（2025 江苏）某配送中心负责若干个货箱的分配，如果将货箱平均分配给6 个配
送点，有3 个无法分配；如果将货箱平均分配给11 个配送点，恰好分完；如果将货箱平均分配
给13 个配送点，有2 个无法分配。该配送中心负责分配的货箱总共可能有：
A. 231 个
B. 429 个
C. 561 个
D. 759 个
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3
【例5】（2023 广东）某社区计划组建多支社工团队，为此招募了一批社工。如果每支团
队由3 名社工组成，则剩余2 名社工；如果每支团队由4 名社工组成，同样剩余2 名社工，则
该社区可能招募了（
）名社工。
A. 32
B. 34
C. 36
D. 38
【例6】（2023 联考）某单位员工集中核酸检测，18 人一组混检，需m（m 为正整数）个
组，但会多余1 人，如果分成m-1 个组，人数刚好平均分配。问该单位有多少员工？
A. 325
B. 361
C. 415
D. 469
【例7】（2022 全国事业单位）学校要发放100 本书，要求分多次发放，且保证每次发放
的书本数量一样多，则学校最多有多少种发放方法？
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【例8】（2024 联考）现针对50 岁（含）以上的一批老人进行为期两年的跟踪调查，在人
员不变的情况下，第二年50~60 岁的占比降低5％，61~70 岁的占比降低4％，则71 岁的人员
数量为：
A. 4
B. 5
C. 8
D. 9
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4
【例9】（2025 四川）在一次团体操表演中，演员方阵的成员需要贴上红色、黄色和白色
三种颜色之一的背贴。一位演员看到贴红色背贴的演员是除自己之外所有演员的5
1 ，另一位演
员则看到贴红色背贴的演员是除自己之外所有演员的11
2 。问这次团体操的演员有多少人？
A. 55
B. 56
C. 110
D. 111
【例10】（2019 江苏）某地区有甲、乙、丙、丁4 个派出所。已知上月甲、乙2 个派出所
的合计出警次数是95 次，乙、丙、丁3 个派出所的合计出警次数是140 次，乙派出所的出警次
数占4 个派出所合计出警次数的40
7 ，则上月甲派出所的出警次数是：
A. 55 次
B. 60 次
C. 68 次
D. 75 次
【例11】（2019 黑龙江边境）学校买来四种教材，语文教材是其余三种的4
1 ，数学教材是
其余三种的7
3 ，英语教材是其余三种的13
7 ，科学教材比数学教材少30 本，则数学教材有：
A. 30 本
B. 60 本
C. 100 本
D. 200 本
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5
【例12】（2020 上海）甲、乙、丙、丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三个人总和的一
半，乙带的钱是另外三个人的3
1 ，丙带的钱是另外三个人的4
1 ，丁带了91 元，他们一共带了多
少元？
A. 364
B. 380
C. 420
D. 495
【例13】（2020 联考）甲、乙、丙三人去超市买了100 元的商品，如果甲付钱，那么甲剩
下的钱是乙、丙两人钱数之和的13
2 ；如果乙付钱，则乙剩下的钱是甲、丙两人钱数之和的16
9 ；
如果丙付钱，丙用他的会员卡可享受9 折优惠，结果丙剩下的钱是甲、乙两人钱数之和的3
1 ；
那么，甲、乙、丙三人开始时一共带了多少钱？
A. 850 元
B. 900 元
C. 950 元
D. 1000 元
【例14】（2022 全国事业单位）某幼儿园的育才班和育人班两个班级的图书数量比为7∶
9，当育人班拿出18 本书给育才班后，育才班和育人班两个班级的图书数量比为9∶7，问两个
班级共有图书多少本？
A. 144
B. 153
C. 171
D. 189
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6
【例15】（2022 全国事业单位）某水质实验室已有烧杯和三角瓶的数量比为7∶4，若再
买进若干个烧杯，这时烧杯与三角瓶的数量比变为3∶1，接着又买进相同数量的三角瓶，此时
烧杯与三角瓶的比为4∶3。问实验室原有三角瓶的个数是新增三角瓶个数的多少倍？
A. 0.5
B. 0.8
C. 1.25
D. 2
【例16】（2024 联考）运动会招募志愿者，第一次招募了不到100 人，其中男女比例为
11∶7；补招若干女性志愿者后，男女比例变为4∶3。问最多可能补招了多少名女性志愿者？
A. 3
B. 5
C. 6
D. 10
【例17】（2022 国考）高校某专业70 多名毕业生中，有96%在毕业后去西部省区支援国
家建设。其中去偏远中小学支教的毕业生占该专业毕业生总数的20%，比任职大学生村官的毕
业生少2 人，比在西部地区参军入伍的毕业生多1 人，其余的毕业生选择去国有企业西部边远
岗位工作。问去国有企业西部边远岗位工作的毕业生有多少人？
A. 32
B. 29
C. 26
D. 23
【例18】（2024 浙江）某公司招聘员工，来应聘的男女人数比是18∶17，最后被录取的
有280 人，其中男女人数比是3∶4，未被录取的男女人数比是6∶5。同来应聘的共有多少人？
A. 630
B. 720
C. 1050
D. 1400
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【例19】（2024 全国事业单位）某高科技企业新成立的研发中心共有1000 名员工，分为
基础研究人员、应用研究人员和非研究人员，已知研究人员占所有员工的90%，应用研究人员
是非研究人员的5 倍，问该研发中心有多少名基础研究人员？
A. 400
B. 500
C. 600
D. 900
【例20】（2024 全国事业单位）公司300 名职工中有15%是售后服务人员，公司决定新招
聘一批售后服务人员，使其占比提高到25%，问新招聘了多少人？
A. 30
B. 35
C. 40
D. 45
【例21】（2019 联考）现有5 盒动画卡片，各盒卡片张数分别为：7、9、11、14、17。卡
片按图案分为米老鼠、葫芦娃、喜羊羊和灰太狼4 种，每个盒内装的是同图案的卡片。已知米
老鼠的卡片只有一盒，而喜羊羊、灰太狼图案的卡片数之和比葫芦娃图案的多1 倍。据此可知，
图案为米老鼠的卡片张数为：
A. 7
B. 9
C. 14
D. 17
【例22】（2018 联考）某储蓄所两名工作人员，一天内共办理了122 件业务，其中小王经
手的有84%是现金业务，小李经手的有25%为非现金业务，小李当天办理了多少件现金业务？
A. 36
B. 42
C. 48
D. 54
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8
【例23】（2019 联考）某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计2200 只，所
有兔子的毛色分为黑、白两种。肉兔中有87.5%的毛色为黑色，宠物兔中有23%的毛色为白色。
据此可知，毛色为白色的肉兔至少有多少只？
A. 25
B. 50
C. 100
D. 200
【例24】（2020 联考）某手机厂商生产甲、乙、丙三种机型，其中甲产量的2 倍与乙产量
的5 倍之和等于丙产量的4 倍，丙产量与甲产量的2 倍之和等于乙产量的5 倍。甲、乙、丙产
量之比为：
A. 2∶1∶3
B. 2∶3∶4
C. 3∶2∶1
D. 3∶2∶4
【例25】（2019 江苏）一只密码箱的密码是一个三位数，满足3 个数字之和为19，十位
上的数比个位上的数大2。若将百位上的数与个位上的数对调，得到一个新密码，且新密码数
比原密码的数大99，则原密码数是：
A. 397
B. 586
C. 675
D. 964
【例26】（2024 联考）有一组数按如下规律排列：第一个数是1，第二个数是2，从第三个
数起，每一个数恰好是其前两个数之和。问这列数中第2024 个数除以4 所得的余数是（
）。
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
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9
【例27】（2023 江苏）在下表中，小方格中的字母均为整数。若各行之和、各列之和、各
对角线之和均相等，则a 的值为：
a
4
8
m
3
17
b
11
11
y
5
e
x
14
z
2
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
【例28】（2024 联考）某企业向银行申请A、B 两种贷款共6000 万元，假设A 种贷款年
利率为8%，B 种贷款年利率为9%，那么每年共需付利息500 万元，问该企业申请的A、B 两
种贷款相差（
）万元。
A. 4000
B. 3000
C. 2000
D. 1000
【例29】（2022 全国事业单位）甲和乙两个企业2020 年的销售额共3200 万元，2021 年
甲乙企业的销售额分别增长10%和30%，两企业销售额总计增长800 万元，问2021 年甲企业
的销售额比乙企业：
A. 低2000 万元以上
B. 低不到2000 万元
C. 高不到2000 万元
D. 高2000 万元以上
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【例30】（2022 北京）甲、乙两条生产线每小时分别可以生产15000 件和9000 件某种零
件，产品合格率分别为99%和99.8%。现接到36 万件这种零件的生产任务，要求合格率不得低
于99.5%，则两条生产线合作，至少需要多少小时完成？
A. 15
B. 18
C. 24
D. 25
【例31】（2022 山东）甲乙两个部门举办党史答题评比活动，一共96 人。甲部门的平均
分比乙部门多1.2 分，比总人数的平均分多0.5 分，求甲部门比乙部门：
A. 少10 人以下
B. 多10 人以下
C. 多10 人以上
D. 少10 人以上
【例32】（2021 浙江）某俱乐部选拔优秀选手参加游泳比赛，选手在规定时间内游完全程，
就能获得参赛资格。已知有四分之一的选手获得了参赛资格，获得参赛资格选手的平均完成时
间比规定时间快6 秒，未获得参赛资格选手的平均完成时间比规定时间慢10 秒，所有选手的平
均完成时间为140 秒，则本次选拔的规定时间为多少秒？
A. 116
B. 125
C. 134
D. 139
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补充考点1：神奇的1764（五位数字连乘之积1764）
方法：1764=---77
特点：（1）五位数字和为24-28；（2）数字和最大比最小多4
5 位数字，五位数字连乘之积等于1764=---77
【例33】（2014 河北）小刘和小李进行射箭比赛，射不中记零环，射中按离靶心距离得1～
10 环。2 人各射5 箭，所得环数之积都是1764，但小刘的总环数比小李多4 环，那么小刘得了
多少环？
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
【例34】（2020 联考）甲、乙两名运动员参加射箭比赛，每一箭的环数是不超过10 的自
然数，甲、乙两名运动员各射了5 箭，每人5 箭的环数乘积均为1764，但乙的总环数比甲的少
4 环，则甲、乙两名运动员的总环数各是多少？
A. 26、22
B. 27、23
C. 28、24
D. 32、28
【例35】（2021 北京）某工厂的工号为5 位数字。甲乙两个工人工号五位数字连乘之积都
等于1764，但是甲的工号五位连加之和比乙的大4。问乙的工号为：
A. 13677
B. 22779
C. 23677
D. 33477
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第二章
方程问题
【例1】（2025 联考）某展览馆最多可以容纳1040 人。该展览馆有A、B、C 三个逃生出
口，其中A 出口每分钟可以通过150 人，B 出口每分钟可以通过100 人，C 出口每分钟可以通
过80 人，从A、B、C 出口到达安全疏散点分别还需要1 分钟、3 分钟、2 分钟。那么展览馆在
满员情况下，全部人员紧急疏散到安全疏散点至少需要多少分钟？
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
【例2】（2025 联考）甲、乙、丙3 名研究生本学期已阅读了159 篇本专业的学术论文。
已知甲的阅读量比乙的一半多28 篇，丙的阅读量比甲和乙的平均阅读量多18 篇。问乙本学期
至少还要再阅读多少篇，阅读量才能比丙多50%以上？
A. 42
B. 48
C. 54
D. 60
【例3】（2022 山东）部门预评选一名年度优秀工作者，候选人为甲、乙、丙。有效票89
张，在58 张中，甲34 票，乙9 票，丙15 票。甲要想保证当选，在剩余的选票中至少需要再得：
A. 16 票
B. 11 票
C. 9 票
D. 7 票
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【例4】（2024 联考）某农场有一批水稻收割任务，第一天收割了计划的10
3 ，第二天收割
了余下的3
2 ，若第三天收割50 公顷，则这三天收割的水稻将比计划多15 公顷。问计划收割水
稻（
）公顷。
A. 50
B. 100
C. 120
D. 150
【例5】（2024 北京）社区干部对所辖社区内的独居老人进行走访，计划用三周走访完毕，
每户走访一次,第一周走访30 户，第二周是第三周的一半，比第一周多十户，问该社区有多少
户独居老人？
A. 150
B. 140
C. 130
D. 120
【例6】（2021 国考）社区工作人员小张连续4 天为独居老人采买生活必需品，已知前三
天共采买65 次，其中第二天采买次数比第一天多50%，第三天采买次数比前两天采买次数的和
少15 次，第四天采买次数比第一天的2 倍少5 次。问这4 天中，小张为独居老人采买次数最多
和最少的日子，单日采买次数相差多少次？
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
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14
【例7】（2021 浙江）甲队参加四场篮球比赛，前两场场均得分为第三场得分的4
3 ，第四
场得72 分，是第三场得分的0.9 倍。问甲队所有比赛平均每场得多少分？
A. 64
B. 66
C. 68
D. 72
【例8】（2021 新疆）甲、乙、丙、丁四人捐款，甲、乙、丙共捐款240 元，甲、丙、丁
共捐款190 元，甲捐款额是丙的两倍，甲比乙少捐款40 元。问丁捐款多少元？
A. 70
B. 80
C. 90
D. 120
【例9】（2022 联考）某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加2 人并重新分配，使
得四个小组人数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加10 人，第二小组人数减少1 人，第
三小组人数增加一倍，第四小组人数减半。则原先人数最多的小组与人数最少的小组之间相差：
A. 15 人
B. 21 人
C. 24 人
D. 32 人
【例10】（2019 上海）踢毽子有内踢、直踢、外踢、膝击、叉踢、背踢、倒勾和踹毽八种
基本动作。在一次踢毽子比赛中规定：前五种基本动作每次记1 分；后三种基本动作由于难度
较高，每次记3 分。方华在1 分钟内完成了35 个基本动作，总分为69 分。那么方华完成了
（
）个3 分动作。
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
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15
【例11】（2023 全国事业单位）某创业团队为方便员工通勤，在单位附近租赁了公寓供员
工休息，租赁费用为每月280 元/人。今年新招聘4 名员工，在租赁费用总额不变的情况下，租
赁费用降至每月240 元/人。问该团队租赁公寓每月花费多少元？
A. 1120
B. 3360
C. 6720
D. 7840
【例12】（2019 全国事业单位）年终时，某班组集体获得一笔奖金，班长决定平均分配这
笔钱。如果每人5 万元，则剩余m 万元；如果每人6 万元，则剩余n 万元；如果每人7 万元，
则刚好够平均分配给（m-n）人。则下列关系正确的是：
A. 6m=5n
B. 5m=6n
C. m=2n
D. 2m=n
【例13】（2023 联考）某学校组织学生分组参观红色教育基地，租赁了若干辆客车。其
中，一辆大型客车可容纳5 个小组，一辆中型客车可容纳3 个小组，大型客车比中型客车多容
纳16 个小组，那么至少租赁了大型客车和中型客车各多少辆？
A. 3；5
B. 5；3
C. 4；3
D. 5；6
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16
【例14】（2020 浙江）某会务组租了20 多辆车将2220 名参会者从酒店接到活动现场。大
车每次能送50 人，小车每次能送36 人，所有车辆送2 趟，且所有车辆均满员，正好送完，则
大车比小车（
）。
A. 多5 辆
B. 多2 辆
C. 少2 辆
D. 少5 辆
【例15】（2019 联考）某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则
为：一等奖得9 分，二等奖得5 分，三等奖得2 分。甲队共有10 位选手参赛，均获奖。现知甲
队最后总分为61 分，问该队最多有几位选手获得一等奖？
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【例16】（2023 上海）足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，这是由当值
主裁判决定的。某场比赛的主裁判确定伤停补时的规则为：每次处理受伤增加30 秒，每次换
人增加20 秒，其他情况每次增加10 秒。在下半场即将结束时，主裁判确定伤停补时的时长
为4 分30 秒。若已知下半场比赛时间内，处理受伤、换人和其他情况都存在且共计有10 次，
那么下半场两队总共换了（
）人。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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【例17】（2024 江苏）某商场为回馈消费者，奖金有3 种：一等奖888 元，二等奖88 元，
三等奖8 元。若100 个中奖者的奖金总额为2480 元，则其中获得三等奖的最少（
）。
A. 95 人
B. 89 人
C. 79 人
D. 75 人
【例18】（2017 江苏）某地遭受大自然灾害后，A 公司立即组织捐款救灾。已知该公司有
100 名员工捐款，捐款额有300 元、500 元和2000 元三种，捐款总额为36000 元，则捐款500 元
的员工数是：
A. 11 人
B. 12 人
C. 13 人
D. 14 人
【例19】（2008 国考）甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3 件、乙7 件、丙1 件需花3.15
元，如果购买甲4 件、乙10 件、丙1 件需花4.20 元，那么购买甲、乙、丙各1 件需花多少钱？
A. 1.05 元
B. 1.40 元
C. 1.85 元
D. 2.10 元
【例20】（2009 国考）甲买了3 支签字笔、7 支圆珠笔和1 支铅笔，共花了32 元，乙买
了4 支同样的签字笔、10 支圆珠笔和1 支铅笔，共花了43 元。如果同样的签字笔、圆珠笔、
铅笔各买一支，共用多少钱？
A. 21 元
B. 11 元
C. 10 元
D. 17 元
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18
【例21】（2016 江苏）若买6 个订书机、4 个计算器和6 个文件夹共需504 元，买3 个订
书机、1 个计算器和3 个文件夹共需207 元，则购买订书机、计算器和文件夹各5 个所需的费
用是：
A. 465 元
B. 475 元
C. 485 元
D. 495 元
补充考点2：普通方程：A 和非A 思想在数量中的运用
重点：识别题型
方法一：列式，解方程
方法二：
公式：
A=
2
A
非
C
非
B
非
−
+
【例22】（2020 深圳）某快递集散点有一批包裹，由甲、乙、丙三名快递员各自独立完
成送达。其中有93 件不是甲派送的，92 件不是乙派送的，91 件不是丙派送的，则甲派送了
多少件？
A. 44
B. 45
C. 46
D. 47
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19
【例23】（2017 江西）某人雇佣了甲、乙、丙三名工人加工一些零件，其中有87 个零
件不是甲加工的，有86 个零件不是乙加工的，有85 个零件不是丙加工的，那么甲加工的零
件数是：
A. 42 个
B. 43 个
C. 44 个
D. 45 个
【例24】（2020 联考）春节期间，省图书馆邀请多位书法老师免费为读者书写春联。现场
书写的春联中有188 幅不是A 老师书写的，有219 幅不是B 老师书写的，A、B 两位老师今年
一共书写了311 幅春联。问B 老师今年一共书写了多少幅春联？
A. 208
B. 171
C. 140
D. 126
补充考点3：方程中的排比句
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20
基本型
【例25】（2018 联考）老师拿来一箱笔记本让班长负责给同学们分发，如果每人发2 本，
还剩22 本，如果每人发3 本，就少15 本，该班共有多少学生？
A. 37
B. 34
C. 23
D. 17
【例26】（2015 广东乡镇）某车队运输一批蔬菜。如果每辆汽车运3500 千克。那么还剩
下5000 千克；如果每辆汽车运4000 千克，那么还剩下500 千克，则该车队有（
）辆汽车。
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
【例27】（2020 联考）某企业员工组织周末自驾游。集合后发现，如果每辆小车坐5 人，
则空出4 个座位；如果每辆小车少坐1 人，则有8 人没坐上车。那么，参加自驾游的小车有：
A. 9 辆
B. 10 辆
C. 11 辆
D. 12 辆
多一步
【例28】（2016 北京）村官小刘负责将村委会购买的一批煤分给村中的困难户，如果给每
个困难户分300 千克煤，则缺500 千克；如果给每个困难户分250 千克煤，则剩余250 千克。
为帮助困难户，村委会购买了多少煤？
A. 5500 千克
B. 5000 千克
C. 4500 千克
D. 4000 千克
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21
【例29】（2019 联考）林先生要将从故乡带回的一包泥土分成小包装送给占其朋友总数
30%的老年朋友。在分包装过程中发现，如果每包200 克，则缺少500 克，如果每包150 克，
则多余250 克。那么，林先生的朋友共有多少人？
A. 15
B. 30
C. 50
D. 100
【例30】（2016 吉林）正值毕业季，班长小李组织大家聚餐，费用均摊，结账时，如果每
人付300 元，则多出100 元；如果每人付290 元，小李自己要多付80 元才刚好，那么，这次活
动的人均费用大约是：
A. 293
B. 296
C. 295
D. 294
【例31】（2016 江苏）某志愿服务小组购买一批牛奶到一敬老院慰问老人。如果送给每位
老人4 盒牛奶，那么还剩28 盒；如果送给每位老人5 盒，那么最后一位老人又不足4 盒，则该
敬老院的老人人数至少是：
A. 27
B. 29
C. 30
D. 33
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22
【例32】（2022 国考）某企业职工筹款给甲村学龄儿童购买学习用具，如按100 元/人的
标准执行则资金剩余550 元，如按120 元/人的标准执行则还需筹集630 元。现额外筹集2510
元，且最终按80 元/人的标准，正好能给甲、乙两村的学龄儿童购买学习用具。问乙村学龄儿
童有多少人？
A. 50
B. 53
C. 56
D. 59
补充考点4：鸡兔同笼
【例33】（2023 北京）28 名运动员在羽毛球馆打比赛，馆内共有10 块羽毛球场地，所有
运动员都要上场比赛，或者参加单打比赛，或者参加双打比赛。如果保证每名运动员都在打比
赛，且每块羽毛球场地上都有运动员在打比赛，则有多少名运动员参加双打比赛？
A. 20
B. 24
C. 12
D. 16
【例34】（2022 北京）某测试共有100 道题，答对一道题得3 分，不答或答错一道题扣
2 分，小张测试成绩为285 分，则他一共答对了多少道题？
A. 85
B. 90
C. 95
D. 97
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23
第三章
工程问题
【例1】（2017 江苏）若将一项工程的6
1 、4
1 、3
1 和4
1 依次分配给甲、乙、丙、丁四家工
程队，分别需要15 天、15 天、30 天和9 天完成，则他们合作完成该项工程需要的时间是：
A. 12 天
B. 15 天
C. 18 天
D. 20 天
【例2】（2017 国考）工厂有5 条效率不同的生产线。某个生产项目如果任选3 条生产线
一起加工，最快需要6 天整，最慢需要12 天整；5 条生产线一起加工，则需要5 天整。问如果
所有生产线的产能都扩大一倍，任选2 条生产线一起加工最多需要多少天完成？
A. 11
B. 13
C. 15
D. 30
【例3】（2022 上半年事业单位）为保障冬奥会比赛顺利进行，各场馆需对设施设备进行
测评，合格后交付使用。现对一赛道进行检测，已知检测时匀速作业，如甲机构单独检测需要
90 分钟，乙机构单独检测需要135 分钟，现两机构同时协作检测45 分钟后，甲单独完成剩余
部分，问甲机构一共检测了多少分钟？
A. 55
B. 60
C. 65
D. 70
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24
【例4】（2021 广东）为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工程人员出国参
与一个高铁建设项目。如果由甲队单独施工，200 天可完成该项目；如果由乙队单独施工，则
需要300 天。甲、乙两队共同施工60 天后，甲队被临时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完
成该项目共需（
）天。
A. 120
B. 150
C. 180
D. 210
【例5】（2019 江苏）一项工程由甲、乙工程队单独完成，分别需50 天和80 天。若甲、
乙工程队合作20 天后，剩余工程量由乙、丙工程队合作需12 天完成，则丙工程队单独完成此
项工程所需的时间是：
A. 40 天
B. 45 天
C. 50 天
D. 60 天
【例6】（2021 联考）社区居委会张阿姨为表达对志愿者的感谢，买了一些毛线，准备织
帽子和手套。这些毛线如果全部织帽子可织15 个，全部织手套可织20 只，现将一个帽子和两
只手套做成一个“爱心礼包”。这些毛线最多可做成几个“爱心礼包”？
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
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【例7】（2019 河北）甲、乙两队单独完成某项工程分别需要10 天、17 天。甲队与乙队
按天轮流做这项工程，甲队先做，最后是哪队第几天完工？
A. 甲队第11 天
B. 甲队第13 天
C. 乙队第12 天
D. 乙队第14 天
【例8】（2017 天津下）单独修筑某条乡村公路，甲工程队需18 天，乙工程队需24 天，
丙工程队需30 天。现甲、乙、丙按如下顺序轮流施工：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙……
每个工程队工作一天换班，直到工程完成。当工程完成时，乙工程队干了多少天？
A. 8 天
B. 11 天
C. 9 天
D. 7 天
【例9】（2016 深圳）两根同样长的木炭，燃烧完一根粗的木炭需要2 小时，燃烧完一根
细的木炭需要1 小时。现同时点燃这两根木炭，若干分钟后将两根木炭同时熄灭，发现粗木炭
的剩余长度是细木炭的剩余长度的2 倍，则燃烧了（
）分钟。
A. 35
B. 40
C. 45
D. 50
【例10】（2017 广东）有两支蜡烛，粗细不同，长度相同，粗蜡烛燃尽需要2 小时，细蜡
烛燃尽需要1 小时。一天晚上停电，同时点燃两支蜡烛，若干分钟来电，将两支蜡烛同时熄灭，
此时粗蜡烛的长度是细蜡烛的2 倍，则停电了几分钟？
A. 30
B. 35
C. 40
D. 45
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【例11】（2013 浙江）两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3 小时，点完细蜡烛要1 小时。
同时点燃两根蜡烛，一段时间后，同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3 倍。问两根蜡烛
燃烧了多长时间？
A. 30 分钟
B. 35 分钟
C. 40 分钟
D. 45 分钟
【例12】（2024 联考）某餐饮店接到一份粽子订单，张师傅与李师傅同时工作8 小时可完
成。现张师傅先独自包粽子3 小时，李师傅接着独自包了1 小时，还剩订单总数的16
11 没完成。
已知张师傅每小时比李师傅多包14 个粽子。问这份订单粽子的总数是多少个？
A. 224
B. 296
C. 320
D. 416
【例13】（2019 广东）甲施工队每天能完成某项工程的9
1 ，乙施工队施工效率是甲施工队
的两倍。则甲、乙两队共同施工（
）天就能完成该工程。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
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【例14】（2016 国考）某浇水装置可根据天气阴晴调节浇水量，晴天浇水量为阴雨天的
2.5 倍。灌满该装置的水箱后，在连续晴天的情况下可为植物自动浇水18 天。小李6 月1 日0:00
灌满水箱后，7 月1 日0:00 正好用完。问6 月有多少个阴雨天？
A. 10
B. 16
C. 18
D. 20
【例15】（2020 江苏）师徒二人在非遗展馆现场为游客剪纸，有6 名游客各自挑选了心
仪的花样。已知徒弟制作这6 种剪纸的时间分别为2、6、10、12、15、25（单位：分钟），
师傅的工作效率是徒弟的1.5 倍，则这6 名游客中最后一个拿到剪纸的游客，需要等待的时间
至少是：
A. 25 分钟
B. 27 分钟
C. 28 分钟
D. 30 分钟
【例16】（2020 联考）某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期投产了A 和B
两条生产线，A 和B 的工作效率之比是2∶3，计划8 天可完成订单生产任务。两天后公司又投
产了生产线C，A 和C 的工作效率之比为2∶1。问该批口罩订单任务将提前几天完成？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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【例17】（2021 联考）一个工程的实施有甲、乙、丙和丁四个工程队供选择。已知甲、乙、
丙的效率比为5∶4∶3，如果由丁单独实施，比由甲单独实施用时长4 天，比由乙单独实施用
时短5 天。问四个队共同实施，多少天可以完成（不足1 天的部分算1 天）？
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
【例18】（2021 北京）甲、乙、丙三条生产线生产某种零件，效率比为3∶4∶5，甲和乙
生产线共同生产A 订单，完成时甲比乙少生产250 个。乙和丙共同生产B 订单，完成时乙生产
了720 个。问A 订单的零件个数比B 订单：
A. 少不到100 个
B. 少100 个以上
C. 多不到100 个
D. 多100 个以上
【例19】（2021 北京）农场使用甲、乙两款收割机各1 台收割一片麦田。已知甲的效率
比乙高25%，如安排甲先工作3 小时后乙加入，则再工作18 小时就可以完成收割任务。问如
果增加1 台效率比甲高40%的丙，3 台收割机同时开始工作，完成收割任务的用时在以下哪
个范围内？
A. 8 小时以内
B. 8—10 小时之间
C. 10—12 小时之间
D. 12 小时以上
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【例20】（2023 国考）甲和乙两个工程队共同承担某项工程的施工任务。两队合作时各自
的效率均比单独施工时高20%。已知两队合作施工需要25 天完工；如甲先施工15 天后乙加入，
两队合作15 天后剩余工作乙单独施工还需要10 天完成。问甲队的效率是乙队的多少倍？
A. 2
3
B. 3
4
C. 2
1
D. 3
2
【例21】（2023 联考）在某应急救援作业中，假设每台机器工作效率相同，如果两台机器
配合作业，效率分别提高25%，而三台机器同时合作，每台效率各自提高50%。甲、乙、丙三
台机器依次投入救援，直到救援完成。已知甲救援时间为60 分钟，乙救援时间为甲的1/2，而
丙救援时间为乙的1/3，问仅有一台机器完成该救援作业需要多少分钟？
A. 120
B. 125
C. 130
D. 150
【例22】（2024 山东）甲、乙、丙三个工程队共同承担一项市政工程。甲队独立完成需要
30 天，乙队效率比甲队高20%。丙队仅提供技术支持，即能够为其他队伍提高效率，其与甲或
乙队合作时效率可提高120%，三个队伍合作时效率可提高200%。甲乙两队合作3 天后，丙队
加入，最后两天乙队休息。问该工程耗时约多少天？
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
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30
【例23】（2024 国考）某工程队接到一项任务，甲、乙合作6 天后完成总任务量的25%，
乙、丙合作15 天后又完成剩余任务量的3
2 ，剩下全部任务由乙单独工作11 天完成。已知乙与
他人合作时效率比其单独工作时高10%，问甲、乙、丙合作完成这项任务需要多少天？
A. 24
B. 28
C. 16
D. 20
【例24】（2019 黑龙江）某地计划修筑一条道路。如果该道路交由甲施工队先单独施工
6 天，乙施工队再单独施工15 天即可完工；如果交由乙施工队先单独施工6 天，那么甲施工队还
需要单独施工24 天才能修筑完成。如果这条道路交由甲施工队单独施工，道路修筑完成需要：
A. 30 天
B. 32 天
C. 36 天
D. 40 天
【例25】（2018 全国事业单位）甲、乙两个工程队合作完成某工程需36 天，若甲工程队
先做10 天，剩下的工程再由两队合作30 天完成。问乙工程队的工作效率是甲工程队的：
A. 3
2
B. 5
4
C. 4
3
D. 2
1
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31
【例26】（2024 江苏）甲、乙、丙三人合作完成一项任务。乙先做9 天，再和甲合作6 天，
完成了任务的60%，剩下任务若由乙单独做需要15 天，由丙单独做则需要10 天完成，则甲、
乙、丙三人的工作效率之比是：
A. 5∶4∶6
B. 6∶4∶5
C. 10∶15∶12
D. 12∶15∶10
【例27】（2024 浙江）甲、乙两个施工队共同完成一项工程需要20 天。甲乙两队合作
4 天后，乙队因故退出6 天后回归，回归时工程总量已完成40%。为保证按时完工，乙队回归
时带来了丙施工队，甲、乙、丙三队共同工作10 天后刚好完成工程。问甲、乙、丙队的效率比
为多少？
A. 3∶6∶10
B. 4∶8∶15
C. 6∶3∶2
D. 10∶5∶3
【例28】（2024 联考）甲、乙两工厂共同完成某个生产订单需要12 天。现两工厂共同生
产8 天后，再由乙单独生产7 天，一共完成了订单总量的90%。若整个订单由乙单独生产，那
么需要多少天完成？
A. 20
B. 23
C. 26
D. 30
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32
【例29】（2024 全国事业单位联考）一项工程，若由甲、乙一起施工7 天，乙又单独施工
7 天，可完成工程总量的3
1 ；若由乙、丙一起施工7 天，丙又单独施工7 天，可完成工程总量
的6
1 。由此可得：
A. 甲的效率是丙的4
1
B. 甲的效率是丙的2
1
C. 甲的效率是丙的2 倍
D. 甲的效率是丙的4 倍
【例30】（2018 山东选调）某火车站的始发车一般是提前若干分钟进行检票，假设每分钟
到车站检票的乘客数一样多。从开始检票到等候队伍消失，若同时开启2 个检票口需要30 分钟；
若同时开启3 个检票口需要15 分钟。问：若同时开启4 个检票口需要几分钟？
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
【例31】（2020 广东）某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等候领取证
书，且每分钟新增的人数一样多。从开始办理业务到排队等候的人全部领到证书，若同时开
5 个发证窗口就需要1 个小时，若同时开6 个发证窗口就需要40 分钟。按照每个窗口给每个
人发证书需要1 分钟计算，如果想要在20 分钟内将排队等候的人的证书全部发完，则需同时
开（
）个发证窗口。
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
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33
补充考点5：暑假作业型
小时候，暑假的作业，你是怎么完成的？
情景+方法：开始乖，中间玩，所有未完成的工作量，在更短时间内加班加点完成。
计算技巧：约分
【例32】（2018 国考）工程队接到一项工程，投入80 台挖掘机。如连续施工30 天，每天
工作10 小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有10 天时间无法施工，工期还剩
8 天时，工程队增派70 台挖掘机并加班施工。问工程队若想按期完成，平均每天需多工作多少
个小时？
A. 2.5
B. 3
C. 1.5
D. 2
【例33】（2019 辽宁）某工程50 人进行施工。如果连续施工20 天，每天工作10 小时，
正好按期完成。但施工过程中遭遇原料短缺，有5 天时间无法施工，工期还剩8 天时，工程队
增派15 人并加班施工。若工程队想按期完成，则平均每天需工作（
）小时。
A. 12.5
B. 11
C. 13.5
D. 11.5
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34
补充考点6：同时开始同时结束
题型特征：
N 个人完成（N-1）项工作，有一个人打游击帮工，同时开始同时结束
解题套路：
①整体分析：先求出总的完工时间，完工时间=
效率和
工作总量
②抓住问题
老大（31）
老二（29）
老三
5
4
3
【例34】（2015 广东县级）有两箱数量相同的文件需要整理。小张单独整理好一箱文件要
用4.5 小时，小钱要用9 小时，小周要用3 小时。小周和小张一起整理第一箱文件，小钱同时
开始整理第二箱文件。一段时间后，小周又转去和小钱一起整理第二箱文件，最后两箱文件同
时整理完毕。则小周和小张、小钱一起整理文件的时间分别是：
A. 1 小时，2 小时
B. 1.5 小时，1.5 小时
C. 2 小时，1 小时
D. 1.2 小时，1.8 小时
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【例35】（2018 江西）甲、乙、丙三人工作的效率比为7∶9∶8，现将A、B 两项工作量
相同的工程交给这三个人，甲负责A 工程，乙负责B 工程，丙作为机动参与A 工程若干天后转
而参与B 工程，两项工程同时开工，耗时8 天同时结束，问丙在A 工程中参与施工多少天？
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【例36】（2020 江苏）某小微企业接到三个相同的订单，赵、钱、孙、李四位师傅单独完
成一个，分别需20 小时、20 小时、15 小时和12 小时。现钱、孙、李各负责一个订单，赵根据
需要协助他们完成任务。若要三个订单同时完工且用时最短，则赵协助钱的时间是：
A. 8 小时
B. 7 小时
C. 6 小时
D. 5 小时
【例37】（2022 山东）甲乙丙三个工程队，甲的效率比乙高20%，乙的效率比丙高25%。
A 的工作量是B 的1.5 倍。现将两项工程交给三个工程队，甲队负责A 工程，乙队负责B 工程，
丙队参加A 工程若干天后转而参与B 工程。两项工程同时开工，180 天同时完成。问丙在B 工
程施工多少天？
A. 45
B. 75
C. 105
D. 135
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【例38】（2019 贵州事业单位）A、B、C 三个挖渠小分队负责2700 米的挖渠任务，将任
务分成等额甲、乙两份，A 队和C 队分别负责，B 队则在两队之间帮忙，A、B、C 三个工程队
的效率分别是100 米/小时、150 米/小时、200 米/小时，B 队先在A 队帮忙再去C 队帮忙，最后
任务同时开始并同时结束，那么B 队在C 队帮忙（
）小时。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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37
第四章
几何问题
几何属于超级高频题型，值得花时间，多会一道，就多增加上岸的机会。
做题方法：做、量、猜。
【例1】（2019 江苏）长方形花坛的周长为20 米，若长与宽各增加3 米，则增加的面积是：
A. 42 平方米
B. 24 平方米
C. 28 平方米
D. 39 平方米
【例2】（2024 陕西事业单位）某公园为满足市民需求，准备对公园进行扩建，一个长方形
的草坪周长是120 米，如果长和宽都增加8 米，那么扩建后这个草坪的面积将增加多少平方米？
A. 480
B. 544
C. 640
D. 700
【例3】（2025 天津事业单位）某公司在团建时，设计了一个推正方体泡沫块儿的游戏，
游戏的参与者需要让2 米高的泡沫块儿翻滚向前移动。翻滚过程中，当泡沫块儿底边与地面夹
角45°时，侧面示意图如右图所示。已知边MN 与边AC 相交于点F，求图中阴影部分四边形
COMF 的面积为（
）平方米。
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38
A. 2
B. 4-
2
2
C.
2
4
-4
D.
2
2
-2
【例4】（2024 广东深圳事业单位）有一块平行四边形的菜地（如图所示）如果只把底增
加6 米，或只把高增加5 米，菜地的面积都增加30 平方米。这块菜地原来的面积为（
）平
方米。
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
【例5】（2023 广东事业单位）长方体的表面积是88，长、宽、高之比为3∶2∶1，则长
方体的体积是（
）。
A. 3072
B. 45
C. 384
D. 48
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39
【例6】（2024 联考）一个白色圆柱体零件的底面半径是高的1.5 倍，现将其表面涂上黑
漆之后，沿下图所示虚线方向切割为4 个完全相同的部分。问单个部分的黑色面积是白色面积
的多少倍？（π≈3.14）
A. 不到1.1 倍
B. 1.1-1.2 倍之间
C. 1.2-1.3 倍之间
D. 1.3 倍以上
【例7】（2024 联考）莱洛三角形是以等边三角形三个顶点为圆心，边长为半径，在顶点
的对边画弧所得的封闭图形，这种形状的钻头可钻出四角为圆弧的正方形的孔洞（如左下图所
示）。现将某莱洛三角形钻头所钻孔洞近似为正方形，测得该正方形孔洞截面积为25cm
2（如
右下图所示），则该钻头的截面积为：（高照提示：此题别做，就是猜，根据选项形式猜猜猜。）
A. （
6
3
25
6
25π−
）cm
2
B. （
4
3
25
4
25π−
）cm
2
C. （
3
3
25
3
25π−
）cm
2
D. （
2
3
25
2
25π−
）cm
2
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40
【例8】（2020 国考）一个无盖长方体饮料盒如下图所示，其底面为正方形，高为23 厘米，
若插入一根足够细的不可弯折的吸管与底部接触，已知插入饮料盒内的吸管长度最大为27 厘
米，问饮料盒底面边长为多少厘米？
A.
2
5
B. 8
C. 10
D.
2
10
【例9】（2023 国考）一个圆柱体零件A 和一个圆锥体零件B 分别用甲、乙两种合金铸造
而成。A 的底面半径和高相同，B 的底面半径是高的2 倍，两个零件的高相同，质量也相同。
问甲合金的密度是乙合金的多少倍？
A. 3
4
B. 4
3
C. 3
2
D. 2
3
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41
【例10】（2021 联考）边长为整数且成等差数列的三个正方形，面积之和不大于5000，
其中有两个正方形的面积之和等于第3 个正方形的面积，这样的正方形存在多少组？
A. 6
B. 7
C. 9
D. 10
【例11】（2023 国考）在一块正方形土地中，画一条经过某个顶点的规划线，将其分割为
三角形和梯形两块土地，且梯形土地的面积正好是三角形土地的2 倍。问三角形和梯形土地的
周长之比是多少？
A. 1∶2
B. 5∶7
C. （1+
5 ）∶（2+
5 ）
D. （5+ 13 ）∶（7+ 13 ）
【例12】（2022 北京）一个圆形水库的半径为1 千米。一艘船从水库边的A 点出发，直线
行驶1 千米后到达水库边的B 点，又从B 点出发直线行驶2 千米后到达水库边的C 点。则C 点
与A 点的直线距离最短可能为多少千米？
A. 不到1 千米
B. 1—1.3 千米之间
C. 1.3—1.6 千米之间
D. 超过1.6 千米
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42
【例13】（2017 联考）如图所示，甲和乙在面积为54π平方米的半圆形游泳池内游泳，
他们分别从位置A 和B 同时出发，沿直线同时游到位置C。若甲的速度为乙的2 倍，则原来甲、
乙两人相距：
A.
2
9
米
B. 15 米
C.
3
9
米
D. 18 米
【例14】（2023 浙江）某地打算在绿地上建两个圆形花坛，如下图所示，大圆的直径为
6 米，小圆的直径为2 米，修建期间暂时在外围设置围栏。已知围栏呈矩形，大圆与围栏的三
条边相切，小圆与围栏的两条边相切，且两圆相切，那么矩形围栏的面积是多少平方米？
A. 12（2+ 3 ）
B. 12（1+
3
2
）
C.
13
12
D. 6（3+ 13 ）
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【例15】（2020 上海）某游乐园在一个平地中央挖了一个球形下沉广场，广场直径为200
米，最深处50 米，那么这个球形的直径为（
）米。
A. 125
B. 200
C. 225
D. 250
【例16】（2023 联考）厦门鼓浪屿海滨覆鼎岩上屹立着一尊郑成功雕像。为了测量石像的
高度，某测量小组选取的测量点A 与覆鼎岩底部D 在同一水平线上，如下图所示。已知覆鼎
岩高CD 为24 米，在A 处测得石像头顶部B 的仰角为45°，石像底部C 的仰角为31°（参考数
据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60），则石像BC 的高度约为：
A. 20 米
B. 18 米
C. 16 米
D. 14 米
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【例17】（2024 河北事业单位）小明步行从起点向正东走130 米，然后向正南走50 米后
再向正西走10 米，这时小明距离起点直线距离多少米？
A. 50
B. 120
C. 130
D. 190
【例18】（2024 山东）某巡逻艇所在A 海域正南方30 千米B 处有一个可疑船只，正向
正西方向行驶，已知巡逻船的速度比可疑船只快3
1 ，两船在C 相遇，请问BC 的距离大约是
多少？
A. 26
B. 28
C. 30
D. 34
【例19】（2025 浙江事业单位）一艘科考船从钻井平台A 的正西方向240 千米处出发，
以50 千米/小时的速度向东偏南30°方向匀速航行。已知科考船上配备的雷达可以探测200 千
米范围内的海上建筑，那么科考船在航行过程中，可以探测到A 的时长在以下哪个范围内？
A. 小于4 小时
B. 4-5 小时
C. 5-6 小时
D. 大于6 小时
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【例20】（2017 广东）如图所示，公园有一块四边形的草坪，由四块三角形的小草坪组成。
已知四边形草坪的面积为480 平方米，其中两个小三角形草坪的面积分别为70 平方米和90 平
方米，则四块三角形小草坪中最大的一块面积为多少平方米？
A. 120
B. 150
C. 180
D. 210
【例21】（2019 江苏）某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整个厂区分为四个
功能区，如图所示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分别为26 亩、18 亩和13 亩，若
保留休闲区的12 亩天然小湖泊，则休闲区可利用的陆地面积是：
A. 36 亩
B. 26 亩
C. 24 亩
D. 23 亩
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【例22】（2024 江苏事业单位）有一个圆柱形的木桩，圆的直径为π
6 米，木桩的高为
4 米（如图）。现有一只蚂蚁从B 点沿着木桩表面爬到A 点，蚂蚁爬行的最短距离是（
）。
A. 10 米
B.
2
π
36
16 +
米
C.
13
2
米
D. 5 米
【例23】（2019 浙江）A 点、B 点与墙的位置如右图所示，现从A 点出发以5 米/秒的速
度跑向墙，接触到墙后再跑到B 点，问最少要多少秒到达B 点？
A. 30
B. 34
C. 38
D. 42
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47
【例24】（2017 联考）如右图所示，某条河流一侧有A、B 两家工厂，与河岸的距离分别
为4km 和5km，且A 与B 的直线距离为11km。为了处理这两家工厂的污水，需要在距离河岸
1km 处建造一个污水处理厂，分别铺设管道连接A、B 两家工厂。假定河岸是一条直线，则排
污管道总长最短是：
A. 12km
B. 13km
C. 14km
D. 15km
【例25】（2017 江苏）某市规划建设的4 个小区，分别位于直角梯形ABCD 的4 个顶点处
（如图），AD=4 千米，CD=BC=12 千米。欲在CD 上选一点S 建幼儿园，使其与4 个小区的直
线距离之和为最小，则S 与C 的距离是：
A. 3 千米
B. 4 千米
C. 6 千米
D. 9 千米
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48
【例26】（2020 联考）某演播大厅的地面形状是边长为100 米的正三角形，现要用边长为
2 米的正三角形砖铺满（如图所示）。问需要用多少块砖？
A. 2763
B. 2500
C. 2340
D. 2300
【例27】（2020 浙江）用边长为0.2m 的正三角形地砖铺满一块边长为1m 的正六边形地
面，需要多少块地砖？
A. 30
B. 60
C. 150
D. 180
【例28】（2018 联考）某地市区有一个长方形广场，其面积为1600 平方米。由此可知，
这个广场的周长至少有：
A. 160 米
B. 200 米
C. 240 米
D. 320 米
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【例29】（2023 联考）某村拟建造一个容积为144 立方米，深度为4 米的长方体无盖蓄水
池。为节约成本，侧面积最小为多少平方米？
A. 24
B. 36
C. 96
D. 132
【例30】（2019 联考）将一个表面积为72 平方米的正方体平分为两个长方体，再将这两
个长方体拼成一个大长方体，则大长方体的表面积是多少平方米？
A. 56
B. 64
C. 72
D. 84
【例31】（2018 江西）设a、b、c、d 分别代表四棱台、圆柱、正方体和球体，已知这四
个几何体的表面积相同，则体积最小与体积最大的几何体分别是：
A. d 和a
B. c 和d
C. a 和d
D. d 和b
补充考点7：切长最短
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50
【例32】（2006 江西）右图为长、宽、高分别是4cm、3cm、5cm 的长方体，如果一只小
虫从顶点A 爬到顶点B。其爬行的最短距离为：
A.
5
4
B.
74
C.
10
3
D.
70
【例33】（2019 河北）长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm 的长方体ABCD－
1
1
1
1
D
C
B
A
上，
有一个蚂蚁从A 出发沿长方体表面爬行到
1
C 获取食物，其路程最小值是多少cm？
A. 13
B.
193
C.
241
D. 17
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51
第五章
经济问题
【例1】（2025 湖北选调）一种商品按标价打八折出售时，每件利润比打七折出售时高
40%；比打六五折出售时高54 元。问该商品标价每件多少元？
A. 340
B. 350
C. 360
D. 370
【例2】（2025 天津事业单位）一件商品先后打了九折和八五折，两次打折后的售价为
612 元，已知折后的售价比进价低了38 元，求商品原来的利润率为多少？
A. 17%
B. 20%
C. 23%
D. 25%
【例3】（2023 四川雅安事业单位）某运动品专卖店以990 元的价格分别出售了两个不同
品牌的网球拍，其中一个获利10%，另一个获利25%，那么该专卖店销售这两个网球拍一共获
利（
）元。
A. 168
B. 188
C. 268
D. 288
【例4】（2025 广东事业单位）某款影音设备的定价为3.6 万元，如打九折销售，则销售
10 台的利润与以原价销售7 台的利润相同。如打八折销售，要使利润不低于10 万元，至少要
售出（
）台。
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
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52
【例5】（2021 北京）一种设备打九折出售，销售12 件与原价出售销售10 件时获利相同。
已知这种设备的进价为50 元/件，其他成本为10 元/件。问如打八折出售，1 万元最多可以买多
少件？
A. 80
B. 83
C. 86
D. 90
【例6】（2024 江苏）元旦期间，某超市开展促销活动，甲、乙两种商品的单价之和为
25 元，购买甲商品2 件及以上可享受八折优惠，购买乙商品4 件及以上可享受六折优惠。小王
下单购买了2 件甲商品和4 件乙商品，共优惠16 元，则甲商品的单价是：
A. 5 元
B. 10 元
C. 15 元
D. 20 元
【例7】（2022 上海）某水果店销售水果有三种方式：
（1）直接出售，每公斤价格10 元，1 吨水果一周时间可以全部卖完；
（2）对水果进行粗加工（例如去皮等）后出售，每公斤价格15 元，每天能够售出100 公斤；
（3）对水果进行精加工（例如制作水果捞等）后出售，每公斤价格30 元，每天能够售出
10 公斤。
该水果店进了1 吨水果，一周内需要卖完，否则水果就会腐烂。如果上述三种销售方式可
同时组合使用，那么该水果店出售这1 吨水果的销售额最大为（
）元。
A. 10000
B. 14900
C. 15000
D. 30000
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【例8】（2021 四川）商店采购了一种水果，第一天在进货成本基础上加价40%销售，从
第二天开始，每天的销售价格都比前一天低10%。已知第三天这种水果的售价比第一天降低了
13.3 元/千克。问这种水果的进货成本为多少元/千克？
A. 35
B. 40
C. 45
D. 50
【例9】（2025 浙江事业单位）2017 年，老王花费5 万元购买了甲、乙2 件艺术品。到
2020 年，甲的价格下降20%，乙的价格变为原来的2 倍。今年，2 件艺术品价格均比2020 年
上涨50%，老王卖出这2 件艺术品共盈利4.6 万元。问老王购买时甲的价格比乙（
）。
A. 高1 万元
B. 低1 万元
C. 高0.6 万元
D. 低0.6 万元
【例10】（2019 四川）某助农项目从农民手中以1 元/斤的价格收购一批芒果，通过网络
平台销售，定价30 元/10 斤包邮，售出芒果的60%后调价为35 元/10 斤，售完全部芒果的总收
入比调价前预计的多20 万元。问这批芒果总重量为多少吨？
A. 50
B. 100
C. 500
D. 1000
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【例11】（2021 广东）某帮扶项目以每公斤9 元的价格从农民手中收购了一批苹果，并以
每公斤12 元（包邮）的价格在网上销售。售出总量的80%后，价格下调为每公斤10 元（包邮）。
运费成本为每公斤0.1 元。全部售完后，扣除收购成本和运费的总收益为2.5 万元，则这批苹果
为（
）吨。
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
【例12】（2022 联考）小张、小林与小王加入合作社种植水蜜桃和李子，收获的水果由合
作社统一销售。今年小张收获了4000 斤桃子与2000 斤李子，小林收获了3000 斤桃子与3000 斤
李子。合作社给小张结算了17200 元，给小林结算了15300 元。能干的小王收获了10000 斤桃
子，8000 斤李子，他将从合作社中获得多少收入？
A. 50000 元
B. 47800 元
C. 32500 元
D. 31600 元
【例13】（2021 浙江）超市采购一批食用油，其中玉米油每桶进价比花生油低20%，若花
生油利润定为进价的24%，玉米油利润定为进价的30%，则花生油比玉米油每桶售价高10 元。
问玉米油每桶比花生油进价低多少元？
A. 10
B. 15
C. 24
D. 25
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【例14】（2020 联考）某药材公司以每千克8 元的价格收购了5000 千克药材，深加工后
得到合格品和废料，合格品分为一、二、三等品，其比例为1∶3∶6，每千克售价分别为80 元、
50 元、20 元，废料价值为零。公司在加工中需投入其他成本20000 元，最终获利108000 元。
问加工中药材的废品率是多少？
A. 1%
B. 4%
C. 6%
D. 8%
【例15】（2025 天津）某超市销售甲、乙两种相同单价的商品。第一天甲的销量是乙的
1.5 倍，第二天乙打八折销售，销量比甲多500 件。已知甲、乙两种商品两天的总销售额相等，
甲两天共销售1400 件，问乙第一天销售多少件？
A. 600
B. 700
C. 800
D. 900
【例16】（2024 福建事业单位）小李以标价的九折买下一幅名画，此后每年支付买入价格
的4%用于此画的保养。五年后他卖掉了这幅画，所获利润正好是原标价的30%，那么他出售
此画的价格是原标价的多少倍？
A. 1.36
B. 1.38
C. 1.46
D. 1.50
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【例17】（2021 江苏）超市销售某种水果，第一天按原价售出总量的60%，第二天原价打
8 折售出剩下的一半，第三天按成本价全部售出。若销售全部该水果的利润率为34%，则该水
果按原价销售的利润率为：
A. 68%
B. 51%
C. 50%
D. 36%
【例18】（2022 北京）商店销售某种商品，先按定价卖了300 件，打七五折卖了200 件，
后在此基础上再打八折卖完了剩下的100 件，总利润为总成本的3
2 。单件成本相当于单件定价的：
A. 57%
B. 54%
C. 51%
D. 48%
【例19】（2017 江苏）李教授受某单位邀请作一次学术报告，得到劳务费1760 元。按规
定，一次性劳务费超过800 元的部分需要扣缴20%的税，则李教授的税前劳务费是：
A. 2200 元
B. 2000 元
C. 1950 元
D. 1900 元
【例20】（2018 吉林）某市出租车采用分段计价办法：2.5 公里及以内收费5 元，超过2.5
公里按每公里1.5 元计价，每次加收1 元燃油附加费。某位乘客有22.5 元零钱，最多能走的距
离是：
A. 12 公里
B. 15.5 公里
C. 14 公里
D. 13.5 公里
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【例21】（2021 联考）假设个人出版著作所得稿费纳税方法如下：（1）稿费不超过800 元
不纳税；（2）超过800 元但不超过4000 元的部分纳税10%；（3）超过4000 元的部分纳税15%。
已知张教授出版一部著作，纳税620 元，则张教授的这笔稿费是多少元？
A. 9000
B. 8000
C. 7000
D. 6000
【例22】（2020 联考）某市出租车价格为：2 公里以内8 元，超过2 公里不足5 公里的部
分，每公里2 元；超过5 公里不足8 公里的部分，每公里3 元；8 公里以上的部分，每公里4 元；
不足1 公里按1 公里计算。某位乘客乘坐出租车花了20 元，该出租车最多行驶了多少公里？
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
【例23】（2019 北京）王先生购买的医疗保险报销规定为：当年花费1300 元（含）以内
的部分全部自付，超出1300 元部分自付10%，其余部分由保险支付。王先生在2018 年第一次
到医院看病时，自己支付了960 元，第二次看病自付了520 元，则王先生第二次看病时医院共
收费：
A. 1800 元
B. 1960 元
C. 2140 元
D. 2600 元
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【例24】（2024 河北事业单位）老刘享受的医疗保险报销规定为：当年花费800 元（含）
以内的部分全部自付，超出800 元部分自付20%，其余部分由医保支付。老刘2024 年第一次到
医院看病时，自付了600 元，第二次看病自付了300 元。老刘第二次看病时医院收费多少元？
A. 500
B. 600
C. 700
D. 800
【例25】（2016 联考）某种商品原价25 元，每半天可销售20 个。现知道每降价1 元，销
量即增加5 个。某日上午将该商品打八折，下午在上午价格的基础上再打八折出售，问其全天
销售额为多少元？
A. 1760
B. 1940
C. 2160
D. 2560
【例26】（2017 辽宁招警）某商业银行的总利润P 与贷款量Q 之间的函数关系为：
P=10000+400Q-Q
2。当贷款数量为（
）万元时，总利润最大。
A. 100
B. 150
C. 200
D. 250
【例27】（2006 黑龙江）将进货单价为90 元的某商品按100 元一个出售时，能卖出500
个，已知这种商品如果每个涨价1 元，其销量就会减少10 个，为了获得最大利润，售价应定为：
A. 110 元
B. 120 元
C. 130 元
D. 150 元
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【例28】（2015 天津）某汽车坐垫加工厂生产一种汽车座垫，每套成本是144 元，售价是
200 元。一个经销商订购了120 套这种汽车座垫，并提出：如果每套座垫的售价每降低2 元，
就多订购6 套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是：
A. 144
B. 136
C. 128
D. 142
【例29】（2022 联考）某地的一种特色纪念品在旅游旺季十分畅销，有商家发现，进价为
每个40 元的纪念品，当售价定为44 元时，每天可售出300 个，售价每上涨1 元，每天销量减
少10 个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为：
A. 51
B. 52
C. 54
D. 57
【例30】（2019 重庆法检）某网站销售10 个不同档次的衬衣，其中最高档的每年销售
500 件，每件利润为300 元。往下每降低1 个档次，每年销量增加1000 件，每件利润降低
30 元。问全年总利润最高的3 个档次的衬衣，全年销量之和为多少万件？
A. 1.05
B. 1.50
C. 1.65
D. 1.80
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补充考点8：合并付费
合并付费：“省”多少钱
识别：某商场开展购物优惠活动：一次购买300 元及以下的商品九折优惠；一次购买300 元
以上的商品，其中300 元九折优惠，超过的部分八折优惠。
（1）穷+富（省穷的原价的折扣差）
（2）富+富（省临界值的折扣差）
【例31】（2013 联考）某商场开展购物优惠活动：一次购买300 元及以下的商品九折优惠；
一次购买300 元以上的商品，其中300 元九折优惠，超过的部分八折优惠。小王购物第一次付
款144 元，第二次又付款310 元。如果他一次购买并付款，可以节省多少元？
A. 16
B. 22.4
C. 30.6
D. 48
【例32】（2019 四川下）某商场做促销活动，一次性购物不超过500 元的打九折优惠；超
过500 元的，其中500 元打九折优惠，超过500 元部分打八折优惠。小张购买的商品需付款
490 元，小李购买的商品比原价优惠了120 元。如两人一起结账，比分别结账可节省多少元钱？
A. 10
B. 20
C. 30
D. 50
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【例33】（2024 山西）某电商平台包邮销售整箱装的苹果，一次购买不少于3 箱可在定价
基础上打九折、一次购买不少于5 箱可在九折基础上再打九折。张某分3 次购买这种苹果2 箱、
3 箱和5 箱，共花费770 元。若他一次性购买可比分3 次购买节省多少元？
A. 57.2
B. 67.5
C. 72.9
D. 81.0
【例34】（2024 四川）某店开展打折促销活动：满488 元打8 折，满688 元打7 折，满
988 元打6 折。小张两次购物分别实际支付400 元和630 元。问他如一次性购买所有商品最多
可能比分两次购买节省多少元？
A. 100
B. 190
C. 250
D. 412
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第六章
行程问题
【例1】（2020 新疆）A、B 两地相距600 千米，甲车上午9 时从A 地开往B 地，乙车上
午10 时从B 地开往A 地，到中午13 时，两辆车恰好在A、B 两地的中点相遇。如果甲、乙两
辆车都从上午9 时由两地相向开出，速度不变，到上午11 时，两车还相距多少千米？
A. 100
B. 150
C. 200
D. 250
【例2】（2018 下半年事业单位）甲计划12:15 出发以45 千米/小时的速度开车前往A 市，
并于15:45 抵达。但他因故延迟到13:05 才出发，并于15:35 抵达。问他实际的行驶速度为多少
千米/小时？
A. 54
B. 57
C. 60
D. 63
【例3】（2021 上半年事业单位）某趣味极速竞赛中有跨栏、匍匐、独木桥三段，其路程
比为3∶1∶2，参赛者甲匍匐路段的爬行速度是跨栏速度的3
1 ，通过独木桥的速度又是跨栏速
度的6
1 ，问甲通过独木桥路段的时间是匍匐路段时间的多少倍？
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
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【例4】（2017 联考）某地举办铁人三项比赛，全程为51. 5 千米，游泳、自行车、长跑的
路程之比为3︰80︰20。小陈在这三个项目花费的时间之比为3︰8︰4，比赛中他长跑的平均速
度是15 千米/小时，且两次换项共耗时4 分钟，那么他完成比赛共耗时多少？
A. 2 小时14 分钟
B. 2 小时24 分钟
C. 2 小时34 分钟
D. 2 小时44 分钟
【例5】（2022 广东）小李开车从甲市到乙市，需要走一段高速公路和一段国道。已知在
高速公路上汽车油耗为0.05 升/公里，在国道上油耗比在高速公路上多0.03 升/公里。小李在
高速公路上行驶了200 公里，是在国道上行驶路程的4 倍，则从甲市到乙市，小李汽车的油
耗为（
）升。
A. 15
B. 14
C. 12
D. 10
【例6】（2021 浙江）AB 两地间有县道连接，BC 两地间有高速公路连接，且AB 间路程
是BC 间路程的4
3 。郭某从A 地开车匀速前往B 地，到B 地后以AB 间2 倍的速度开往C 地，
共用时2 小时30 分。由C 地返回A 地时高速公路行驶速度不变，县道行驶速度比去程降低3
1 ，
则返程用时为：
A. 2 小时45 分
B. 2 小时50 分
C. 3 小时10 分
D. 3 小时15 分
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【例7】（2021 北京）小张开车经高速公路从甲地前往乙地。该高速公路限速为120 千米/
小时。返程时发现有3
1 的路段正在维修，且维修路段限速降为60 千米/小时。已知小张全程均
按最高限速行驶，且返程用时比去程用时多30 分钟，则甲、乙两地距离为多少千米？
A. 150
B. 160
C. 180
D. 200
【例8】（2019 河南司法所）某隧道长1500 米，有一列长150 米的火车通过这条隧道，从
车头进入隧道到完全通过隧道花费的时间为50 秒，整列火车完全在隧道中的时间是：
A. 43.2 秒
B. 40.9 秒
C. 38.3 秒
D. 37.5 秒
【例9】（2025 湖北选调）一辆汽车从A 地开往B 地，匀速行驶60%的路程后开始匀加速，
又用了1 小时到达B 地，且到达时的速度最快，是出发时的2 倍。问全程用了多长时间？
A. 3 小时
B. 3 小时15 分钟
C. 3 小时25 分钟
D. 3 小时30 分钟
【例10】（2024 江苏）列长为210 米的动车以180 千米/小时的度行驶。某乘客拍窗外风
景时，恰好拍到平行铁轨上一列420 米相向而行的高速列车，该列车进过窗户的时间是3.6 秒。
若不计窗户长度，则该高速列车的速度为（
）。
A. 210 千米/小时
B. 240 千米/小时
C. 450 千米/小时
D. 630 千米/小时
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【例11】（2024 山东）小王和小李同时从山脚A 点出发匀速登山，小王距山顶还有1/2 路
程时小李刚走完上山路程的8
3 ，小王到达山顶后立即原路返回，10 分钟后遇到上山途中的小李。
已知两人下山的速度为各自上山速度的1.5 倍，问小李比小王晚多少分钟到达山脚A 点？
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
【例12】（2020 联考）甲乙两人在相距1200 米的直线道路上相向而行，一条狗与甲同时
出发跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反复，已知甲的速度为
40 米/分钟，乙为60 米/分钟，狗为80 米/分钟。不考虑狗调头所耗时间，当甲乙相距100 米时
狗跑了多少米？
A. 1100
B. 1000
C. 960
D. 880
【例13】（2023 湖北事业单位）小谢下班后，以2 米/秒的速度在家附近公园的圆形跑道
上慢跑。他发现邻居小钟和小崔也在该跑道上跑步，且某一时刻，他们三人在该跑道上的某处
相遇，此后小钟每6 分钟与小谢迎面擦身而过，小崔每12 分钟从小谢身后跑过，假设小钟和小
崔跑步的速度大小相同且恒定，则该圆形跑道的长度为（
）米。
A. 2380
B. 2880
C. 4760
D. 6480
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【例14】（2023 北京）从A 地到B 地是下坡路，一辆车从A 地开往B 地需要三小时，从
B 地开往A 地需要四小时。已知这辆车下坡速度比上坡速度快15 千米/小时，则A、B 两地之间
的距离是多少千米？
A. 120
B. 180
C. 240
D. 300
【例15】（2022 江苏）某人以每小时10 公里的速度从甲地骑车前往乙地，中午12:30 到
达。若以每小时15 公里的速度行驶，上午11:00 到达，则他出发的时间是：
A. 上午7:15
B. 上午7:30
C. 上午7:45
D. 上午8:00
【例16】（2021 北京）小张开车经高速公路从甲地前往乙地。该高速公路限速为120 千米
/小时。返程时发现有1/3 的路段正在维修，且维修路段限速降为60 千米/小时。已知小张全程
均按最高限速行驶，且返程用时比去程用时多30 分钟，则甲、乙两地距离为多少千米？
A. 150
B. 160
C. 180
D. 200
【例17】（2021 广东）小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为3 公里。小王每小时
走2 公里；小李每小时跑4 公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则当两人第7 次相遇时，
距离出发点（
）公里。
A. 0
B. 1
C. 1.5
D. 2
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补充考点9：等距离平均速度做猜
【例18】（2024 天津河西区事业单位）从甲地到乙地539 千米，其中有7
4 是平路，7
2 是上
坡路，7
1 是下坡路。假定一辆车在平路的速度是21 千米/小时，上坡的速度是15 千米/小时，下
坡的速度是35 千米/小时。则该车由甲地到乙地往返一趟的平均速度是多少千米/小时？
A. 20
B. 21
C. 23.75
D. 25.25
【例19】（2023 广东）某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，最后竞
走到达终点。一位选手在上午7 点出发，9 点到达了终点，全程未休息，其蛙跳、游泳和竞走
的速度分别为每小时2 千米、3 千米和6 千米。如果蛙跳和竞走的路程相同，则所有项目的总
路程是（
）。
A. 无法计算
B. 6 千米
C. 8 千米
D. 12 千米
补充考点10：多次相遇，每人都有事做
快速做题：行走时间相同，做事时间相同，总时间也相同。
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【例20】（2018 联考）甲乙两车早上分别同时从A、B 两地出发，驶向对方所在城市，
在分别到达对方城市并各自花费一小时卸货后，立刻出发以原速返回出发地。甲车的速度为
60 千米/小时，乙车的速度为40 千米/小时。两地之间相距480 千米。两车第二次相遇距离两车
早上出发经过了多少个小时？
A. 13.4
B. 14.4
C. 15.4
D. 16.4
【例21】（2019 江西）甲、乙两公司相距2000 米，某日上午8:30 小明从甲公司出发到乙
公司，小华同时从乙公司出发到甲公司，两人到达对方公司后分别用8 分钟时间办事，然后原
路返回。假设小明的速度为4km/h，小华的速度为5km/h，则两人第二次相遇的时间是几点？
A. 9:18
B. 9:22
C. 9:24
D. 9:28
补充考点11：多次相遇比例类比
【例22】（2017 联考）甲车从A 地、乙车从B 地同时出发匀速相向行驶，第一次相遇距
A 地100 千米，两车继续前进到达对方起点后立即以原速度返回，在距离A 地80 千米的位置第
二次相遇，则AB 两地相距多少千米？
A. 170
B. 180
C. 190
D. 200
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【例23】（2019 四川下）AB 两点间有一条直线跑道，甲从A 点出发，乙从B 点出发，两
人同时开始匀速在两点之间往返跑步。第1 次迎面相遇时离A 点1000 米，第三次迎面相遇时
离B 点200 米，此时甲到达B 点2 次，乙到达A 点1 次，问AB 两点间跑道的长度是多少米？
A. 1400
B. 1500
C. 1600
D. 1700
【例24】（2020 国考）丙地为甲、乙两地之间高速公路上的一个测速点，其与甲地之间的
距离是与乙地之间距离的一半，A、B 两车分别从甲地和乙地同时出发匀速相向而行，第一次迎
面相遇的位置距离丙地500 米，两车到达对方出发地后立刻原路返回，第二次两车相遇也为迎
面相遇，问第二次相遇的位置一定：
A. 距离甲地1500 米
B. 距离乙地1500 米
C. 距离丙地1500 米
D. 距离乙、丙中点1500 米
补充考点12：漂流瓶
公式：
漂流瓶
T
=
2
1
2
1
2
T
T
T
T
−
【例25】（2005 浙江）一艘游轮逆流而行，从A 地到B 地需6 天；顺流而行，从B 地到
A 地需4 天。问若不考虑其他因素，一块塑料漂浮物从B 地漂流到A 地需要多少天？
A. 12
B. 16
C. 18
D. 24
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【例26】（2012 上海）一艘船从A 地行驶到B 地需要5 天，而该船从B 地行驶到A 地则
需要7 天。假设船速、水流速度不变，并具备漂流条件，那么船从A 地漂流到B 地需要多少天？
A. 40
B. 35
C. 12
D. 2
【例27】（2013 江苏）长江上游的A 港与下游S 港相距270 千米，一轮船以恒定速度从
A 港到S 港需6.75 小时，返回需9 小时。如果一只漂流瓶从A 港顺水漂流到S 港，则需要的时
间是（
）小时。
A. 84
B. 50
C. 54
D. 81
【例28】（2014 黑龙江）一艘船往返于甲乙两港口之间，已知水速为8 千米/时，该船从
甲到乙需6 小时，从乙返回甲需9 小时，问甲乙两港口的距离为多少千米？
A. 216
B. 256
C. 288
D. 196
【例29】（2020 新疆）一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要6 天；逆流而行，从乙地到
甲地需要8 天。若不考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要多少天？
A. 24
B. 36
C. 48
D. 56
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第七章
周期问题
【例1】（2020 四川）某支部的每名党员均以5 天为周期，在每个周期的最后1 天提交
1 篇学习心得。某年的1 月1 日是周日，在1 月1 日—5 日的5 天内，支部分别收到2 篇、3 篇、
3 篇、1 篇和1 篇学习心得。问当年前12 周（每周从周日开始计算）内，支部共收到多少篇学
习心得？
A. 170
B. 169
C. 120
D. 119
【例2】（2016 国考）某新建小区计划在小区主干道两侧种植银杏树和梧桐树绿化环境，
一侧每隔3 棵银杏树种1 棵梧桐树，另一侧每隔4 棵梧桐树种1 棵银杏树，最终两侧各种植了
35 棵树，问最多栽种了多少棵银杏树？
A. 33
B. 34
C. 36
D. 37
【例3】（2024 四川事业单位）在一场盛大的节目现场，共有200 名热情的观众参与。为
了增加节目的趣味性，主办方决定进行一场特别的抽奖活动。抽奖的规则是从1 号开始，每次都
会跳过两个号码来抽取下一个幸运观众，也就是说，第一次会抽取1 号观众作为幸运观众，第二
次则抽取4 号观众，第三次抽取7 号观众，以此类推。则最后一个被抽中的幸运观众是：
A. 197 号
B. 198 号
C. 199 号
D. 200 号
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【例4】（2025 深圳）M、N 两部电视剧于2025 年3 月20 日（周四）同日开播，M 剧周
四至周六每天播出3 集，N 剧周一至周五每天播出2 集，但清明节期间（4 月4 日、4 月5 日、
4 月6 日）两部剧都停播。若至2025 年4 月21 日，M、N 两部剧均未播完，则期间共有（
）
天两部剧都有播出。
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
【例5】（2019 文职）甲、乙、丙、丁四名干部因工作需要经常去团部开会，甲每隔5 天
去一次，乙每隔7 天去一次，丙每隔9 天去一次，丁每隔11 天去一次。如果他们四人相遇过一
次后，距离他们下次一起相遇需要等待的天数是（
）天。
A. 100
B. 120
C. 80
D. 60
【例6】（2019 广东选调）某超市的食品供货商每2 天送货一次，日用品供货商每5 天送
货一次，办公用品供货商每10 天送货一次。已知这三家供货商在10 月1 日这天同时送货，那
么下次他们同时送货的日期是：
A. 10 月10 日
B. 10 月11 日
C. 10 月16 日
D. 10 月20 日
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【例7】（2023 浙江选调）A、B、C 3 个志愿队分别下乡帮扶，A 队每隔5 天去一次，B 队
每8 天去一次，C 队每隔6 天去一次，3 个队伍周四第一次同时下乡，那么第二次同时下乡后
A 队周几再去？
A. 周三
B. 周四
C. 周五
D. 周六
【例8】（2019 辽宁）公司的门卫岗与消防岗均采用轮班制，门卫岗每隔两天值一天班，消
防岗每4 天值一天班，节假日无休息。小张是门卫，小王是消防员，则小张和小王在2019 年中
一个自然月里同时上班最多有（
）天。
A. 8
B. 4
C. 3
D. 2
【例9】（2025 湖北选调）小张、小王、小李是3 名健身爱好者，按以下规律坚持健身：
小张每健身2 天休息1 天；小王每健身3 天休息2 天；小李每健身5 天休息3 天。某年3 月，
小张、小王、小李分别从2 日、3 日、4 日开始健身。问当年3 月，三人均健身的日子有几天？
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
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【例10】（2022 青海）2021 年7 月1 日是中国共产党建党100 周年的纪念日，这一天是
星期四，那么建党110 周年纪念日是：
A. 星期一
B. 星期二
C. 星期三
D. 星期四
【例11】（2018 浙江）某工厂员工周一到周五每天工作8 小时，周六工作5 小时，周日休
息。小王某年6 月下旬到该工厂上班，某天下班后算得已到该工厂上班500 小时。如当年7 月
1 日是星期六，问小王到该工厂上班的日期是：
A. 6 月21 日
B. 6 月22 日
C. 6 月23 日
D. 6 月24 日
【例12】（2021 广东）7 月的某一天，小张制定了一个读书计划：从今天开始，在每周的
周一至周五晚上读党史系列丛书。如果小张每晚读20 页，到7 月28 日刚好能读完第一卷，如
果每天读30 页，则到7 月20 日刚好能读完第一卷。如果7 月1 日是星期三，则小张是在7 月
（
）日制定的读书计划。
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
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【例13】（2023 深圳）博物馆员工周二至周六上班，周日、周一休息。某月有31 天，员
工小王工作了22 天，则该月的4 号是周几？
A. 周一
B. 周二
C. 周一或周四
D. 周四或周日
【例14】（2021 上半年事业单位）若某月周六、周日共9 天，并且这个月的最后一天为周
六，那么该月可能是：
A. 第一天为周四的9 月
B. 第一天为周四的5 月
C. 第一天为周五的7 月
D. 第一天为周三的2 月
【例15】（2024 吉林）某一年的元旦是星期二，这一年共有53 个星期三，则3 月27 日这
一天为：
A. 星期二
B. 星期三
C. 星期四
D. 星期五
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76
第八章
等差数列
【例1】（2023 深圳）某书的页码是从1 开始的连续自然数，1，2，3，4，……莎莎将该
书页码全部相加时，不小心将其中某页码多加了1 次，结果和为2003，则被多加的页码为：
A. 45
B. 50
C. 56
D. 62
【例2】（2022 广东）某市举行庆典活动，将依次升空105 架无人机，升空方式如下：每
架无人机间距均相等，第一次升空n 架，第二次升空n-1 架，以此类推，最终在夜空中组成一
个近似等边三角形背景的灯光秀，那么第10 次升空的无人机数量是：
A. 3 架
B. 5 架
C. 8 架
D. 10 架
【例3】（2021 联考）送奶工人给11 楼住户送牛奶，由于小区停电导致电梯无法使用。如
果他走楼梯从第1 层到第2 层需要5 秒，以后每多走一层需多花2 秒，其中走到5 层以后每多
走一层需多休息5 秒，那么他走到11 层需要多少秒？
A. 210
B. 215
C. 220
D. 235
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【例4】（2024 山东）若干职员参加某次强国知识竞赛，每人的得分均不相同且为整数，
分数排名相邻的2 人分差均为5 分。已知有3 人成绩低于70 分，且超过70 分的职员平均分为
82 分。问所有职员中竞赛成绩超过70 分的人数占比在下列哪个范围内？
A. 低于50%
B. 50%—60%之间
C. 60%—70%之间
D. 高于70%
【例5】（2022 四川）商场6 月6 日开始销售某种电器，从6 月7 日起，每天这种电器的销
量都比前一天多1 台。已知6 月16 日卖了22 台这种电器，问其6 月共卖了多少台这种电器？
A. 555
B. 600
C. 645
D. 690
【例6】（2025 湖北选调）研究生小张从去年1 月开始阅读学术论文，每个月阅读的学术
论文都比上个月多6 篇。已知他去年第三季度的学术论文阅读量比上半年少33 篇，问去年第四
季度他读了多少篇学术论文？
A. 249
B. 250
C. 252
D. 255
【例7】（2025 国考）甲乙两条生产线同一天开始生产某种产品，甲每天比前一天多生产
m 件，乙每天比前一天少生产2m 件，第5 天两条生产线的当日产量相同，且前5 天乙的累计
产量是甲的2 倍。问第一天乙的产量是甲的多少倍？
A. 6
B. 7
C. 4
D. 5
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78
【例8】（2021 浙江）某企业在“十二五”期间第一年的营业额比上一年增长了1.5 亿元，
且往后每年的营业额增量都保持1.5 亿元不变。已知该企业在“十四五”期间的营业额将是“十
二五”和“十三五”期间营业额之和的80%。问该企业在“十二五”到“十四五”期间的总营
业额在以下哪个范围内？
A. 不到300 亿元
B. 300—330 亿元
C. 330—360 亿元
D. 超过360 亿元
【例9】（2024 黑龙江公安）某工厂生产一批零件，已知第1 天每名工人只能生产10 个，
往后每天都比前一天多生产1 个。若安排100 名工人生产，25 天正好完成这项生产任务。问若
要在15 天内完成这项生产任务，至少需要安排多少名工人？
A. 256
B. 243
C. 225
D. 216
【例10】（2024 湖北选调）某森林有三棵树A、B、C，其树龄成等比数列（树龄都为整
数且A＜B＜C），已知它们的树龄之和为129，且公比为整数。请问多少年后C 的树龄是B 的
树龄的2 倍？
A. 72
B. 80
C. 98
D. 100
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【例11】（2020 联考）红星中学高二年级在本次期末考试中竞争激烈，年级前7 名的三科
（语文、数学、英语）平均成绩构成公差为1 的等差数列；第7、8、9 名的平均成绩既构成等
差数列，又构成等比数列。张龙位列第10，与第9 名相差1 分；张龙的英语成绩为121 分，但
老师登记为112 分。问张龙本应排在第几名？
A. 4
B. 5
C. 7
D. 8
补充考点13：等差数列中的倍数特性
【例12】（2022 联考）某市对下辖9 个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，
发现9 个团体新创节目的数量恰好成等差数列，其中前5 个团体的新创节目总数是60，前7 个
团体的新创节目总数是70。那么这9 个文艺表演团体去年新创节目的总数是：
A. 72
B. 76
C. 78
D. 80
【例13】（2020 深圳）王老师的日历如下图所示。他每天清晨撕下前一天的那页日历，某
天下午，王老师将最近撕下的10 页日历中的阿拉伯数字相加，算得总和为244。则当天该日历
展示为（
）日。
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80
A. 29
B. 30
C. 1
D. 2
【例14】（2022 深圳）小王从图书馆借了一本书，书共204 页，阅读时，他发现书的前半
部分有连续的4 个页码被墨水污染，将其余200 个页码加总，其和刚好可以被85 整除，则被污
染的4 个页码中最小的数是：
A. 100
B. 95
C. 75
D. 41
【例15】（2022 广东）如图，仓库有一堆管材，每一层的数量都比上一层多1 根。搬运工
人将管材逐根搬离，搬了99 根后发现，管材堆少了3 层，且剩余每层的管材数量都减少了
3 根。如果这堆管材刚好还剩10 层，则剩下的管材共有（
）根。
A. 245
B. 265
C. 305
D. 325
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81
第九章
容斥问题
【例1】（2022 联考）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的
14%，物理及格的人数比化学及格的人数多10 人，且化学及格的人数占全班人数的60%。已知
全班人数不超过70 人，问物理及格的人中化学也及格的有多少人？
A. 25
B. 26
C. 27
D. 28
【例2】（2019 国考）有100 名员工去年和今年均参加考核，考核结果分为优、良、中、
差四个等次。今年考核结果为优的人数是去年的1.2 倍，今年考核结果为良及以下的人员占比
比去年低15 个百分点。问两年考核结果均为优的人数至少为多少人？
A. 55
B. 65
C. 75
D. 85
【例3】（2025 国考）某研发小组员工中，60％的人参与了A 项目，45％的人参与了B 项
目，两个项目都参与的人比两个项目都不参与的多2 人。问该研发小组有多少人？
A. 100
B. 50
C. 40
D. 20
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82
【例4】（2023 国考）农科院在某村287 名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育种培训。
已知参加防病培训的养殖人员中，参加育种培训的人数比未参加的多21%；参加育种培训的养
殖人员中，参加防病培训的人数比未参加的多76 人。问共有多少人未参加任何一项培训？
A. 21
B. 23
C. 25
D. 27
【例5】（2022 深圳）某翻译团队中，每名译员都擅长英语、日语、俄语中的至少一门语
言。经统计，擅长英语的有17 人，擅长日语的有21 人，擅长俄语的有23 人；擅长英语和日语
的有7 人，擅长英语和俄语的有6 人，擅长日语和俄语的有6 人；擅长三门语言的仅占总人数
的十五分之一，则仅擅长英语的译员有（
）人。
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【例6】（2024 四川事业单位）某社区为了丰富老年人的精神文化生活，成立了三个不同
的兴趣小组，即书法小组、园艺小组和舞蹈小组。已知社区内有26 位老年人参与了至少一个兴
趣小组的活动。其中参加书法小组的老年人有20 人，参加园艺小组的老年人有12 人，参加舞
蹈小组的老年人有10 人，同时参加书法小组和园艺小组的老年人有8 人，同时参加书法小组和
舞蹈小组的老年人有5 人，同时参加园艺小组和舞蹈小组的老年人有4 人。则同时参加三个兴
趣小组的老年人有：
A. 1 人
B. 2 人
C. 3 人
D. 4 人
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83
【例7】（2019 新疆兵团）某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲座。
该机关共有139 人，有42 人报名参加第一场讲座，51 人报名参加第二场讲座，88 人报名参加
第三场讲座，三场讲座都报名的有12 人，只报名参加两场讲座的有30 人。问没有报名参加其
中任何一场讲座的有多少人？
A. 12
B. 14
C. 24
D. 28
【例8】（2020 深圳）某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提供不限量的香蕉和
香肠以研究其食性。结果表明，90%的狒狒有进食，其中吃香蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数量
的3 倍，而两种食物都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒数量的3
2 ，则未进食的狒狒是只吃香蕉的
狒狒数量的：
A. 5
1
B. 10
3
C. 13
2
D. 15
4
【例9】（2025 全国事业单位联考）某公司统计员工对绘图、编程、剪辑这3 种技能的掌
握情况。掌握编程技能的有60 人，3 种技能中只有1 种未掌握的有23 人，3 种技能都掌握的有
3 人，仅编程1 种技能未掌握的有7 人。问仅掌握编程一种技能的有多少人？
A. 41
B. 44
C. 47
D. 50
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84
【例10】（2025 江苏事业单位）某地派遣的援建干部中，有12 人去过西藏，10 人去过新
疆，10 人去过青海；有6 人既去过西藏也去过新疆，4 人既去过新疆也去过青海，4 人既去过
青海也去过西藏。若有2 人三个地方都去过，则只去过其中一个地方的人数是：
A. 7 人
B. 9 人
C. 10 人
D. 12 人
【例11】（2025 国考）某单位65 名职工中，拥有甲、乙、丙三项认证中至少一项的职工
正好占80%，没有甲认证的职工与有乙认证的职工人数一样多，仅有丙认证的职工有3 人，三
项认证都有的职工有6 人，问有多少人仅拥有甲、乙两项认证？
A. 10
B. 13
C. 16
D. 19
【例12】（2017 天津选调）某生物项目工作组有12 名外国人，其中6 人会说英语，5 人
会说法语，5 人会说西班牙语；有3 人既会说英语又会说法语，有2 人既会说法语又会说西班
牙语，有2 人既会说西班牙语又会说英语；有1 人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人
比一种语言都不会说的人多：
A. 1 人
B. 2 人
C. 3 人
D. 5 人
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【例13】（2024 国考）某高校外国语学院中，会俄语的学生都会英语，其中一半还会法
语；会英语的学生中有一半会法语；这三种语言都会的学生有50 人，只会其中两种语言的有
100 人，只会其中一种语言的有150 人。问会法语的学生有多少人？
A. 50
B. 100
C. 150
D. 200
【例14】（2019 辽宁）某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演奏，但有部分
同学这2 种才艺都不会。具体有4 种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和乐器演奏都会，
唱歌和乐器演奏都不会。现知会唱歌的有22 人，会乐器演奏的有15 人，两种都会的人数是两
种都不会的5 倍。这个班至多有（
）人。
A. 27
B. 30
C. 33
D. 36
【例15】（2019 联考）一次期末考试，某班同学成绩统计如下表：
数学
90 分以上
语文
90 分以上
英语
90 分以上
数学和英语
90 分以上
数学和语文
90 分以上
语文和英语
90 分以上
三门功课
没有一门
90 分以上
23 人
21 人
20 人
8 人
6 人
10 人
5 人
求：这个班最多有多少人？
A. 45
B. 51
C. 53
D. 55
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【例16】（2021 四川）为实现产业振兴，农科院对某县的所有自然村进行了调研，结果发
现，适合种植A 作物的自然村占13
4 。适合种植B 作物的自然村有25 个，同时适合种植两种作
物的自然村占总数的14
1 ，则在该县，不适合种植两种作物的自然村至少有多少个？
A. 57
B. 67
C. 114
D. 134
【例17】（2020 广东选调）某展览使用了序号为1—100 的100 盏灯，现在有两个开关，
开关A 能切换所有序号为偶数的灯的开关状态，开关B 能切换所有序号为3 的倍数的灯的开
关状态。若在100 盏灯都打开的状态下，先后按下开关A 和B，则还有（
）盏灯处于打
开状态。
A. 33
B. 34
C. 49
D. 50
【例18】（2016 四川）某工厂有3 条无人值守生产线a、b 和c。a 生产线每生产2 天检修
1 天，b 生产线每生产3 天检修1 天，c 生产线每生产4 天检修1 天。2017 年（不是闰年）元旦
三条生产线正好都检修，则当年3 月有多少天只有1 条生产线保持生产状态？
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
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补充考点14：常识公式
【例19】（2025 湖北选调）3 家企业在校招活动中共收到476 份简历。若向3 家企业均投
出简历的学生人数是仅向2 家企业投出简历人数的1.5 倍，且仅向1 家企业投出简历的学生人
数比简历总数的一半少9。问总共有多少名学生投出了简历？
A. 364
B. 347
C. 324
D. 247
【例20】（2024 深圳）某高校法学院对学生毕业后就职于司法机关、律所、企业的意愿进
行调查，共725 名学生参与调查，可选其中0 至3 项。结果显示，选择司法机关、律所、企业
的学生分别有360 人、380 人、237 人，3 项都选的学生有60 人，3 项都不选的学生有8 人，则
仅选择其中1 项的学生有（
）人。
A. 517
B. 516
C. 515
D. 514
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第十章
年龄问题
【例1】（2018 联考）一家三口，妈妈比儿子大26 岁，爸爸比儿子大33 岁。1995 年，一
家三口的年龄之和为62。那么，2018 年儿子、妈妈和爸爸的年龄分别是：
A. 23，51，57
B. 24，50，57
C. 25，51，57
D. 26，52，58
【例2】（2022 广东事业单位）1999 年，一个青年说：“今年我的生日已经过了，我现在
的年龄正好是我出生的年份的四个数之和”，这个青年是哪年出生的？
A. 1975
B. 1977
C. 1976
D. 1978
【例3】（2023 浙江选调）兄弟姐妹四人年龄各不相同，大哥和小妹的年龄之和正好是三
弟年龄的两倍，大哥和二姐年龄之和比三弟和小妹年龄之和的两倍大2 岁，三弟15 岁。那么二
姐最大多少岁？
A. 18
B. 19
C. 20
D. 21
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【例4】（2025 全国事业单位联考）今年，甲与乙的年龄和等于丙的年龄，三人年龄均小
于30 岁且平均年龄小于20 岁。5 年后，乙年龄的2 倍比甲和丙年龄之和少10 岁。问今年三人
年龄之和可能的最大值为：
A. 46
B. 52
C. 58
D. 64
【例5】（2022 广东事业单位）2014 年父亲、母亲的年龄之和是年龄之差的23 倍，年龄
之差是儿子年龄的1/5，5 年后母亲和儿子的年龄都是平方数。问2014 年父亲的年龄是多少？
（年龄都按整数计算）
A. 44 岁
B. 40 岁
C. 36 岁
D. 48 岁
【例6】（2015 辽宁选调）一家4 口人，爸爸比妈妈大3 岁，哥哥比妹妹大5 岁。妹妹屈
指一算，发现4 年之后，兄妹二人的岁数之和、父母二人的岁数之和都能开方得到个位整数，
则今年一家4 口的岁数之和为：
A. 90
B. 94
C. 98
D. 102
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90
【例7】（2018 联考）姐弟俩相差3 岁，2000 年姐弟两人年龄之和是妈妈年龄的四分之
一，2006 年姐弟两人年龄之和是妈妈年龄的二分之一。问哪一年姐弟两人年龄之和等于妈妈
的年龄？
A. 2012
B. 2018
C. 2024
D. 2027
【例8】（2024 全国事业单位联考）2024 年，某家庭大女儿的年龄是小女儿年龄的2 倍，
2028 年，小女儿的年龄是2024 年时的2 倍，2029 年，两个女儿的年龄之和是母亲年龄的一半。
问母亲比大女儿大几岁？
A. 29
B. 30
C. 31
D. 32
【例9】（2025 国考）张、王、李、赵4 人的平均年龄为28 岁，张、王的年龄之和比李大
25 岁，李、赵的年龄之和比张大27 岁。已知张比王大2 岁，问他们4 人中年龄最大的比最小
的大几岁？
A. 5
B. 6
C. 3
D. 4
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【例10】（2022 联考）2020 年时，李某的年龄是自己工龄的4 倍，且正好是张某年龄的
2/3。到2024 年时，张某的年龄正好是自己工龄的2 倍。已知张某参加工作时李某10 岁，那么
李某参加工作时的年龄是多少？
A. 18 岁
B. 21 岁
C. 24 岁
D. 27 岁
【例11】（2024 河南事业单位）爷爷和孙子的属相相同。孙子今年13 岁，此后5 年内的
某一年，爷爷年龄恰好是孙子年龄的4 倍，则爷爷比孙子大（
）岁。
A. 60
B. 72
C. 36
D. 48
【例12】（2023 联考）一家三口年龄各不相同，今年爸爸与妈妈年龄之和是孩子年龄的
8 倍，而10 年后，爸爸与妈妈年龄之和为孩子年龄的5 倍。今年爸爸、妈妈的年龄在各种可能
组合中乘积最大，问今年妈妈的年龄可能是多少岁？
A. 39
B. 40
C. 50
D. 51
【例13】（2019 国考）某单位有2 个处室，甲处室有12 人，乙处室有20 人。现在将甲处
室最年轻的4 人调入乙处室，则乙处室的平均年龄增加了1 岁，甲处室的平均年龄增加了3 岁。
问在调动之前，两个处室的平均年龄相差多少岁？
A. 8
B. 12
C. 14
D. 15
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92
【例14】（2022 联考）有一个20 世纪八九十年代出生的人，在21 世纪，恰好有一年，他
年龄的平方数等于那一年的年份。这个人是哪年出生的？
A. 1995 年
B. 1990 年
C. 1985 年
D. 1980 年
【例15】（2017 事业单位）一家四口，父亲、母亲、儿子、女儿，年龄之和为71 岁，父
亲比母亲大三岁，女儿比儿子大两岁，4 年前年龄之和为56 岁，问今年父亲的年龄是多少岁？
A. 42
B. 33
C. 36
D. 30
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93
第十一章
最值问题
【例1】（2020 浙江选调）箱子内有标号分别为1、2、3……25 的25 个乒乓球，问至少需
要取出多少个乒乓球才能保证有两个的标号之差为6 的倍数？
A. 6
B. 7
C. 9
D. 10
【例2】（2017 辽宁）某高校举办一次读书会共有37 位同学报名参加，其中中文，历史、
哲学专业各有10 位同学报名参加此次读书会，另外还有4 位化学专业学生和3 位物理专业学生
也报名参加此次读书会，那么一次至少选出（
）位学生，能保证选出的学生中至少有5 位
学生是同一专业的。
A. 17
B. 20
C. 19
D. 39
【例3】（2023 重庆选调）某中学计划从10 名一线教师候选人中投票选出2 名优秀教师予
以表彰，规定每位投票人只能从10 名候选人中选2 名。那么该校至少应有多少人参加投票，才
能够保证其中至少有2 人投了2 名相同的候选人？
A. 46
B. 48
C. 50
D. 52
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【例4】（2024 浙江选调）幼儿园给小朋友送贴纸，包括动物类贴纸3 种、卡通人物类贴
纸4 种、水果类贴纸4 种，每种贴纸各不相同。已知每位小朋友每类贴纸各选择2 种，那么这
个幼儿园至少有多少个小朋友，才能保证有3 个小朋友的贴纸完全相同？
A. 109
B. 110
C. 216
D. 217
【例5】（2024 四川）某单位每名党员每周六都被随机安排到甲、乙、丙三个社区中的
一个开展志愿服务（同一个社区可以连续前往）。已知任意连续的3 个周六中，都能保证至
少3 名党员的志愿服务行程完全相同。问该单位至少有多少名党员？
A. 55
B. 52
C. 24
D. 21
【例6】（2021 上海）有一座13.2 万人口的城市，需要划分为11 个投票区，任何一个区
的人口不得超过其他区人口的10%，那么人口最少的地区可能有多少人？
A. 9800
B. 10500
C. 10700
D. 11000
【例7】（2017 江苏）在一次竞标中，评标小组对参加竞标的公司进行评分，满分120 分，
按得分排名，前5 名的平均分为115 分，且得分是互不相同的整数，则第三名得分至少是：
A. 112 分
B. 113 分
C. 115 分
D. 116 分
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【例8】（2022 上海）某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100 分。有5 位员工的平
均分为90 分，而且他们的分数各不相同，其中分数最低的员工得分为77 分，那么排第二名的
员工至少得（
）分。（员工分数取整数）
A. 90
B. 92
C. 94
D. 96
【例9】（2024 广东事业单位）某单位组织职工进行技能考试，满分是100 分，7 位职工
在这次考试中平均成绩是81 分，这7 位职工得分互不相同且均为整数，其中一位职工仅得了
50 分，那么得分排在第5 名的那位职工至少得（
）分？
A. 65
B. 64
C. 63
D. 62
【例10】（2021 国考）某地10 户贫困农户共申请扶贫小额信贷25 万元。已知每人申请金
额都是1000 元的整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2 倍，且任
意2 户农户的申请金额都不相同。问申请金额最低的农户最少可能申请多少万元信贷？
A. 1.5
B. 1.6
C. 1.7
D. 1.8
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【例11】（2025 浙江事业单位）小张等5 人的数学考试成绩之和为392 分。排名第2 的分
数是排名第4 的分数的1.3 倍。已知每人分数均为0 至100 之间的整数，且各不相同，那么排
名第5 的分数最高可能是多少？
A. 66
B. 67
C. 68
D. 69
【例12】（2021 广东）某街道服务中心的80 名职工通过相互投票选出6 名年度优秀职工，
每人都只投一票，最终A、B、C、D、E、F 这6 人当选。已知A 票数最多，共获得20 张选票；
B、C 两人的票数相同，并列第2；D、E 两人票数也相同，并列第3；F 获得10 张选票，排在
第4。那么B、C 获得的选票最多为（
）张。
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
【例13】（2023 联考）某小区物业准备了230 盒口罩免费派发给10 栋楼，要求任意两栋
楼派发的口罩数量都不相同，但最多相差不超过1 倍。假设口罩不拆盒发放，那么派发口罩数
量最少的那栋楼最少可派发口罩：
A. 18 盒
B. 15 盒
C. 14 盒
D. 12 盒
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【例14】（2015 广东）阅览室有100 本杂志，小赵借阅过其中75 本，小王借阅过70 本，
小刘借阅过60 本，则三人共同借阅过的杂志最少有（
）本。
A. 5
B. 10
C. 15
D. 30
【例15】（2020 西藏事业单位）某市一中高二进行了四次数学摸底考，高二（1）班60 人，
80 分以上的人数比例分别为80％、82％、83％、75％。请问每次都在80 分以上的人至少有：
A. 48 人
B. 36 人
C. 24 人
D. 12 人
【例16】（2024 广东事业单位）某知识竞赛共有60 人参加，其中答对第一题的有45 人，
答对第二题的有36 人，答对第三题的有54 人，答对第四题的有48 人，答对第五题的有52 人。
如果有4 人一道题都没有答对，则至少有（
）人五道题都答对了。
A. 7
B. 9
C. 11
D. 13
【例17】（2024 福建事业单位）某班学生中，有45 人会骑自行车，39 人会打乒乓球，
37 人会打羽毛球，38 人会游泳，要保证这个班级至少有5 人这四项运动都会，那么该班至多有
多少人？
A. 45
B. 50
C. 51
D. 52
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98
补充考点15：最值思维
【例18】（2025 天津）乡村振兴文明实践积分制度中，基础积分50 分；民主评议活动积
分中3 项为每项10 分，2 项为每项5 分；贡献积分有5 项，每项10 分。每项积分仅加一次。
小李去年在民主评议活动和贡献积分中都有收获，总积分为130 分。问小李至少获得了几项民
主评议活动积分？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【例19】（2025 深圳）某商场举行消费满额抽奖活动，现场共布置了50 个礼盒，每个礼
盒中均放有1 张奖品券或1 张现金券，每名消费达标顾客有2 次抽奖机会。某日恰好有25 名顾
客参与抽奖，礼盒全部抽完。已知至少有20%的顾客2 次都抽中现金券，至多有60%的顾客
2 次都抽中同种类券，则一共至少有（
）张现金券。
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
【例20】（2025 浙江）某年级从A、B、C、D 四个班招募96 名志愿者，其中A 班志愿者
人数占总数的3
1 ，B 班志愿者人数比C 班多4 人，D 班志愿者人数比其他三个班都少。问D 班
最多能有多少名志愿者？
A. 18
B. 19
C. 20
D. 21
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第十二章
溶液问题
【例1】（2025 湖北选调）一瓶浓度为n%的酒精中加入1 千克水，浓度变为0.6n%；又加
入1.5 千克浓度为50%的酒精后，浓度变为0.9n%。问n 的值在以下哪个范围内？
A. n≤35
B. 35＜n≤37.5
C. 37.5＜n≤40
D. n＞40
【例2】（2024 广东事业单位）甲、乙两个相同的烧杯中分别装满了浓度为24%和40%的
同种溶液，将甲杯中倒出一半溶液，用乙杯中的溶液将甲杯加满混合，再将甲杯倒出一半溶液，
又用乙杯中的溶液将甲杯加满，最后甲杯中溶液的浓度是：
A. 25%
B. 32%
C. 36%
D. 40%
【例3】（2024 江苏）甲瓶中有50 克浓度为80%的溶液，加水50 克混合后倒出40 克至空
瓶乙中；再往甲瓶中加水40 克，混合后又倒出40 克至乙瓶中。最终乙瓶中溶液的浓度是：
A. 38%
B. 32%
C. 26%
D. 20%
【例4】（2024 山西纪委）某装有酒精溶液的容器中，若再倒入浓度为5%的酒精溶液
800 克后，浓度会变为20%。实际操作时先倒入800 克水，之后又倒入第三种酒精溶液400 克，
浓度也变为20%。则第三种酒精溶液的浓度是多少？
A. 24%
B. 30%
C. 36%
D. 42%
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100
【例5】（2025 江苏）甲、乙两瓶质量和浓度均相同的酒精溶液，在甲瓶中加入20 克水、
乙瓶中加入50 克浓度为30%的酒精溶液后，浓度仍然相等。若继续在甲瓶中加入30 克纯酒精，
溶液又恢复到最初浓度，则乙瓶酒精溶液最初的质量是：
A. 100 克
B. 110 克
C. 120 克
D. 150 克
【例6】（2024 黑龙江）有三种浓度分别为30%、50%、80%的酒精溶液。现在要用这三
种溶液调配出150 克浓度为60%的酒精溶液，要求每种溶液至少用30 克，问80%的溶液最多
使用多少克？
A. 70
B. 72
C. 78
D. 90
【例7】（2024 广东事业单位）研究员需要调制浓度35%的营养液1100 克，现有浓度50%、
45%和15%的三种营养液各500 克可取用，则至少需要浓度50%的营养液（
）克。
A. 200
B. 225
C. 250
D. 300
【例8】（2018 联考）将浓度为15%和5%的盐水各1000 克，分别倒出若干配置成浓度为
10%的盐水1200 克，将剩下的盐水全部混合在一起，得到的盐水浓度为：
A. 10%
B. 8.25%
C. 8%
D. 7.25%
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101
【例9】（2024 天津事业单位）现有浓度为32%和48%的苹果汁各若干克，将其混合后加
入150 克纯净水，配制成了浓度为40%的苹果汁1200 克，则原来32%和48%的苹果汁质量之
比是：
A. 2∶5
B. 3∶8
C. 2∶7
D. 1∶6
【例10】（2023 江苏）浓度分别为68%、72%、78%的三种酒精溶液的总质量为240 克。
若将它们全部混合，则可得浓度为74%的酒精溶液；若只将浓度为72%和78%的酒精溶液混合，
则可得浓度为76%的酒精溶液。这三种酒精溶液中，浓度为72%的酒精溶液质量为：
A. 30 克
B. 40 克
C. 48 克
D. 60 克
【例11】（2024 福建事业单位）在浓度为15%的盐水中加入20 千克水后，浓度变为10%，
这时再加入（
）千克盐，可使浓度变为20%。
A. 5
B. 7.5
C. 10
D. 15
【例12】（2014 河北）浓度为15%的盐水若干克，加入一些水后浓度变为10%，再加入
同样多的水后，浓度为多少？
A. 9%
B. 7.5%
C. 6%
D. 4.5%
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102
【例13】（2024 联考）现有一容器，装有100 克浓度为75%的盐水，从中倒出40 克盐水
后，再加入40 克纯净水，如此反复三次。问此时盐水的浓度是：
A. 16.20%
B. 9%
C. 1.62%
D. 0.90%
【例14】（2023 四川事业单位）某容器内装满了浓度为64%的酒精，现倒出2 升该溶液后
再加水注满容器，搅拌均匀后又倒出2 升溶液后加水注满容器，此时溶液浓度变为36%。则该
容器的容积为（
）升。
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
【例15】（2024 四川）现有浓度为70%的盐水100 克。从中倒出40 克，再加入40 克浓度
为20%的盐水，如此操作共5 次后，问盐水的浓度在以下哪个范围内？
A. 低于23%
B. 在23%到25%之间
C. 在25%到27%之间
D. 高于27%
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103
第十三章
排列组合
【例1】（2024 联考）安排A、B、C、D 共4 个研发团队参与甲、乙、丙3 个课题的研究，
要求每个课题至少有1 个团队参与，每个团队必须且只能参与1 个课题，如甲课题参与的团队
数超过1 个，则A、B 都不参与甲课题。问共有多少种不同的安排方式？
A. 24
B. 26
C. 36
D. 42
【例2】（2023 四川事业单位）从7 名女生和4 名男生中选出3 名志愿者参加暑期支教活
动，若要求至少有1 名男生参加，则不同的选择方式有（
）种。
A. 130
B. 156
C. 169
D. 184
【例3】（2022 联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由式滑雪、
单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的6 个分项，短道速滑、速度滑冰和
花样滑冰是滑冰大项中的3 个分项。小林打算去现场观看比赛，共选择6 个项目，并且每个大
项不少于1 个，若所有项目比赛时间均不交叉，则不同的观赛方式有：
A. 83 种
B. 84 种
C. 92 种
D. 102 种
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【例4】（2023 国考）某次会议邀请4 所高校每所各2 位学者作报告。在某日上午、下午
和晚上的三个时间段分别安排3 位、3 位和2 位学者依次作报告，且同一所高校的2 位学者不
安排在同一时间段内作报告。问8 人的报告次序有多少种不同的安排方式？
A. 不到5000 种
B. 5000—10000 种之间
C. 10001—20000 种之间
D. 超过20000 种
【例5】（2025 联考）某地军工驿站就业直通车送6 名工人到A、B、C 三个开发区务工，
实现从“家门”直达“厂门”就业。若A 开发区至少需要2 名工人，B、C 开发区至少各安排
1 名工人，每名工人只能去其中的一个开发区，则共有多少种不同的安排方法？
A. 180
B. 320
C. 345
D. 360
【例6】（2024 联考）某单位从所有职工中选出若干人参加培训，如果选择4 人，可能的
选择方式正好是选择3 人时的10 倍，问该单位有多少名职工？
A. 32
B. 33
C. 42
D. 43
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【例7】（2022 联考）某健身房近期推出甲、乙、丙、丁4 项课程，每项课程的一次消费
分别为200 元、300 元、400 元、500 元，会员可根据充值卡内余额自行进行消费。会员小李充
值卡内还剩2200 元，打算在有效期内每项课程都至少消费1 次，且将充值卡内余额恰好用完，
问他消费这4 项课程的组合有多少种不同的可能性？
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【例8】（2019 联考）小明计划到商店为自己购买衣服和鞋子，预算不超过800 元，已知
衣服每套的售价是99 元，每双鞋子的售价是67 元，如果小明至少要买4 套衣服和3 双鞋。那
么他有多少种不同的购买方式？
A. 5
B. 7
C. 8
D. 4
【例9】（2020 联考）某美术馆计划展出12 幅不同的画，其中有3 幅油画、4 幅国画、5 幅
水彩画，排成一行陈列，要求同一种类的画必须连在一起，并且油画不放在两端，问有多少种
不同的陈列方式？
A. 不到1 万种
B. 1 万—2 万种之间
C. 2 万—3 万种之间
D. 超过3 万种
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【例10】（2020 国考）扶贫干部某日需要走访村内6 个贫困户甲、乙、丙、丁、戊和己。
已知甲和乙的走访次序要相邻，丙要在丁之前走访，戊要在丙之前走访，己只能在第一个或最
后一个走访。问走访顺序有多少种不同的安排方式？
A. 32
B. 48
C. 16
D. 24
【例11】（2017 江苏）两公司为召开联欢晚会，分别编排了3 个和2 个节目，要求同一公
司的节目不能连续出场，则安排节目出场顺序的方案共有：
A. 12 种
B. 18 种
C. 24 种
D. 30 种
【例12】（2017 联考）某兴趣组有男女生各5 名，他们都准备了表演节目。现在需要选出
4 名学生各自表演1 个节目，这4 人中既要有男生、也要有女生，且不能由男生连续表演节目。
那么，不同的节目安排有多少种？
A. 1200
B. 2400
C. 3000
D. 3600
【例13】（2020 广东事业单位）某公司秘书部门准备将30 份纸质文件发放给3 个不同的
部门，每个部门至少发放9 份纸质文件，则共有（
）种不同的发放方法。
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
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【例14】（2022 广东）甲、乙、丙3 个单位订阅同一款报刊，已知3 个单位共订了12 份，
其中，每个单位订阅数量不少于3 份，但不超过5 份，则这3 个单位的报刊订阅数量可能有
（
）种组合。
A. 2
B. 6
C. 7
D. 9
【例15】（2024 天津事业单位）某专业147 名学生乘坐3 辆ZK6117BEV 型大客车去实习，
每辆客车最少承载48 名学生，最多承载50 名学生，则每辆车承载的人数共有多少种分配方案？
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【例16】（2023 浙江选调）单排队列有5 个人，现重新安排他们的位置，要保证至少有1 个
人的位置与原来不同，且至少有两个原来相邻的人位置不变。那么共有多少种不同的安排法？
A. 11
B. 14
C. 17
D. 18
补充考点16：平均分组
【例17】（2018 浙江）某班共有8 名战士，现在从中挑出4 人平均分成两个战斗小组分别
参加射击和格斗考核，问共有多少种不同的方案？
A. 210
B. 420
C. 630
D. 840
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【例18】（2015 联考）将10 名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法？
A. 120
B. 126
C. 240
D. 252
补充考点17：描点法
【例19】（2019 联考）小赵从家出发去单位上班要经过多条街道（如图），假如他只能向
西或向南行走。则他上班有多少种不同的走法？
A. 6
B. 24
C. 32
D. 35
【例20】（2015 联考）从A 地到B 地的道路如图所示，所有转弯均为直角，问如果要以
最短距离从A 地到达B 地，有多少种不同的走法可以选择？
A. 14
B. 15
C. 18
D. 21
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109
第十四章
概率问题
【例1】（2025 联考）棒球队招募两个位置的队员，分别为击球手和投球手，共有10 人报
名，其中5 人只报名击球手，3 人只报名投手，另外两人既报名击球手又报名投手。若球队在
报名人员中随机抽取2 人，则此2 人报名相同位置的概率为：
A. 3
1
B. 2
1
C. 3
2
D. 4
3
【例2】（2025 深圳）阿哥、阿姐请小妹帮忙买奶茶，每杯奶茶都有4 个必选定制项（如
下图所示）。小妹在途中把阿哥、阿姐不同的定制要求忘了，如果她随意购买3 杯不同的奶茶，
则恰有1 杯刚好满足阿哥或阿姐定制要求的概率是：
杯型
甜度
茶底
温度
□中杯
□大杯
□多糖
□标准糖
□少糖
□微糖
□不另外加糖
□红茶
□绿茶
□乌龙茶
□标准冰
□少冰
□常温
□温热
A. 1144
47
B. 1190
59
C. 1716
71
D. 2380
117
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110
【例3】（2022 联考）为了加强环境治理和生态修复，某市派出4 位专家（甲、乙、丙、
丁）前往某山区3 个勘探点进行环境检测，要求每个勘探点至少安排一名专家。那么甲、乙两
名专家去了不同勘探点的概率是：
A. 4
3
B. 6
1
C. 6
5
D. 4
1
【例4】（2022 广东）某街道对辖内6 个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结果显示，
有2 个社区的垃圾分类考核不通过。如果从6 个社区中随机抽取3 个进行现场检查，则抽取的
社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区的概率为：
A. 5
1
B. 2
1
C. 3
2
D. 5
4
【例5】（2025 联考）21 分制的羽毛球比赛，每赢一球得1 分，下一球由上一球得分方发
球，20∶20 平局以后，先多得2 分的一方获胜，若甲发球时甲得分的概率为0.6、乙发球时乙
得分的概率为0.7，各球的结果相互独立，乙将比分追成20∶20 平后，甲最终以23∶21 的比分
获胜的概率在以下哪个范围？
A. 0.05—0.1
B. 0.1—0.15
C. 0.15—0.2
D. 0.2—0.25
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111
【例6】（2025 天津）甲和乙参加知识竞赛，每人均需作答1 道理工类问题和1 道人文类
问题。甲作答两类问题的正确率分别为60%和40%，乙作答两类问题的正确率分别为50%和
75%。问甲答对问题数量比乙多的概率在以下哪个范围内？
A. 22%以下
B. 22%—25%之间
C. 25—28%之间
D. 28%以上
【例7】（2024 浙江选调）纸牌游戏斗地主有3 个人参加，包括1 个地主和2 个农民，结
果只有地主获胜或农民获胜。某游戏平台十万场比赛数据显示，所有玩家平均胜率为47%，那
么这十万场比赛的玩家“抢”到地主时的胜率在以下哪个区间？
A. 35%—45%
B. 45%—55%
C. 55%—65%
D. 65%—75%
【例8】（2024 湖北选调）某篮球联赛总决赛采取5 场3 胜制，即首先获得3 场比赛胜利
的球队获得冠军。已知甲、乙两队参加总决赛，假设每场比赛甲队赢得比赛的事件是相互独立
的，且概率为40%，请问甲队获得冠军的概率在以下哪个范围内？
A. 20%—25%
B. 25%—30%
C. 30%—35%
D. 35%—40%
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112
【例9】（2018 重庆）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙
队的概率均为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，且比赛到此结束。如果各
局比赛相互间没有影响，现已知前两局双方战成平手，则甲队获得这场比赛胜利的概率为：
A. 25
9
B. 125
63
C. 125
81
D. 125
101
【例10】（2018 吉林）一位乒乓球学员手中拿着装有7 只乒乓球的不透明口袋，其中3 只
黄球，4 只白球。他随机取出一只乒乓球，观察颜色后放回袋中，同时放入2 只与取出的球同
色的球，这样连续取2 次，则他取出的两只球中第1 次取出的是白球，第2 次取出的是黄球的
概率是：
A. 77
8
B. 21
4
C. 11
2
D. 7
4
【例11】（2024 山西纪委）在一块边长为20 米的正方形土地中随机选择1 个点，则选中
的点与这块土地4 个顶点的距离均大于10 米的概率在以下哪个范围内？
A. 不到0.2
B. 0.2—0.25 之间
C. 0.25—0.3 之间
D. 超过0.3
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【例12】（2018 联考）小波通过往圆圈里投掷米粒（米粒本身长度不计，视为一个点）的
方式决定自己的周末活动。经过试验，他将米粒投进圆圈内的成功率达到100%，但投掷在圆内
的位置随机。如果米粒到圆心的距离大于圆半径的一半，那么他周末去看电影；若米粒到圆心
的距离小于半径的1/4，他会去打篮球；否则，他将在家看书。据此可知小波周末不在家看书的
概率为：
A. 16
13
B. 5
2
C. 5
3
D. 16
1
【例13】（2019 联考）某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝火四周。其中，
小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为：
A. 97
2
B. 98
2
C. 99
2
D. 100
2
【例14】（2018 联考）A、B 两地间有三种类型列车运行，其中高速铁路动车组列车每天
6 车次，普通动车组列车每天5 车次，快速旅客列车每天4 车次。甲、乙两人要同一天从A 地
出发前往B 地，假设他们买票前没有互通信息，而且火车票票源充足，问他们买到同一趟列车
车票的概率有多大？
A. 小于10%
B. 10%到20%之间
C. 20%到25%之间
D. 25%到30%之间
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【例15】（2025 上海）小李在游乐园娃娃机上抓玩偶玩，目前抓到玩偶的频率是16
1 ，接
下来小李又抓了两次，运气特别好都抓到了，这时小李抓到玩偶的频率提升到了10
1 ，则小李一
共抓了多少次？
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
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参考答案
第一章
倍数特性
1~5：DCCCD
6~10：BCDBB
11~15：BCAAB
16~20：BCCAC
21~25：ADADB
26~30：BDCAD
31~35：CCCCD
第二章
方程问题
1~5：CCDDA
6~10：CCACB
11~15：CCBAC
16~20：ABCAC
21~25：DBACA
26~30：BDDCD
31~34：CBDD
第三章
工程问题
1~5：BCBDD
6~10：CBABC
11~15：DABDC
16~20：ABDCD
21~25：BBDCA
26~30：ADDDB
31~35：CDAAC
36~38：AAA
第四章
几何问题
1~5：DBCAD
6~10：BDCAD
11~15：DDDAD
16~20：CCDDC
21~25：CDABD
26~30：BCACD
31~33：CBB
第五章
经济问题
1~5：CCDCB
6~10：DBDAC
11~15：BBABA
16~20：BCCBD
21~25：DACCB
26~30：CBADC
31~34：ADAC
第六章
行程问题
1~5：DDCCB
6~10：DCBBB
11~15：CDBBD
16~20：CDBBC
21~25：ACCBD
26~29：BCCC
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第七章
周期问题
1~5：BBCBB
6~10：BACCB
11~15：DBCBC
第八章
等差数列
1~5：BBBCB
6~10：ACCDA
11~15：BADDB
第九章
容斥问题
1~5：CBCAD
6~10：AACAC
11~15：ACDCB
16~20：CCBCA
第十章
年龄问题
1~5：BCCCD
6~10：ADCBC
11~15：DABDB
第十一章
最值问题
1~5：BBADA
6~10：DBBDB
11~15：CDCAD
16~20：CCCCA
第十二章
溶液问题
1~5：BCBBA
6~10：CAADD
11~15：BBAAB
第十三章
排列组合
1~5：BAACD
6~10：DCBDC
11~15：ABACC
16~20：CBBDB
第十四章
概率问题
1~5：CDCDA
6~10：ACCCB
11~15：BACAC
